2014年秋季班数学八年级讲义(8)
秋季初二数学经典讲义(根式、勾股定理、轴对称)
第一章二次根式______________________________________________________________ 2一、基础知识_____________________________________________________________ 2二、精讲精炼_____________________________________________________________ 3 第二章勾股定理_____________________________________________________________ 20一、基础知识____________________________________________________________ 20二、精讲精练____________________________________________________________ 21 第三章直角三角形___________________________________________________________ 40一、基础知识____________________________________________________________ 40二、精讲精练____________________________________________________________ 41 第四章轴对称_______________________________________________________________ 48一、基础知识____________________________________________________________ 48二、精讲精练____________________________________________________________ 49第一章二次根式一、基础知识二、精讲精炼一、基础定义1.如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的a 平方根是2.非负数a 的平方根表示为3.因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者4的平方根是 5.非负的平方根叫 平方根 6． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 8．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B 22 9． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 10． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．1414．一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是（ ）A ．x+1B ．x2+1 C15．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．1C ．-3或1D ．-1 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5±2．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、6 D 、 6±3．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数 5．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 6．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 7．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 20．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±24．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A .a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=27．22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+x B 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x28．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a29．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=xB ．1917=xC ．1817=xD ．1817±=x 30．2)8(-= ， 2)8(= 。
初二数学(秋季)讲义第8讲 平面直角坐标系
初二数学（秋季）讲义 第八讲 平面直角坐标系导入在电影票上，“3排6座”与“6排3座”______（填“是”或“不是”）同一个座位，所以在电影院选择座位需要____个数据．1. 如图，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，回答下列问题（1）点C 关于点A 的对称点表示的数是______；点D 关于点B 的对称点表示的数是______．（2）点C 向右平移3个单位后表示的数是______；点B 向左平移2个单位后表示的数是______．（3）点A 关于点B 的对称点向左平移2个单位后表示的数 是_______．2. 如图是某市的部分简图，每个小正方形的边长均为500米，我们用(2，6)表示文化宫的位置，请回答下列问题：东北（1）说出体育场与超市的位置；（2）小明家在火车站以东1 000米，再往北500米处；小聪家在超市以北500米，再往西1 500米处，在图中标出小明和小聪家的位置．（3）上周六，小华的活动路线是(1，8)→(2，6)→(7，7)→(7，2)，说一说他这一天去了哪些地方． 1. 在平面内，确定一个物体的位置一般需要____个数据．2. 在平面内，两条__________且有_________的_________组成平面直角坐标系．水平的数轴叫_______或_______，铅直的数轴叫________或_______，________和______统称坐标轴．3.如图，对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴________，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的_______、_______，__________(a，b)叫做点P的坐标．)4.坐标系把平面分成了_____个象限，第一象限内点的坐标特征是(+，+)，第二象限内点的坐标特征是__________，第三象限内点的坐标特征是__________，第四象限内点的坐标特征是_________；坐标轴上的点不属于任何象限．5.在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一对有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一对有序实数对，都有平面上唯一的一点和它对应．6.坐标特点（1）x轴上的点____坐标等于零；y轴上的点____坐标等于零．（2）平行于x轴的直线上的点____坐标相同；平行于y轴的直线上的点____坐标相同．（3）关于x轴对称的两个点，横坐标_____，纵坐标______；关于y轴对称的两个点，横坐标________，纵坐标_____．（4）横坐标加减管______平移，纵坐标加减管______平移．1.写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标，并指出它们所在的象限．解：A(___，___)，第___象限；B(___，___)，第___象限；C(___，___)，第___象限；D(___，___)，第___象限；E( )，______象限；F( )，______象限．2.在平面直角坐标系中，点(-2，-3)在第____象限；点在第____象限；点1，1在第___象限；点(-2，a2+1)在第___马帅炮兵3. 若a <b <0，则点A (a -b ，b )在第________象限．4. 在平面直角坐标系中，若点P (a ，b )在第二象限，则点Q (1-a ，-b )在第____象限．5. 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来． （1）A (-3，5)，B (-7，3)，C (1，3)，A (-3，5)； （2）D (-6，3)，E (-6，0)，F (0，0)，G (0，3)．观察所描出的图形，解答下列问题：①坐标轴上的点有_______________，且x 轴上的点___坐标等于零，y 轴上的点___坐标等于零．②线段BC 与x 轴_______，点B 和点C ____坐标相同，线段BC 上其他点的____坐标都相同．③线段DE 与y 轴________，点D 和点E ____坐标相同，线段DE 上其他点的____坐标都相同．6. 若点M (a +3，4-a )在x 轴上，则点M 的坐标为__________．7. 若过A (4，m )，B (n ，-3)两点的直线与x 轴平行，且AB =5，则m =_____，n =_______________．8. 如图，正方形ABCD 在平面直角坐标系中，其中三个顶点的坐标分别为(-2，-2)，(-2，3)，(3，-2)，则第四个顶点的坐标为________．第9题图9. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-2)，“马”位于点(2，-2)，则“兵”位于点(___，___)．10. 已知点P (-3，2)，它到x 轴的距离为_____，到y 轴的距离为_____，到原点的距离为_____．11. 如图，长方形ABCD 的长与宽分别是6，4，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．D CBA12. 如图，对于边长为4的等边三角形ABC ，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标．A C13. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P ，若点P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，则点P 的坐标为________．14. 点M 在x 轴的上方，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则点M 的坐标为（ ）A ．(4，3)B ．(-4，3)或(4，3)C ．(3，4)D ．(-3，4)或(3，4)15. 若点A (x ，4)到原点的距离为5，则x =____________．16.如图，△ABC在平面直角坐标系中，则S△ABC=________．17.已知点A(0，4)，点B在x轴上，若AB与坐标轴围成的三角形的面积为2，则点B的坐标为______________．18.（1）作图，将△ABC各顶点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1，顺次连接这些点，所得三角形与△ABC关于_____轴对称；（2）如图，△DEF与△ABC关于____轴对称，它们相应顶点的横坐标___________、纵坐标____________．19.如果点A(a，b)与点B关于x轴对称，点B与点C(2，3)关于y轴对称，那么a=_______，b=_______，点A和点C的位置关系是__________________．20.若点A(a，4)，点B(3，b)关于x轴对称，则(a+b)2 015的值为______．21.若点P(b-3，-2b)在y轴上，则点P关于x轴对称的点的坐标为__________．22.若点A(a，b)沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到点A′(1，2)，则点A的坐标为_______．23.如图，将三角形向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别为（）A．(-1，-1)，(2，3)，(5，1)B．(-1，1)，(3，2)，(5，1)C．(-1，1)，(2，3)，(5，1)D．(1，-1)，(2，2)，(5，1)24.如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为______________．图1图21.不是，两2.（1）0，-2；（2）-1，-1；（3）23.（1）体育场(1，8)；超市(7，2)（2）略（3）他这一天去的地方：体育场、文化宫、宾馆、超市1.两2.互相垂直，公共原点，数轴x轴，横轴，y轴，纵轴，x轴，y轴3.作垂线，横坐标，纵坐标，有序实数对4.四，(-，+)，(-，-)，(+，-)6.（1）纵，横（2）纵，横（3）相同，互为相反数，互为相反数，相同（4）左右，上下1.(-1，3)，二；(-2，-1)，三；(-1，-2)，三；(3，-2)，四(3，1)，第一；(2，3)，第一2.三，一，四，二3.三4.四5.图形略①E，F，G；纵；横②平行，纵，纵③平行，横，横6.(7，0)7.-3，-1或98.(3，3)9.(-3，1)10.2，311．略12．略13．(-5，4)14．D15．3或-316．917．(1，0)或(-1，0)18．（1）x；（2）y，互为相反数，相同19．-2，-3，关于原点中心对称20．-121．(0，6)22．(-2，0)23．A24．(a+3，b+2)。
2014年秋季班数学八年级讲义(5)
图1DC图22014年秋季班数学八年级讲义（5）掌握添加辅助线的基本方法 掌握证明举例中的基本思路 【基础知识】 1. 如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC=45°，点P 在AB 上，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，已知DC=2，求BE 的长。
2. （1）90303ABC BAC B AD BC BD CD ∆∠=︒∠=︒⊥=已知：在中，、、，求证：（2）90330ABC BAC AD BC BD CD B ∆∠=︒⊥=∠=︒已知：在中，、、，求证：3. 已知：如图1所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AC ＝AE ＋CD4. 已知：如图2，四边形ABCD 是正方形，点E 、点F 分别是边BC 和边CD上的点，且∠FAD ＝∠FAE ，求证BE ＋DF ＝AECD5. 已知：如图，在四边形ABCD 中, AB =CD ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，DE =BF ．求证：∠A ＝∠C ．6. 求证：在两个锐角三角形中，如果有两边及其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等。
（画图、写出已知、求证和证明）【提高练习】1. 如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠B ＝35°，BC ＝AI ＋AC ，求∠BAC 的度数2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中： （1）求证：∠EAF ＝45o（2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由3. ,120ABC AB AC BAC ∆=∠=︒已知：在中，(1)2D BC DE AB DF AC DE DF BC D BC DE AB DF AC DE DF BC ⊥⊥⊥⊥是上的一动点，，，你能发现、、之间的数量关系吗？（）是直线上的一动点，直线，直线，试探究线段、之间的数量关系。
精品2014年八年级数学上册-三角形初步认识同步讲义+练习
精品2014年⼋年级数学上册-三⾓形初步认识同步讲义+练习三⾓形初步认识第01课与三⾓形有关的线段知识点:三⾓形定义：组成的图形叫做三⾓形。
⽤符号“△”表⽰。
注意：三条线段必须①；②组成三⾓形的线段叫做三⾓形的，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的。
注意：三⾓形ABC 的顶点C 所对的边AB 可⽤c 表⽰,顶点B 所对的边AC 可⽤b 表⽰,顶点A 所对的边BC 可⽤a 表⽰.三⾓形三要素：、、。
三⾓形三边的不等关系：。
附加：公式：三⾓形的分类：(1)按⾓分类: 三⾓形、三⾓形、三⾓形。
(2)按边分类:三⾓形的⾼线：从三⾓形的⼀个向它的对边所在直线作，顶点和垂⾜之间的叫做三⾓形的⾼线，简称三⾓形的⾼.注意：⾼与垂线不同，⾼是线段，垂线是直线。
三⾓形的三条⾼，简称三⾓形的⼼。
三⾓形的中线:如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的钝⾓三⾓形直⾓三⾓形锐⾓三⾓形位置边BC 上的中线，表⽰为BD=DC 或BD=DC=21BC 或2BD=2DC=BC. 三⾓的三条中线，简称三⾓形的⼼。
注意：三⾓形的中线是线段。
三⾓形的⾓平分线:如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的⾓平分线,表⽰为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。
三⾓形三个⾓的平分线，简称三⾓形的⼼。
注意：三⾓形的⾓平分线是线段，⽽⾓的平分线是射线，是不⼀样的。
三⾓形稳定性(1)把三根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个三⾓形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个四边形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的⽊架上再钉⼀根⽊条，将它的⼀对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？例1.⽤⼀条长为18cm 的细绳围成⼀个等腰三⾓形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有⼀边长为4㎝的等腰三⾓形吗？为什么？例2.已知△ABC 的周长是24cm ，三边a 、b 、c 满⾜c+a=2b ，c-a=4cm ，求a 、b 、c 的长.三⾓形中线的性质：例3.⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.例4.如图，在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=900，CD是AB边上的⾼，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的⾯积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的⾯积；(4)作出△BCD的边BC边上的⾼DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。
2014年秋季班数学八年级讲义(9)
2014年秋季班数学八年级讲义（9）直角三角形中两锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°【基础知识】1. 如果三角形中有一条边是另一条边是2倍,并且有一个角是30°,那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）图形不能确定2. 在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是_______°3. 已知，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A ＝30°，求BC ，CD 和DE 的长。
4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ，D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：14CE AB【提高练习】1. 如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点求证：MN ⊥DE 。
2. 已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD ＝CD ，AC ＝BC ，求证：AB ＝BO.3. 如图，在ΔABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝20°，AD ⊥CA 于A ，交BC 于D ，求证：CD ＝2AB4. 如图，AB ∥CD ，E 是AD 中点，CF ⊥AB 于F 。
求证：CE ＝EF5. 如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝2∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 中点，ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ，求证：BF ＝BD6. 在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。
求证：（1）BE=CD;（2）DF=2GF7. 在等边ΔABC 中，AE=CD ，BG ⊥AD ，求证：BP=2PG8. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE 。
2014年秋季班数学八年级讲义(10)
2014年秋季班数学八年级讲义（10）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=。
公式的变形：222a c b =-或222b c a =-。
勾股定理的逆定理：如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足222a b c +=，那么△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形。
勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数。
一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17） 【基础知识】1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C .6cm D .36cm2. △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或333. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A . 9分米B .15分米C .5分米D .8分米 4. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？【提高练习】 1. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？2. 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？A A ′ A ′ O A D EB C第22题图B A6cm 3cm 1cm3. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
【初二数学上册(秋季班)讲义】第08讲_平面直角坐标系的应用(学生版)A4
高斯初二数学八年级上册秋季班（学生版）最新讲义初二数学八年级上册秋季班辅导讲义学员姓名：刘小米年级：辅导科目：小学思维学科教师：五块石1 上课时间2020-06-25 14:00-16:00授课主题第02讲_平面直角坐标系的应用平面直角坐标系的应用一．坐标系内图形的变换图形的平移1．在平面直角坐标系中，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）一个正数a，则图形沿水平方向向右（或向左）平移a个单位长度，图形形状、大小不变．2．在平面直角坐标系中，图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）一个正数b，则图形向上（或向下）平移b个单位长度，图形形状、大小不变．二．计算坐标系内图形面积常用“割补法”．割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可．补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：用坐标表示地理位置，坐标系内图形的变换，计算坐标系内图形的面积，坐标找规律．二．重难点：坐标系内图形的变换，计算坐标系内图形的面积，坐标找规律．三．易错点：1．平行移动最关键的是掌握平移的方向与坐标变化之间的关系，可以用口诀形式表示： 横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减；2．求面积时，优先考虑补的方法，通常补成一个长方形或者梯形，之后再相减求解即可；3．计算坐标系内图形的面积时，平行或垂直于坐标轴直线上的两个点之间的距离，用横坐标之差的绝对值或者纵坐标之差的绝对值表示．题模一：用坐标表示地理位置例1.1.1如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（ ）A ．（2，1）B ．（0，1）C ．（-2，-1）D ．（-2，1）题模二：坐标系内图形的变换例1.2.1已知点P 1（a-1，4）和P 2（2，b ）关于x 轴对称，则（a+b ）2013的值为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．（-3）2013例1.2.2点A 在平面直角坐标系xOy 中的坐标为()2,5，将坐标系xOy 中的x 轴向上平移2个单位，y 轴向左平移3单位，得到平面直角坐标系xOy ，在新坐标系xOy 中，点A 的坐标为________例1.2.3已知A B C ∆'''是由ABC ∆经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空： a =_____，b =_____，c =_____；三点剖析题模精讲（2）在平面直角坐标系中画出ABC ∆及平移后的A B C ∆'''； （3）直接写出A B C ∆'''的面积是_____。
精品 2014年八年级数学上册暑期讲义+同步练习
整式的乘除与因式分解第一课 积的乘方 幂的乘方知识点：1.同底数幂的乘法： 公式：2.幂的乘方：公式：3.积的乘方：公式：同底数幂基础练习：(1)()())(222222222243=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ (2)35 ⨯45= )(5=(3)7)3(-⨯6)3(-= ())(3-= (4))(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1011011013(5)3a ⨯4a = =()a 幂的乘方基础练习：(1)23)2(= = =）（2; (2)54)(x = = =）（x;(3)3100)3(= = =）（3 ;(4)23])2[(-= = =）（)2(-=）（2;积的乘方基础练习：(1)3)2(x = = × = （2）4)3-(x = = × = （3）5)(ab = = × =例1.计算：(1)310⨯410= ;(2)53a a a ⋅⋅= ;(3);(4)x x x x ⋅+⋅22=(5)11010+⋅m n = ; (6);97)(m m m ⋅-⋅= ;(7)()3922-⨯= ; (8)y y y y ⋅-⋅⋅-425)(=(9)103=)(233⋅=)(533⋅=)(733⋅例2.把下列各式化成()ny x +或()ny x -的形式.(1) ()()43y x y x ++ = ; (2)()()()x y y x y x ---23= ;(3)()()12+++m my x y x = ; (4)342)()()(y x x y y x --- = ;(5)23)()(y x y x +-- = ;例3.计算:(1)32)2(= (2)34)3(= (3)65)(x = (4)3)(n x = (5)8x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅3 (6)12x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅7=)(3)(x例4.计算：(1)()332⨯； (2)()253⨯； (3)()22ab ; (4)()432a ;(5)10001001)21()2(-⨯- (6)()23351021104⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯ (7)20019911323235.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5.已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+。
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2014年秋季班数学八年级讲义（8）
掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（H.L.）
【基础知识】
1.判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等。
（2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等。
（3）一锐角与斜边对应相等。
（4）两直角边对应相等。
（5）两边对应相等。
（6）两锐角对应相等。
（7）一锐角和一边对应相等
2.下面说法不正确的是（）
A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全
B、有两边对应相等的两个直角三角形全等
C、有两角对应相等的两个直角三角形全等
D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
3.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是
__________cm
4.如图2，已知：AD是△ABC中BC边上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC
5.如图3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF。
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AB∥CD
6.如图4，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D。
求证：AE＝ED
【提高练习】
1.如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝____________
2.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，求证：CD⊥BE
3.已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC，求证：DG=EG。
4.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝
CD，试证明BD平分EF
5.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．
（1）求OA+OB的值；
（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA+OB的值．
6. 已知：如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AD 是∠BAC 的角平分线，求证：△ABC 是
等腰三角形
7. 已知：如图，在两个同心圆中，O 是圆心，直线l 与大圆相交于A 、B 两点，与小圆相交于C 、D 两点，求证：AC ＝BD
8. 已知：如图，AD ⊥CD ，CD ∥AB ，CD ＝CE ，又AE ⊥BC ，垂足为E ，求证：AB ＝BC
9. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°。
如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N 处，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，求这间房子的宽AB
10. CD 经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_________CF ；EF_________|BE ﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件____________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ，请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想．
【巩固练习】
1. 两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数
是（ ）个
①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等 ③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2. 在下列定理中假命题是（ ）
A ．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B ．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C ．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D ．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
3. 如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC 到D ，使CD=AC 则AC ：BD=（ ）
A ．1：1
B ．3：1
C ．4：1
D ．2：3
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠ACB
的平分线。
则∠1与∠2的关系是（ ）
A ．∠1<∠2
B ．∠1=∠2;
C ．∠1>∠2
D ．不能确定
5. 如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，且BE=CD ，则图中有_______对全等三
角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有_______对．
6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的
长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．
7. 已知：如图∠B=∠E=90°，AC=DF ，FB=EC ，求证：AB=DE.
8. 已知：如图AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC 求证：AD//BC.
【中考链接】
如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直于AB ，AC ，垂足为E ，F ．请你结合条件认真研究，然后写出三个正确的结论．
结论（1）：
结论（2）：
结论（3）：
A B
C E
D O。