第2章 递归与分治策略(2)

第2章递归与分治策略（2/2）
2.10 最接近点对问题
问题：给定平面上的n个点，找出其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。

严格地，最接近点对可能不止一对，为简单起见，只要求找出其中的一对点作为问题的解。

问题似乎很简单，只需将每一个点与其它各点间的距离算出（注意避免重复计算），再比较找出距离最短的点对即可。

计算步骤可以是：
先求第1个点与其余1-
n个点的距离；
再求第2个点与其余2
-
n个点的距离（避免再算2–1点间距离）；
再求第3个点与其余3
-
n个点的距离（避免再算3–1点和3–2点间距离）；
…………………………………………
再求第1-
n个点与其余1个点的距离；
可见，采用这种原始方法解平面上n个点的最接近点对问题时，
需要计算
2)1
(
1
2
)2
(
)1
(-
=
+
+
+
-
+
-
n n
n
n 个两点间的距离。

这种方法的时间复杂性为)
(2n
O，效率太低。

一个较好的方案就是采用分治法来求解该问题：将所给平面上n
个点的集合S划分成点数大致相等的两个子集
1
S和2S,然后在每个子集中递归地求最接近点对。

这里，问题的难点是如何实现分治法中的合并步骤？即如何通过
1S 上的最接近点对和2S 上的最接近点对合并得到S 的最接近点对？
如果组成S 最接近点对的两个点都在1S 中或都在2S 中，则问题很好解决，但如果组成S 最接近点对的两个点一个在1S 中另一个在2S 中，则问题变得复杂。

为便于理解，先分析一维情形下的最接近点对问题，再推广到二维情形。

在一维情形下，集合S 中的n 个点退化为x 轴上的n 个实数1x ，2x ，
3x ，…，n x 。

最接近点对即为这n 个实数中相差最小的2个实数。

我
们显然可以先将1x ，2x ，3x ，…，n x 排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。

但这样的处理方式无法推广到二维情形。

对这种一维的简单情形，我们尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。

假设我们用x 轴上某个点m 将S 划分为两个子集1S 和2S ，使得
{}m x S x S ≤∈=1；{}m x S x S >∈=2。

这样一来，对于任一1S p ∈和2S q ∈都
有q p <。

图1 一维情形的分治法
递归地在1S 和2S 上找出其最接近点对{}21,p p 和{}21,q q ，并设
{}2121,min q q p p --=δ，S 中的最接近点对或者是{}21,p p ，或者是
{}21,q q ，或者是某个{}33,q p ，其中13S p ∈且23S q ∈。

如图1所示。

如果S 上的最接近点对是{}33,q p ，则必有：δ<-33q p ，进一步一定有：δ<-m p 3，δ<-m q 3，也就是说：(]m m p ,3δ-∈，(]δ+∈m m q ,3。

由于{}2121,min q q p p --=δ，则(]m m ,δ-中至多包含S 中的一个点，
(]δ+m m ,中也至多包含S 中的一个点。

（否则必有两点距离小于δ）
由图1可以看出，如果(]m m ,δ-中有点，则此点必是1S 中最大点，如果(]δ+m m ,中有点，则此点必是2S 中最小点。

因此，我们用线性时间就能找到区间(]m m ,δ-和(]δ+m m ,中的点，即3p 和3q 。

从而我们用线性时间就可以将1S 的解和2S 的解合并成为S 的解。

分割点的选取采用分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。

即：
2/)]min()[max(S S m +=。

这个算法看上去比“排序+扫描”算法复杂，却可以向二维推广。

下面我们来考虑二维的情形。

此时S 中的点为平面上的点，这些点都有两个坐标值x 和y 。

为了将平面上点集S 分割为大致相等的两个子集1S 和2S ，我们选取一垂直线m x l =:来作为分割直线（m 为S 中各点x 坐标的中位数）。

由此将S 分割为{}m p x S p S ≤∈=)(1和{}m p x S p S >∈=)(2，从而使1
S
和2S 分别位于直线l 的左侧和右侧，且21S S S =。

由于m 为S 中各点x 坐标的中位数，因此1S 和2S 中的点数大致相等。

递归地在1S 和2S 上解最接近点对问题，我们分别得到1S 和2S 中的最小距离1δ和2δ，并设),min(21δδδ=。

若S 的最接近点对为),(q p ，则δ<),(q p d ，且p 和q 必分属于1S 和
2S 。

不妨设1S p ∈，2S q ∈，那么p 和q 距直线l 的距离均小于δ。

因此，
我们若用1P 和2P 分别表示直线l 的左边和右边的宽为δ的2个垂直长条，则1S p ∈和2S q ∈如图2所示：
图2 距直线l 的距离小于δ的所有点
分析p ，q 的位置特点：如图2，1P 中所有点与2P 中所有点，它们构成的点对均为最接近点对的候选者。

在最坏情况下，有4/2n 对这样的候选者。

为什么？最坏情况下，直线l 的左边有2/n 个点，直线l 的右边也有2/n 个点，左边的每一个点都可以和右边的每一个点构成点对，这样就有4/2n 种情况值得考
虑。

考虑
P中任意一点p，它若与2P中的点q构成最接近点对的候选
1
者，则必有δ
)
,
(q
p
d这个条件的q点有多
<
)
<
,
(q
p
d。

固定p点，满足δ
少个呢？容易看出这样的q点一定落在一个δ
δ2
⨯的矩形R中，如图3所示。

图3 包含点q的δ
δ2
⨯的矩形R
由δ的意义可知，
P中任何2个S中的点的距离都不小于δ，由
2
此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点，这种极端情形要求6个点恰好位于正方形角上。

因此，对于
P中任意一点p，2P中最多只有6个点与它构成最接
1
近点对的候选者。

因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查n
6=
⨯对候选者，而不是4/2n对候选者。

2/
n3
现在，我们只知道对于
P中每一点p，最多只需要检查2P中最多
1
只有6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。

为了解决这个问题，我们可以将p和
P中所有2S的点投影到垂直线l上。

由于能
2
与p点一起构成最接近点对候选者的
S中点一定在矩形R中，所以它
2
们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于δ。

由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。

因此，若将
P和2P中所有S的点按
1
其y坐标排好序，则对
P中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，
1
就可以找出所有最接近点对的候选者，对
P中每一点最多只要检查2P
1
中排好序的相继6个点。

至此，我们可以给出用分治法求二维最接近点对的算法。