高三基础知识天天练 数学11-9人教版
宿豫中学09届高三数学二轮复习天天练10
09届高三数学天天练10一、填空题1．对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：_________．2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 3．“1x >”是“2x x >”的 条件．4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =7．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于_________．8．给出下列命题：①变量 y 与x 之间的相关系数0.9568r =-，查表到相关系数的临界值为0.050.8016r =，则变量 y 与x 之间具有线性关系；② 0,0a b >>则不等式3323a b ab +≥恒成立；③ 对于函数()22.f x x mx n =++若()()0.0,f a f b >>则函数在(),a b 内至多有一个零点；④ ()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于2x =对称．其中所有正确命题的序号是__________．9．若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积V ＝ ．10．0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则与b 的夹角范围为_______．11．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=________．12．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（n ,n ＋1），则正整数n =______． 13．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．14．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．0.0250.0150.010.005908070605040分数频率组距二、解答题：（文科班只做15题，30分，理科班两题都做，每题15分）15.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的 信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．16．已知数列{}n a 满足11a =，且11429n n n n a a a a ++-+=（n N *∈）（1）求1234,,,a a a a 的值；（2）由（1）猜想{}n a 的通项公式，并给出证明．俯视图左视图主视图a a a D C B A09届高三数学天天练10答案一、填空题：1． R x ∈∀，均有x 2+ x +1≥0 2．第一象限 3．充分而不必要条件 4．5． 4 6． 2550 7．4323或 8．①④ 9． 13 R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 10． ],3(ππ，11． 12．1 13． 222S a = 14． 1二、解答题：15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯= 3′直方图如右所示 6′（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=所以，抽样学生成绩的合格率是75%.. 9 ′ 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71估计这次考试的平均分是71分 12′16．（1）由11429n n n n a a a a ++-+=得1921244n n n n a a a a +-==---， 求得23471319,,357a a a === 3′ （2）猜想6521n n a n -=- 5′ 证明：①当n=1时，猜想成立。
高三基础知识天天练 数学11-6人教版
第11模块 第6节[知能演练]一、选择题1．如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )A.2π B.1π C.23D.13解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为22，面积为π(22)2＝π2，故投中正方形区域的概率为1π2＝2π，故选A.答案：A2．在500 mL 的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是( )A ．0.004B ．0.002C ．0.04D ．0.02解析：由于取水样的随机性，所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即P ＝2500＝0.004.故选A.答案：A3．已知Ω＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤6}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29解析：由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性，所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比，即P ＝12×4×212×6×6＝29.故选D.答案：D4．如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3，则()A ．P 1<P 2＝P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1＝P 2＝P 3D ．P 1>P 2＝P 3解析：因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是12.故选C.答案：C 二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是亮红灯的时间全部时间＝亮黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.故填25、115、35.答案：25 115 356．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如右图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S ΔABC ＝92，P ＝S ΔABC S 矩＝924×4＝932.故填932.答案：932三、解答题7．在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？解：石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型的概率公式可以求得概率．记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积＝4010000＝0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.8．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}． (1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠Ø的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝Ø的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x . 因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.要使A ∩B ≠Ø，只需－a ＋b2－1<0，即2a －b ＋2>0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组． 所以A ∩B ≠Ø的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝Ø，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝Ø的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝Ø的概率为P ＝144＝116.[高考·模拟·预测]1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22π C.16D.16π 解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：D2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：如下图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.答案：133．已知如右图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.答案：364．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图所示，可设＝1，＝1，根据题意只要点B在优弧上，劣弧的长度就小于1，由于点B 在圆周上的任意性，故这个概率是优弧的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.故填23. 答案：235．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(Ⅱ) 若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[备选精题]6．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率．解：设AC 长为x ，DB 长为y ，则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1200≤y ≤120120－(x ＋y )≥0设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ， 则⎩⎪⎨⎪⎧40≤x ≤12040≤y ≤120x ＋y ≤120满足条件的点P (x ，y )构成如右图所示的阴影区域，∴P (M )＝S △阴影S △OEF ＝19.。
高三基础知识天天练 数学检测11人教版
单元质量检测(11)一、选择题1．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：甲、乙捆绑后与第5种商品排列有A 22种，产生的三个空排丙、丁，有A 23种，再排甲、乙有A 22种，共有A 22A 23A 22＝24种．答案：C2．直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有C 26种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有C 26种选法，所以可构成矩形C 26·C 26＝225(个)． 答案：D3．(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4245D ．4246 解析：(1＋3x )6的通项公式为C r 6x r3，⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的通项公式为C k10x －k 4，由r 3＋(－k 4)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6k ＝8共三项，所以常数项为C 06C 010＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246. 答案：D4．在一底面半径和高都是2 cm 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 cm 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π ·22·2＝14π.答案：C5．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34D.23解析：如右图，在AB 边取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′内运动，则概率为AP ′AB ＝34.答案：C6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57(13)2(23)5B ．C 27(23)2(13)5C ．C 57(13)2(13)5D ．C 37(13)2(23)5 解析：由题意得，在7次摸球中，摸得红球的次数恰为2次，则有S 7＝3. 又因为每次摸球，摸得红球的概率为23，设X 为摸得红球的次数，则X ～B (7，23)，在7次摸球中，恰有2次摸得红球的概率 P (X ＝2)＝C 27(23)2(13)5. 答案：B7．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}． 先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14B.29C.736 D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B8．设随机变量的概率分布为：则X ( )A.12B ．0C ．2D ．随p 的变化而变化 解析：EX ＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵p 3≥0,1－23p ≥0，∴0≤p ≤32，∴当p ＝32时，EX 的值最小，最小值为2－32＝12.答案：A9．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b ，则方程x ＝－2a －bx 有实根的概率为( )A.12B.13C.16D.23解析：方程x ＝－2a －bx ，即x 2＋2ax ＋b ＝0，若方程有实根，则有Δ＝4a 2－4b ≥0即b ≤a 2，其所求概率可转化为几何概型，如右图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比，S 阴影＝⎠⎛01a 2d a ＝13a 3| 10＝13，所以所求概率P ＝13.答案：B10．在区间[0,1]上任意两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(12＋a －b )(－12－a －b )<0，则(12＋a －b )(12＋a ＋b )>0，可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b >012＋a ＋b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <012＋a ＋b <0，由线性规划知识在直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为：可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案：D11．若k 为实数，且k ∈[－2,2]，则k 的值使得过点A (1,1)的两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率为( )A.14B.12C.34D ．不确定解析：由题意知点A (1,1)在圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0，即(x ＋k 2)2＋(y －1)2＝k 24＋1＋54k的外部，所以⎩⎨⎧k 24＋1＋54k >012＋12＋k －2－54k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >－1或k <－4k <0.又k ∈[－2,2]，所以－1<k <0.故由几何概型概率公式得所求概率为P ＝14.答案：A12．已知0≤a <2,0≤b ＜4，为估计在a >1的条件下，函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 有两相异零点的概率为P ，用计算机产生了[0,1)内的两组随机数a 1，b 1各2400个，并组成了2400个有序数对(a 1，b 1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如下表：( )A.1348B.1124C.1324D.712解析：本题先对产生的随机数对(a 1，b 1)进行a ＝2a 1，b ＝4b 1的变换后可转化为满足题中条件的数对(a ，b )，而当4a 2－4b >0时，原函数f (x )有两个相异零点．所以先将表格补全，知当a >1即a 1>12时，满足a 21－b 1>0时，有两个相异零点，于是P ＝6501200＝1324. 答案：C 二、填空题13．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r ·x 2r. 令2r ＝8，得r ＝4，∴x 8的系数为C 46·k 4，即15k 4<120，∴k 4<8.而k 是正整数，故k 只能取1. 答案：114．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(有数字作答)解析：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂安排1个班，共有C 14·C 25·A 33＝240种安排方法．答案：24015．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得 P (ξ>2)＝12[1－2P (0<ξ<1)]＝12(1－0.8)＝0.1. 答案：0.116．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ＝________.解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B (4，35)，从而有Eξ＝np ＝4×35＝125.答案：125三、解答题17．在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，求 (1)从中任取1支，得到一等品或二等品的概率； (2)从中任取2支，没有三等品的概率．解：(1)从6支笔中任取1支得一等品或二等品共有3＋2＝5种， 不同的取法，任取一支笔共有6种取法， ∴任取1支，得到一等品或二等品的概率为56.(2)从中任取2支，有三等品的取法，有5种，而任取2支共有C 26＝15种取法． ∴任取2支，有三等品的概率为515＝13，∴任取2支，没有三等品的概率为1－13＝23.18．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查员某天逮住这种动物600只做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有50只，根据上述数据，估算保护区内有多少只动物？解：设保护区内这种野生动物有x 只，每只动物被逮到的可能性是相同的，那么第一次逮到的600只占所有这种动物的概率为600x ，第二次逮到的500只中，有50只是第一次逮到的，即事件发生的频数为50，说明第一次逮到的在总的动物中的频率为110，由概率的定义知600x ＝110，解得x ＝6000，即按此方法计算，估计保护区内有6000只这种野生动物．19．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． (1)从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．解：(1)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A ，摸出两个球共有方法C 25＝10种，其中，两球一白一黑有C 12·C 13＝6种．∴P (A )＝C 12C 13C 25＝35.(2)解法一：记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为B ，摸出一球得白球的概率为25＝0.4，摸出一球得黑球的概率为35＝0.6，“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑后白”，∴P (B )＝2×3＋3×25×5＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.解法二：有放回地摸两次，互相独立，摸一次得白球的概率为25，∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 P (B )＝C 12·25·(1－25)＝0.48. 20．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}和Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1； 若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2； ∴所求事件包含基本事件的个数是 2＋3＋3＋4＋4＝16. ∴所求事件的概率为1636＝49.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为如右图阴影部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0b ＝a 2得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为 P ＝12×8×8312×8×8＝13.21．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门课的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξ·x 在R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.12.1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5.(1)若函数f (x )＝x 2＋ξ·x 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(2)依题意知ξ的取值为0和2，由(1)所求可知P(ξ＝0)＝0.24，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ＝022．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0．25，在B处的命中率q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)由题设可知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知p(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8(2)根据题意p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24，p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01，p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48，p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)＝0．25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24，因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝p3＋p4＝0.48＋0.24＝0.72，P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处以后都在B处投得分超过3分的概率．。
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第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
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第2模块 第11节[知能演练]一、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f ′(x )在(0,2)上单调递减．故选C.答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：f ′(x )＝1－cos x >0， ∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A3．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )在(0,2)上单调递减． 又f (0)·f (2)＝8－4a ＋1＝9－4a <0， ∴f (x )在(0,2)上有一个零点， 即方程在(0,2)上有一实根．故选B. 答案：B4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1<x <1. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1<m ≤0.答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最大值和最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32<x <－1.令f ′(x )<0，∴－1<x <－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最小值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最大值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立， ∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． 若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，故F ′(x )＝2x 2－x －1x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数． 又F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，得0<b <12.故选D.答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，而函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)， ∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0<x <e 时，F ′(x )<0，此时函数F (x )递减； 当x >e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增， ∴当x ＝e 时，F (x )取极小值，其极小值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线， 则该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率为k ， 则直线方程为y －e ＝k (x －e)， 即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成立． ∴Δ＝(k －2e)2， ∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下面证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成立． 令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ， 则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当0<x <e 时，G ′(x )>0， 此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减， ∴当x ＝e 时，G (x )取极大值，其极大值为0. 从而G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0， 即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成立，∴函数h (x )和φ(x )存在唯一的隔离直线y ＝2e x －e.。
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09届高三数学天天练11一、填空题1．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ． 2．(1)(12)i i -+= ．3．函数()sin 23cos 2f x x x =+的最小正周期是 ．4．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BD 与平面1111A B C D 所成的角的大小为 ．5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ．6．已知抛物线22y px =的准线与双曲线222x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .7. 执行右边的程序框图，若4p =，则S = ．8．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 . 9．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，半径的圆的面积的最小值是 ． 10．已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -⎧⎫=-<<=>⎨⎬-⎩⎭，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈⋂”的概率是 ．11．已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．12．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．13．数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556，若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ． 14．若函数()3213f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是 ．AB CD A 1B 1C 1D 1二、解答题：（文科班只做15题，30分，理科班两题都做，每题15分）15、 已知圆22:8O x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线:l 4x =-为准线的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于,P Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；（Ⅲ）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于,G H 两点，且3EG HE =，试求此时弦PQ 的长．16、如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求变换T 所对应的矩阵M ．09届高三数学天天练11答案1．2,0x R x x ∀∈+>2．3i + 3．π4．6π5．16．()1,07.1516 8．33π 9．π 10．16 11．1212．222-13．5714．223,333⎡⎢⎣ 15．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则：2224a ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而：222a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故2b =,所以椭圆的标准方程为22184x y +=。
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第11模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若二项式(x －2x)n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x )r ＝(－2)r C rn x n －3r2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案：C2．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.答案：D3．在(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 的系数为( )A ．160B ．240C ．360D ．800解析：∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5·(x ＋2)5＝(x 5＋C 15x 4＋…＋1)(x 5＋2C 15x 4＋…＋25)， ∴其展开式中x 项的系数为C 4525＋C 4524＝240.答案：B4．在(1－x )5(1＋x )4的展开式中x 3项的系数为( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：(1－x )5(1＋x )4＝(1－C 15x ＋C 25x 2－C 35x 3＋…)(1＋C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)， ∴x 3项的系数为1×C 34－C 15C 24＋C 25C 14－C 35×1＝4.答案：C 二、填空题5．已知二项式(1－3x )n 的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x 2项的系数是________．解析：令x ＝1，则(1－3x )n ＝(－2)n ， 即(－2)n ＝64，∴n ＝6.又T r ＋1＝C r 6(－3x )r ，则T 3＝C 26(－3x )2＝135x 2，∴(1－3x )n 展开式中含x 2项的系数为135. 答案：1356．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364 三、解答题7．已知(4 41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10， 由通项公式得T r ＋1＝C r10(4·x －14)10－r (x 23)r . ＝C r 10·410－r·x －10－r 4＋23r .令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6，∴含有x 3的项是T 7＝C 610·44·x 3＝53760x 3. (2)∵此展开式共有11项， ∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 510(4x －14)5(x 23)5＝258048x 2512.8．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0， ① ∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0. ② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.[高考·模拟·预测]1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－x －1)r ＝(－1)r C r 5x10－3r(r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10，故选B.答案：B2．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， ∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C. 答案：C3． (1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2，故选D.答案：D4． (x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________解析：T 4＝－C 310x 7y 3，T 8＝－C 710x 3y 7，则x 7y 3与x 3y 7的系数之和为－2C 310＝－240. 答案：－2405．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.答案：7 6．已知(x x ＋23x)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6＝0，∴72－11r ＝0，∴r ＝7211∉N ，∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则72－11r6＝1，∴72－11r ＝6. ∴r ＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 6826x ＝1792x .。
高三基础知识天天练 数学11-9人教版
高三基础知识天天练数学11-9人教版第11模块第9节[知能演练]一、选择题1．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.－0.1 B．0 C．0.1D．0.2解析：???0.1＋a＋b＋0.1＝1??a＝0.4??0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5 ???，?b＝0.4故a－b＝0. 答案：B2．随机变量X的分布列为X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X＋4)等于A．15 B．11 C．2.2D．2.3 解析：∵EX＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5EX＋4＝11＋4＝15. 答案：A3．在正态分布N(0，19)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为A．0.097 B．0.046 C．0.03D．0.0026解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026. 答案：D( )( )( )4．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如下图曲线可得下列说法中正确的一个是( )A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析：由正态曲线性质可得．答案：A 二、填空题5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值EX＝3，则a＋b＝________.解析：设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4. P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，所以 (a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值EX＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，a1＝，b＝0， 101∴a＋b＝.101答案： 106．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.8 三、解答题7．某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元．(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； (2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列．计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解：(1)设ξ为损失数，分布列为：ξP ∴Eξ＝3000×0.3＝900(元) (2)设η为损失数，则 P(η＝0)＝0.7×0.8＝0.56.P(η＝500)＝0.3×0.8＋0.7×0.2＝0.38. P(η＝3000)＝0.3×0.2＝0.06. 分布列为：ηP 0 0.56 500 0.38 3000 0.06 0 0.7 3000 0.3 ∴Eη＝0＋500×0.38＋3000×0.06＝370 平均每天损失为370元．∵370<900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择．8．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．(1)求ξ的分布列、期望值及方差； (2)求η的分布列、期望值及方差．解：(1)ξ的可能值为0,1,2.若ξ＝0，表示没有取出次品，其概率为：3C062C10P(ξ＝0)＝3＝；C12112C192C10同理，有P(ξ＝1)＝3＝；C12221C212C10P(ξ＝2)＝3＝.C1222∴ξ的分布列为ξ P 0 6 111 9 222 1 226911∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.112222216191139915Dξ＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝＋＋＝.21122222222888844(2)η的可能值为1,2,3，显然ξ＋η＝3. 1P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，229P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，226P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.11∴η的分布列为：η P 15Eη＝E(3－ξ)＝3－Eξ＝3－＝. 2215∵η＝－ξ＋3，∴Dη＝(－1)2Dξ＝.441 1 222 9 223 6 11[高考・模拟・预测]1．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.解析：由题意得，a＋b＋c＋1＝1，① 1211∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，即－a＋c＋＝0，②12612∵DX＝1，∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，即a＋c＝，③12351联立①②③解得a＝，b＝. 12451答案： 1242．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________. 解析：由正态分布曲线的性质知，P(X≤μ)＝0.5. 答案：0.53．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x<4－a)＝1－2P(x4．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示C21C111133取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，故Eξ＝0×＋2×＝1.C42C4222答案：15．一个盒子中装有分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球，现从中有放回地先后抽取2个球，抽取的球的标号分别为x1，x2，记ξ＝|x1－1|＋|x2－2|.(1)求ξ取得最大值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解：(1)抽取的球的标号x可能为1,2,3,4，则x1－1分别为0,1,2,3；x2－2分别为－1,0,1,2. 因此ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.1当x1＝x2＝4时，ξ取得最大值5，此时P(ξ＝5)＝.161(2)当ξ＝0时，(x1，x2)的所有取值为(1,2)，此时P(ξ＝0)＝；163当ξ＝1时，(x1，x2)的所有取值为(1,1)，(1,3)，(2,2)，此时P(ξ＝1)＝；161当ξ＝2时，(x1，x2)的所有取值为(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，此时P(ξ＝2)＝； 41当ξ＝3时，(x1，x2)的所有取值为(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，此时P(ξ＝3)＝； 43当ξ＝4时，(x1，x2)的所有取值为(3,4)，(4,1)，(4,3)，此时P(ξ＝4)＝.16故ξ的分布列为：ξ P 0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 165 1 161311315Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.16164416162[备选精题]6．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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第11模块 第9节[知能演练]一、选择题1．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a －b 的值( )A.－0.1 C ．0.1D ．0.2解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝10×0.1＋a ＋2b ＋3×0.1＝1.5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.4b ＝0.4，故a －b ＝0. 答案：B2．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 解析：∵EX ＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5EX ＋4＝11＋4＝15. 答案：A3．在正态分布N (0，19)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P (x <－1或x >1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤x ≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026. 答案：D4．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如下图曲线可得下列说法中正确的一个是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 解析：由正态曲线性质可得． 答案：A 二、填空题5．设离散型随机变量X 可能取的值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值EX ＝3，则a ＋b ＝________.解析：设离散型随机变量X 可能取的值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，所以 (a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， 即10a ＋4b ＝1，又X 的均值EX ＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，a ＝110，b ＝0， ∴a ＋b ＝110.答案：1106．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.8 三、解答题7．某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元．(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； (2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列． 计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？ 解：(1)设ξ为损失数，分布列为：∴Eξ＝3000×0.3＝900((2)设η为损失数，则 P (η＝0)＝0.7×0.8＝0.56.P (η＝500)＝0.3×0.8＋0.7×0.2＝0.38. P (η＝3000)＝0.3×0.2＝0.06. 分布列为：∴Eη＝0＋500×平均每天损失为370元． ∵370<900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择．8．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．(1)求ξ的分布列、期望值及方差； (2)求η的分布列、期望值及方差． 解：(1)ξ的可能值为0,1,2.若ξ＝0，表示没有取出次品，其概率为：P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611；同理，有P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922；P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12.Dξ＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.(2)η的可能值为1,2,3，显然ξ＋η＝3. P (η＝1)＝P (ξ＝2)＝122，P (η＝2)＝P (ξ＝1)＝922，P (η＝3)＝P (ξ＝0)＝611.∴η的分布列为：Eη＝E (3－ξ)＝3－Eξ＝3－12＝52.∵η＝－ξ＋3，∴Dη＝(－1)2Dξ＝1544.[高考·模拟·预测]1．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝________.解析：由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，① ∵EX ＝0，∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0，②∵DX ＝1，∴(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23，③联立①②③解得a ＝512，b ＝14.答案：512 142．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. 解析：由正态分布曲线的性质知，P (X ≤μ)＝0.5. 答案：0.53．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x <a )＝0.32，则P (a ≤x <4－a )＝________.解析：由正态分布图象的对称性可得：P (a ≤x <4－a )＝1－2P (x <a )＝0.36. 答案：0.364．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 24＝12，故Eξ＝0×12＋2×12＝1.答案：15．一个盒子中装有分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球，现从中有放回地先后抽取2个球，抽取的球的标号分别为x 1，x 2，记ξ＝|x 1－1|＋|x 2－2|.(1)求ξ取得最大值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解：(1)抽取的球的标号x 可能为1,2,3,4，则x 1－1分别为0,1,2,3；x 2－2分别为－1,0,1,2. 因此ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.当x 1＝x 2＝4时，ξ取得最大值5，此时P (ξ＝5)＝116.(2)当ξ＝0时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,2)，此时P (ξ＝0)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,1)，(1,3)，(2,2)，此时P (ξ＝1)＝316；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，此时P (ξ＝2)＝14；当ξ＝3时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，此时P (ξ＝3)＝14；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值为(3,4)，(4,1)，(4,3)，此时P (ξ＝4)＝316.故ξ的分布列为：Eξ＝0×116＋1×316＋2×14＋3×14＋4×316＋5×116＝52.[备选精题]6．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为p (p ＞12)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)若如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入a ＝1，b ＝0；如果乙获胜，则输入a ＝0，b ＝1.请问①、②两个判断框中应分别填写什么条件？(2)求p 的值；(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解：(1)程序框图中的条件框①应填M ＝2，②应填n ＝6. 注意：答案不唯一．如：条件框①填M ＞1，条件框②填n >5，或者①、②条件互换．都可以．(2)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．∴有p 2＋(1－p )2＝59.解得p ＝23或p ＝13.∵p >12，∴p ＝23.(3)依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮比赛中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮是否停止没有影响．从而有P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝(1－59)×59＝2081，P (ξ＝6)＝(1－59)(1－59)×1＝1681.∴随机变量ξ的分布列为：故Eξ＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.。