函数最大值与导数
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
导数与函数的最值关系解析与归纳
导数与函数的最值关系解析与归纳函数在数学中是一个常见的概念，它描述了一种输入和输出之间的映射关系。
而导数则是函数在某一点上的变化率，能够揭示函数的增减性和极值情况。
本文将探讨导数与函数的最值关系，并对其进行分析和总结。
一、导数的定义和求解方法在研究导数和函数的最值关系之前，我们首先需要了解导数的定义和求解方法。
对于函数f(x)，在其某一点x处的导数可以通过极限的方法来求解，即：\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的增量。
通过求解上述极限，我们可以得到函数f(x)在点x处的导数。
二、函数的最值与导数的关系函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
在研究函数的最值时，导数可以给我们一些重要的线索。
具体而言，我们可以通过以下定理来判断函数的最值情况：1. 极值第一定理若函数f(x)在点x处取得极值，且该点处的导数存在，则导数f'(x)等于零或不存在。
2. 极值第二定理若函数f(x)在点x处取得极值，且该点处的导数存在，则导数f'(x)从正变为负，或者从负变为正。
基于上述定理，我们可以通过求解导数为零的点或导数变号的区间，来确定函数的极值点。
三、应用举例接下来，我们通过几个具体的函数例子来说明导数与函数最值之间的关系。
1. 求解函数$f(x)=3x^2-4x+1$的极值点。
首先，我们需要求解导数$f'(x) = 6x - 4$。
令$f'(x)=0$，得到$x =\frac{2}{3}$。
所以，函数$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处可能取得极值。
其次，我们观察导数的变化情况。
当$x<\frac{2}{3}$时，导数$f'(x)<0$；当$x>\frac{2}{3}$时，导数$f'(x)>0$。
基于极值第二定理，我们可以判断$x = \frac{2}{3}$是函数$f(x)$的极小值点。
函数的最大(小)值与导数
新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
而在社会生活实践中，常常遇到如何能使用料
最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题通
常需要转化为求一个函数的最大值和最小值问题。
那么函数在什么条件下才有最大、最小值？它们 与函数极值又有怎样的关系呢？
观察认识： 观察下列函数y=f (x)在某段区间上 的图象，你能从图中找出它们的最大值， 最小值吗？
(1) y f ( x)
y
a x1 x 2 o x3
x4
x5
b
x
函数y=f (x)在区间[a,b]上 最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
(2) y f ( x) , x a, b
没有最大值和最小值
(3) y f ( x) , x a, b
y
y f ( x)
1、求出所有导数值为0的点； 2、计算定义域内导数值为0的点处及区间端点处的函数值； 3、比较确定最值。
※动手试试
练习：
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
1、f ( x) x 27 x , x 4, 4
3
2、f ( x) 3x x , x 2,3
3
※典型例题
解：f ' x 12 3x 2 , x 3,3 令f ' x 0, 则 x 2或 x 2 又 f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f ( 3) 3 函数f ( x) 6 12 x x 3在 3， 3 上的 最大值为f (2) 22，最小值为f (2) 10.
导数与函数的极值、最值
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， 所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3； 当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减 区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取 得极大值．
答案：－2
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
x2＋a 5．若函数 f(x)＝ 在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续， 又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9， 且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的 取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.
导数与函数的最值定理
导数与函数的最值定理在微积分中，导数与函数的最值定理是一项重要的理论，它为我们研究函数的极值提供了重要的工具。
本文将介绍导数的基本概念以及函数的最值定理，并通过例子来说明它们的应用。
导数的概念首先，我们来了解导数的概念。
在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x处可导，那么f(x)在该点的导数可以表示为f'(x)，它的计算公式为：f'(x) = lim(h->0)[(f(x+h) - f(x))/h]其中，lim表示极限，h为无穷小量。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率，它的值可以为正、负或零。
导数的符号和大小还能反映出函数的单调性和曲线的变化趋势。
函数的最值定理函数的最值定理是导数的一个重要应用。
根据这一定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续并且可导，那么f(x)在这个区间上一定存在绝对最大值和最小值。
我们可以通过以下步骤来计算函数在[a, b]上的最值：1. 求出函数在区间内的导数f'(x)。
2. 计算导数f'(x)在区间内的所有临界点（即导数为零或不存在的点）和区间的端点处的函数值。
3. 比较求得的所有函数值，最大值即为函数在区间内的最大值，最小值即为函数在区间内的最小值。
例子分析为了更好地理解导数与函数最值定理，我们来看一个具体的例子。
考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2在区间[-1, 3]上的最值问题。
首先，计算函数的导数f'(x)。
对f(x)进行求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。
接下来，求出导数f'(x)为零的临界点。
令f'(x) = 0，解得x = 1。
这个临界点位于区间[-1, 3]内。
计算函数f(x)在临界点和区间端点的函数值。
我们有f(-1) = -5，f(1) = 0，f(3) = 10。
最后，比较求得的函数值，我们可以得出结论：在区间[-1, 3]上，函数f(x)的最大值为10，最小值为-5。
第三节 导数与函数的极值、最值
第三节 导数与函数的极值、最值
教 材
1.函数的极值与导数
研
2.函数的最值
读
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考 考点一 函数的极值问题 点 突 考点二 函数的最值问题 破 考点三 函数的极值与最值的综合应用
教材研读
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1.函数的极值与导数
(1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值 都① 小 ,则f(a)叫函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值
x,g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,
2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
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解析 由题意可得f(x)max<g(x)max,x∈(0,2].易知g(x)max=g(2)=0, f '(x)=ax-
(2a+1)+
0,
1 e
时,
f
'(x)<0,函数f(x)单调
递减;当x∈
1 e
,
时,
f
'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f
1 e
=-
1.
e
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6.(202X靖江高级中学阶段检测)已知函数f(x)=2f '(1)ln x-x,则f(x)的极大
值为
.
答案 2ln 2-2
解析 由题意知f '(x)= 2 f '(1)-1,令x=1,得f '(1)=2f '(1)-1,解得f '(1)=1,所以
4.4 函数的最值和导数在经济中的应用
3 2
答案：最大值f（-1）=10，最小值f（3）=-22
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用
经济数学
3.4.2 最值在经济问题中的应用举例
(1) 举例
例３ 设某产品的总成本函数为 C(q) 0.25q 2 15q 1600（元） （ｑ为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最 小，并求最小平均成本？
经济数学 3.4.3 导数在经济分析中的应用
2.边际函数在经济学中的应用
(2) 举例
例５ 设总成本函数 C(q) 0.001q3 0.3q 2 40q 1000 （元）， 求： ⑴ 边际成本函数；⑵ 生产50个单位时的平均单位成本，和边际 成本值，并解释后者的经济意义。
解： ⑴ 边际成本函数为C (q) 0.003 q 2 0.6q 40
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用
经济数学 3.4.1 函数的最值
(2) 引子
如果函数 f ( x) 在 [ a, b]上单调增加，则函数f ( x) 的最大值
和最小值分别是什么？
?
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用
经济数学 3.4.1 函数的最值 (2) 引子
如图１所示，如果 f ( x)在
C (q0 ) 则其边际函数C C (q ) 称为边际成本函数，简称边际成本。
称为当产量为 q0 时的边际成本。
其经济意义为：当产量达到 q0 时，如果增减一个单位产品， 则成本相应增减 C (q0 )个单位。 3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用
经济数学 3.4.3 导数在经济分析中的应用 2.边际函数在经济学中的应用 (1) 定义
C(50) ⑵ q=50时的平均单位成本为 47.5, q=50时的边际成本为 50 C (50) (0.003q 2 0.6q 40) 17.5
导数与函数的最大值与最小值
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.
2021/6/16
4
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
22.0与21/6数/16 学中其它分支的结合与应用.
15
例1: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S(x)6x22x 41.6 令 S(x)0,得x12233,x22233.
x1(0,2),所以当 因此当点B为(2 2
x 3 ,02) 时2,3矩3时形,的S(x 最)m 大a面x3积923是.
32
3.
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解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.
由VS =(πr)r 2h2 ,得rhV r2 V2 r2r,2则2 r V2r2.
令S(r)2rV2 4r0,解得r
4V V 3 23
2
,即h=2r.
3