初中数学几何直观培养
培养初中几何模型意识的策略——以瓜豆原理为例
教学视点•136【参考文献】[1]刘小翠.初三学生几何思维水平的调查研究[D].湖南师范大学,2015.[2]王晓红."几何概型"教学设计与反思[J].黑龙江教育(教育与教学),2021,(03):22-23.[3]陈霞.考题探究模型解读,深入赏析教学反思--以"一线三等角"模型为例[J].数学教学通讯，2021,(05):81-8[4]徐春凌.分析模型教学对于初中几何数学教学的意义[J].数理化解题研究,2021,(02):25-26.[5]毛小霞.培养模型意识,开拓数学思想--以一道中考几何压轴综合题的教学为例[J].数学大世界(中旬),2021,(01):88-89.[作者简介：罗长英，贵州省六盘水市第二十中学。
]文/罗长英培养初中几何模型意识的策略——以瓜豆原理为例摘要 在初中阶段几何是培养学生推理能力的良好素材，因此研究学生的几何推理能力具有一定的价值。
本文以瓜豆原理为例，谈谈如何培养初中几何模型意识。
关键词 初中;几何模型意识;瓜豆原理通过分析初中北师大版的数学教材可以发现，七年级学习一些简单的几何概念及图形操作与计算；八年级开始学习图形的性质、定理及其运用，开始步入更难内容的几何学习；九年级内容的综合性更强、几何推理难度更大。
教师在教学中要教会学生能从一些复杂的几何图形中抽象出简单的几何图形，培养学生的几何直观能力。
本文以瓜豆原理为例分享如何培养学生的几何意识。
1 案例分享——瓜豆原理之直线型（第一课时）教学目标：(a).从图形变换角度观察，理解定点、主动点和从动点三者之间的变换关系，感受动点变换规律与路径之间的联系。
(b)运用瓜豆原理解决运动问题中一类与运动路径有关的问题。
(c).体会化归、数形结合、图形的变换等数学思想。
教学重点：运用瓜豆原理解决运动问题中一类与运动路径有关的问题；理解定点主动点和从动点三者之间的变换关系，感受动点变换规律与路径之间的联系。
谈初中数学几何思维的培养和解题方法
谈初中数学几何思维的培养和解题方法初中数学几何是中学数学的重要组成部分，它不仅是数学知识体系的重要组成部分，更是培养学生数学思维和逻辑思维能力的重要途径。
而数学几何思维的培养和解题方法，直接关系到学生对数学的兴趣和学习成绩。
我们应该认真对待初中数学几何的教学，注重培养学生的数学几何思维，采取有效的解题方法，使学生能够在学习中掌握数学几何知识，提高数学几何解题能力。
一、初中数学几何思维的培养1. 培养几何直观思维能力初中数学几何是以几何图形为主要研究对象的学科，因此培养学生的几何直观思维能力是十分重要的。
在教学中，老师可以利用丰富的几何图形，进行直观化的几何教学，让学生通过观察和分析图形，培养他们对几何图形的直观认识和抽象思维能力。
2. 培养逻辑推理能力数学几何是具有严密逻辑性的学科，培养学生的逻辑推理能力是十分重要的。
在教学中，老师可以通过解题讲解和引导学生进行逻辑推理的训练，帮助学生理清思路，形成严密的逻辑推理能力。
3. 培养空间想象能力数学几何涉及到空间的概念和运用，因此培养学生的空间想象能力也是十分重要的。
在教学中，老师可以利用具体的实物和模型，进行空间的展示和操作，帮助学生形成对空间的直观理解和操作能力。
二、初中数学几何解题方法1. 勤于观察数学几何解题需要学生具有细致的观察能力，能够发现问题中的规律和特点。
学生在解题时要勤于观察，注意题目中的条件和要求，从中找到解题的突破口。
2. 灵活运用几何知识数学几何解题需要学生对几何知识有一定的掌握和运用能力。
学生在解题时要灵活运用几何知识，把握几何图形的特点，灵活运用定理和公式，找到解题的方法。
3. 思路清晰数学几何解题需要学生的思路清晰，逻辑严密。
在解题时，学生要先理清题目的要求，然后按照逻辑推理的思路，一步步地进行推导和计算，找到解题的方法和答案。
4. 多做练习数学几何解题需要学生具有一定的实际操作能力，学生在学习中要多做练习，加强对数学几何的理解和掌握，提高解题的能力。
落实课堂核心素养，培养学生几何直观性
落实课堂核心素养，培养学生几何直观性摘要:《义务教育数学课程标准（2011版）》实施以来，如何在课堂教学中培养学生的核心素养成为初中数学教师重点关注的问题之一。
几何直观是《课程标准》新提出的核心素养，主要是指“利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
”本文结合教学实践从四个方面阐述了如何在课堂上培养学生的几何直观性。
关键词：核心素养、几何直观、图形化、数形结合正文:数学是一门比较抽象的学科，数学符号、公式、定理等数学内容以及数学研究的问题都具有很强的抽象性，借助几何直观可以将抽象的问题变得具体，复杂的问题变得简单。
基于数学素养为发展导向的课堂教学，应引导学生充分运用几何直观性去理解问题、分析问题。
几何直观不局限于“图形与几何”，在“数与代数”、“方程与代数”、“函数与分析”、“数据整理与概率统计中”均发挥着重要的作用。
教师若能把几何直观运用的越充分，学生的直观表达就越清晰，领悟能力就越强，分析问题和解决问题能力也越强。
在教学中，可以引导学生养成画图的好习惯；鼓励学生积极参与动手“做数学”；用数形结合的方法研究数学；借助基本图形、信息技术等方法培养学生的几何直观性。
1.动笔画一画，数量关系“图形化”对于初中学生来说，由于他们的年龄特点和认知规律，对抽象的数量关系理解起来有一定困难，因此教学时可以引导学生能画图时尽量画，鼓励学生用图形表达问题，养成画图的习惯。
例如我们在学习分数的应用时，就可以运画线段图或表格来梳理等量关系。
例：暑假期间，小杰帮助妈妈做家务得到了一笔零用钱。
开学时，他买学习用品花了总零用钱的，买课外读物花了剩余零用钱的，剩下的零用钱全部捐给灾区的小朋友，如果小杰向灾区捐了90元，那么他的零用钱一共多少元？分析题意我们画出如下线段图，线段AB表示全部零用钱，AC表示购买学习用品的部分，CD是购买课外读物部分，线段BD是整体的，就是最后剩下的零用钱90元。
初中数学教学中几何直观能力的培养
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３５初中数学教学中几何直观能力的培养初中数学教学中几何直观能力的培养Һ蔡延生㊀（甘肃省武威市凉州区第十六中学，甘肃㊀武威㊀７３３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着教育体制改革的推进，各个学校越来越重视对学生的综合能力的培养．在中学数学教学中，直观的几何能力是学生长期发展的关键，可以为以后的数学学习奠定坚实的基础，也是提高学生数学能力的有效途径，能够帮助学生养成良好的空间想象力，更好地解决几何类题目．本文从几何直观能力的概念入手，分析了初中数学教学中几何直观能力培养的重要性，提出了此项能力培养应该遵循的原则和具体的培养措施，希望能够为学生综合素质的提高助力．ʌ关键词ɔ初中数学；数学教学；几何直观能力；能力培养一㊁引㊀言增强几何直观能力，可以简化一些复杂的数学问题，帮助学生更好地理解题目的内涵，不被干扰条件所影响，从而有效地提高学习效率，提升学生的创新意识．学生在解题的过程中学会将抽象的图形具体化，能够缩短和抽象的数学知识之间的距离．因此，初中数学教学中对几何直观能力的培养是非常重要的．但是，现阶段在能力培养方面仍然存在一些误区，初中数学教师应该在教学的过程中重视对此项能力的培养，全面提升学生的核心素养和综合能力．二㊁几何直观能力概述几何直观能力主要包括空间想象力㊁直观洞察力㊁借助图形语言来思考问题的能力，其能够帮助学生通过几何图形直观地将难以理解的数学知识简单化，从而得到相应的解决对策．在初中阶段，学生需要学习有关直角坐标系㊁圆㊁基本函数等知识，这些知识都很考验学生的几何直观能力．学生需要先观察图形，判断图形关系㊁空间形式以及数量关系等，然后对问题进行整合，通过后续的分析解决问题．数学学科本身具有很强的逻辑性和抽象性，很多数学题目需要以几何图形为切入点，学生才能够进行下一步的分析，因此，加强学生的几何直观能力的培养，能够促进学生对数学知识的认识与理解，这对于学生的发展来说既是一种契机，也是一种很大的挑战．这种能力的培养可以有效地促进学生的数学思维的发展，学生通过自己的分析去解决问题，同时可以培养独立思考的能力，在数学应用方面有自己的独到之处，从而为日后的学习奠定良好的基础．三㊁初中数学教学中几何直观能力培养的重要性数学知识的学习是从简单到复杂㊁从浅显到深层次的过程，所以初中阶段的数学学习与小学阶段相比更具有难度，学生需要具备良好的综合素质．如果学生有较高的几何直观能力，就能够紧跟教师的教学节奏，对于新知识的接受能力也会显著提高，保证了学习的质量以及效率．而且，初中阶段几何直观能力的培养是数学素养的重要组成部分，无论是对试卷上题目的解答，还是对生活中的问题的处理，都起着重要的作用．同时，如果具备良好的几何直观能力，学生就能够举一反三，在解决问题的特定情境中综合运用多种方法．可以说，在初中阶段培养学生的几何直观能力非常重要，对于学生后续的学习和今后的工作都会起到积极的影响．四㊁初中数学教学中几何直观能力培养应该遵循的原则（一）创新性原则在初中数学教学中，如果想提高学生的几何直观能力，那么应该在教学的过程中遵循创新性原则．此项原则要求教师在对数学理论进行讲解时，不能采用单一的授课方式，因为单一的授课方式会导致整体教学水平不佳，使得学生的学习效率低下．所以，在实际的教学过程中，教师应该不断创新教学模式，开启多元化的教学方式，通过丰富教学内容，为学生打造轻松愉快的课堂氛围，这样才能够激发学生学习数学的兴趣，满足学生的好奇心，同时改善传统的教学观念，通过新型的教学模式引导学生掌握课程理论知识，从多个方面提高学生的能力，为学生的总体发展打下良好的基础．（二）引导性原则在新时代背景下，初中数学的教学过程应该遵循引导性原则，提高学生的几何直观能力，只有这样才能够对学生㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３５进行积极的引导，保证学生在课堂中的参与度．在这种环境下，学生能够保持思维的活跃性．但是值得注意的是，初中生大多处在青春期，会表现出自控能力较差㊁自律性不强的问题，因此，教师应该在教学过程中监督学生是否全身心地投入学习．如果发现学生热衷于课堂以外的问题而影响到学习，教师应该及时进行干预，以保证整体的学习效率．此外，几何直观能力的培养仅仅依靠教师的课堂讲解是不够的，教师应该根据教材上的相关内容设计对应的问题，并引导学生运用几何直观能力对问题进行分析，在潜移默化中有效地提升学生的综合素质．（三）拓展性原则为了有效提高学生的几何直观能力，初中数学教师应该在教学过程中对教学内容进行有针对性的拓展，保证学生在充分理解和掌握教材上的内容的基础上进行知识的拓展和延伸，充分发挥拓展性原则，提高教学的深度与广度，保证整体的教学层次．这样也有利于教师了解学生的发展特点，在具体的教学过程中实行因材施教，在充分尊重学生的前提下促进学生的多元化㊁个性化发展，同时提高学生的几何直观能力，使学生在今后的学习过程中充分发挥出此项能力的作用．五㊁初中数学教学中几何直观能力培养的误区目前，尽管许多初中数学教师把注意力集中在对学生的几何直觉能力的培养上，但在实际操作中还存在着一些误区．首先，在中学数学的教学中，大部分学生都是用几何图形来解决这些抽象的问题，这样的教学方式会限制学生的创造力和想象力的发挥．很多学生在实际解题过程中都是直接运用所学到的经验，并不去构建属于自己的几何直观能力系统．而且很多教师为了体现直观的重要性，在教学过程中会为了直观而直观，没有合理利用教学资源．这样学生在教师的带领下则会逐渐失去自我思考的能力，导致在后续的学习过程中缺乏自主性，很多时候都是被动学习，这严重制约了学生的发展．其次，每个学生的几何直观能力基础是不一样的，有的学生的作图能力和分析问题的能力较差，在日常的学习过程中会存在思考过于片面的情况，对很多事情只是看表面现象，并没有进行深入的解读，这会导致所得的条件严重影响到结果，对思考造成干扰．例如，在解决立体几何问题的过程中，很多学生的思维过于发散，严重降低了解题能力，同时其他误导条件也会对学生的思考造成不良的影响，导致学生虽然对误导条件心存疑惑，但是也会以模棱两可的态度去处理问题并下结论．长此以往，学生的思考能力会受到影响，对于立体几何的学习会失去信心，学习热情会受到打击．此时如果教师没有进行正确的干预，那么对于学生的不利影响是非常巨大的，不仅没有掌握此章节的知识内容，还会给以后的学习埋下隐患．久而久之，学生的成绩会下滑，甚至会影响到后续的升学．六㊁初中数学教学中几何直观能力培养的措施（一）丰富学生认知，拓展学生的空间想象力在传统的教学方式下，教师经常会用课本㊁黑板㊁粉笔等来进行教学，所使用的教学资源有限．在这样的情况下，学生会觉得枯燥无味，学习热情很难被激发，甚至他们会失去对数学的兴趣，对自己所学的东西产生反感．因此，教师应该积极利用教学资源，通过多种多样的教学方式为学生的能力培养提供支持，丰富学生的认知，提高学生的空间想象力．例如，在具体的教学过程中，教师应该鼓励学生自己动手进行操作，通过折一折等方式提高学生对三角形㊁正方形以及其他图形的直观感受力，这样做能够有效地拓展学生的空间想象力，进而进行下一步的学习．这种方式也能够促使学生对本节课的学习内容留下深刻的印象，充分发挥出教育教学的作用．学生也会在此过程中提高对学习的兴趣，从而提升几何直观能力，为后续的有关几何理论知识的学习打下良好的基础．（二）实践操作练习，提高学生的几何直观能力初中数学教师在带领学生简单地认知平面图形和立体图形之后，还要通过描述和分析图形的特征和性质，达到解决数学问题的目的．整体的教学过程教师应该以教学目标为导向，在教学的过程中也要注重实践体验感，潜移默化地帮助学生在学习的过程中提高几何直观能力．例如，在带领学生学习圆柱体的相关知识点时，教师不仅要求学生对相关概念和特点进行灵活掌握，还要带领学生推导有关圆柱的体积和表面积的公式，这样做能够将几何图形数字化．这种教学方法要比死记硬背数学公式的方法更加灵活和实用．此外，学生在推导公式的过程中也会有很强的参与感，通过对公式的推导提高其成就感．学生通过这种方式学习，会更加认真地进行思考和总结，学会将复杂的图形简单化，进一步提升综合素质，这对于后续学习相关的几何图形也是非常有利的．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３５（三）优化教学活动，拓展数学教学内容的深度教学活动的质量直接关系到教学的总体水平，教师应该遵循创新性原则，开展多种教学活动，深度拓展教学内容，这样才能够保证学生的全面发展．例如，教师可以根据学生的发展规律㊁性格等特点分成多个作业小组，根据每组的学习情况布置具有针对性的学习任务，这样不仅能够保证整体的教学进度，也能够带领学生巩固理论知识，提高学生的几何直观能力．同时，小组内部成员也能够不断地进行沟通和交流，这也为学生的发展提供了新的思路，形成了良好的自主学习㊁合作探索模式，从而在班级内部形成良好的学习氛围，这对于学生的发展能起到非常重要的促进作用．但是，教师应该定期对小组内部成员进行调整，在明确每一名学生的学习状况后，保证小组成员分配的科学性，这种情况下的作业布置也更加有针对性．此外，教师还可以为学生推荐与本节课有关的书籍，让学生在课下进行阅读，以利于拓展教学内容的广度，并且有效地让学生利用碎片化时间．在此过程中，教师应该注意总体的课业压力，不能给学生布置过多的作业，那样会让学生产生焦虑，久而久之会对本学科的学习产生抵触心理，出现相反的效果．（四）重视直观体验，提升学生的观察能力在培养学生的几何直观能力的过程中，教师应该重视直观体验，在教学中强化对学生的观察能力的要求，这样学生对于具体的事物才会有深切的感受和体会，同时能够有效地积累感官经验，运用到后续的学习中，保证初中数学几何相关理论知识的学习质量．在日常的教学工作中，教师应该合理安排实践性的活动．初中阶段的学生对于实践类活动会有较高的兴趣，但是传统的教学模式更加注重课内教学，因此教师要对这种模式进行改善，对学生进行科学的引导，保证学生参加实践活动的质量．在实践活动中，教师要为学生提供动手操作的机会．可以引导学生进行拼图㊁剪纸等活动，这些活动具有轻松愉快的氛围，同时能积累感官经验，不仅有利于提升学生的几何直观能力水平，还能够激发学生的兴趣．学生对数学学习产生了浓厚的兴趣，就能发挥出自身的潜力，积极配合教师开展教学工作．（五）注重数形结合，提高学生的图形语言运用能力在解答几何问题时，图形语言能力是非常有效的解决手段．提升学生的图形语言能力可以从以下两个方面入手：第一，教师在教学的过程中应该注重培养学生的图感能力．图感能力包括读图的能力和绘图的能力，这两项能力的培养能够有效地帮助学生建立数学知识和图形之间的关系，同时能够提升学生对于图形的明确程度．第二，学生在对使用的图形进行表达时，应该做好图形语言的转换．图形语言包括图像㊁文字以及符号，从多个方面提升学生的图形语言能力对于后续的几何直观能力的培养是十分有利的，也能为数形结合思想的运用打下基础．（六）利用信息技术，采用信息化的教学手段随着现代化智能技术的发展，教育信息化的进程稳步推进，这为教师的教学工作提供了充分的教学资源，便于其将枯燥乏味的数学知识理论形象地展现在学生面前．在对初中生进行几何直观能力培养时，教师应该充分利用信息化教学手段，发挥出信息资源的价值，将抽象的图形和知识点以生动的形象展现给学生．例如，在 圆 的教学中，教师可以利用多媒体技术将两个半径不同的圆投射在教室内，通过圆的运动让学生明确外切㊁内切和内含等两圆的位置关系．这种演示形式更加直观㊁具体，能够帮助学生掌握知识点，其在后续的学习过程中也会充分利用相关知识，提高几何直观能力．此外，教师还可以利用网络学习平台对学生的学习情况进行监督，在平台内部开设讨论组，学生在良好的学习环境中会形成独特的几何直观知识体系架构，后续学习时能够灵活运用，提高综合素质．七㊁结㊀语综上所述，提高学生的几何直观能力最重要的是丰富学生的认知，从根本上提高学生的空间想象能力．教师在具体的教学活动中应该拓展教学内容的深度，鼓励学生运用图形语言，在具体的解题过程中培养学生的观察力，并且运用最新的信息技术手段㊁信息化的教学方法，让抽象的图形具象化，增强学生的接受能力，让他们体会到数学的魅力，激发他们的学习热情，提高其核心竞争力，帮助他们在竞争激烈的环境中脱颖而出．ʌ参考文献ɔ［１］马青山．小议初中数学几何教学中对学生空间思维能力的培养［Ｊ］．读写算，２０２１（０２）．［２］孙俊良．在初中数学教学中空间与几何语言表达能力的培养［Ｊ］．知识窗（教师版），２０２０（１０）．［３］傅文彬．初中数学教学中学生几何直观能力的培养探究［Ｊ］．读写算，２０２０（０１）．。
基于几何直观的初中数学教学实践研究——以全等三角形和相似三角形为例
教学实践新课程NEW CURRICULUM基于几何直观的初中数学教学实践研究———以全等三角形和相似三角形为例彭慧秀（广州市第一一四中学）新课程改革提出教学新理念，要求初中数学教师教学应以学生认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教教学方式的运用。
因此，在初中数学课程教学中，老师应注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力以及模型思想等诸多能力，以此提升数学教学效率。
一、几何直观的基本含义及利用价值所谓几何直观，指的是人脑对客观事物及其关系的一种直接识别或猜想的能力，其能够明确感受物质存在的位置关系，此时若加以正确描述，定能发现并领悟事物位置关系中的本质。
几何直观与初中数学教学联系紧密，它能够巧妙地将几何数量关系转化为直观的几何基本图形，对于研究数学几何问题大有裨益。
现阶段，不少初中生的学习基础过差，数学学习功底十分薄弱，面对几何数学题更显得束手无策，因此广大初中数学老师务必要提高自身教学水平，着手培养班级学生的几何直观能力，让学生由直观得出几何基本图形，然后研究每个几何的基本图形，再把从基本图形中得出的性质综合起来，从中再找出解决问题的方法。
关于几何直观用于初中生数学教学实践最大的利用价值，就是可以借助图形将抽象的概念、定理具体化、直观化，将未知转化为已知，对于学生学习能力、学习效率的提高有着重要的价值作用。
二、以全等三角形、相似三角形为例的初中数学几何直观教学实践研究本次教学实践以程序教学法为主，旨在通过精心设置知识项目序列和强化程序这一方式，取得可观成绩，具体教学实践内容如下：（一）以全等三角形为例的初中数学几何直观教学实践研究1.教学内容复习全等三角形相关内容，重点讲解全等三角形判定定理的具体应用2.教学目标帮助学生巩固和理解全等三角形的五种判定方法，能够熟练应用每条判断定理3.教学步骤（1）复习导入师：前面我们已经学习了全等三角形的具体判定定理，主要有几种？分别有什么？哪位同学知道。
教学中如何培养学生的空间观念和几何直观
发展学生的空间观念和几何直观方法是多种多样的，只要我们遵循学生的认知规律，了解学生的知识结构，依据学生的年龄特点，遵循知识的循序渐进,王老师的文章理论与实践相结合，植根于新课标，发自于内心深处对教育的理解，值得推荐学习！在空间与图形的教学中，抽象推理、逻辑演绎、严格证明的方式要不要？必要的时候也可以适当运用，但鉴于初中学生实际的思维水平及认知能力，动手操作、实践探索似乎更能适应学生“空间与图形”领域的学习。
正如课程标准所言，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。
我们的教学还要立足教材，领着学生从教材中走出来。
教材承载着提升学生空间观念的点滴作用，一点一滴虽然微小，但能小中见大、滴水穿石。
教材中蕴藏着丰富的培养学生空间观念的好时机，教师要有意识地深入理解教材的每个设计意图，并用好这些素材。
教师要努力去创造性地使用素材，为学生的空间观念乃至各方面数学能力的积累创造良好的条件，真正地使数学教学为学生数学素养的积累服务。
让学生在数学活动中拓展和运用新知，培养空间想象力几何知识的初步认识贯穿在整个初中数学教学中，是按由易到难的顺序呈现的。
平行四边形面积的计算是在学生已经掌握并能灵活运用长方形面积计算公式，理解平行四边形特征的基础上进行教学的。
这部分知识的学习运用会为学生学习后面的三角形，梯形等平面图形的面积奠定良好的基础。
因此这节课的内容在整个教材体系中起到承上启下的作用，是促进学生空间观念及几何直观的发展，渗透转化、等积变形等数学思想方法的重要环节。
教材提供了两种提示性的方法：一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积；一种是通过剪与拼的活动，将平行四边形转化为长方形，然后计算出面积。
最后，教材安排了观察平行四边形与长方形的关系，从中推导出计算平行四边形面积的公式。
本节课让学生简单记忆公式并不难，难的是让学生理解公式。
初中数学教学中如何提升学生的几何直观能力
几何直观能力 直观就是就是借助与经验、观察、测试或类比联想所产生
的对事物关系的感知和认识；而几何直观是借助于见到的或想 到的几何图形的形象关系产生对数量关系直接的感知。因此， 发展学生的空间观念，提升想象能力，培养化归思想，可以培养 学生的几何直观能力。
例 3（. 2019 年贵阳市中考题）如图（1），用等分圆的方法，在 半径为 OA 的圆中，画出如图所示的四叶草，若 OA=2，则四叶 草的周长是多少？
意，题目要求写出乘法公式，因此，乘法在等号左边，平方差在 等号右边。即：乘法公式为（a+b）（a-b）=a2-b2。
A
A
（2）由于有了第（1）题的基础，长方形面积已经知道，图②
中
S1
的面积直接
可以
看成
是长
方形面积的一半，即
S1=
1（a+b） 2
（a-b），将代数值代入求值即可。
O
O
二、动手实验，提升几何直观能力
教海探索
2
问题串在高中数学中的运用
■曹 彦
摘 要：数学是高中阶段教育中极为重要的一门课程，无 论从考核分值来看，还是对学生能力的培养效用来看，在教师 与学生心目中的重要性是不可替代的。所衍生出来的问题便 是师生该如何教好或是学好数学。大量的研究表明，问题串可 以将简单问题表述得更为详细深刻，将复杂问题层层剖析，化 繁为简，对高中阶段学生学习数学，提高数学能力均行之有效， 也因此成为目前众多教师所研究的一种教学方法。
例 2：（2019 年 秋 贵 阳 市 七 上
明的直接把握。”几何直观是学生解决复杂数学问题的一种方 期末数学试题）如图，小明想把一
x
法和手段，也是学生分析数学问题、解决数学问题应具备的能 长为 a，宽为 b 的长方形硬纸片做 b
浅析几何直观在初中数学中的应用
2014年第20期150青年时代 YOUTH TIMES . 基础教育 .几何直观，简单的说，就是借助实际中图形关系感知书数学教学过程中的数量关系，根据图形的描述去分析和描述问题，这里的图形主要指能够有效帮助学生解决问题的图形。
一、几何直观的表现形式在实际的教学过程中，教师借助几何直观，可以有效的把复杂的数学问题变得简单明了，实现看图说理和教学。
在初中教学过程中，整式加减乘除、一元二次方程、函数的概念以及三角函数等内容，都与几何直观离不开几何直观。
几何直观是建立在直观感知和感性基础上进行理性思考，这是对数学几何属的直接判断和把握，具体表现在实物、符号、图形以及替代物等直观形式。
二、培养初中学生几何直观能力的方法在初中数学教学中提高学生几何直观能力，可以发现数学的本质。
因此，教师要根据实际的教学内容，把几何直观运用到教学的细节中去。
1.培养学生的空间想象力在进行数学教学过程中，要充分发挥学生的想象力，帮助和引导学生对客观事物进行详细的观察和分析，培养学生的创造能力。
由于初中学生的身心特点，缺乏必要的社会经验和直接体验。
其中体验教学主要体现主题的心理结构，重视主体和客体的构建，主要通过学生的实践认识，提高初中学生的想象力。
在教学过程中，学生通过具体的体验过程中，发挥空间的想象力。
教师通过途径体验建立实物观察和操作活动等。
（1）要进行表象积累。
数学学习需要积累大量的素材，对提升学生几何直观具有十分重要的作用。
比如在进行进行投影教学过程中，教师把平行投影理论与学生的生活实际联系起来，在课堂教学过程中，可以让学生充观察和感受阳光下和灯光下的影子，引导学生处理好物体与投影之间的关系，比如阳光投影属于平行投影，而灯光投影属于中心投影。
这样通过让学生通过实际生活经验和表象的积累，增强初中学生对各种投影的积累，经过生活中的例子，数学教学内容就很好理解了。
（2）进行实际的操作实验。
在培养初中学生想象力和几何直观能力过程中，不仅要靠实际观察，还要培养个体的感觉判断能力，这就需要学生实际动手实践的体会的。
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序
正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说：“几何直观
能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可
接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠
之中免于陷入歧途之苦．”
序
在初中数学课堂教学中，充分利用几何直观来 揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何 直观在数学学习中的意义和作用，创造出属于 自己的学习方式，这是初中数学几何直观教学 的核心所在．那么，如何理解几何直观？特别 是在初中数学教学中，如何渗透几何直观的意 识和能力呢？
培养和发展学生几何直观能力的实践
打扎实学生的知识基础尤其是图形知识这一块。 扎实的基础是产生直觉的源泉，若没有深 厚的功底，是不会迸发出直觉思维的火花，也 就提高不了学生的直观洞察能力。
培养和发展学生几何直观能力的实践
重视直观图形与数学符号的合情转换。如在学 生学习正比例函数图像时，先引导学生用“描 点法”画出一幅表示正比例函数的图像，
培养和发展学生几何直观能力的实践
培养和发展学生几何直观能力的误区 为了直观而直观 要注意误差的干扰 要注意直观背后的的数学理性
培养和发展学生几何直观能力的实践
美国魔术师保罗· 卡瑞曾经提出这样的一个问 题：如图 5是正文形可以按图中标出名字的数 据分割成五块几何图形，剪开后重新拼接成图 6，奇怪，怎么又多出了一个洞！这次斜线处 并无重合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？
利用图形来记忆基础知识 几何的很多定理、公理、定义等学生很难记 清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容 易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。 函数中的性质对于学生来说，也相当难以记 住，而且也相当容易混淆它们之间的关系。利 用指数函数与对数函数的图象比较形象直观理 解与记忆了它们的性质。
培养和发展学生几何直观能力的实践
适当运用多媒体演示，拓展空间想象能力 多媒体演示形象具体，声色兼备，动静结合， 恰当地运用，可能变抽象为具体，调动学生 各种感官协同作用，拓展学生的空间想象能 力．
培养和发展学生几何直观能力的实践
观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力 几何学习中，学生的直观洞察能力非常重要， 这种能力实质上是对几何图形及其结构、关 系的想象和判断．类似于猜想，主要表现为 灵感和顿悟．
初中数学教学中几何直观能力的培养
初中部 刘彩艳 2014年8月28日
序
《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出：
“在数学课程中,应当注重发展学生的数感、 符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观 念、运算能力、推理能力和模型思想．”
序
几何直观正成为数学教学研究中生动的、不断
增长的而且迷人的课题.
培养和发展学生几何直观能力的实践
重视图景体验，培养学生的空间想象能力 观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力 用“图”说话，培养学生用“图形语言”来 思考问题的能力
培养和发展学生几何直观能力的实践
重视图景体验，培养学生的空间想象能力 中学数学中的空间想象能力主要是指：学生对 客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思 考和创新的能力．初中学生往往缺乏生活经验， 因而对几何图形缺少直观，缺少体验．
培养和发展学生几何直观能力的实践
要注意观察与思考并重 直观洞察力的产生要依赖于对几何图形全面及 本质的把握．没有观察就没有发现，更不会有 创造．但观察必须与思考相结合，没有思考的 观察就不是真正意义的观察．
培养和发展学生几何直观能力的实践
用“图”说话，培养学生用“图形语言”来 思考问题的能力 希尔伯特在《直观几何》中曾谈到：“图形 可以帮助刻画和描述问题，一旦用图形把一 个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得 直观、简单．”用图形“说话”，用图形描 述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的 数学素质．
初中生几何直观能力培养的有效途径
提升教师意识，注入动力 例如：一位教师评讲北师大版七年级上册第一 章丰富的图形世界习题1.6中的一道题.问题是： 一个小正方体的六面分别标有字母A、B、C、 D、E、F.如图1是从不同方向看到的情形，你 能说出A、B、E对面分别是什么字母吗？你是 怎样判断的？ B C D
几何直观的含义及表现形式
整式的乘除 一元二次方程的基本概念 直角坐标系与点的位置 已知变量的值求函数值 基本函数的概念与性质 特殊三角函数 圆 点的坐标等等
几何直观的含义及表现形式
实物直观
符号直观
图形直观
和替代物直观
几何直观和其他概念的比较
几何直观与数形结合
几何直观与直观几何 几何直观与空间观念
培养和发展学生几何直观能力的实践
重视数与形的结合。比如不等式组的解法，借 助数轴可以很直观的得出结论。二次不等式问 题，没有坐标系也很难掌握其解法。在认真的 审题的基础上，通过出示直观图，巧妙借助几 何直观，
培养和发展学生几何直观能力的实践
重视解题教学。教学中选择适当的题目类型， 有利于培养、考察学生的直观洞察力。例如选 择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来， 省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直观 思维的发展，实施开放性问题教学，也是培养 直观洞察力的有效方法。
培养和发展学生几何直观能力的实践
例 4 [2012·十堰 ] 阅读材料：例：说明代数式 x2＋1 ＋
x－32＋4的几何意义，并求它的最小值． 解 ：
x2＋1 ＋
x－3 ＋4 ＝
2
x－0 ＋1 ＋
2
2
x－32＋22，如图 X9－4，建立平面直角坐标系，点 P(x,0) 是 x 轴上一点，则 x－02＋12可以看成点 P 与点 A(0,1)的距 离， x－3 ＋2 可以看成点 P 与点 B(3,2)的距离，所以原代 数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是 PA＋ PB 的最小值．
培养和发展Байду номын сангаас生几何直观能力的实践
重视图感训练，培养学生的读图、作图能力 几何直观在本质上是一种通过图形所展开想 象的能力，它与许多重要的数学内容紧密相 连．因此，我们在教学中应重视学生“图感” 的训练．在日常的教学中，要帮助学生从小 养成良好的画图习惯．如直线公理的理解， 探索平面内的n个点，可以画多少条线段，通 过点的位置不断变化，发现重要的结论：平 面内有n个点，可以画条线段，与点的位置无 关，只与点的数量有关。
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培养和发展学生几何直观能力的实践
培养和发展学生几何直观能力的实践
分析：这道题如果用代数方法解决相当思想困 难，但我们可以用几何的方法把这道题直观表 示出来． 点评：这样我们就将数学语言与直观的几何图 形结合了起来．在应用转化策略解决问题的同 时，巧妙借用几何直观，把复杂的问题转化成 简单的问题，可以培养学生初步的几何直观能 力．
A E E B A F 图1
初中生几何直观能力培养的有效途径
该教师是这样处理的，先找出与A相邻的四个 字母B、D、E、F，剩下的C就是与A相对的面 的字母，再找另外两个答案，结束后又让学生 练习了一道相关的习题.但是学生理解得不好， 原因是他们的空间想像能力还比较差，不易接 受.其实，教师可以随手把讲桌上的粉笔盒当 作正方体，让学生按照图中的标注在各个面上 写上相应的字母，问题便迎刃而解. 这充分说 明学情的了解对培养学生几何直观能力的重要 性.
几何直观与空间观念
空间观念是几何教学领域中的一个专用名词， 是几何教学的一个重要目标. 几何直观却并非是限于几何领域内的一个名词， 它尽管是借助了几何，但却跳出了几何，适用 到了更宽广的领域.
培养和发展学生几何直观能力的实践
我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入 微，数缺形时少直观” ．几何直观是揭示现 代数学本质的有力工具，要培养和发展学生的 几何直观，需要依托具体的数学课程教学内容， 需要具体落实在课程内容、课堂教学细节之 中．
几何直观和其他概念的比较
几何直观与数形结合
几何直观的内涵最重要之处是“直接感知” 数形结合是“以形助数”，
几何直观和其他概念的比较
几何直观与直观几何 直观几何是几何学的形态之一，也是一种几何 学习的方法 几何直观则是一种解决数学问题的思维方式， 是一种能力.
几何直观和其他概念的比较
初中生几何直观能力培养的有效途径
在教学活动中，一些教师懒得画图、不想演示、 不愿操作等等，教师认识不到该能力培养的重 要性，缺乏运用几何直观分析问题的意识，便 捕捉不到教学中培养学生几何直观能力的机会， 更谈不上对学生几何直观能力的培养.因此， 提升教师这些方面的意识是培养初中生几何直 观能力最有效的途径.
培养和发展学生几何直观能力的实践
要重视学生基础知识的训练 扎实的基础知识是产生直觉的源泉，没有深 厚的功底，是不会迸发出直觉的思维，也就 无法提高学生的直观洞察力．
培养和发展学生几何直观能力的实践
要注重事实引导学生进行合理猜想 真正的科学探究应是建立在思维的逻辑性和科 学基础上的有效探究．而有效探究的实施前提 是必须建立在提出符合逻辑性和科学性的合理 猜想的基础之上．
培养和发展学生几何直观能力的实践
图5中的斜线并不是严格在交叉点上，在分隔 点上依次是2、12/7、10/7、8/7、6/7、4/7、 2/7 所以图6的正方形的长度应该是2+(66/7)=2+36/7=7+1/7，而不是7 所以图6的面积就是7×(7+1/7)=50，多出来的 面积就是这样出来的。
a
b
图5
几何直观的含义及表现形式