原函数与导函数的关系
原创§原函数与导函数的关联 ppt课件
法2：因原函数是偶函数，故导函数是奇函数
又因曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f / (1) 1
故曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f /(1)1
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三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用： 一导本身即斜率 增大减小○驻点 二导本身是曲率 大凹小凸○拐点
kf /(x0)yx00
y1 x1
y0 k x0 b
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1 )
y0 f (x0)
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导数的几何意义
2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有 二阶导,若 数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
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(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f(1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f ( x) x 2 ,则 f / (x) x ,即 kf/(1)1
【A】
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y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
f(x)递增 y 0
o
a f(x)递
减
y
b 0
x
f(x)递减 y 0
原函数是求导前还是求导后
原函数是求导前还是求导后
原函数是求导后。
导数所体现的是原函数的变化趋势，不能表现原函数的大小、正负，比如原函数恒大于零，而它的导数则没有这种特性。
导函数的几何意义是原函数的图像在某点切线的斜率，另外，对求最值解不等式都有重要的意义。
值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值，但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。
导函数的几何意义是代表函数上某一点在该点处切线的斜率。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件，条件为函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。
这实际上是按照极限存在的一个充要条件即极限存在它的左右极限存在且相等，推导而来的。
一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果在这个区间y'<0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如
果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数是一阶导数的导数。
一阶导数是函数在某一点的斜率，二阶导数则是一阶导数在这一点的变化率。
一阶导数告诉我们函数的变化趋势，而二阶导数告诉我们函数的变化趋势的变化情况。
原函数是函数的积分，即原函数是一阶导数的反函数。
一阶导数告诉我们函数在某一点变化的快慢，原函数则可以算出函数在某一点的值。
而对于二阶导数，由于它描述了一阶导数的变化情况，我们可以通过对一阶导数进行积分来得到二阶导数对应的原函数。
综上所述，二阶导数，一阶导数和原函数之间存在着密切的关系。
原函数存在一定可导吗
原函数存在一定可导吗
原函数存在一定可导吗？：一定。
导数是函数增量比的极限。
这是导数的数学意义。
函数在某点处可导，在图象上表示该点切线的斜率存，这是导数的几何意义。
函数的定积分在几何上表示曲边梯形的面积。
对一元函数来讲，可导必连续，连续必可积。
连续函数的原函数一定存在。
原函数连续导数不一定连续，原函数连续并不能推出导函数连续。
还需要进一步求导才可判断。
原函数连续，并且导数存在，导函数不一定连续。
函数连续，但在该点的左右导数不相等，导数也不存在。
导数还原成原函数公式
导数还原成原函数公式要将导数还原成原函数公式，我们需要理解导数和原函数之间的关系以及常见的反函数求解方法。
在微积分中，导数的定义是描述函数在特定点处的瞬时变化率。
而原函数指的是函数的不定积分或积分的逆运算。
导数和原函数之间存在一一对应的关系，即如果函数f(x)的导数为f'(x)，则f'(x)的原函数就是f(x)加上一个常数C。
这一关系可以表示为：∫f'(x)dx = f(x) + C其中，C表示不定积分的常数项，因为导数只能确定函数的斜率，而无法确定函数在x轴上的位置。
因此，原函数可以存在无穷多个，它们只在常数项上有差异。
具体求解导数还原成原函数公式的方法有以下几种常见的情况：1. 常数函数的导数还原：对于任意常数c，它的导数恒为0。
因此，常数函数f(x) = c的原函数为F(x) = cx + C。
2.幂函数的导数还原：对于幂函数f(x)=x^n，其中n不等于-1时，经过求导和积分运算可以得到：f'(x) = nx^(n-1)∫f'(x)dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C其中，C表示常数项。
这个公式适用于大多数的幂函数，如x的任意次方函数、三角函数的高次方等。
3.指数函数的导数还原：指数函数f(x)=a^x（其中a>0且a≠1）的导数为：f'(x) = ln(a) * a^x∫f'(x)dx = 1/ln(a) * a^x + C其中，C表示常数项。
这个公式适用于以a为底的指数函数。
4. 对数函数的导数还原：自然对数函数f(x) = ln(x)的导数为：f'(x)=1/x∫f'(x)dx = ln(，x，) + C其中，C表示常数项。
由于对数函数的定义域为正实数，因此需要加上绝对值符号。
5. 三角函数的导数还原：三角函数f(x) = sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为：f'(x) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)∫f'(x)dx = -sin(x)、sin(x)、tan(x) + C其中，C表示常数项。
原函数与二阶导函数的关系
原函数与二阶导函数的关系
原函数和它的二阶导函数之间有着密切的关系。
对于函数 y = f(x)，其二阶导函数为 y'' = f''(x)。
当 f''(x) > 0，则函数 y = f(x) 在该点是凹函数，即具有下凹形状。
当 f''(x) < 0，则函数 y = f(x) 在该点是凸函数，即具有上凸形状。
当 f''(x) = 0，则函数 y = f(x) 在该点是平函数，即具有平凡形状。
另外，二阶导函数也可以用来判定函数的单调性，如果二阶导函数在整个定义域内都是正数，那么原函数就是下凹函数，即单调递增，反之就是下凸函数，即单调递减，如果在整个定义域内都是0，则原函数是常函数。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中数学组王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
导数的最大值与原函数的最大值大小关系
导数的最大值与原函数的最大值大小关系一、导数的最大值与原函数的极值在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。
对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。
这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。
二、导数的最大值1. 定义导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。
也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。
2. 导数的最大值的意义当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。
这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。
在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。
三、原函数的最大值1. 定义原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。
也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。
2. 原函数的最大值的意义当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。
这个点就是函数的最高点或者最大点。
在这个点上，函数的取值达到了最大值。
四、导数的最大值与原函数的最大值的关系1. 关系的探讨在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。
通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
2. 特殊情况然而，也存在一些特殊情况。
某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。
这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。
五、结论导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。
然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。
导数的最大值与原函数的最大值之间具有一定的关系，但需要根据具体情况具体分析。
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课题:探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。
教师实际上就是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1、 从经验观察发现,猜想得命题p,q 、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。
2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。
3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称,研究前面的四个命题还就是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解;2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力;3体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事物。
4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
教学难点灵活运用所学知识探索未知领域。
新课引入前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函数的图像画出导函数的示意图不？一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。
问题1 已知函数()y f x =的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。
3()f x x = 2'()3y f x x ==2()f x x = '()y f x x ==导函数的实质就是原函数的瞬时变化率,导函数的正负反应了原函数的单调性,导函数的大小反应了原函数增减的快慢。
从图像的整体性质上瞧,您还有什么发现？猜想p : 可导的奇函数的导函数就是偶函数,猜想q: 可导的偶函数的导函数就是奇函数。
问题2 您能根据图象上解释一下您的猜想不？奇函数关于原点中心对称,它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同,即切线斜率相等; 偶函数关于y 轴对称,它的曲线在y 轴两侧等距离处升降速度绝对值相等,即切线斜率互为相反数。
问题3尝试证明您的猜想P : 已知()y f x =就是可导的奇函数,求证'()y f x =时偶函数分析1:欲证'()y f x =时偶函数,只需证'()'()f x f x -=若将'()f x -理解将'()f x 中的x 替换为x -得到的函数,可以用导数定义证明。
证明:当()y f x =就是奇函数时,对定义域中的任意x 都有'()f x -000()()()()()()'()lim lim lim x x x f x x f x f x x f x f x f x x f x x x x∆→∆→∆→-+∆----∆+--∆====∆∆∆所以'()y f x =时偶函数分析2、用复合函数求导证明:当()y f x =就是奇函数时,对定义域中的任意x 都有()()f x f x -=-两边对x 求导得[()]'[()]'f x f x -=-,即'()(1)'()f x f x -⋅-=-得'()'()f x f x -=,所以'()y f x =时偶函数命题 q 同理可证、思考:瞧来已知原函数的奇偶性,我们可以确定导函数的奇偶性,那么已知导函数的奇偶性能否推知原函数的奇偶性呢？命题p 与q 的逆命题就是否成立呢？二.探究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。
问题4 p 与q 的逆命题就是否成立？p 的逆命题:若'()y f x =就是偶函数,则()y f x =奇函数o xy y x ox yo此命题不正确,可举出反例:如'()y f x x ==就是奇函数,而原函数21()2y f x x c ==+ 当c 不为0时,原函数不就是偶函数。
这就是什么原因造成的呢？因为原函数定了,导函数就是唯一确定的,而同一个导函数的原函数有无穷多个。
一个函数向上或向下平移后导函数就是不变的,直观理解就是切线的斜率不变。
而函数上下平移就不能保证图象关于原点中心对称了。
q 的逆命题:若'()y f x =就是奇函数,则()y f x =偶函数证明:'()y f x =就是奇函数时[()()]''()'()(1)'()'()0f x f x f x f x f x f x --=---=+-=能否推出()()0f x f x --=？只能推出()()f x f x c --=,思考c 就是确定的值不？能求不？问题转化为导函数就是0,原函数就是什么？可以举出分段的常数函数 ,为使此命题成立,我们加强一下条件,将命题改为“对于在R 上连续可导的函数,若'()y f x =就是奇函数,则()y f x =偶函数”。
此时()y f x =在0x =处有定义,则(0)(0)0f f c --==,此时可得()()f x f x =-,原函数就是偶函数。
三.探究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性对于连续的可导函数,原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性,而逆命题中当导函数为奇函数时,原函数就是偶函数,但当导函数为偶函数时,原函数不一定就是奇函数,那么此时原函数虽然不就是奇函数了,它就是不就是也有什么性质呢？它的图像应该就是中心对称的。
能否将刚才的结论推广一下？问题5 奇函数图象特征就是关于原点中心对称,偶函数图象特征就是关于y 轴对称,能否将上述命题推广一下？P 的推广命题r :若可导函数()y f x =关于(,)a b 对称,则它的导函数关于直线x a =对称。
证明:()y f x =关于(,)a b 对称,则()(2)2f x f a x b +-=,'()'(2)(1)0f x f a x +--=即'()'(2)f x f a x =-,所以其导函数关于直线x a =对称。
q 的推广命题s :若可导函数()y f x =关于x a =对称,则它的导函数关于(,)a b 对称证明:()y f x =关于x a =对称,则()(2)f x f a x =-,'()'(2)(1)f x f a x =--即'()'(2)f x f a x =--所以其导函数关于(,0)a 对称导函数的对称中心在x 轴上、 修改命题s 、若可导函数()y f x =关于x a =对称,则它的导函数关于(,0)a 对称令'()'(2)f x f a x =--中x a =可得'()0f a =,能否从图像中找到解释？四.探究由导函数的对称性能否推出原函数的对称性问题6 思考:命题r ,s 逆命题就是否成立？命题r 的逆命题:对于在R 上可导的函数()y f x =,若它的导函数关于直线x a =对称,则原函数关于(,)a b 对称证明:'()y f x =关于直线x a =对称,则'()'()f a x f a x +=-而[()()]''()'()0f a x f a x f a x f a x ++-=+--=得()()f a x f a x c ++-=当0x =时可得2()c f a =,所以()()2()f a x f a x f a ++-=,即函数()y f x =关于(,())a f a 对称。
对称中心在函数图像上。
命题s 的逆命题:(课上只写出命题,判断验证留作课后思考题)对于在R 上连续可导的函数()y f x =,若它的导函数关于(,)a b 对称,则原函数关于直线x a =对称证明:'()y f x =关于直线(,'())a f a 对称,则'()'()2f a x f a x b ++-=而[()()]''()'()2f a x f a x f a x f a x b +--=++-=得()()2f a x f a x bx c +--=+当0b ≠时,此命题不成立。
当0b =时,由0x =时可得0c =,所以()()0f a x f a x +--=,即函数()y f x =关于x a =对称。
命题r 的逆命题需要修正,若对于在R 上连续可导的函数()y f x =,若它的导函数关于(,0)a 对称,则原函数关于直线x a =对称五.原函数与导函数对称性联系的应用1、我们知道二次函数都就是有对称轴的,而二次函数又就是三次函数的导函数,您能由此得出三次函数具有什么性质？分析:由命题s 的逆命题知三次函数必有对称中心。
对称中心的横坐标与导函数的对称轴的横坐标相同。
求任意三次多项式函数32y ax bx cx d =+++的对称中心。
解:322'32y ax bx cx d ax bx c =+++=++,其对称轴就是3b x a=-,将此值代入解析式可得对称中心纵坐标。
即函数32y ax bx cx d =+++的对称中心为(,())33b b f a a --、 2、若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠就是偶函数,则,a b 的关系就是 解:由其导函数就是奇函数,且在0处有定义,可得'(0)0f =,得0a b +=,代回检验。
小结:证明上述命题的思路:1. 由原函数研究导函数用符合函数求导;2. 由导函数研究原函数从要证的式子出发寻找原函数的性质。
课后思考研究:判断s 逆就是否正确,如果正确尝试证明,若不正确举出反例。
教学反思:学生对这样的课很感兴趣,一方面可以在探索的过程中加深对导数概念的理解,另一方面可以感受到数学内部的严谨性与对称美。