导数在函数求最大值和最小值中的应用解读
导数在函数求最大值和最小值中的应用
导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f (x )＝5x ＋234x x +--的值域. 解析：由3040x x +⎧⎨-⎩≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。
∵ y ’＝f ’(x )＝5324x x +++-, 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增．∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].例2．设32<a <1，函数f (x )＝x 3－23ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－6,求a , b 的值。
解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)，∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，∵ f (0)－f (1)＝23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a =－6, ∴ a =6，b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求()f x x 在(0，a ]上的最大值。
解析：2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，∴ 2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x在(0，a ]上是增函数。
如何用函数导数解决函数最值问题
如何用函数导数解决函数最值问题导数是微积分中的基本概念之一，是描述函数变化率的一个量。
在许多实际问题中，我们需要找到函数的最值，即函数取得最大或最小值的点。
函数的最值问题是微积分中的基础应用之一，而函数的导数在解决函数最值问题中发挥着重要的作用。
一、局部最值存在的条件函数在一个区间内有最大值或最小值，就称该函数在这个区间内有一个局部最值。
为了找到函数的最值，我们首先需要判断函数是否在特定的区间内有最值。
一般来说，函数在一个区间内有最值的条件有两个：1. 导数存在且为0当函数在一点导数存在且为0时，该点可能是函数的极值点。
但是，这里需要注意的是，导数为0并不一定意味着该点是极值点。
因此，我们需要结合二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
具体来说，若该点二阶导数存在且为正，则该点为函数局部最小值点；若二阶导数存在且为负，则该点为函数局部最大值点；若二阶导数不存在，则需要进一步对函数进行分析。
2. 导数不存在的间断点或者端点当函数在区间的端点或者间断点处时，可能存在局部最大值或最小值。
因此，我们需要将函数在这些点附近的值进行比较，在这些点的右侧和左侧都要进行比较。
其中，函数在这些点附近的值可以用左右极限来表示，从而更好地判断该点是否为最值点。
二、求解函数最值的步骤在确定了函数有局部最值的区间后，我们可以通过以下步骤来求解函数的最值：1. 求出函数的导数和二阶导数首先，我们需要求出函数的导数和二阶导数，以确定函数在导数为0的点周围的变化趋势。
2. 求出导数为0的点接着，我们需要使用一些方法求出函数导数为0的点，也就是可能的最值点。
这里我们介绍几种常用的方法：（1）解方程：将函数的导数设置为0，解出方程，求出相应的导数为0的点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，观察某些点的几何性质，然后判断是否为导数为0的点。
（3）牛顿法：用牛顿迭代法求出导数为0的点。
3. 判断极值点类型当我们求出了导数为0的点后，我们需要判断这些点是否为极值点。
导数的应用(二)最大值与最小值-5页word资料
导数的应用（二） 最大值与最小值一. 教学内容导数的应用（二） 最大值与最小值一般地，在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值，例如x x f 1)(=在),0(∞+内的图象连续，但无最大值和最小值。
设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在),(b a 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f ，)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【典型例题】[例1] 求函数5224+-=x x y 在区间]2,2[-上的最大值与最小值。
解：x x y 443-='，令0='y ，有0443=-x x 1,0,1-=x当x 变化时，y '，y 的变化情况如下表：从上表可知，函数5224+-=x x y 在区间]2,2[-上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下：[例2] 已知b ax ax x f +-=236)(，]2,1[-∈x 的最大值为3，最小值29-，求a 、b 的值。
解：依题意0≠a ，否则b x f =)(与已知矛盾。
令0)(='x f 解得0=x 或4=x（1）当0>a 时，由⎩⎨⎧≤≤->'210)(x x f 解得01<≤-x令0)(<'x f ，解得20≤<x ，列表如下：由)(x f 连续，则当0=x 时，)(x f 有最大值，即3)0(==b f ，又由b a f b a f +-=>+-=-16)2(7)1(，则)2(f 为最小值，故229316=⇒-=+-a a所以，当0>a 时，2=a ，3=b （2）当0<a 时，列表如下：故)(x f 最小值为29)0(-==b f ，)(x f 最大值为232916)2(-=⇒=--=a a f 所以，当0<a 时，2-=a ，29-=b[例3] 已知两个函数k x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=，其中R k ∈ （1）对任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围。
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
导数在求值(极值、最值)中的应用
导数在求值(极值、最值)中的应用一、预备知识1．若函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，根据闭区间连续函数的性质，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上必取到最大值与最小值．而最大点或最小点可能在区间端点a或b 上；也可能取在开区间(a，b)内部某点上，此时的最大点即为极大点；最小点即为极小点．因此，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，在开区间(a，b)内可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)内的所有驻点(隐定点)，则函数值f(a)，f(x1)，f(x2)，…f(x n)，f(b)中最小者就是函数f(x)的最小值；最大者就是函数f(x)的最大值．2．若函数f(x)在有界开区间(a，b)或无界开区间(a，+∞)(或(－∞，b))上可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)或(a，+∞)(或(－∞，b))的所有驻点(隐定点)，设：存在；f(x i)=max{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}，f(x j)=min{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}．则f(x i)为最大值，则f(x j)为最小值．二、应用例题f(x)=(x+b+c)3－(x+b－c)3－(b+c－x)3－(c+x－b)3．f′(x)=3〔(x+b+c)2－(x+b－c)2+(b+c－x)2－(c+x－b)2〕=24bc．对上式求原函数，有.f(x)=∫24bcdx=24xbc+c则c1=f(0)=(b+c)3－(b－c)3－(b+c)3+(b－c)3=0，从而f(x)=24xbc或f(a)=24abc．为定值．证明设M(x，y)是星形线上任一点，将星形线方程对x求导，得过点M的切线l方程为令Y=0，则得l在x轴上截距令X=0，则得l在y轴上截距于是，二坐标轴所截线段长为例3已知p1，p2，…，p n∈N，a1，a2，…，a n∈R+，且p1a1+p2a2+…解不失一般性，令a1=min{a1，a2，…，a n}，a n=max{a1，a2，…，a n}，p=p1+p2+…+p n，则将a2，a3，…，a n看作常量，a1看作变量，设函数(将a1用x表示)则为所求的最小值．例6从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形(如图)，将剩余部分围成一个圆形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？解设剪后剩余部分的圆心角是x(θ≤x≤2π)．圆锥形漏斗的斜高是R，圆是圆锥的底面积S是于是，圆锥的体积是下面求函数V(x)在〔0，2π〕上的最大值．例7测量某个量A，由于仪器的精度和测量的技术等原因，对量A做了n次测量，测量的数值分别为a1，a2，…，a n取数x作为量A的近似值，问x取何值才能使x与a i(i=1，2，…，n)之差的平方和为最小？解由题意，求函数f(x)=(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－a n)2的最小值．f′(x)=2(x－a1)+2(x－a2)+…+2(x－a n)=2〔nx－(a1+a2+…+a n)〕f″(x)=2n＞0，值作为量A的近似值，才能使函数f(x)取最小值．例8一个容器，下半部是圆柱，上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等，设容器表面积为S，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容积最大．解设圆柱的高为h，底面半径为r，则容器的容积为将(*)式代入上式，整理得例9设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其总面积为最小，问底边的长应为多少？等边三角形的直柱体总面积为例10求内接于半径为R的球的体积最大的圆柱体的高．解设球的内接圆柱体的高为h(如图)，则圆柱体底面半径圆柱体体积为例11要使内接于一个半径为R的球内的圆锥体的侧面积为最大，问圆锥体的高应为多少？解设球的内接锥体的高为h(如图)，则锥体底面的圆半径所以圆锥体的侧面积为例12平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这直线的方程．解过点p(1，4)且斜率为k的直线方程为设两截距之和为S，则所以极小值即为最小值，故所求的直线方程为例13求内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长．例14要做一个圆锥形漏斗，其母线长20厘米，要使其体积为最大，问其高应为多少？漏斗的体积为例15 三个点A、B和C不在同一直线上，∠ABC=60°，汽车以80公里/小时的速度由A向B行驶，同时火车以50公里/小时的速度由B向C行驶．如果AB=200公里，问运动开始几小时后汽车与火车的距离为最短？解设运动t小时后，汽车行至D点，火车行至E点，两车的距离为DE=S(如图)，则例16在一半径为R的圆形广场中心挂一灯，问要挂多么高，才能使广场周围的路上照得最亮？(灯光的亮度与光线投射角的余弦成正比，与光源距离的平方成反比，而投射角是经过灯所作垂直于地面的直线与光线所夹的角)．解设灯位于Q点离地面的高度为h(如图)，则广场周围的路上，灯光的亮度为例17有甲乙两城，甲城位于一直线形的河岸，乙城离岸40公里，乙城到岸的垂足与甲城相距50公里，两城在此河边合建一水厂供水，从水厂到甲城与乙城安装水管费用分别为每公里500元与700元，问此水厂建在河边何处，才能使安装水管费最省？解设水厂建在离甲城x公里(如图)，则安装水管费为令S′(x)=0，即渔站．如果送信人步行每小时5公里，船速每小时4公里，问应在何处登岸再走，才可使抵达渔站的时间最省？解设渔艇停泊在A处，海岸渔站位于B处(如图)，过A且垂直于海岸线交于C，令T′(x)=0，即于是登岸处距渔站3公里时，所需的时间最省．。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高一数学导数的应用于最值问题
高一数学导数的应用于最值问题导数是数学中的重要概念，它不仅在微积分中应用广泛，而且在各个学科中都有重要的作用。
在高一数学中，导数的应用主要体现在最值问题上。
最值问题涉及到在一定条件下，如何找到函数的最大值或最小值。
通过运用导数的概念和定理，我们可以轻松地解决这类问题。
1. 极值点的求解在寻找函数的最大值或最小值时，首先需要找到函数的极值点。
极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
根据导数的定义，当函数的导数为零或不存在时，可能存在极值点。
例如，考虑函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，我们可以求出它的导数 f'(x)= 3x^2 - 6x。
为了找到函数的极值点，我们需要解方程 f'(x) = 0。
3x^2 - 6x = 0通过因式分解或求根公式，我们可以得到 x = 0 或 x = 2。
这两个点就是函数的极值点。
我们还可以通过二阶导数来判断这些极值点是最大值还是最小值。
2. 极值点的判定为了确定极值点是最大值还是最小值，我们需要利用二阶导数的正负性来判定。
二阶导数的正负性可以告诉我们在极值点的附近，函数是凹还是凸的。
设函数 f(x) 在极值点处的二阶导数为 f''(x)，若 f''(x) > 0，则函数 f(x) 在该点附近是凹的，说明极值点是最小值；若 f''(x) < 0，则函数 f(x) 在该点附近是凸的，说明极值点是最大值。
对于前面的例子函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，我们可以求得二阶导数f''(x) = 6x - 6。
然后，我们将极值点 x = 0 和 x = 2 代入 f''(x)。
当 x = 0 时，f''(0) = -6，小于零，说明 x = 0 是函数的最大值点。
当 x = 2 时，f''(2) = 6，大于零，说明 x = 2 是函数的最小值点。
利用导数研究函数的极值和最值问题
利用导数研究函数的极值和最值问题１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（１）确定函数的定义域．（２）求)(x f '．（３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解．２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤：（１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值；（２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ;(2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围.解析 (1)因为()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[]x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a .此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1.(2)由(1)得()[]()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21<a ,则()2,0∈x 时,02<-x ,01211<-≤-x ax ,所以0)(>'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点.综上可知,a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21。
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导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f (x )＝5x ＋.解析：由3040x x +⎧⎨-⎩≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。
∵ y ’＝f ’(x )＝5 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增．∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].例2．设32<a <1，函数f (x )＝x 3－23ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1求a , b 的值。
解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)，∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，∵ f (0)－f (1)＝23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a =∴ ab =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求()f x x 在(0，a ]上的最大值。
解析：2()'()()[]'f x f x x f x x x⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，∴ 2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x在(0，a ]上是增函数。
∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ，① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。
解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－31<x <0时，g ’(y )>0，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0)上恒成立， ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4.当x ≤－31时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=224210112703143x x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪-+-<<⎨⎪⎪---⎪⎩≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1，当x ∈(－31，0)时，f (x )=27[(x －154)2－2154]+1<f (－31)=119, 当x ≤－31时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1<119< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+3a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。
解析：f ’(x )＝6x －43a x ，令f ’(x )=0得 x ＝15()2a ， 当0<x <15()2a 时，f ’(x )＜0，当x >15()2a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝15()2a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20,∴ 12255532555(())3()2022()22a a a f a a =⋅+=⋅≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，∴ h =222S R Rππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h =2222122S R R SR R R ππππ-⋅=-, 由V ’(R )=0得21S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大．例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ．（1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ；（2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上；（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。
解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ，由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根．∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0，f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根，∵ s <t ，∴ 0＜s ＜a ＜t ＜b .（2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()33a b s t ab st +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴ f (s )+f (t )=342()()273a b ab a b -+++, ∵ 3211()()()()[()()]232732s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C (2s t +，f (2s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1),由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点．∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ],当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ，当x 1=2a b +时，切线斜率为－41(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－41(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－41(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。
例8 、设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.（1）求n 的值；（2）求证：f （1）≥2.剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x =0时，f （x ）取到极大值.∴f '（0）=0.∴n =0.（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－32m ， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数，∴x 2=－32m ≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的范围，便可证之.例9、已知函数f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x .（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值.解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12. ① 又x =1，y =－12在f （x ）的图象上，∴4+a +b +5=－12.②由①②得a =－3，b =－18，∴f （x ）=4x 3－3x 2－18x +5. （2）f '（x ）=12x 2－6x －18=0，得x =－1，23，f （－1）=16，f （23）=－461，f （－3）=－76，f （1）=－13. ∴f （x ）的最大值为16，最小值为－76.例14（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数()ln a f x x x =-， （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．（2）由（1）可知：2()x a f x x +'= ① 若1a ≥-，则0x a +≥，()f x 在[1,]e 上为增函数，② 若a e ≤-，则0x a +≤，()f x 在[1,]e 上为减函数，③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，min 3[()]()ln()12f x f a a a ∴=-=-+=⇒= (3)令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x -''=-==+-=-=，。