函数的最大值和最小值
函数的最大值与最小值
课题:函数的最大值和最小值教学目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 即一个函数的极大值未必大于极小值， （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1、求()342+-=x x x f 在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
函数的最大值和最小值
一次函数图象
1．函数的最大值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I ，都有f(x)≤M， ②存在x0∈I，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值
．
准确理解函数最大值的概念
(1)对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素，注意对②中“存在” 一词的理解
，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值． 【解析】 原函数变为 y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3 2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2) (x＞2)
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时 ，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值． 【思路点拨】由题目可获取以下主要信息
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值． Nhomakorabea解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单
函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是数学中重要的概念，它们可以提供函数的极限性质和图像的关键信息。
在本文中，我们将探讨函数的最大值和最小值的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，$x_0$是$I$的内点，则称$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最大值（或极大值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\leq f(x_0)$成立；同样，$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最小值（或极小值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\geq f(x_0)$成立。
二、计算方法1. 首先，我们需要找到函数$f(x)$的极值点（即导数为0或不存在的点）以及区间$I$的端点。
2. 然后，我们需要比较这些点和端点对应的函数值，找到函数在这些点上的最大值和最小值。
3. 最后，我们需要比较上述最大值和最小值，找到函数在整个区间$I$上的最大值和最小值。
需要注意的是，如果函数在某一点处没有导数或者导数不存在，那么这个点也可能是函数的最大值或最小值。
此时，我们需要通过其他方法（例如使用左极限和右极限）来判断函数在该点上的极值性质。
三、应用函数的最大值和最小值在很多实际问题中都有重要的应用。
以下是几个例子：1. 生产问题：假设一家工厂生产某种产品，每天可生产$x$件。
设$C(x)$是当天生产$x$件产品的总成本（包括生产和运输成本）。
如果我们希望生产最少的产品来达到最低成本，那么需要找到$C(x)$的最小值点，以及在该点处的最小成本。
2. 经济问题：有一种商品的需求量$D(p)$与它的价格$p$相关。
如果我们希望在某一价格范围内销售最大量的商品，那么需要找到$D(p)$的最大值点，以及在该点处的最大需求量。
3. 地理问题：假设一辆汽车可以在不加油的情况下行驶$D$公里。
设$v(x)$是汽车在速度为$x$千米/小时时的油耗。
如果我们希望以最少的油耗行驶最远的距离，那么需要找到$v(x)$的最小值点，以及在该点处汽车的最大行驶距离。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
函数的最大值与最小值
1 1 2 2 思考:证明不等式: 思考 证明不等式 ln x + − ( x − 1) ≥ 1 + (1 − x)3 ( x > 0). x 2 3 1 1 2 2 f ( x) = ln x + − ( x − 1) + ( x − 1)3 ( x > 0). 证:设 设 x 2 3 1 1 2x + 1 ′( x) = − 2 − ( x − 1) + 2( x − 1)2 = ( x − 1)3 ⋅ 2 , 则f x x x
如图,在二次函数 在二次函数f(x)= 思考: 如图 在二次函数 的图象与x轴所 4x-x2的图象与 轴所
y
围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 内接矩形 求这 个矩形的最大面积. 个矩形的最大面积 x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 设 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 故矩形ABCD的面积 从而 故矩形 的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
令 f ′( x) = 0 ,结合 结合x>0得x=1. 得 结合 而0<x<1时, f ′( x) < 0;x>1时, f ′( x) > 0 ,所以 所以x=1是f(x)的 时 时 所以 是 的 极小值点. 极小值点 所以当x=1时,f(x)取最小值 时 取最小值f(1)=1. 所以当 取最小值
复习
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时 判别 0)是极大 小)值的 判别f(x 是极大 是极大(小 值的 当函数 在 处连续时,判别 方法是: 方法是 右侧f ①如果左侧f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 , 如果左侧 ） 右侧 那么,f(x0)是极大值 那么 是极大值; 是极大值 ②如果左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 , 右侧f 那么,f(x0) 是极小值 是极小值. 那么
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
函数的最大值和最小值
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2
函数的最大值、最小值
因为 2≤x1＜x2≤5， 所以(x1－1)(x2－1)＞0. 又 x1－x2＜0，所以 f(x2)－f(x1)＜0. 2 所以函数 f(x)＝ 在[2，5]上是减函数． x－ 1 1 所以 f(x)在区间[2，5]上的最小值是 ，最大值是 2. 2
函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的 最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的 最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意的
x I ，都有f(x)≥N ；
（2）存在 x0 I ，使得f(x0)=N. 那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的
一个，并且是能够取到的.
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最
M
B
o
图2
x0
x
思考1 这两个函数图象有何共同特征？ 【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有 最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函
数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【提示】 f(x)≤M
最高点的纵坐标即 是函数的最大值！
y
4
1 O 1
3
x
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
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函数的最大值和最小值
教材分析
函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。
它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。
通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。
学情分析在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数一次函数二次函数等最简单的函数，了解了他们的图像和性质。
鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。
因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。
但这只是感性上的认识。
为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。
让学生有一个从具体到抽象的认识过程。
对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的内涵。
例1与它的变式是本节的重点，通过对区间的改变，让学生对求二次函数的最值有一个更深的认识。
同时让学生体会到数形结合的魅力。
教学目标分析
1、知识与技能目标：掌握函数最大、最小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题，以及利用函数单调性求最值，会用函数的思想解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法目标：通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对于函数研究的作用。
3、情感态度、价值观目标：培养学生积极进行数学交流，乐于探索创新的科学精神。
教学重点和难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
四、教学方法
本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．
五、学习方法
对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。
教学过程：
［提出问题引入目标］
引入：请同学们画出函数y=x2的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能反映函数的什么性质呢？
生：函数y=x2的图象上有一个最低点（0，0），0是所有函数值中最小的。
师：很好，这就是今天这节课我们要学习的内容：函数的最值。
开门见山，引出课题。
［］ 1、函数最值的定义
问题1：怎样用数学语言描述我们所发现的结论呢？
生：对于函数y=f(x0)在定义域Ｒ内的任意一个x，都有f(x)≥f(x0)，那么f （x0）为函数的最小值。
问题２：你能给出函数最大值的定义吗？
生：学生思考、讨论、交流后回答。
师：教师补充、归纳给出函数最小值的定义。
问题3：你能仿照函数最小值的定义，给出函数y=f(x)的最大值定义吗？让学生学会类比。
得出把f(x)≥f(x0)。
改为 f(x)≤f(x0)。
，最小值改为最大值，就能得到函数最大值的定义。
问题4：命题“设函数在x0处的函数值为f(x0)，如果对于定义域内无数个x，使得不等式f(x) ≥f(x0`)成立，那么f（x0）就叫做函数y=f(x)的最小值”是否正确？如果正确，请说明理由，若不正确，请说明理由。
体会“任意”与“无数”的区别。
问题5：对于每个确定的函数，其最大、最小值是否一定存在？函数的最值可能出现哪些情况，请你思考并对每种情况给出一个实例。
理解函数最值是否存在？（存在性）同时借助几何画板画出函数图象加以说明，让学生能一目了然。
问题6：对于每个确定的函数，其最大、最小值是否唯一？取到最大或最小值时函数的自变量是否唯一？
生：学生进行小组交流、讨论，学生举例。
师：教师在学生活动中给于一定的引导。
利用几何画板绘出函数图象，结合函数的单调性加以说明最大值：一般地，设函数()
的定义域为I，如果
y f x
存在实数M满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；
（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．
那么，称M 是函数()y f x =的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．。
通过对问题的回答、辨析，让学生对函数最值的概念有一个更深的认识。
2、二次函数的最值
变式1：已知函数y=x2，当的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值。
（1）[-1，4] （2）[6，10] （3）[-10，10]
（2）变式2：在变式1中，若将区间改为“[-2,a]”，情形如何？
（3） 变式3：在变式1中，若将区间改为“[a,b]”求函数y=x2的最小值的解析式。
（4） 变式1中代表了在给定的区间上有单调递减、单调递增、有增有减三种情况。
（5）变式2是在变式1的基础上，利用二次函数的图象求最值，同时渗透分类讨论、数形结合的思想。
（6）变式3既可以巩固变式2的成果又对学生的能力提出更高的要求，学会用运动变化的眼光来思考问题。
（7）师： 从刚才的解题过程中你能归纳、总结出求二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)在闭区间[m,n]上的最值的一般步骤吗？
（8）生： 学生自主归纳总结。
培养学生归纳概括的能力。
（9） 师： 若把y=a(x-h)2+k 改成y=ax2+bx+c (a ≠0)，情形又如何呢？（可让学生回去思考） 培养学生举一反三的能力。
［实例联系 能力形成］
利用函数的单调性求最值 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
例2．求函数y=x2+3x+5在区间[2，6]上的最大值和最小值。
师： 借助几何画板画出函数图象。
生： 借助单调性知识加以证明。
从而得出对于在给定的闭区间上单调的函数都有最大值和最小值。
让学生学会根据函数图象的单调性求最值，渗透数形结合的思想。
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个)
∴y=(x-40)(1000-10x)
9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100）
∴max 709000x y ==时
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例4．求函数y x =
解：令201t x t =≥=-+有则
22151()024
y t t t t =-++=--+≥ 21()02
t ∴--≤ 2155()244
t ∴--+≤ .∴5原函数的最大值为4
（五）归纳小结 求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
六）设置问题，留下悬念．
1．课本P 45（A 组） 6．7．8
2．求函数y x =
3．求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值．
①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。