高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练习
高三数学数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题附解析
高三数学数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题附解析一、数列多选题1．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-，()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
高三数学数学数列多选题专项训练的专项培优易错试卷练习题含答案
一、数列多选题1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=答案：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.2．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．4答案：BD 【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本解析：BD 【分析】 利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案：AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 6．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 7．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项答案：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 8．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅答案：ABC 【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项． 【详解】 由题知，只需， ，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，所以，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 9．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列答案：AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由解析：AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 10．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值答案：AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。
2023届高考复习数学易错题专题(数列)汇编(附答案)
2023届高考复习数学易错题专题（数列）汇编1．已知数列{a n }是等比数列，a 5＝4，a 9＝16，则a 7＝( )A ．8B ．±8C ．－8D ．12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（ ）A. 22S =B. 24144S =C. 31243S =D. 60660S =3．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或124. 设数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=，求{}n na 的前n 项和（ ） A. ()121n n -- B. ()121n n -+ C. ()1121n n ++- D. ()1121n n +++ 5. 1232482n n n S =++++= （ ） A. 22n n n - B. 1222n n n +-- C. 1212n n n +-+ D. 1222n n n +-+ 6. 已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈L ，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（ ） A. 202120212⋅ B. 202220212⋅ C. 202120222⋅ D. 202220222⋅7．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 2ꞏa 6ꞏa 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 2＋b 101－a 3ꞏa 9的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－ 38．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米9. 已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：1*112233(1)22()n n n a b a b a b a b n n N ++++⋯+=-⋅+∈，若{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，11()3n n c -=-，则数列n n a c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是（ ）A. 1(41)(3)16nn -+- B. 13(41)16n n ++ C. 1(32)(3)16n n -+- D. 13(32)16n n ++ 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋tn (n ≤2 020)，若数列{a n }为递减数列，则t 的取值范围是________．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－16n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 11|＝________.12．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 17＝______. 13．数列{a n }满足1a n ＋2＝2a n ＋1－1a n ，a 1＝1，a 5＝19，b n ＝2na n ，则数列{b n }的前n 项和为S n ＝________. 14. 已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n n ++=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若192n S =-，则n =__________.15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝4n －3，则数列{a n }的通项公式为________． 16. 若数列{}n a 的前n 项和1n n S n-=，则其通项公式为_______． 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，求这个数列的通项公式.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，15n n a S +=+，则5S =______． 19. 已知等比数列{}n a 中，12a =，36S =，求3a 和q ．20. 数列{}n a 是首项14a =的等比数列，且324,,S S S 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式. 21. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()lg 1n S n -=（n ∈N ，1n ≥），求{}n a 的通项公式．22. 已知数列{}n a 中，满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．。
高三数学下学期数列多选题单元 易错题难题提优专项训练试题
高三数学下学期数列多选题单元 易错题难题提优专项训练试题一、数列多选题1．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b bc+++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当==2n n b c 时等号成立） 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误.故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.2．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+【答案】CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
高三数学培优补差辅导专题讲座数列单元易错题分析与练习
高三数学培优补差辅导专题讲座数列单元易错题分析与练习1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差〔等比〕数列计算问题通常的方法有哪两种？① 基本量方法：抓住及方程思想；)(,1q d a②利用等差〔等比〕数列性质〕.[问题]：在等差数列中，，其前，的最小值；{}n a 369181716-==++a a a a n S n 项的和为()求1n S ()n n a a a T +++= 212求3、解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗？n 1=q 1≠q4、在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗？〔时，应有〕5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？〔①猜证法；②转化为等差〔比〕数列问题〕[问题]：已知: .,32,111n n n n a a a a 求+==-6、你知道存在的条件吗？〔,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?〔倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法〕*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：〔1〕验证命题对于第一个自然数n ＝n0 〔k ≥n0〕时成立；〔2〕假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，〔3〕得出结论.2、.〔1〕、〔2〕两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可.第二步证明时要一凑假设，二凑结论.例题选讲1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：例1、已知数列{an}的前n 项和Sn ，求通项公式an ：〔1〕Sn ＝5n2＋3n ；〔2〕Sn ＝－2；【错解】由公式an=sn －sn －1得：〔1〕an=10n －2; 〔2〕【分析】应该先求出a1，再利用公式an=sn －sn －1求解.()2n ≥【正解】〔1〕an=10n －2; 〔2〕2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：例2、求和：〔a －1〕＋〔a2－2〕＋〔a3－3〕＋…＋〔an －n 〕 .【错解】S=〔a ＋〔a2＋a3＋…＋an 〕 －〔1＋2＋3＋…＋n 〕=.【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.【正解】S=〔a ＋〔a2＋a3＋…＋an 〕 －〔1＋2＋3＋…＋n 〕 当a=1时，S =；当时，S=22n n -1a ≠(1)(1)12n a a n n a -+-- 3、 忽视公比的符号例3、已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．{}n a 116 【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得或，故原数列的公比为或33,,,,a a aq aq qq4116a a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1q =1q =23q =+23q =-【分析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件.【正解】设四个数分别为则，23,,,,a aq aqaq 462116a q aq aq ⎧=⎪⎨⎪+=⎩()42164q q ∴+=由时，可得0q>2610,3q q q -+=∴=±当时，可得0q <21010,5q q q ++=∴=--变式、等比数列中，若，，则的值〔A 〕是3或－3 〔B 〕 是3 〔C 〕 是－3 〔D 〕不存在【错解】 是等比数列， ，，成等比，＝9， }{n a ∴3a 5a 7a )1)(9(25--=a 35±=∴a选A【分析】，，是中的奇数项，这三项要同号.错解中忽视这一点.【正解】C4、 〔见手写P13－25 13〕5、 〔见手写P14－25 14〕6、缺乏整体求解的意识例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求7a【错解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为n a 1a n d则依题意有 ，三个方程，四个未知数，觉得无法求解.【分析】在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想.错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将作为一个整体，不能解决问题.事实上，本题求，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，，求出即可.知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解.【正解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为则依题意有n a 1a n d，可得 ，代入〔3〕有 ，从而有， 又所求项恰为该数列的中间项，a a 11336+=a 7∴=+==a a a 7113236218例7 〔1〕设等比数列的全项和为.若，求数列的公比. 错误解法 ，,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131 .012(363）＝整理得--q q q. 错误分析 在错解中，由，q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 时，应有.在等比数列中，是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形.正确解法 若，则有但，1=q .9,6,3191613a S a S a S ===01≠a 即得与题设矛盾，故.,2963S S S ≠+1≠q又依题意 963S 2S S =+⇒q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ,即因为，所以所以解得⇒01q q 2(q 363）＝--,0)1)(12(33=-+q q 1≠q ,013≠-q .0123=+q .243-=q说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第〔21〕题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分.例题7 已知等比数列{an}的前n 项和为Sn.〔Ⅰ〕若Sm ，Sm ＋2，Sm ＋1成等差数列，证明am ，am ＋2，am ＋1成等差数列；〔Ⅱ〕写出〔Ⅰ〕的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证 〔Ⅰ〕 ∵Sm ＋1＝Sm ＋am ＋1，Sm ＋2＝Sm ＋am ＋1＋am ＋2．由已知2Sm ＋2＝Sm ＋Sm ＋1，∴ 2〔Sm ＋am ＋1＋am ＋2〕＝Sm ＋〔Sm ＋am ＋1〕，∴am ＋2＝－am ＋1，即数列{an}的公比q ＝－.∴am ＋1＝－am ，am ＋2＝am ，∴2am ＋2＝am ＋am ＋1，∴am ，am ＋2，am ＋1成等差数列.〔Ⅱ〕 〔Ⅰ〕的逆命题是：若am ，am ＋2，am ＋1成等差数列，则Sm ，Sm ＋2，Sm ＋1成等差数列. 设数列{an}的公比为q ，∵am ＋1＝amq ，am ＋2＝amq2．由题设，2am ＋2＝am ＋am ＋1，即2amq2＝am ＋amq ，即2q2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－.当q ＝1时，A≠0，∴Sm ， Sm ＋2， Sm ＋1不成等差数列.逆命题为假.例题8 已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，62212-=+-++n a a a n n n〔Ⅰ〕设的通项公式；〔Ⅱ〕求n 为何值时，最小〔不需要求的最小值〕解：〔I 〕 87)()1(6)1()1(6)]1(...21[2162,....,6)2(2,6)1(2212112211--=-+---=∴---+++=---=---=---=-∴---n n a a n n n b n n b b n b b n b b n b b n n n n n n 个等式相加，得将这 即数列{bn}的通项公式为872--=n n b n〔Ⅱ〕若an 最小，则⎪⎩⎪⎨⎧≤----≥--∴08)1(7)1(08722n n n n 注意n 是正整数，解得8≤n ≤9 ∴当n=8或n=9时，an 的值相等并最小例题9 已知函数f 〔x 〕=x3+ax2+bx+c 关于点〔1,1〕成中心对称，且f '〔1〕=0．〔Ⅰ〕求函数f 〔x 〕的表达式；〔Ⅱ〕设数列{an}满足条件：a1∈〔1,2〕，an+1=f 〔an 〕求证：〔a1－ a2〕·〔a3－1〕+〔a2－ a3〕·〔a4－1〕+…+〔an － an+1〕·〔an+2－1〕＜1解：〔Ⅰ〕由f 〔x 〕=x3+ax2+bx+c 关于点〔1,1〕成中心对称，所以x3+ax2+bx+c+〔2－x 〕3+a 〔2－x 〕2+b 〔2－x 〕+c=2对一切实数x 恒成立．得：a=－3，b+c=3，对由f '〔1〕=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f 〔x 〕= x3－3x2+3x ．〔Ⅱ〕 an+1=f 〔an 〕= an 3－3 an 2+3 an 〔1〕令bn=an －1，0<bn<1，由代入〔1〕得：bn+1=，bn=，∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0〔a1－a2〕·〔a3－1〕+〔a2－a3〕·〔a4－1〕+…+〔an －an+1〕·〔an+2－1〕=＜=b1-bn+1＜b1＜1.例题10、平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．(,)n n A n a (,)n n B n b *(1,0)()n C n n -∈N 1n n A A +n n B C *(,)()n n B n b n ∈N 〔1〕试用与n 来表示；〔2〕设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．解：〔1〕点都在斜率为6的同一条直线上， ∴16(1)n n b b n n +-=+-，即，16n n b b +-=于是数列是等差数列，故．{}n b 16(1)n b b n =+-，，又与共线， 11(1,)n n n n A A a a ++=-(1,)n n n B C b =--1n n A A +n n B C111()(1)()0,.n n n n n n b a a a a b ++∴⨯----=-=即∴1213212()()()n n n n a a a a a a a a -=+-+-++-当≥时， 11231n a b b b b -=+++++． 11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--当n ＝1时，上式也成立．所以an ． 11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--〔2〕把代入上式，得n a =(1)3(1)(2)a a n n n --+--23(9)62.n a n a =-+++ 12＜a≤15，，79<426a +∴≤当n=4时，取最小值， 最小值为a4=18－2a ． n a ∴基础练习题1、已知a1 = 1，an = an －1 + 2n －1〔n ≥2〕，则an = ________.2n －1〔认清项数〕2、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，则 b2 〔a2－a1〕 = A 〔符号〕〔A 〕 －8 〔B 〕 8〔C 〕 － 〔D 〕3、已知 {an} 是等比数列，Sn 是其前n 项和，判断Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 成等比数列吗？当q = －1，k 为偶数时，Sk = 0，则Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 不成等比数列；当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 成等比数列.〔忽视公比q = －1〕4、已知等差数列{an}的首项a1=120，d=－4，记Sn= a1＋a2＋…＋an ，若Sn ≤an 〔n ＞1〕，则n 最小值为……………………………………………………………〔 B 〕〔A 〕60 〔B 〕62 〔C 〕63 〔D 〕705、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于〔C 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕6、若数列中，，且对任意的正整数、都有，则{}n a 311=a p q q p q p a a a =+=n a 〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 〔 C 〕7、已知数列的前项和为非零常数〕，则数列为〔 〕〔A 〕等差数列 〔B 〕等比数列〔C 〕既不是等差数列，又不是等比数列 〔D 〕既是等差数列又是等比数列8、设数列{an}是等比数列，，则a4与a10的等比中项为 〔 〕A ．B ．C ．D ．418141±81± 9、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.〔答：〕.10、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.〔答：〕.11、等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当〔〕时，有〔填“>”、“<”、“=”〕．12、设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S12＞0，S13＜0，则 ，，…， 中最大的是 B〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕13、已知数列为等差数列，则“”是“”的〔A 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件易错原因：不注意为常数列特殊情况.{}n a14、“”是实数成等比数列的 〔D 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件易错原因：对等比数列的概念理解不全面.15、等差数列中，若，则的值为 〔B 〕A. B. C. D.14151617易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误.16、等差数列中，为其前项的和，则 〔B 〕A.都小于，都大于1210,,,S S S ⋅⋅⋅01112,,S S ⋅⋅⋅0 B.都小于，都大于1210,,,S S S ⋅⋅⋅02021,,S S ⋅⋅⋅0C. 都小于，都大于125,,,S S S ⋅⋅⋅067,,S S ⋅⋅⋅0 D. 都小于，都小于1220,,,S S S ⋅⋅⋅02122,,S S ⋅⋅⋅0易错原因：已知条件不会灵活运用.1110||a a > 17、在等差数列中，若，则的值是 〔C 〕A. B. C. D.不能确定 11-0易错原因：找不到与的关系.3915170a a a a +++=11a18、若为等比数列，，若公比为整数，则〔C 〕 A. B. C. D. 256256-512512-易错原因：①未考虑为整数；②运算发生错误.q19、数列中，，则为 〔C 〕A. B. C. D. 21n +21n -121n -+121n --易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难.20、数列满足，且，{}nx31212313521nnx xx xx x x x n===⋅⋅⋅=++++-128nx x x++⋅⋅⋅+=则首项等于〔D〕A. B. C. D. 21n-n821n-28n易错原因：①不能熟练地运用比的性质；②对连等式如何变换缺少办法.1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*〔或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝〕的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如〔1〕已知，则在数列的最大项为__〔答：〕；〔2〕数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___〔答：〕；〔3〕已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围〔答：〕；〔4〕一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是〔〕〔答：A〕A B C D2.等差数列的有关概念：〔1〕等差数列的判断方法：定义法或.如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列.〔2〕等差数列的通项：或.如〔1〕等差数列中，，，则通项〔答：〕；〔2〕首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______〔答：〕〔3〕等差数列的前和：，.如〔1〕数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿〔答：，〕；〔2〕已知数列的前n项和，求数列的前项和〔答：〕.〔4〕等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且.提醒：〔1〕等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…〔公差为〕；偶数个数成等差，可设为…，,…〔公差为2〕3.等差数列的性质：〔1〕当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.〔2〕若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列.〔3〕当时,则有，特别地，当时，则有.如〔1〕等差数列中，，则＝____〔答：27〕；〔2〕在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0 〔答：B〕〔4〕若、是等差数列，则、〔、是非零常数〕、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 .〔答：225〕〔5〕在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，〔这里即〕；.如〔1〕在等差数列中，S11＝22，则＝______〔答：2〕；〔2〕项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数〔答：5；31〕. 〔6〕若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________〔答：〕〔7〕“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负〔或非正〕；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？〔函数思想〕，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如〔1〕等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大，最大值为169〕；〔2〕若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是〔答：4006〕〔8〕如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.4.等比数列的有关概念：〔1〕等比数列的判断方法：定义法，其中或.如〔1〕一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____〔答：〕；〔2〕数列中，=4+1 〔〕且=1，若，求证：数列｛｝是等比数列.〔2〕等比数列的通项：或.如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比. 〔答：，或2〕〔3〕等比数列的前和：当时，；当时，.如〔1〕等比数列中，＝2，S99=77，求〔答：44〕；〔2〕的值为__________〔答：2046〕；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解.〔4〕等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个.如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为__ ____〔答：A＞B〕提醒：〔1〕等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…〔公比为〕；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为.如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.〔答：15，,9，3,1或0,4，8,16〕5.等比数列的性质：〔1〕当时，则有，特别地，当时，则有.如〔1〕在等比数列中，，公比q是整数，则=___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列中，若，则〔答：10〕.〔2〕若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列.当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列. 如〔1〕已知且，设数列满足，且，则. 〔答：〕；〔2〕在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______〔答：40〕〔3〕若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若，则为递减数列；若,则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.〔4〕当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列.如若是等比数列，且，则＝〔答：－1〕〔5〕 .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____〔答：－2〕〔6〕在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.〔7〕如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.如设数列的前项和为〔〕，关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是〔答：②③〕6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.如已知数列试写出其一个通项公式：__________〔答：〕⑵已知〔即〕求，用作差法：.如已知的前项和满足，求〔答：〕；②数列满足，求〔答：〕⑶已知求，用作商法：.如数列中，对所有的都有，则______〔答：〕⑷若求用累加法：1()n n a a f n +-=n a 11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- .如已知数列满足，，则=________〔答：〕⑸已知求，用累乘法：.如已知数列中，，前项和，若，求〔答：〕⑹已知递推关系求，用构造法〔构造等差、等比数列〕.特别地，〔1〕形如、〔为常数〕的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如①已知，求〔答：〕；②已知，求〔答：〕；〔2〕形如的递推数列都可以用倒数法求通项.如①已知，求〔答：〕；②已知数列满足=1，，求〔答：〕注意：〔1〕用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？〔，当时，〕；〔2〕一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解.如数列满足，求〔答： 〕7.数列求和的常用方法：〔1〕公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.如〔1〕等比数列的前项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝_____〔答：〕；〔2〕计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______〔答：〕〔2〕分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：〔答：〕〔3〕倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和〔这也是等差数列前和公式的推导方法〕. 如 ①求证：；01235(21)(1)2n n n n n n C C C n C n +++++=+②已知，则＝___〔答：〕〔4〕错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法〔这也是等比数列前和公式的推导方法〕. 如〔1〕设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.〔答：①，；②〕； 〔2〕设函数，数列满足：1)()()n n a g a n N ++∈，①求证：数列是等比数列；②令{1}n a -212()(1)(1)h x a x a x =-+-，求函数在点处的导数，并比较与的大小.〔答：①略；②，当时，＝；当时，<；当时，>〕〔5〕裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①； 111(1)1n n n n =-++ ②；1111()()n n k k n n k =-++ ③，；2211111()1211kk k k <=---+211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++-- ④；1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ⑤；11(1)!!(1)!n n n n =-++⑥.=<<= 如〔1〕求和： 〔答：〕；〔2〕在数列中，，且S ｎ＝９，则n ＝_____〔答：99〕；〔6〕通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.如①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= 〔答：〕；②求和：〔答：〕8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题〔1〕这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.〔2〕利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄〔单利〕本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：〔等差数列问题〕；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款〔复利〕模型：若贷款〔向银行借款〕元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期〔如一年〕后为第一次还款日，如此下去，分期还清.如果每期利率为〔按复利〕，那么每期等额还款元应满足：〔等比数列问题〕.。
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高三数学第二学期数列多选题单元 易错题难题提高题学能测试试题
高三数学第二学期数列多选题单元 易错题难题提高题学能测试试题一、数列多选题1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.2．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221nna a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2k m =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k k k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =， 所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.3．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦， 当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【分析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫-⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.6．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.8．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.9．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ； 【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D.【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S n S n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2n n S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++- ()()()23122412122...2212...224122n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S n S n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,。
专题08 数列(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)
B．3
C． 1 5
D．不存在
2．已知公差不为零的等差数列an中， a3 a5 14 ，且 a1 ， a2 ， a5 成等比数列，则数列an的前 9 项的和
为（ ） A．1
B．2
C．81
D．80
3．已知 a 5 2 6 ， c 5 2 6 ，则使得 a,b, c 成等比数列的充要条件的 b 值为（ ）
1 2
，则 a3a5
（
）
A．4
B．8
C．32
D．64
6．已知实数 4，m，9 构成一个等比数列，则圆锥曲线 x2 ＋y2＝1 的离心率为（ ） m
A． 30 6
B． 7
C． 30 或 7 6
D．
5 6
或
7
7．数列an 为等比数列，a1 1，a5 4 ，命题 p : a3 2 ，命题 q : a3 是 a1 、a5 的等比中项，则 p 是 q的（ ）
D．若 a 1 ，则 Sn 中， S5 ， S6 最大
8．已知数列an的前 n 项和 Sn n2 9n n N ，则下列结论正确的是（ ）
A． an 是等差数列
B． a4 a6 0
C． a9 a10
D．
Sn
有最大值
81 4
9．数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn n2 7n ，则下列说法正确的是（ ）
n
的前 n
项和为 Tn
，则 Tn
0
时， n
的最大值为
27
7．已知数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn an2 11n b a, b R, n N* ，则下列说法正确的是（ ）
A． b 0 是an为等差数列的充要条件
B． an 可能为等比数列 C．若 a 0 ， b R ，则an为递增数列
高三数学 数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题含答案
高三数学 数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.5．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=， 故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.6．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >，116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ）A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182nT ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值； （3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.二、平面向量多选题9．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1822PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．10．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b上的投影为 【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b上的投影为32147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()21225a e e =+==B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为32147a b b-⋅==-，故D 正确。
高三数学第二学期数列多选题单元 易错题难题测试提优卷试题
高三数学第二学期数列多选题单元 易错题难题测试提优卷试题一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nn N上单调递增，1na 在7nn N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a = B ．数列{}22na 是公比为8的等比数列C ．若()1nnnb a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040D ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2020项和为202024249【答案】CD 【分析】由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122na n -=， 则数列{}22na 是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141nnnn b a n =-⋅=-⋅-，则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.5．（多选题）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N+=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的为（ ）A ．10n n a a +<<B ．22221231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．11n a n <+ 【答案】ABCD 【分析】对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果； 对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定12111111nn a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；对于D ，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】对于A ，2211124n nn n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0n a >，10n a +>， 又210n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：21n n n a a a +=-，()()()2221212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；对于C ，由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及A 中结论得：1112n a <-<，1121n a <<-， 12111111nn a a a ∴++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时12311111111mb a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确； 对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：112a <成立， （ii ）假设当()n k k N*=∈时，11nan <+成立， 则222111112411n nn n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又()()()221111012121n n n n n -+-=-<+++++，即()2111121n n n -+<+++，112n a n +∴<+， 综上所述：当n *∈N 时，112n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.6．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.7．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.9．下列说法中正确的是（ ）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法：（1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ）A ．2d =-B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。
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数列单元易错题分析赵玉苗整理1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）.[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题）[问题]：已知:.,32,111n nn n a a a a 求+==-6、你知道nn q ∞→lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论.2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。
第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n3－2；【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=⋅【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解. 【正解】（1）a n =10n －2; （2）11 (1)23 (2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)12na a n n a -+--.【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n ) －(1＋2＋3＋…＋n )当a =1时，S =22n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12n a a n n a -+--3、 忽视公比的符号例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116，求这个等比数列的公比．【错解】四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a a aq aq q q则有4116a a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1q =或1q =，故原数列的公比为23q =+23q =-【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。
【正解】设四个数分别为23,,,,a aq aq aq则462116a q aq aq ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，()42164q q ∴+= 由0q >时，可得2610,3q q q -+=∴=±当0q <时，可得21010,5q q q ++=∴=--变式、等比数列}{n a 中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值（A ）是3或－3 （B ） 是3 （C ） 是－3 （D ）不存在【错解】 }{n a 是等比数列， ∴3a ，5a ，7a 成等比，)1)(9(25--=a ＝9，35±=∴a选A【分析】3a ，5a ，7a 是}{n a 中的奇数项，这三项要同号。
错解中忽视这一点。
【正解】C4、 (见手写P 13－25 13)5、 (见手写P 14－25 14)6、缺乏整体求解的意识例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求7a【错解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d则依题意有 51034151014622234311a d a d a an n n+=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。
【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。
错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将a a n 1+作为一个整体，不能解决问题。
事实上，本题求a 7，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，21317a a a +=，求出131a a +即可。
知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
【正解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有51034151014622234311a d a d a an n n+=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()，()()12+可得 a a n 136+=，代入(3)有n =13 ， 从而有a a 11336+=， 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴=+==a a a 7113236218 例7 (1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .错误解法 ,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由。
错误分析 在错解中，由qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131，01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和。
在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
例题7 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假. 例题8 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=－13，62212-=+-++n a a a n n n （Ⅰ）设}{,1n n n n b a a b 求数列-=+的通项公式； （Ⅱ）求n 为何值时，n a 最小（不需要求n a 的最小值）解：（I ）622,1121-=-=+-∴-=++++n b b a a a a a b n n n n n n n n87)()1(6)1()1(6)]1(...21[2162,....,6)2(2,6)1(2212112211--=-+---=∴---+++=---=---=---=-∴---n n a a n n n b n n b b n b b n b b n b b n n n n n n 个等式相加，得将这 即数列{b n }的通项公式为872--=n n b n（Ⅱ）若a n 最小，则00.1111≥≤≤≤+-+-n n n n n n b b a a a a 且即且⎪⎩⎪⎨⎧≤----≥--∴08)1(7)1(08722n n n n 注意n 是正整数，解得8≤n ≤9 ∴当n=8或n=9时，a n 的值相等并最小例题9 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f (x )的表达式；（Ⅱ)设数列{a n }满足条件：a 1∈(1,2)，a n +1=f (a n )求证：(a 1－ a 2)·(a 3－1)+(a 2－ a 3)·(a 4－1)+…+(a n － a n+1)·(a n +2－1)＜1 解：(Ⅰ)由f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，所以x 3+ax 2+bx +c +(2－x )3+a (2－x )2+b (2－x )+c =2对一切实数x 恒成立．得：a =－3，b +c =3， 对由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f (x )= x 3－3x 2+3x ． (Ⅱ) a n +1=f (a n )= a n 3－3 a n 2+3 a n (1)令b n =a n －1，0<b n <1，由代入(1)得：b n +1=3n b ，b n =131-n b ，∴ 1＞b n ＞b n +1 ＞0 (a 1－a 2)·(a 3－1)+(a 2－a 3)·(a 4－1)+…+(a n －a n +1)·(a n +2－1)=∑=++⋅-nk k k kb b b121)(＜∑=+-nk k kb b11)(=b 1-b n +1＜b 1＜1。