长郡中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试卷

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湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，，则集合A B =（） A. 3，1，2，4， B. C. 2，3，4， D. 3，4， 2.已知tan α=，2παπ<<，则sinα的值为（） A.12B. C.12-D. 3. 已知4a =，3b =，且a 与b 不共线，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则k 的值为（）A.43±B.34±C.D. 4. 如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5. 函数237x f x x =+-（）的零点所在的区间是（） A.B. C. D.6.ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222a c b ab -+=，则C =（） A.30︒ B.60︒ C.120︒ D. 60︒或120︒7. 在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=，则ABC △的形状是（） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合26112x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＜,(){}41B x log x a =+<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.9. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cos 15x α=，则tan α=（）A.43B.34C.34-D. 43-10. 化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭的结果是（）A. 1B.sin αC.tan α-D. tan α11. 先把函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象．当π3π[,]44x ∈时，函数()g x 的值域为（）A.⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎢⎣⎦D. []1,0-12. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知]3[2x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（）A. B.C. D.13. 若函数，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且12x x -的最小值为32π，则ω的值为（）A.13B.23C.43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP x ∠=（0≤x ≤2π），向量OP 在()=1,0a 方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象是（） 15. 16.A.B.C.D.17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，()()121021222x x f x x f x --≤-⎧⎪=⎨⎪⎩，＜，＞则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 18. 0lg 2lg5π++=______． 19. 已知tan 3α=，则2sin cos cos 3sin αααα-+=______．20. 已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______．21. 若函数()223f x x kx =--在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．22. 在ABC △中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =△，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）23. 已知集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤． 24. （1）求AB ；25. （2）求()R A B ð．26. 设ABC △的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b Aa B=．27. （1）求角B 的大小；28. （2）若b =sin 2sin C A =，求a ，c 的值．29. 已知函数()23cos cos 2f x x x x -+． 30. （1）求()f x 的单调递增区间；31. （2）若角α，β的终边不共线，且()()f f αβ=，求()tan αβ+的值． 32.33. 已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，25a b =-． 34. （1）求()cos αβ-的值；35. （2）若π02α<<，π02β-<<，且5sin 12β=-，求sinα． 36.37. 已知二次函数()2f x x x =+，若不等式()()2f x f x x -+≤的解集为C ．38. （1）求集合C ；39. （2）若函数()()11x xg x f a a =--（a ＞0且a ≠1）在集合C 上存在零点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，， ∴集合1245{}3A B =，，，，．故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A B ，由此利用集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，，能求出集合A B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan α=，∴22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∵π2απ<<，∴sin α=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵4a =，3b =，且a 与b 不共线，向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()22221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，解得43k =±．故选：A ．由向量a kb +与a kb -互相垂直，得()()22221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =-，且()6f k ≥，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f =-，则有()6f k ≤-，故选：D ．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 5.【答案】C【解析】解：函数()237x f x x =+-，因为2x y =是增函数，37y x =-是增函数，所以函数()237x f x x =+-是增函数．()111002f -=-<． ()0170f =-<． ()12370f =+-<. ()24670f =+->．．函数()237xf x x =+-的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C ．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题． 6.【答案】C【解析】解：在ABC △中，由222a c b ab -+=，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ∵0180C ︒<<︒，∴120C =︒．故选：C ．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题． 7.【答案】D【解析】解：在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=，可得cos sin cos sin A AB B=，可得sin 2sin 2A B =．可得22A B =或22A B π+=，即：A B =或2A B π+=；故选：D ．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力． 8.【答案】B【解析】解：由2611122x x --<⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得260x x -->，解得3x >，或2x <-，故()()23A =-∞-+∞，，．由()44log 1log 4x a +<=，可得04x a <+<，解得4a x a -<<-，∴B=（-a ，4-a ）．若AB =∅，则有243a a -≥-⎧⎨-≤⎩，解得12a ≤≤，故选：B ．解指数不等式求得A ，解对数不等式求得B ，再根据A B =∅，求得实数a 的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：由题意可得0x <，r OP ==cos x r α==再由1cos 5α=，可得3x =-，∴44tan 3xα==-，故选：D ．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x 的值，再由tan α的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 10.【答案】C【解析】解：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭=()()()()()sin cos sin sin cos sin sin sin αααααααα-----tan α=-．故选：C ．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11.【答案】B【解析】解：把函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()ππ5sin 2sin 2366g g x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π2π2,663x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以：51sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：B ．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用． 12.【答案】C【解析】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-，综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 13.【答案】A【解析】解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∵函数()f x 的最大值为2，∵()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为32π， ∴函数()f x 的周期3462T ππ=⨯=，由周期公式可得26T ππω==，解得13ω=，故选：A ．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题． 14.【答案】C【解析】解：设BC 边与Y 轴交点为M ，已知可得0.5GM =，故 1.5AM =，正三角形的连接BG，可得2tan 12BGM ∠==3BGM π∠=，所以23BGA π∠=-，由图可得当23x π=时，射影为y 取到最小值，其大小为（BCA ，B 两个选项；又当点P 从点B 向点M 运动时，x 变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D ，C 是适合的；故选：C ．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x 的值及y 的值，再研究点P 从点B 向点C 运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法． 15.【答案】B【解析】解：设()t f x =，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦，等价2610t t --=，解得12t =或13t =-，当0x =时，()00f =，此时不满足方程．若24x <≤，则22x -≤0<，即()()()31122122x f x f x -=-=-，若46x <≤，则224x <-≤，即()()()51122124x f x f x -=-=-，作出当0x >时，()121,0212,22x x f x x -⎧-<≤⎪⎨->⎪⎩的图象如图：当12t =时，()12f x =对应3个交点． ∵函数()f x 是奇函数， ∴当0x <时，由()13f x =-，可得当0x >时，()13f x =，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B ．先设()t f x =，求出方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的解，利用函数的奇偶性作出函数在0x >时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 16.【答案】2【解析】解：0lg 2lg5π++lg101=+2=．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17.【答案】【解析】解：∵tan 3α=，∴2sin cos 2tan 12311cos 3sin 13tan 1332αααααα--⨯-===+++⨯．故答案为：12．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，b 在a 上的投影等于cos b a <，1212b >=⨯= 故答案为：1根据投影的定义，应用公式cos a a <，a bb b ⋅>=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 19.【答案】(][),816,-∞-+∞【解析】解：若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则24k ≤-，或44k ≥ 解得(][),816,k ∈-∞-+∞故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-]上具有单调性，则24k ≤-，或44k ≥，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712 【解析】解：ABC △中设AB c =，BC a =，AC b = ∵sin cos sin B A C =⋅∴()sin sin cos A C C A += 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C =∵sin 0A ≠∴cos 0C =，90C =︒ ∵9AB AC ⋅=，6ABC S =△∴cos 9bc A =，1sin 62bc A =∴4tan 3A =，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc = ∴5c =，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得()0,0C ，()3,0A ，()0,4B . P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤ 设1CA e CA=，2CB e CB =则121e e ==，()11,0e =，()20,1e = 由CP x =，()()(),00,,CA CB yx y x y CACB+=+=，∴3x λ=，44y λ=-，则4312x y +=．（也可以直接利用P 为线段AB 上的一点，三点共线，可得：134xy+=，）()111111347437+121212y x x u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故所求的最小值为712+．故答案为：712+．设AB c =，BC a =，AC b =，由s sin cos sin B A C =⋅结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求90C =︒，再由9AB AC ⋅=，6ABC S =△，可求得5c =，3b =，4a =，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤，设出单位向量1CA e CA=，2CB e CB=，()11,0e =，()20,1e =推出3x λ=，44y λ=-则4312x y +=，而利用11x y+，利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x ，y 与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由3x λ=，44y λ=-发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤，．∴{}|12AB x x =≤≤．（2）{}|32U A x x x =<->或ð， ∴(){}|32U A B x x x =<->或ð．【解析】（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．（2）求出{}|32U A x x x =<->或ð，由此能求出()R A B ð．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵sin cos b Aa B．又∵由正弦定理sin sin a b A B =，可得：s in in s b aB A=，∴可得：sin tan cos BB B= ∵B ∈（0，π），∴3B π=．（2）由sin 2sin C A =及正弦定理sin sin a bA B=，得c =2a ，①．又b =3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212a c ac =+-，②由①②得2a =，4c =．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tan B 的值，结合范围B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B 的值．（2）由已知及正弦定理可得2c a =，利用余弦定理可求229a c ac =+-，联立即可解得a ，c 的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数()23cos cos 2f x x x x -+．1cos 23222x x ++=-， 216sin x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈，解得：63k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈，故函数的单调递增区间为：63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， ()k Z ∈．（2）由于()πsin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()sin 216f παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，()216sin f πββ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，角α，β的终边不共线，所以223παβπ+-=，整理得23παβ+=，所以()tan αβ+= 【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 24.【答案】解：（1）2cos 1a α==，同理1b =．∵25a b -=， 22252a b a b +-⋅=，化为()422cos cos sin sin 5αβαβ-+=，∴()3cos 5αβ-=．（2）∵π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，∴0αβπ<-<，12cos 13β．∴()4sin 5αβ=-． ∴()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αββαββ=-+-412353351351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪=⎝⎭ 【解析】（1）2cos 1a α=，同理1b =．利用数量积运算性质25a b -=，可得22252a b a b +-⋅=，展开即可得出；（2）由π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，可得0αβπ<-<，cos β()sin βα-()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）()()22f x f x x +-=当0x ≥时，22201x x x ≤⇒≤≤，当0x <时，22210x x x ≤-⇒-≤＜， ∴集合[]1,1C =-．（2）()()()211101110x x x x f a a a a a +--=⇒---=，令x a u =则方程为()()21110h u u a u =---=，()011h =-，x u a =，[]1,1x ∈-，对称轴12x a =- 当2a >时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内先单调递减，再单调递增此时()11002a h h h a -⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()110h a a =-≥即可解得：11a ≥当12a <≤时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()()221111110111110h a aa a h a a a a ⎧⎛⎫=-+-≤⎪ ⎪⇒≥⎝⎭⎨⎪=---≥⎩，又12a <≤ 此时无解当01a <<时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴1102a a a -<<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()212111110103110h a aa a h a a ⎧⎛⎫=-+-≥⎪ ⎪⇒≤⎝⎭⎨⎪=-≤⎩＜， ∴当103a ≤＜或11a ≥时，方程在C 上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数()2f x x x =+代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数()2f x x x =+代入方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠），方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠）在C 上有解，转化为x a 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题

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长郡中学学年度高一第一学期期末考试
数!学
时量 " # $分钟!!!满分 " $ $分得分!!!!!!
一选择题本大题共" 每小题&分共' 在每小题给出的四个 %个小题 %分 ! 选项中只有一项是符合题目要求的 ! 设集合 "( 集合 #( 则集合 "##( " ! " & " # ' % )* " & " # ' % ,* " # & ' % + * " -* # & ' %
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长郡高一2017—2018—1第一次月考(改)

长郡中学2017-2018学年度高一第一学期第一次模块检测数学命题人：陈峰时量：90分钟满分：100分得分_______________一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.l .如果{}1->=x x X ，则（）A .X ∅∈B .0X ⊆C .{0}X ∈D .{0}X ⊆2.不论x 为何实数，不等式012<-+ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（）。

A . -4＜a ＜0B .-4≤a ≤0C .-4≤a ＜0D .-4＜a ≤03.函数()1f x x =-与()(2)g x x x =- 的单调递增区间分别为（）A .[1,),[1,)+∞+∞B .(,1],[1,)-∞+∞C .(1,),(,1]+∞-∞D .(,),[1,)-∞+∞+∞ 4.计算=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--32132411008 （） A .78 B .11464 C .16810 D .585.函数2()23f x x mx =-+在区间[0，2]上的值域为[-2，3]，则m 的值为（）A. B .49或5 CD .946.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<=0),(0,00,2)(x x g x x x f x ，且()f x 为奇函数，则g (3)=（）A .8B .18C .-8D .18- 7.设集合2(,],{1,},M P ,M m P y y x x R =-∞==-∈⋂=∅若则实数m 的取值范围昌（）A .1-≥mB .1->mC .1-≤mD .1-<m8. ()f x 在（-1，1）上既是奇函数，又为减函数，若2(1)(1)0f t f t -+-＞，则t 的取值范围是（）。

A .t ＞1或t ＜-2 B.1t ＜ C .-2＜t ＜1 D .t ＜1或t9.设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+ ，其中min {x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者，若(2)()f a f a +＞，则实数a 的取值范围为（）A .（-1，0）B .[-2，0]C .（-∞，-2）U （-1，0）D .[-2，+∞）10.已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c =0，若x 1，x 2为方程20ax bx c ++= 的两个实数根，则2212x x -的取值范围为（）A . [0，3）B .（0，1）C .（1，3）D [0，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11.如果22)13()(a x a ax x f +--=在[)+∞,1上是增函数，则实数a 的范围是_______________.12.已知偶函数()f x 在区间[0，+∞）上单调递增，则满足(1)()f x f x --＜的x 的取值范围是_______________.13.设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+= ，若f (1)=2，则f （2017）=_______________；n 为正整数，则f （2n —1）=_______________。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}．故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±．故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

长郡中学2017-2018年度高一上册第一次月考数学试卷

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数学! 长郡版" !% !
! 本小题满分" " 0 ! $分" 如图% 矩形 3 4 5 0 内接于半圆6% 3$ 4两点在直径 7 8 上% 5$ 0 两点在半圆弧上% 设6 圆的半径为定值 9! 4& #% ! " 写出矩形 3 并指出定义域+ 4 5 0 面积* 与# 的函数关系式% " ! " 问# 取何值时 % 矩形 3 , 4 5 0 面积最大, 并求出最大值!
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密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
不论# 为何实数则实数$ 的取不等式$ , ! #$ #! " $ 恒成立 '
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姓!名!
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学!校!
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长郡中学高一数学第一次月考数学试卷

数学（长郡版）- 4
（1）若 A 1,2，求 S T ：（2）若 A 0, m，且 S T ，求实数 m 的值；
（3）若对于 A 中的每一个 x 值，都有 f (x) g(x) ，求集合 A 。
17. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 2x2 a , 且f (1) 3 。 x
（1）求函数 f (x) 在 - ，0 上的单调区间，并利用定义证明；
个数为
A.71
B.49
C.35
D.29
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在答案纸上。
11. 设 P,Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有1,2,6 三个元素，定
义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P,b Q ，则 P Q 中元素个数是
一片森林原面积为 a .计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余
面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年。为保护生态环境，
森林面积至少要保留原面积的 1 。已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的 2 。
4
2
（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
19.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 对一切实数 x, y ，等式 f (x y) f ( y) x(x 2y 1) 都成立，且
f (1) 0 。
（1）求函数 f (x) 的解析式；（2）已知 a,b R，g(x) f (x) bx, 当 0 x 1 时，使不等式 f (x) 3 2x a 恒成立

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 PDF版

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