2015-2016学年湖南长郡中学高一上学期第三次检测数学试题(解析版)

2015-2016学年湖南长郡中学高一上学期第三次检测数学试题一、选择题1．已知集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈，{|,}42k N x x k Z ππ==+∈，则（ ） A ．M N ≠⊂ B ．M N ≠⊃ C ．M N = D ．M N φ=【答案】A【解析】试题分析：因为(21){|,}{|,}244k k M x x k Z x x k Z πππ+==+∈==∈，(2){|,}{|,}424k k N x x k Z x x k Z πππ+==+∈==∈，所以M N ≠⊂；故选A ．【考点】集合间的关系．2．设0.12a =，5lg 2b =，39log 10c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D【解析】试题分析：因为12201.0=>=a ，)1,0()10lg ,1(lg 25lg=∈=b ，01log 109log 33=<=c ， 所以a b c >>；故选D ． 【考点】1.对数函数的单调性；2.指数函数的单调性．3．设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：因为3B C C D = ，所以3()A C A B A D A C -=-，即1433AD AB AC =-+；故选A ．【考点】平面向量的线性运算．4．已知||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为060，则a b + 在a 上的投影为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】B【解析】试题分析：由题意，得21()12122a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯= ，则a b + 在a 上的投影为()2||a b aa +⋅= ；故选B ． 【考点】1.平面向量的数量积；2.投影．5．已知||10a = ，||12b =，且1(3)()365a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．060 B ．0120 C ．0135 D ．0150 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得1333(3)()||||c o s 1015555a b a ba b θθ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=-，解得21cos -=θ，即a 与b的夹角为0120；故选B ．【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角．61sin cos αα+=，则α的终边在（ ）A ．y 轴右侧B ．y 轴左侧C ．x 轴上方D ．x 轴下方【答案】A【解析】试题分析：因为1sin 1sin |cos |cos αααα++===，所以0cos >α，即α的终边在y 轴右侧；故选A ．【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.三角函数的符号． 7．要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D【解析】试题分析：因为sin(2)sin[(2)cos[2()]6326y x x x ππππ=+=-+=-，所以要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ．【考点】1.诱导公式；2.三角函数的图象变换．【易错点睛】本题考查诱导公式的应用和三角函数的图象变换，属于中档题；本题的易错点是平移的单位，在处理此类问题时，要牢记“平移单位是相对于自变量x 而言”，即)](sin[)sin(ϕωϕω+=+=x A x A y 的图象可由x A y ωsin =)0,0(>>ωA 向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移||ωϕ个单位，而不是||ϕ个单位. 8．已知函数sin()y A x m ωφ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(4)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++ D ．2sin(4)26y x π=++【答案】D【解析】试题分析：不妨设0>A ，则由题意，得⎩⎨⎧=+-=+04m A m A ，解得2==m A ，且22πωπ==T ，即4=ω，则2)4s in(2++=ϕx y ，因为直线3x π=是其图象的一条对称轴，所以Z k k ∈+=+⨯,234ππϕπ，解得Z k k ∈+-=,65ππϕ，当1=k 时，6πϕ=，即符合条件的一个解析式是2sin(4)26y x π=++；故选D ．【考点】三角函数的解析式与性质．9．设,,D E F 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且2DC BD = ，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++ 与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 【答案】A【解析】试题分析：因为2DC BD = ，所以13BD BC = ，取,BC BA作为平面向量的一组基底，则13AD BD BA BC BA =-=- ，同理1233BE BC BA =+ ，13CF BA BC =-，则13A D B E C F B C ++=- ，即AD BE CF ++ 与BC反向平行；故选A ．【考点】1.平面向量的线性运算；2.共线向量的判定．【技巧点睛】本题考查平面向量的线性运算以及平面向量共线的判定，属于中档题；处理与平面向量线性运算有关的问题时，合理选择一组不共线的非零向量作为基底是解题的关键，本题在选择基底时，因为题中研究的是AD BE CF ++ 与BC的位置关系，因此选择BC为一个基向量，降低了运算量，起到事半功倍的效果.10．函数2|1|()1||x f x x -=-的图象是（ ）【答案】C【解析】试题分析：显然2|1|()1||x f x x -==-的定义域为}1|{≠x x ，故排除选项A ，又因为⎩⎨⎧>--<+=1||,1||1|||,|1)(x x x x x f 在),1(+∞上单调递减，且1)0(=f ，故排除选项B ，D ；故选C ．【考点】函数的性质与图象．【方法点睛】本题考查通过函数的解析式和性质确定函数的图象，属于中档题；已知函数的解析式确定函数的图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象的对称性），单调性（确定图象的变化趋势），最值（确定图象的最高点或最低点），特殊点的函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法.二、填空题11．已知(,3)a x = ，(2,4)b =-，a b ⊥ ，则实数x = .【答案】6【解析】试题分析：由题意，得2120a b x ⋅=-+=，解得6=x ；故填6．【考点】平面向量的坐标运算．12．若函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(3,)-+∞【解析】试题分析：因为函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间[2,)+∞上单调递增，所以⎪⎩⎪⎨⎧>+=--+-≤-0312422a a a a解得3->a ；故填(3,)-+∞．【考点】1.对数函数的定义域；2.复合函数的单调性．13．已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x a x ⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= .【答案】1-【解析】试题分析：当0x >时，2()sin f x x x =+，2()()cos()f x x x a -=--+-+，所以22cos()sin x a x x x -+-=--，cos()sin x x α-=-，322k παπ=+，k Z ∈， 所以sin 1α=-；故填1-．【考点】1.分段函数；2.函数的奇偶性． 14．对任意的[,]62x ππ∈-，不等式2sin sin 30x a x a +++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[2,)-+∞【解析】试题分析：设x t sin =，因为[,]62x ππ∈-，所以]1,21[-∈t ，则不等式2sin sin 30x a x a +++≥恒成立可化为032≥+++a at t 对任意]1,21[-∈t 恒成立，即132++-≥t t a 对任意]1,21[-∈t 恒成立，因为2]214)1[(14)1(2)1(1322-≤-+++-=+++-+-=++-t t t t t t t （当且仅当141+=+t t ，即1=t 时取等号），所以2-≥a ；故填[2,)-+∞．【考点】1.换元思想；2.基本不等式；3.不等式恒成立问题．【方法点睛】本题考查换元思想的应用、基本不等式和不等式恒成立问题，属于难题；处理已知不等式恒成立，求有关参数问题一般有两种思路：一是直接构造函数求函数的最值，此种方法往往用到利用分类讨论思想，思维量和计算量往往较大，步骤较麻烦；二是分离参数，转化为132++-≥t t a 恒成立问题，再利用M x f ≤)(恒成立M x f ≤⇔max )(进行求解.15．已知()sin()(0)12f x x πωω=+>，()()124f f ππ=且()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，则ω= . 【答案】172【解析】试题分析：因为()()124f fππ=，所以直线6π=x 是函数()s i n ()(0)12f x x πωω=+>的一条对称轴，又因为()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，所以ππωπ23126=+，解得217=ω；故填172．【考点】三角函数的性质．【技巧点睛】本题考查三角函数的解析式、对称性、单调性及有关参数问题、整体思想的应用，属于中档题；解决本题的关键是利用()()124f f ππ=得到直线6π=x 是函数()sin()(0)12f x x πωω=+>的一条对称轴（若直接化简，非常复杂），再利用单调性得到ππωπ23126=+（而不是2126ππωπ=+，这也是易错的地方）.三、解答题16．已知||2a = ，||3b = ，a 与b 的夹角为60，53c a b =+ ，3d a kb =+ ，当实数k为何值时，（1）//c d ； （2）c d ⊥ .【答案】（1）95k =；（2）2914k =-． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量共线的判定条件进行求解；（2），利用平面向量的数量积为0进行求解．试题解析：（1）若//c d ，则存在实数t ，使t =，即t t k 353+=+，则⎩⎨⎧==tk t 335，解得得95k =； （2）若c d ⊥ ，则02132)95(93415)3()35(=⨯⨯⨯++⨯+⨯=+⋅+=⋅k k k ，解得2914k =-.【考点】1.平面向量共线的判定；2.平面向量垂直的判定．17．已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，0βαπ<<<.（1）若||a b -=a b ⊥ ；（2）设(0,1)c =，若a b c += ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=．【解析】试题分析：（1）利用平面向量的模的计算公式进行化简，得到平面向量的数量积为0，即得两向量垂直；（2）利用平面向量的坐标运算和诱导公式、三角函数基本关系式进行求解．试题解析：（1）由题意得：2||2a b -= ，即222()22a b a a b b -=-⋅+= .又因为2222||||1a b a b ==== ，所以222a b -⋅= ，即0a b ⋅=，故a b ⊥ .（2）因为(cos cos ,sin sin )(0,1)a b αβαβ+=++=，所以cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩，由此得，cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<， 又0απ<<，故απβ=-，代入sin sin 1αβ+=，得1sin sin 2αβ==， 而αβ>，所以56πα=，6πβ=.【考点】1.平面向量的模；2.平面向量的坐标运算；3.诱导公式． 18．函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，5()1f x -≤≤.（1）求常数,a b 的值； （2）设0a >，()()2g x f x π=+且lg ()0g x >，求()g x 的单调增区间.【答案】（1）25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩；（2）(,]()6k k k Z πππ+∈．【解析】试题分析：（1）先利用整体思想和正弦函数的值域得到1sin(2)[,1]62x π+∈-，再通过讨论a 的取值范围和已知条件进行求解；（2）先由（1）求得)(x g 的解析式，再由对数函数的定义域、三角函数不等式和整体思想求其单调区间． 试题解析：（1）∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈， ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-， ∴0a >时，2sin(2)[2,]6a x a a π-+∈-，又5()1f x -≤≤，解得25a b =⎧⎨=-⎩，0a <时，可得21a b =-⎧⎨=⎩，综上，25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩.（2）()4sin(2)16f x x π=-+-，7()()4sin(2)14sin(2)1266g x f x x x πππ=+=-+-=+-，又由lg ()0g x >，得()1g x >， ∴4sin(2)116x π+->，∴1sin(2)62x π+>， ∴5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈， 由222662k x k πππππ+<+≤+，得,6k x k k Z πππ<≤+∈；∴函数()g x 的单调递增区间为(,]()6k k k Z πππ+∈.【考点】1.三角函数的图象与性质；2.对数函数的定义域． 【方法点睛】本题考查三角函数的图象与性质、对数函数的定义域等知识，属于中档题；求与三角函数有关的最值问题，一般三种题型：一是R x k x A y ∈++=,)sin(ϕω的值域为]||,||[k A k A ++-；二是D x k x A y ∈++=,)sin(ϕω(D 为定义域内的某个区间），此种题型要用整体思想和三角函数的图象进行求解；三是求c x b x a y ++=sin sin 2的值域，要利用换元思想和二次函数的性质进行求解.19．我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系近似的满足：2(1)()()2kt x b y P x --==，（其中t 为关税的税率，且1[0,)2t ∈，x 为市场价格，,b k 为正,b k 正常数），当18t =时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求,b k 的值；（2）若市场需求量为Q ，它近似满足112()2x Q x -=，当P Q =时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值. 【答案】（1）65k b =⎧⎨=⎩；（2）19192．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法得到关于b k ,的方程组进行求解；（2）先利用P Q =相等得到关于x 与t 的关系式，利用换元思想和二次函数求其最值．试题解析：（1）由图象知函数图象过(5,1),(7,2)，∴22(1)(5)8(1)(7)82122kb k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩，得22(1)(5)08(1)(7)18k b k b ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得65k b =⎧⎨=⎩；（2）当P Q =时，211(16)(5)222xt x ---=，即2(16)(5)112x t x --=-， 化简得：22111171216[](5)2(5)5xt x x x --==⋅----， 令1(9)5m x x =≥-，∴1(0,]4m ∈， 设2()17f m m m =-，1(0,]4m ∈，对称轴为134m =，∴max 113()()416f x f ==，所以，当14m =时，16t -取到最大值113216⋅，即11316216t -≤⋅，解得19192t ≥，即税率的最小值为19192.答：税率t 的最小值为19192.【考点】1.待定系数法；2.换元思想．20．已知函数12()2x x mf x n+-+=+（其中,m n 为参数）.（1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.【答案】（1）证明略；（2）12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩；（3）2(,log 3)-∞．【解析】试题分析：（1）举反例进行说明即可；（2）利用奇函数的定义，即()()f x f x -=-对于定义域内任意实数x 成立，转化为等式恒成立问题；（3）利用函数的单调性和指数不等式进行求解．试题解析：（1）121()21xx f x +-+=+，∴2211(1)215f -+==-+，1112(1)24f -+-==，∵(1)(1)f f -≠-，∴()f x 不是奇函数.（2）∵()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=++对定义域内任意实数x 成立，化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0x x m n mn m n -⋅+-⋅+-=， ∴20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩.（注：少一解扣1分）（3）由题意得1,2m n ==，∴12112()(1)22221x x x f x+-+==-+++，易判断()f x 在R 上递减，∵1(())()04f f x f +<，∴11(())()()44f f x f f <-=-， ∴1()4f x >-，∴23x<，∴2log 3x <，即所求不等式的解集为2(,log 3)-∞. 【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.指数不等式．【易错点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数问题、利用函数的单调性解不等式以及指数不等式的解法，属于中档题；本题第2问由奇偶性求n m ,值时容易出现以下错误解法：n m x f x x ++-=+122)( 为奇函数，021)0(=++-=∴n mf ，解得1=m ，再利用)1()1(f f -=-求n 值（此种方法丢解的原因是没有考虑函数nmx f x x ++-=+122)(的定义域内不一定含有0）.。