函数的最大值和最小值及应用举例
最大值最小值问题
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最 好）？
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
0.5公里
s(t )
A
B 4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
高等数学第四节函数最大值、最小值的求
V 12(32 2x) V / x8 0
所以x=8是极大值点，也是最大值点. 因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
特殊情况下的最大值、最小值: (1)如果连续函数 f (x) 在 [a, b]上单调递增,则 f (x)
的最大值与最小值分别为 f (b)、 f (a);如果在 [a, b]上单 调递减, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).
(2)如果函数 f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻
点 x0 , 并且该驻点 x0 为 f (x) 的极值点, 则当 f (x0) 是极
大值时, f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最大值; 当 f (x0) 是
极小值时, 则 f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最小值 (见下
图) y.
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用 最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在 数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。
一、函数最大值最小值求法
二、函数最值应用举例
案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可 乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径 与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半 径与高之比约为1：2？
一、最值的求法
闭区间[ a , b ]上连续函数f ( x ) 必存在最大值和最
小值
y
y
y
oa
bx o a
bx
ao
bx
什么叫最大值什么叫最小值
什么叫最大值什么叫最小值在数学和统计学中，我们经常会遇到“最大值”和“最小值”这两个概念，它们在各种领域都有着重要的意义。
最大值和最小值是指在一组数据或函数中，具有最大和最小数值的元素或点。
下面将介绍如何定义最大值和最小值以及它们在不同领域的应用。
最大值的定义最大值是指一组数据或函数中具有最大数值的元素或点。
在数学中，最大值通常用符号“max”表示。
在一个数据集中，最大值是所有数值中最大的数。
例如，在数列1, 2, 3, 4, 5中，最大值为5。
最大值也可以在函数中出现。
在函数图像中，最大值是函数曲线上最高的点。
如果函数的导数在某一点为0且从正数变为负数，则该点就是函数的最大值点。
最小值的定义最小值是指一组数据或函数中具有最小数值的元素或点。
在数学中，最小值通常用符号“min”表示。
在一个数据集中，最小值是所有数值中最小的数。
例如，在数列1, 2, 3, 4, 5中，最小值为1。
最小值也可以在函数中出现。
在函数图像中，最小值是函数曲线上最低的点。
如果函数的导数在某一点为0且从负数变为正数，则该点就是函数的最小值点。
应用最大值和最小值在各种领域都有着重要的应用。
在数学中，通过计算函数的最大值和最小值，可以帮助我们寻找函数的极值点，从而确定函数的凹凸性和拐点位置。
在统计学中，最大值和最小值常用于描述一组数据的范围。
通过计算数据集的最大值和最小值，可以帮助我们了解数据的分布情况，识别异常值，并进行数据清洗和分析。
在工程和经济学中，最大值和最小值常用于优化问题。
通过寻找函数的最大值或最小值，可以找到使特定性能指标最优化的参数值，从而提高效率和降低成本。
综上所述，最大值和最小值是数学和统计学中重要的概念，它们帮助我们对数据和函数进行分析和优化，为各种领域的问题提供解决方案。
经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R(Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R(Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ
L(Q ) (d b) 2(e a )Q
由L(Q) 0， 得唯一驻点 Q0 (d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L(a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c
例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为
Q a c ，其中 Pb
a,b,c 均为正数，且 a>bc.
（1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( Pb c ( P b) 2 ab R( P ) 2 ( P b) ab b 令R( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
x 2
解 (1) R( x ) P x 10x e
4.4函数的最值及其在经济中的应用
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
整理得
x R ( x ) ( x 20 ) 68 , 10
x x 1 ( x ) 68 R ( x 20 ) 70 , 10 5 10
R ( Q ) 10 Q 0 . 01 Q (万元 ) ,
2
问题设, 知利润为
L (Q ) R (Q ) C (Q )
5 Q 0 . 01 Q 200
2
( 0 Q ) ,
显然最大利润一定在(0, + )内取得. 令
R ( x ) 0
x 350 .
(唯一驻点)
故每月每套租金为 350 元时收入最高. 最大收入为
350 R ( x ) ( 350 20 ) 68 10
10890 (元 ) .
二、经济应用问题举例 1. 最大利润问题 例3 某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为 C(Q) = 5Q + 200 (万元), 得到的收益为
x a a 2x W2( x) a 2x c ,
, 因而商品的库存费用
总费用 W ( x ) W 1 ( x ) W 2 ( x ) b x 令 得x 所以
ac 2b
W
ac 2x
,
( x 0)
W ( x ) b
.
ac 2x
2
0,
又 W ( x )
2
,
( x 0)
令
T
9t 4
0,
得t = 9, 又
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
最大值与最小值在数学问题中的应用
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
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主要内容 1.闭区间上连续函数的最大值和最小值. 2.函数在某区间内可导且有唯一极值点 时的极大值和极小值. 3.具体应用举例.
1
一、闭区间上函数的最大值和最小值
设函数y = f (x)在闭区间[a,b]上连续， 在开区间(a, b)
内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间 如果 (a,b)内，或者在区间的端点 x = a,x = b处取得。 函数f (x)的最大(小)值在开区间(a,b)内取得，则最大 (小)值点一定是函数的极大(小)值点，又因为可导 函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点， 而不可导点也可能是极值点， 求出函数在(a, b) 由此， 内的全部驻点和不可导点的函数值， 将它们与端点的 函数值 f (a),f (b)加以比较，其中最大者即为 f (x) 在 [a, b]上的最大值， 最小者即为f (x)在[a, b]上的最小值。
由于y x 0 400k , y x 15 380k , y x 100 1 500k 1 2 , 5
其中以y|x15380k为最小，因此当ADx15km时， 10 总运费为最省．
已知电源的电压为正， 内阻为r， 例4 如下图所示的电路中， 求负载电阻 为多大时，输出功率为 R 最大？如图) (
由于函数在定义域内有唯一极值点，所以 函数的极大值就算函数的最大值. 所以最大值为：y x2 1.
7
三、具体应用举例
应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可 以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义 区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻 点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0) 是最大值或最小值．
若函数 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，则 f ( x ) 在 [a , b ]上的最大值 与最小值存在 .
y y y
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
步骤 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较出最大值及最小值。
3
例1
求函数 y 2 x 3 x 12 x 14 的在[3,4]
解 设ADx (km)，则 DB100x ，
CD 202 x 2 400 x 2 .
设从B点到C点需要的总运费为y，那么
y5k· CD3k· (k是某个正数)， DB
即 y 5k 400 x 2 3k 100 x
0 x 100
5x 3 先求y对x的导数： y k 2 400 x 解方程y0，得x15(km)．
并且电路必有最大 由于在(0,+∞)内函数只有一个驻点， 输出功率， 所以当负载电阻与内阻相等时， 输出功率最大。 11
在解决最大(小)值的实际应用问题时,可以采取以下步骤： (1)将问题中能取得最大(小)值的变量设为函数 y，
而将与函数有关联的条件变量设为 x， 再利用变量 之间的等量关系列出函数关系式 y = f (x)， 并确定 函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最 大值或最小值。 (2)求出函数再定义域内的驻点， 如果驻点只有一个， 并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值 或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求
8
例3 铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为 20km,AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选 定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运
的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5．为了使
货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选 在何处？
A
20km D 100km B
C
9
2
即
最大值M = max{f (a), f (x1), f (x2), ·, f (xn), f (b)} · · 最小值m = min{f (a), f (x1), f (x2), ·, f (xn), f (b)} · · 其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。 最大(小)值的求法
4
y 2 x 3 3 x 2 12 x 14
5
二、函数在某区间内(有限或无限，开或闭)内可导且 只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点， 那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 小值．
3 2
上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得 x1 2, x2 1.
计算 f ( 3) 23;
f (1) 7;
f ( 2) 34;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
的最大值或最小值； 如果驻点不止一个， 则可根 据前面求最大(小)值的一般方法求解。
12
四、小结
1.闭区间上连续函数的最大值和最小值.
2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的 极大值和极小值. 3.具体应用举例.
作业：
13
y yf(x ) f(x0) f(x0) O a x0 y yf(x )
b
x
O a
x0
b
x6
例2 求函数 y x 2 4 x 3的最大值.
解
函数的定义域为, R
y 2 x 4 2 x 2.
令y 0, 得驻点 2. x
x . 显然： 2是函数的极大值点
消耗 解 由电学知识可知， 在负载电阻R上的功率为 P
= I2R, 其中I为回路中的 电流强度。 E 根据欧姆定律又有 I 从而可得函数
Rr R ( E )2 R (0 R ), P Rr
，
求导可得P R E 2
rR , 令 P( R) 0, 得驻点R r 3 R r