空间几何体的表面积与体积练习题及答案
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ， 设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。
试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
高三高考数学复习练习82空间几何体的表面积与体积
821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C ．16π D ．24π【解析】 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以体积为43πR 3＝32π3. 【答案】 B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 由三视图可知，该几何体为半径为r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋12×4πr 2＝π×12＋12×4π×12＝3π.故选C. 【答案】 C3．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 【答案】 C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 【答案】 B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1 【解析】 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 【答案】 D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π【解析】 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B. 【答案】 B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.【答案】 B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋12×(4π×22)－π×22＝64＋4π. 【答案】 64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．【解析】 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥C D.在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π，A ，B 是球面上的两点，∠AOB ＝60°，C 是球面上的动点，则四面体OABC 体积V 的最大值为________．【解析】 设球的半径为R ，由4πR 2＝36π，得R ＝3.显然在四面体OABC 中，△OAB 的面积为定值，S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2＝934.要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC 的体积的最大值V ＝13×934×R ＝934. 【答案】 93411．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．【解析】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 12.如图所示，在空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分，求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比．【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF .理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE -BCF 的体积V ADE BCF ＝V ADE B ′CF －V F BB ′C＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43， 所以V ADM BCF ＝203－43＝163， 所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
空间几何体的表面积与体积习题附答案
空间几何体的表面积与体积习题附答案1.圆柱的侧面积可以通过展开图计算，展开图是一个正方形，边长为2πr，所以侧面积为4πr^2，即4πS，因此选项为A。
2.根据三视图可以看出该几何体由两个同底的半圆锥组成，底面半径为1，高为3，因此体积为2×(1/3)πr^2h=π，因此选项为D。
3.根据三视图可以看出该几何体是一个组合体，由一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱锥组成。
直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，因此梯形的高为2，底边为2和4，面积为(2+4)×2/2=6，共有2个梯形，因此梯形的面积之和为12，因此选项为B。
4.根据三视图可以看出该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，圆锥的高为圆柱高的一半，因此圆锥的高为2，圆柱的底面积为π，侧面积为4π，圆锥的侧面积为2π×5/2=5π，因此表面积为π+4π+5π=9π+5π，因此选项为A。
5.根据三视图可以看出该几何体为一个直三棱柱削去一个同底的三棱锥，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，因此三棱柱的体积为底面积×高=3×4×5=60，三棱锥的体积为1/3×底面积×高=1/3×3×4×3=4，因此该几何体的体积为60-4=56，因此选项为C。
C1F＝4，连接EF，交AD于点G，求三角形AEF和四边形ABCG的面积和长方体ABCD-A1B1C1D1的体积．解：首先可以求出AE＝BF＝6，EF＝8，再根据三角形相似可以求出AG＝12，GD＝4，因此AD＝16，AGD为等腰直角三角形，所以GD＝DG＝4，因此CG＝10，BG＝AB－AG ＝4，所以ABCG为梯形，其面积为(AB＋CG)×4＝56.三角形AEF的面积为1/2×AE×EF＝24.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16×10×8＝1280.题目1：一长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
高中数学必修2 空间几何体的表面积与体积最全试题及答案
空间几何体的表面积与体积一．相关知识点1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。
(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。
(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l。
(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。
2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。
(2)V锥体＝13Sh。
(3)V台体V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)h，V球＝43πR3(球半径是R)。
一、细品教材1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。
2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。
细品教材答案：1．1∶47； 2.3365π cm2二、基础自测1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．72π D．108π3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。
4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。
5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。
基础自测答案1．C；2．B；3．2；4．32；5．94三．直击考点考点一空间几何体的表面积【典例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋2 2 D．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。
专题24 空间几何体的表面积与体积(纯答案)
专题24 空间几何体的表面积与体积 答案题型一、柱与锥的体积与表面积例1、【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为262⨯， 圆柱体积为21()222ππ⋅=，所求几何体体积为2π.故答案为： 2π变式1、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期末）等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）AB ．(1π+C ．D ．(2π+【答案】AB 【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl r πππππ=+=⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积221S rl ππ=⨯=⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π.故选：AB变式2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．变式3、【2019．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】π4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为2=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 变式4、【2018年高考全国II 卷理数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为__________．【答案】【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 因为SAB △的面积为,l 所以221802l l ⨯=∴=，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,4r l ==因此圆锥的侧面积为2ππ.2rl l == 题型二、球的切与接的问题例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A.变式1、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C ．变式2、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】20π【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为12AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则3143R π=，解得12R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=2PA ==PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ===，2r ∴=，PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=.变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如图所示，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =，所以球的表面积为2464S R ππ==， 故选D.变式4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==344π33R V R =∴=π==，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==245S ππ==，故选C. 2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A B C D【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意得212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=. 故选C ．3、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．2【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R π=π，解得：2R =. 设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC的距离1d ==.故选：C ．4、【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______． 【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：15、【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 6、【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于√2，所以该多面体的体积为2142133⨯⨯⨯=. 7、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan 3SAAB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心， 连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC在ABC ∆，2222cos 312162AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.。
最新空间几何体的表面积与体积练习题.及答案
空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1 •棱长为2的正四面体的表面积是（C ）.A. 3 B . 4 C . 4 3 D . 16解析 每个面的面积为：2X 2X 2X — •••正四面体的表面积为：4,3. 2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（B ）. A. 2 倍B . 2 2倍C. 2倍D.32咅解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积V =彳冗戌，知体积扩大到原来的2 2倍.3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为 142284 BP解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V = V 长方体一V 正三"4X 4X 6—卜!X 2X2 X 2842=亍4 .某几何体的三视图如下，则它的体积是A)A. 8 — 2n B . 8—n n C . 8 — 2n解析由三视图可知该几何体是一个边长为3 1径为1，咼为2的圆锥，所以v = 2 — 3X 2nX 2= 8 —三. 5.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1,则该几何^3 /Tn体的体积为(A)A . 24 — 2冗 B . 24—§ C . 24— n D . 24—据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分1别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V = 2X 3X 4—2XnX1 X 3= 24—6 .某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm ）,则该几何体的表面积为（ C ） B ).3C.280140 D.-T2n D 2的正方体内部挖去一个底面半正三角形，所以 V = ^S A ABD X 4=〔 3.二、填空题8. 三棱锥PABC 中, PAL 底面ABC PA = 3,底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体 积等于_^3 _______ •解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V = J S A ABC -| PA| = 3X^43X 22X 3=/3.9. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为_ 3 : 2 _______ .解析 设圆柱的底面半径是r ,则该圆柱的母线长是2r ,圆柱的侧面积是2n r -2r = 4n r 2,设球的 半径是R,则球的表面积是4n 氏，根据已知4n 4n r 2，所以R = r.所以圆柱的体积是n r 2・2r =2n r 3,球的体积是3n r 3,所以圆柱的体积和球的体积的比是= 3 : 2. 3433n r10. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图( 2J n \严-才Cm B. 7二 n \ 2J n 、 94 + — I cmD.7解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、,.,. n下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2X 3X 3+ 12X 1 ——n 1=30 ——;中间部分的表面积为 2 n X 2 X 1= n ，下面部分的表面积为2X 4X 4+ 16X 2— n = 64—手.故其表面积是94 +弓.4 4 27. 已知球的直径SC = 4, A , B 是该球球面上的两点，A 吐 3, / AS(=Z BS(= 30°,则棱锥S-ABC 的体积为( C).A. 3 3 B . 2 3 C.3 D . 1解析 由题可知AB —定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径SC 于D,设SD = x , 则DC = 4 — x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD 在厶SAD ffiA SBD 中，由已知条件 可得AD = BC=¥X ，又因为SC 为直径，所以/ SB(=Z SA(= 90°，所以/ DC =Z DCA= 60°，在3 △ BDC 中 , BD= \.?3(4 — x)，所以 3 x = _ 3(4 — x)，所以 x = 3, AD = BD = 3，所以三角形ABD 为A. C. 2 cm 2 cm圧视閉 値视图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1,侧棱长为1,斜高为~^,连 接顶点和底面中心即为高，可求得高为才所以体积1x 仆子# 11.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时， 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ___ 2 n R ____ .解析 由球的半径为R,可知球的表面积为4n 氏.设内接圆柱底面半径为r ，高为 2h ,则h + r 2= R.而圆柱的侧面积为2 n r ・2h = 4n rh <4 n 2 — = 2n R(当且仅当r = h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2n R 2,此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为2n 巨12.如图，已知正三棱柱 ABCBC 的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A 1的最短路线的长为 13 cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展 开为如图所示的实线部分，贝冋知所求最短路线的长为 52 + 122二13(cm).三、解答题13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上 半部分是正四棱锥PEFGH 下半部分是长方体 ABCDEFG 图2、图 3分别是该标识墩的正视图和俯视图.(2)求该安全标识墩的体积. 解析⑴侧视图同正视图，如图所示:1 2 2 3V = V P EFG 卄 V KBCDEFG ^ 3 x 40 x 60+ 40 x 20= 64 000(cm ).314 . 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 侧视(1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)该安全标识墩的体积为1的正方形拼成 S.俯觇图cnii1的平行四边形,图是一个长为.3,宽为1的矩形，俯视图为两个边长为的矩形.(1)求该几何体的体积V;⑵求该几何体的表面积解析（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，3,所以V= 1 x 1 x 3= 3.⑵由三视图可知，该平行六面体中，A1DL平面ABCD CDL平面BCC1B,1所以AA1= 2,侧面ABB1A1 CDD1C均为矩形，S= 2X （1 x 1+ 1X 3+ 1X 2）= 6+ 2 3.15. 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为&高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形，如右图所示.1 1（1）几何体的体积为：V= 3 • S矩形• h=-X 6X 8X 4= 64.3 3（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1= ,42+ 32= 5.左、右侧面的底边上的高为：h2= . 42+ 42=1 、4 2.故几何体的侧面面积为：S= 2X ^X 8X5 + 2X 6X 4 2 = 40 + 24,2.1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）..2解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2n=a, ，底面圆的面积是—，2兀4兀2a +g2于是全面积与侧面积的比是三，a222. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）•2 .解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是1 （丄--）」1，于是8个三棱锥的体积是1，剩余部分的体积是-，3 2 2 2 2 48 6 63 .—个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 _____________ 。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】.【解析】设圆锥的底面半径和高为，则其母线长；所以圆锥的侧面积，底面面积，则它的侧面积与底面积的比为.【考点】圆锥的侧面积公式.3.如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）此题是个折叠图形题，平面和立体的互化，分析可知面面；（2）求体积，抓住地面和底面上的高，显然平面面，这个证明很重要，可以确定底面和底面上的高.试题解析：（1）证：面面又面所以平面（2）取的中点，连接平面又平面面所以四棱锥的体积【考点】线面平行的判定，线面垂直的判定.4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.（1）求证：平面ABM平面PCD;（2）求三棱锥M-ABD的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由PA⊥平面ABCD知，PA⊥AB，由ABCD为矩形知，AB⊥AD，由线面垂直判定定理知，AB⊥PAD，所以PB⊥AB，由以BD为直径的球与PB的交点为M知，BM⊥DM，由线面垂直判定知PD⊥面ABM，由面面垂直判定定理知面PCD⊥面ABM；（2）由（1）知，PD⊥面ABM，所以PD⊥AM，因为PA=AD=4，所以M是PD的中点，取AD的中点为N，则NM平行PA，因为PA⊥平面ABCD，所以MN⊥ABCD，MN==2，即MN是三棱锥M-ABD的高，用棱锥的体积公式即可求出其体积.试题解析：（1）又由题意得,又 6分（2）由（1）知，PD⊥面ABM，所以PD⊥AM，因为PA=AD=4，所以M是PD的中点，取AD的中点为N，则NM平行PA，因为PA⊥平面ABCD，所以MN⊥ABCD，MN==2，所以===. 12分考点:球的性质，线面垂直的判定与性质，面面垂直判定定理，棱锥的体积公式，逻辑推论证能力.5.四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面（）A．25p B．45p C．50p D．100p【答案】C【解析】作长方体，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，该长方体和四面体有共同的外接球，长方体的对角线长为直径长，，表面积【考点】四面体的外接球的体积.6.如图，已知球的面上有四点，平面,,,则球的表面积为．【答案】【解析】把几何体看成长方体一部分，由于，，因此为球的直径半径，因此球的表面积【考点】球的表面积公式的应用.7.已知空间4个球,它们的半径分别为2, 2, 3, 3,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设半径为的两个球的球心为，半径为2的两个球的球心为，与这4个球都外切的小球的球心为，半径为，连接，得到四棱锥，则，，连接，取的中点分别为，连接，在中，，同理，为等腰三角形，，同理可证，是异面直线的公垂线，又分别是的中点，在线段上，在中，，同理得，在中，，又，由此可得，解得，负值舍去。
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空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．B ．4C ．4 3D ．16解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 倍 倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－2π3 B ．8－π3C ．8－2π解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π3.5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )cm 2 cm 2 cm 2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)． A ．3 3 B ．2 3 D ．1解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝33x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝ 3.二、填空题8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3.9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3，球的体积是43πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 343πr 3＝3∶2.10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___26_____．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为___13_____cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH ＋V ABCDEFGH＝13×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2ar π=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2221222a a a πππ++=， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248⨯⨯⨯⨯=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。
3．答案：148 cm 2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2， 所以棱柱的全面积是148cm 2.4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。
4．答案：22：5解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23π和43π，由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2r l πθ=，得13l r =，223lr =， 所以它们的高的比是2222()22325()3l l l l -=-. 5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_________5．答案：1cm 3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm ，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，则它的体积是31×1×3=1cm 3.6．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为6．答案：ba解：矩形绕a 边旋转，所得几何体的体积是V 1=πb 2a ，矩形绕b 边旋转，所得几何体的体积是V 2=πa 2b ，所以两个几何体的体积的比是2122V b a b V a b a ππ==16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a .(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析 (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ，∴V A-BCD ＝V A-BPC ＋V D-BPC ＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC ·AD ＝13·12·a a 2－x 24－a 24·x ＝a 123a 2－x 2x 2≤a12·3a 22＝18a 3(当且仅当x ＝62a 时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为18a 3. (2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×62a × a 2－⎝⎛⎭⎪⎫64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24＝23＋154a 2.。