一次函数与距离和最大值和最小值问题
函数的最大值和最小值的求解方法[1]
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根 A.有且只有一个
B.有2个
（） C
C.至多有一个
D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则 由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
一次函数图像性质
平行与斜率：如果两个一次函数的斜率相同，那么它们的图像是平行的。反之，如果 两个一次函数的图像平行，那么它们的斜率相同
交点与方程：如果有 两个一次函数在同一 直角坐标系中，并且 它们的图像有交点， 那么交点的坐标满足 这两个函数的方程
性质
奇偶性：对于一次函数 ，如果其定义域关于原 点对称，且满足f(-x) = f(x)，则称该函数为 偶函数；如果满足f(x) = -f(x)，则称该函 数为奇函数。对于奇函 数，其图像关于原点对 称；对于偶函数，其图 像关于y轴对称
渐近线：一次函数没 有渐近线。这是因为 一次函数的图像是一 条直线，它没有垂直 或水平渐近线
性质
零点
如果一个一次函数的值为0，那么这个点称为函数的零点。所有一次函数的图像都至少有一 个零点(除非该函数定义域有限且不包含0)
一次函数的图像是连续的线段，没有端点。然而，当x趋于正无穷大或负无穷大时，函数的 值会趋于无穷大或负无穷大
端点
最大值与最 小值
对于单调递增的一次函数，其最大值出现在右端点；对于单调递减的一次函数，其最大值出现 在左端点。同样地，对于单调递增的一次函数，其最小值出现在左端点；对于单调递减的一次 函数，其最小值出现在右端点
和b的值，我们可以得到不同的一次函数
在坐标系中，一次函数的图像是一条直线。 当k为正时，直线从左下方向右上方倾斜； 当k为负时，直线从左上方向右下方倾斜。
截距b决定了直线与y轴的交点位置
1
2
PART.2
性质
斜率与单调性：一次函数的斜率决定了函数的单调性。如果斜率大于0，函数在区间内 单调递增；如果斜率小于0，函数在区间内单调递减
一次函数知识点总结9篇
一次函数知识点总结9篇第1篇示例：一次函数是初中阶段数学学习的重要内容之一。
它是一种最简单的线性函数，也是数学中最基础的函数之一。
一次函数的定义是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k和b为常数，且k≠0。
一次函数的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。
下面将从定义、性质、图象、应用等几个方面，对一次函数进行总结。
一、定义：一次函数y=kx+b是一种形式简单的线性函数，其中k 和b是常数且k≠0。
其中k称为斜率，b称为截距。
斜率代表了函数图象的倾斜程度，正数表示向上倾斜，负数表示向下倾斜；截距表示了函数与y轴的交点位置，即当x=0时，函数值为b。
一次函数的自变量x的最高次数为1。
三、图象：一次函数的图象是一条直线，因此也称为线性函数。
直线的斜率决定了图象的倾斜方向，截距决定了图象与y轴的交点位置。
当斜率为正时，图象右上倾斜；当斜率为负时，图象右下倾斜。
当截距为正时，图象在y轴上方；当截距为负时，图象在y轴下方。
四、应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如工资和工作时间的关系，距离和时间的关系等等都可以用一次函数来表示。
在经济学中，一次函数也有着重要的应用，如成本和产量的关系、供求关系等。
一次函数的应用范围十分广泛，在生活中随处可见。
一次函数是数学中最基础的函数之一，了解一次函数的性质和图象能够帮助我们更好地理解和应用各种函数。
在学习数学中，学好一次函数是至关重要的一步，也为后续学习更高阶函数和解决实际问题打下了坚实基础。
希望通过本文的总结，能够对一次函数有更深入的了解和应用。
第2篇示例：一次函数是初中数学中的一个基础知识点，也是数学学习的入门部分。
对于学生来说，掌握一次函数的相关知识，不仅可以帮助他们更好地理解数学知识，更可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
接下来我们就来总结一下一次函数的相关知识点。
一、定义：在数学中，一次函数是指一个函数，其定义域是实数集合，且函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为实数，且k不等于零。
一次函数的最值与极值
一次函数的最值与极值一次函数是数学中最简单的函数之一，也是初中数学必学的知识点之一。
研究一次函数的最值和极值有助于我们深入理解函数的变化规律，更好地解决数学问题。
本文将简要介绍一次函数最值和极值的概念，以及如何求解它们。
一、最值和极值的概念1. 最值最值是函数在定义域内的最大值和最小值。
例如设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义，如果对于任何 x ∈ [a, b]，都有f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)），则称 f(x0) 是 f(x) 在 [a, b] 上的最小值（或最大值），而 f(x) 在 [a, b] 上的最小值和最大值统称为 f(x) 在 [a, b] 上的最值。
2. 极值极值是函数在某个点处取得的最值。
设函数f(x) 的定义域为I，x0 ∈ I，如果存在ε > 0，对于任何 x ∈ I∩(x0 - ε, x0) 或 x ∈ I∩(x0, x0 + ε)，都有f(x) ≤ f(x0)，则称 f(x0) 是 f(x) 的一个极大值点；如果存在ε > 0，对于任何 x ∈ I∩(x0 - ε, x0) 或 x ∈ I∩(x0, x0 + ε)，都有f(x) ≥ f(x0)，则称 f(x0) 是 f(x) 的一个极小值点。
二、如何求解一次函数的最值和极值我们知道，一次函数是指形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b是常数。
因此，一次函数最值和极值的求解相对较为简单。
我们可以根据以下步骤来求解。
1. 最值首先，我们需要分析一次函数的单调性，并确定函数的最小值和最大值。
根据定义可知，当 k > 0 时，函数单调增加，最小值在定义域最小处取得；当 k < 0 时，函数单调减少，最大值在定义域最小处取得。
2. 极值对于一次函数来说，由于其呈直线形状，每个点的斜率都是一致的，因此其不存在极值。
三、例题解析1. 求函数 y = 2x + 1 在区间 [-1, 2] 上的最大值和最小值。
一次函数课件ppt
一次函数与两直线的交点
了解如何通过两直线的交点求解一次函数的解析式。
一次函数与抛物线的交点
了解如何通过抛物线的交点求解一次函数的解析式。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数与最值问题
掌握如何利用一次函数解决最值问题。
一次函数与不等式问题
了解如何利用一=kx+b(k,b是常数，k≠0)中，当b=0时， y=kx(k是常数，k≠0)，此时称y是x的正比例函 数。
一次函数的表达式
表达式
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
变量的取值范围
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而 减小。
截距的意义
b是常数项，表示与y轴的交点坐标。当b>0时，交点在y 轴的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的负半轴上；当 b=0时，交点在原点。
03 一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
一次函数与一元一次方程的关系
01
了解如何用一次函数解决一元一次方程的问题。
一次函数的单调性
02
掌握如何根据函数的单调性求解函数的值域和定义域。
一次函数的零点
03
了解如何通过零点将函数进行分类，并求解函数的零点。
一次函数在几何中的应用
直线方程与一次函数的关系
一次函数的图像
图像的绘制
描点法，先确定自变量x的取值范 围，然后分别在坐标系中找出对
应的y值，描点、连线即可得到一 次函数的图像。
图像的性质
当k>0时，直线呈上升趋势；当 k<0时，直线呈下降趋势。截距b 的取值决定了直线与y轴交点的位 置。
一次函数(压轴专练)(十大题型)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册(北师大版)
一次函数（压轴专练）（十大题型）(1)求直线AB 的解析式；(2)作直线OC ，当点C 运动到什么位置时，AOB V 的面积被直线OC 分成1:2的两部分；(3)过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存在点C 使BCD △与AOB V 全等？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．(1)求直线2l的函数表达式；(2)求四边形ABCD的面积；(3)在直线2l上是否存在点不存在，请说明理由．题型2：最值问题3．如图，直线392y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，点()4,C t 在第四象限，点(,0)P m 在线段OB 上．连接OC ，BC ，过点P 作x 轴的垂线，交边AB 于点E ，交折线段OCB 于点F ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)设点E ，F 的纵坐标分别为1y ，2y ，当04m ££时，12y y -为定值，求t 的值；(3)在（2）的条件下，分别过点E ，F 作EG ，FH 垂直于y 轴，垂足分别为点G ，H ，当06m ££时，求长方形EGHF 周长的最大值．(1)B 的坐标为_________，线段OA 的长为_________．(2)求直线CD 的解析式和点D 的坐标．(3)如图（2），点M 是线段CE 上一动点（不与点C ，E 重合），ON ①在点M 移动过程中，线段OM 与ON 数量关系是否不变，并证明；②连结MN ，当DMN V 面积最大时，求OM 的长度和DMN V 的面积．(1)求直线CD 解析式；(2)如图2，点M 是线段CE 上一动点（不与点C 、E 重合），ON ①点M 移动过程中，线段OM 与ON 数量关系是否不变，并证明；②当OMN V 面积最小时，求点M 的坐标和OMN V 面积．(1)若点E 坐标为2,3n æöç÷èø．ⅰ)求m 的值；ⅱ)点P 在直线2l 上，若3AEP BDE S S =V V ，求点P 的坐标；(2)点F 是线段CE 的中点，点G 为y 轴上一动点，是否存在点形．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．(1)经过点A 且与直线33y x =-平行的直线交x 轴于点B ，试求B (2)如图1，若()4,0B ，过()1,0M 的直线与直线AB 所夹锐角为45(3)如图2，在（1）的条件下，现有点(),C m n 在线段AB 上运动，点的中点．直接写出当C 从点A 开始运动，到点B 停止运动，M 点的运动路径长为(1)如图1，求A 、C 两点坐标．(2)点P 是AOC V 内一点，点P 的坐标为(,25)m m -+，点Q 在第二象限，连接PC ，QC ，PCQ Ð请用含m 的式子表示点Q 的坐标．(3)在（2）的条件下，点B 在x 轴上与点A 关于y 轴对称，过Q 做QE OC ⊥于点E ，延长延长MP 交x 轴于点N ，连接BM ，取BM 的中点G ，连接QG 并延长交x 轴于点H ，当QM 点P 的坐标．(1)求点A ，C 的坐标．(2)现有一动点P 沿折线O C B O ®®®以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为①当OAP △为等腰三角形时，求出所有满足条件的t 的值．②如图2，已知x 轴正半轴上有一动点Q ，当点P 在线段OB 上运动时，连接线CQ 的对称图形CQA ¢V ，作CPB △关于直线CP 的对称图形CPB ¢V ，射线10．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线()40y kx k k =-¹交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点,B AB =．(1)求OB 的长；(2)如图1，点C 在x 轴的负半轴上，点D 在AB 上，连接CD 交y 轴于点E ，点E 为CD 的中点，设点C 的横坐标为,t ACD △的面积为S ，求S 与t 的函数解析式；(3)如图2，在（2）的条件下，将射线EC 绕点E 顺时针旋转45°，交x 轴的负半轴于点F ，连接BF ，若2BFE BED OEF Ð+Ð=Ð，求S 的值．11．如图，平面直角坐标系中，直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 两点，点P 为线段AB 的中点．(1)直接写出点P的坐标；⊥交y轴正半轴于点(2)如图1，点C是x轴负半轴上的一动点，过点P作PD PCÐ的度数；分别是CD、OB的中点，连接MN，求MNO(3)如图2，点Q是x轴上的一个动点，连接PQ．把线段PQ绕点Q顺时针旋转+的值最小时，求此时点T的坐标．OT．当PT OT(1)则a = ，b = ，c = ；(2)如图1，在x 轴上是否存在点D ，使ACD 的面积等于V ABC 的面积？若存在，请求出点存在，请说明理由；(3)如图2，连接OC 交AB 于点M ，是否存在一点()0,N n 在y 轴上，使得积，若有，请求出n 的取值范围；若没有，请说明理由．(1)求点A的坐标；V(2)若点C在第二象限，ACD①求点C的坐标；x+>②直接写出不等式组4V沿x轴平移，点③将CAD(1)若33k =-，点P 是直角NOM △的“近N 点”，则OP 的长度可能是①1 ；②2 ；③3 ；④23(2)若线段MN 上的所有点(不含M 和)N 都是直角NOM △的“(3)当1k >时，若一次函数y x k =+与2y kx =+的交点恰好是直角值范围是______ ．(1)当OA OB =时，求点A 坐标及直线l 的解析式；(2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上的一点，作直线OQ ，过AB 、两点分别作于M ，BN OQ ⊥于N ，若8AM =，求BN 的长．(3)当m 取不同值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB AB 、为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF V 和等腰直角ABE V ，连接EF 交y 轴于点P ，如图3，问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．17．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线(y ax b a =+，b 为常数）是点(,)P a b 的关联直线，点(,)P a b 是直线y ax b =+的关联点；特别地，当0a =时，直线y b =的关联点为(0,)P b ．如图，直线:24AB y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．【定义辨析】（1）直线AB 的关联点的坐标是（ ）A ．(0,0)B ．(0,4)C ．(2,0)D ．(2,4)-【定义延伸】（2）点A 的关联直线与直线AB 交于点C ，求点C 的坐标；；【定义应用】（3）点(1,)K m 的关联直线与x 轴交于点E ，=45ABE а，求m 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x y ，与()222P x y ，的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y -³-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12x x -；若1212x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12y y -．例如：点()112P ，，点()235P ，，因为1325-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）．(1)已知点102A æö-ç÷èø，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，直接写出点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知点3,34C x x æö+ç÷èø是直线m 上的一个动点．①如图2，点D 的坐标是()01，，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，正方形FGMN 的边长为1，边FG 在x 轴上，点E 是正方形FGMN 边上的一个动点，记d 为点C 与点E 的“非常距离”的最小值，当正方形FGMN 沿x 轴平移，在平移过程中点G 的横坐标大于等于0，且小于等于9时，直接写出d 的最大值．20．“一方有难、八方支援”，在某地发生自然灾害后，某公司响应“助力乡情献爱心”活动，捐出了九月份的全部利润．已知该公司九月份只售出了A、B、C三种型号的产品若干件，每种型号产品不少于4件，九月份支出包括这批产品进货款20万元和其他各项支出1.9万元（含人员工资和杂项开支）．这三种产品的售价和进价如下表，人员工资1y（万元）和杂项支出2y（万元）分别与销售总量x（件）成一次函数关系（如图）．型号A B C进价（万元/件）0.50.80.7售价（万元/件）0.8 1.20.9（1）写出1y与x的函数关系式为______；九月份A、B、C三种型号产品的销售的总件数为_____件．（2）设公司九月份售出A种产品n件，九月份总销售利润为W（万元），求W与n的函数关系式并直接写出n的取值范围；（3）请求出该公司这次爱心捐款金额的最大值．21．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：(1)学校与劳动基地之间的距离为________千米；(2)a=________，B点的坐标是________．(3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围．。
一次函数的使用方法与技巧
一次函数的使用方法与技巧
一次函数又称为线性函数，是形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，x 是自变量，y是因变量。
以下是一些使用一次函数的方法与技巧：
1. 理解斜率和截距：斜率a表示直线的倾斜程度，正值表示向上倾斜，负值表示向下倾斜；截距b表示直线与y轴的交点位置。
2. 点斜式方程：如果已知一次函数的斜率a和经过的点(x1, y1)，可以使用点斜式方程y - y1 = a(x - x1)来表示一次函数。
3. 斜率截距式方程：一次函数的标准形式是y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。
4. 求解交点：当两条一次函数相交时，可以通过联立方程组求解得到它们的交点坐标。
5. 判定平行和垂直：两条一次函数平行的条件是它们的斜率相等；两条一次函数垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
6. 拟合数据：对于给定的一组数据点，可以使用最小二乘法拟合一条一次函数，
以找到最佳拟合直线。
7. 解决实际问题：一次函数可以用于解决许多实际问题，例如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。
8. 利用图像解题：可以通过绘制一次函数的图像来直观地解答问题，例如找到函数的零点、最大值和最小值等。
9. 利用函数性质：一次函数的性质可以用于简化计算，例如直线上两点的中点坐标等。
10. 对对称性的应用：一次函数具有对称性，可以利用这一性质来简化计算或解决问题。
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一次函数与距离和最大值和最小值问题
1、在直线AB的同侧有两个点C 、D在直线AB上找一个
点E，①使CE+DE最短②CE=DE
2、在直线AB的异侧有两个点C 、D在直线AB上找一个
点E，①使CE+DE最短②CE=DE
3、在直角坐标系中有两个点D（1，-3），E（-1,-4），在y
轴上确定一个点Q，使Q到D E的距离和最短，求Q点的
坐标。
4、已知一直线与X轴交于A（4,0）交y轴于B，且过点D
（3，1），OA的中点为C。①写出直线AB的函数关系式
②在y轴上确定一点P，使PC+PD的距离和最短，求出P
点坐标。
5、已知y=-x+2，①当y＞0时，x的取值范围。②当y＜1
时，x的取值范围。③当x＞1时，y的取值范围。
A O C
B
D
P
Y
X