近世代数
《近世代数》PPT课件
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数课后习题答案
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数及其应用
近世代数及其应用近世代数是一门研究几何形状及其变化的数学分支。
它主要关注形状如何在空间中进行旋转、平移和缩放等变化，以及这些变化如何可以通过线性变换来表示。
近世代数的研究内容包括几何变换、向量空间、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。
近世代数在计算机图形学、机器人学、几何建模和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。
在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
1.计算机图形学在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在游戏开发中，近世代数可用于控制三维模型的运动和姿态，以生成真实感十足的动画效果。
在三维建模软件中，近世代数也可用于控制三维几何图形的变换，方便用户进行几何建模和设计。
2.3.机器人学在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
例如，在机器人抓取物体时，近世代数可用于控制机器人的末端机械臂的运动轨迹，使其能够精确地抓取目标物体。
在机器人导航时，近世代数也可用于表示机器人的位置和方向，方便机器人进行自主导航。
3.几何建模在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。
例如，在机械设计中，近世代数可用于建立三维机械零件模型，并对其进行旋转、平移和缩放等变换，以方便设计师进行零件布局和装配规划计算机视觉4.在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在图像识别中，近世代数可用于对图像进行旋转、平移和缩放等变换，以提高图像识别的准确率。
在视频监控中，近世代数也可用于检测图像中的运动目标，并对其进行跟踪。
5.地理信息系统在地理信息系统中，近世代数用于表示地理数据的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在地图制作中，近世代数可用于控制地图投影的旋转、平移和缩放，以生成适合不同使用场景的地图。
近世代数教学大纲
混凝土加气块标准
1、砌块砌筑时，应上下错缝，搭接长度不宜小于砌块长度的1/3。
2、砌块内外墙墙体应同时咬槎砌筑，临时间断时可留成斜槎，不得留“马牙槎”。
灰缝应横平竖直，水平缝砂浆饱满度不应小于90%。
垂直缝砂浆饱满度不应小于80%。
如砌块表面太干，砌筑前可适量浇水。
3、地震区砌块应采用专用砂浆砌筑，其水平缝和垂直缝的厚度均不宜大于15mm。
非地震区如采用普通砂浆砌筑，应采取有效措施，使砌块之间粘结良好，灰缝饱满。
当采用精确砌块和专用砂浆薄层砌筑方法时，其灰缝不宜大于3mm。
4、后砌填充砌块墙，当砌筑到梁(板)底面位置时，应留出缝隙，并应等待7d后，方可对该缝隙做柔性处理。
5、切锯砌块应采用专用工具，不得用斧子或瓦刀任意砍劈。
洞口两侧，应选用规格整齐的砌块砌筑。
6、砌筑外墙时，不得在墙上留脚手眼，可采用里脚手或双排外脚手。
7、砌体结构尺寸和位置允许偏差。
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
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1.1集合1、B 包含于A ，但B 不是A 的真子集，这个情况什么时候能出现？解 由题设及真子集定义得，A 的每一个元都属于B ，因此A 属于B ，B 属于A ，得A=B 。
所以上述情形在A=B 的情况下出现。
2、假设A 包含于B,A ∩B=? A ∪B=?解 （i ）由于A 包含于B ，所以A 的每一个元都属于B ，即A 的每一个元都是A 和B 的公共元，因而由交集的定义得 A 包含于A ∩B ，但显然有A ∩B 包含于A ，所以A ∩B=A（ii ）由并集的定义，A ∪B 的每一个元都属于A 和B 之一，但A 包含于B ，所以A ∪B 的每一元都属于B ：A ∪B 包含于B 。
另一方面B 包含于A ∪B ，所以A ∪B=B 。
1.2映射1、A={1，2，……，100}。
找一个AxA 到A 的映射。
解 用（a ，b ）表示AxA 的任意元素，a 和b 都属于A 。
按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Ф： （a ，b ）→a 就是这样的一个，因为Ф替AxA 的任何元素（a ，b ）规定了一个唯一的象a ，而a ∈A 。
2、习题1的映射下是不是每一个元都是AxA 的一个元的象？解 映射Ф之下，A 的每一个元素都是AxA 的一个元的象，因为（a ，b ）中的a 可以是A 的任一元素。
1.3 代数运算1、A={所有不等于零的偶数}。
找一个集合D ，使得普通乘法是AxA 到D 的代数运算。
是不是找得到一个这样的D ？解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数。
所以取 D={所有不等于零的有理数}，普通除法就是一个AxA 到D 的代数运算。
2、A={a,b,c}. 规定A 的两个不同的代数运算。
解 （i ）用运算表给出A 的一个代数运算： o按照这个表，通过o ，对于A 的人和两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a 来，而a 仍属于A 。
所以o 是A 的一个代数运算。
这个代数运算也可以用一下方式来加以描述o ： （x ，y ）→a=x o y 对一切x ，y ∈A (ii)同理o ： （x ，y ）→x=x o y 对一切x ，y ∈A 也是A 的一个代数运算。
（列表亦可） 1.4 结合律1、A={所有不等于零的实数}。
O 是普通除法： a o b=a / b 这个代数运算适不适合结合律？解 这个代数运算o 不适合结合律。
例如，当 a = 4， b = c = 2 时( a o b ）o c = (4o2)o2 =4/2 o2=2/2=1 a o(b o c) = 4o(2o2) =4 o(2/2)=4/1=4 所以 当a ，b 和c 取上述值时 ( a o b ）o c ≠ a o(b o c)。
2、A={所有实数}。
代数运算o ：(a ，b)→a+2b= a o b 适不适合结合律？ 解 略3、A={a,b,c}. 由表给出的代数运算适不适合结合律？解 所给代数运算o 适合结合律。
为得出结论，需对元素a ，b ，c 的27（=33）种排列（元素允许重复出现）加以验证。
但利用元素a的特征，可把验证简化。
仔细考察运算表，发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有a o x=x o a=x 由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立。
剩下不出现a的排列共有8（=23）种。
现验证4种：( b o b)ob=c o b=a b o(b o c)=b o c=a 所以( b o b)ob= b o(b o c)(b o b)o c=c o c=b b o(b o c)= b oa=b 所以(b o b)o c= b o(b o c)(b o c)o b=a o b=b b o(c o b)=b o a=b 所以(b o c)o b= b o(c o b)(b o c)o c=a oc=c b o(c o c)= b ob=c 所以(b o c)o c= b o(c o c)1.4 交换律1、A={所有实数}。
O是普通减法： aob=a-b 这个代数运算适不适合交换律/解容易验证，当a=1，b=2时，aob≠boa 。
所以这个代数运算不适合交换律。
2、A={a,b,c，d}。
由表：所给代数运算适不适合交换律？解考察运算表，关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素。
1.6 分配律假定⊙，⊕是A的两个代数运算，并且⊕适合结合律，⊙，⊕是和两个分配律。
证明：(a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2) =(a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2)解 (a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2)=a1⊙(b1⊕b2)⊕a2⊙(b1⊕b2)=(a1⊕a2) ⊙ (b1⊕b2)=(a1⊕a2) ⊙b1⊕(a1⊕a2) ⊙b2=(a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2)1.7一一映射、变换1、A={所有＞0实数}。
A-={所有实数}。
找一个A与A-间的一一映射。
解Ф： x→㏒x 对一切x∈A是一个A与A-间的一一映射。
首先，给了任一x∈A，即任一大于0的实数x，㏒x是一个实数，即㏒x∈A-，并且㏒x是唯一确定的，所以Ф是一个A 与A-间的映射。
其次，对于任一y∈A-，即任一实数y，10y=x是一个大于0 的实数，而在Ф之下，x→㏒x =㏒10y=y，所以Ф是一个A与A-间的满射。
最后，若是x1，x2∈A，并且x1≠x2，那么㏒x1≠㏒x2，所以Ф是一个A 与A-间的单射。
这样，Ф是一个A与A-间的一一映射。
2、A = {所有≣0的实数}。
A-={所有实数a-，0≢a-≢1}。
找一个A与A-间的满射。
解Ф： x→x 若0≢x<1 ；x→1/x 若x≣1 是一个A与A-间的满射。
首先，Ф替每一个x∈A，规定了一个确定的象Ф(x)，而0≢Ф≢1，所以Ф是一个A与A-间的映射。
其次，在Ф之下，A-的每一个元a-都是A中的一个元，即a-本身的象，所以Ф是一个A与A-间的满射。
亦可证明：Ф1： x→|sin x| x∈A。
Ф2： x→0 0≢x<1； x→1/x x≣1 。
都是A与A-间的满射。
3、假定Ф是一个A与A-间的一一映射，a是A的一个元。
Ф-1[Ф(a)]=？Ф[Ф-1(a)]=？若Ф是一个A的一一变换，这两个问题的回答又该是什么？解当Ф是一个A与A-间的一一映射时，Ф-1[Ф(a)]=a Ф[Ф-1(a)]未必有意义，若Ф是一个A的一一变换，那么，Ф-1[Ф(a)]=a Ф[Ф-1(a)]=a。
1.8 同态1、A = {所有的实数x}。
A的代数运算是普通乘法。
一下映射是不是A到A的一个子集A-的同态满射？a) x→|x| b) x→2x c) x→x2 d) x→-x解 a) 取A-={所有≣0的实数}。
则A-=A，而Ф1： x→|x|=Ф1(x) x∈A是A到A-的一个同态满射。
因为：对任一实数x，|x|是一个唯一确定的≣0的实数，所以Ф1是A到A-的一个映射;若x-∈A-，那么x-∈A，而Ф1(x-)=|x-|=x-,所以Ф1是A到A-的一个满射；对任意x，y∈A，Ф1(x y)= |x y|= |x||y|=Ф1(x) Ф1(y)，所以Ф1是A到A-的一个同态满射。
b) 当x取遍一切实数时，2x也取遍一切实数值。
易证。
Ф2： x→2x=Ф2(x) 是A到A-的一个满射，但Ф2不是A到A -的一个同态满射。
因为：取A的数2和3，那么Ф2(2)=4 Ф2(3)=6Ф2（2·3）=Ф2(6)=12≠Ф2（2）Ф2（3）c) 取A-= {所有≣0的实数}。
那么A-包含于A。
Ф3： x→x2 =Ф3(x) x∈A是A到A-的一个同态满射。
d) 当x取遍一切实数值时，-x也取遍一切实数值。
易证; Ф4: x→-x=Ф4(x) x∈A是A到A 的一个满射，但不是一个同态满射。
2、假定A和A-对代数运算o和o-来说同态，而A-和A=对于代数运算o-和o=来说同态。
证明A和A=对于代数运算o和o=来说同态。
解由题设存在A到A-的一个同态满射Ф1： a→a-=Ф1(a) a∈A，a-∈A-并且对于A的任意两个元素a 和b来说Ф1(aob) = a-o-b-=Ф1(a) o-Ф1(b)同样存在A-到A=的一个同态满射Ф2：a-→a==Ф2(a-) a-∈A-，a=∈A=并且对于A-的任意两个元素a-和b-来说Ф2(a-o-b-) = a=o=b==Ф2(a-) o=Ф2(b-)如下定义Ф：a→Ф2[Ф1(a)] a∈A 那么Ф是A到A=的一个同态满射。
因为： (i) 由于Ф1和Ф2是同态满射，所以对于任何a∈A ，Ф1(a)是A-的一个唯一确定的元素，而Ф2[Ф1(a)]是A=的一个唯一确定的元素，因而Ф是A到A=的一个映射。
(ii)由于同一原因，对于任何a=∈A= ,存在一个元素a-∈A- ,使得Ф2(a-)=a=，并且存在一个元素a∈A ，使得Ф1(a)=a-，因此在Ф之下，a→Ф2[Ф1(a)]= Ф2(a-)=a=。
因而Ф是A到A=的一个满射。
(iii) 由于同一原因，对于A的任何两个元素a和b ，Ф(aob) =Ф2[Ф1(aob)] =Ф2[Ф1(a)o-Ф1(b)] =Ф2[Ф1(a)] o= Ф2[Ф1(b)] =Ф(a) o=Ф(b) 。
因而Ф是A到A=的一个同态满射。
1.9 同构自同构1、A={a,b,c}.代数运算o 由下表给定：找出所有A的一一变换，对于代数运算o 来说，这些一一变换是否都是A的自同构？解 A共有6(=3!) 个一一变换，即Ф1： a→a b→b c→cФ2： a→a b→c c→bФ3： a→b b→c c→aФ4： a→b b→a c→cФ5： a→c b→b c→aФ6： a→c b→a c→b对于代数运算o 来说，Ф1和Ф4是A的自同构，其余4个都不是。
这是因为，若Ф1是一个A的自同构，那么对A的任何元素x和y ，将有 (1) Ф1(xoy) = Ф1(c) = Ф1(x) o Ф1(y) = c 因而(2) Ф1(c) = c 反过来，若(2) 成立，那么(1) 也成立。
2、 A = {所有的有理数}。
找一个A的对于普通假发来说的自同构。
（映射x→x 除外）。
解设k是任一有理数，且k≠0 ，k≠1 。
那么Ф： x→kx x∈A 是A的一个对于加法来说的自同构，并且Ф显然不是映射x→x。
Ф是A的一个一一变换。
令x和y是A的任意两个元素，那么Ф：x+y→Ф(x+y) =k(x+y) = kx+ky = Ф(x) + Ф(y) 所以Ф是A的一个自同构。
（试证，A只有以下对于加法来说的自同构x→kx x∈A ， k是≠0的有理数。