高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体几何类问题)

高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体几何类问题)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算 1、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++,,a b c 称为基向量。

2、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。

则a xi y j zk =++（x,y,z ）称为空间直角坐标。

注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。

3、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ⋅=++12121200a b a bx x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔=== 21a a a x =⋅=+a b ⋅=a cos ,b a b 〈〉．cos ,a b a b a b⋅〈〉=21cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+(2)设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=--- (3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。

应用1：证明空间位置关系（1）线线平行：证明//AB CD ，即证明//AB CD （2）线线垂直：证明AB CD ⊥，即证明0AB CD ⋅=（3）线面平行：证明//AB α（平面）（或在面内），即证明AB 垂直于平面的法向量或证明AB 与平面内的基底共面；（4）线面垂直：证明AB α⊥，即证明AB 平行于平面的法向量或证明AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）面面平行：证明两平面//αβ（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）面面垂直：证明两平面αβ⊥，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。

应用2：利用空间向量求线线角、线面角、二面角（1）异面直线的夹角：0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。

设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则cos cos ,AB CD θ=，即12,l l 所成的角为arccosAB CD AB CD••（2）直线与平面的夹角：0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

设AB 是平面α的斜线，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则sin cos ,AB n θ=，即AB 与平面α所成的角为arccos2AB n AB n AB nAB nπ••-••，或者arcsin（3）二面角：[]0,θπ∈设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则121212,cos n n n n arc n n •<>=•就是二面角的平面角或补角的大小。

需具体分析是哪一个。

当法向量12n n 与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n 与的夹角的大小。

当法向量12n n 与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n 与的夹角的补角12,n n π-<>。

应用三：求距离（1）两点间距离：()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =（2）点到直线距离：在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=（3）点P 到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．（4）两异面直线距离：设直线21,l l 是两条异面直线，n 是21,l l 公垂线AB 的方向向量，又C 、D 分别是21,l l 上的任意两点，则1l 与2l 之间距离..→→→--→-==nnCD AB d（5）直线AC 平面α （//AC α）的距离：转化为点A 到平面α的距离（6）平面α与平面β（//αβ）的距离（n 为平面的法向量）：转化为平面α内的点到平面β的距离。

应用四：解决探究问题对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。

这是一种最常用也是最基本的方法.立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.方法：点F 是线PC 上的点，一般可设PC PF λ=，求出λ值，P 点是已知的，即可求出F 点 点F 在平面PAD 上一般可设DP t DA t DF 21+=⋅、计算出21,t t 后，D 点是已知的，即可求出F 点。

【经典例题】一、平行垂直的证明（包含存在性问题）例1、如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，2EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ；例2、 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PD ⊥平面ABCD ，AD =1，AB=3，BC =4。

（I ）求证：BD ⊥PC ；（2）设点E 在棱PC 上，PE PC λ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．【变式1-1】在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC证明你的结论．【变式1-2】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC上的点，且PE PFPB PCλ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD 若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【变式1-3】在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90，得到梯形ABC D''（如图）． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '；（Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '；【变式1-4】在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB 上，且PN =（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；PDABCFEACD BND 'C '（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ;【变式1-5】如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值.【变式1-6】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长；【变式1-7】如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．EC 1B 1A 1CBAOFEDCBA（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；【变式1-8】在四棱锥E ABCD 中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点F ABCD EC ,面⊥为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ⊥； （Ⅲ）若2,AB CE 在线段EO 上是否存在点G ，使BDE CG 面⊥若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．二、利用空间向量求二面角，线面角，线线角例1、在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点，（1）求直线'ACDE 与所成角； （2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角， （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角例2、如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.【变式2-1】在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，FPABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒， 112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC ,的中点． （1）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长； （2）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．【变式2-2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º，AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D -AP -C的余弦值为3PF 的长度． PFEDCAB【变式2-3】如图，四边形ABCD 为正方形，ABCD BE 平面⊥，EB ∥FA ，EB AB FA 21==． （I ）证明：平面B AF AFD 平面⊥； （II ）求异面直线ED 与CF 所成角的余弦值; （III ）求直线EC 与平面BCF 所成角的正弦值．【变式2-4】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ABCD ⊥底面，其中226BC AB PA ===，M N ,为侧棱PC（Ⅰ）求证：//AN MBD 平面；（Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值.B三、求距离例、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，1为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥．（1）求证: AM ⊥平面1A BC ； （2）求二面角B －AM －C 的大小；（3）求点C 到平面ABM 的距离．【变式3-1】如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A BA BCABCM图1 图2A 1B CDE【强化训练】&【课后作业】（注：本专题根据学生的程度及上课接受情况适当选择部分进行上课练习，部分做为课后作业。