二次函数一般式化顶点式
二次函数一般式与顶点式互化
进而我们就可以求出函数图象与x轴的交点．
课堂小结：
1.函数y=ax 2+bx+c的图象与y=ax 2的图象的位置关系．
２
2.函数y=ax+bx+c的图象在对称轴，顶点坐标等方面 的特点．
3.函数解析式类型的归纳：
(1)一般式 y=ax 2+bx+c
(2) 顶点式
2
y=a(x+m) +k
４.判断二次函数图象与坐标轴的交点情况及求法．
下面我们来对y=ax２ +bx+c进行配方成 y=a(x+m)2 +k
２
• y=ax +bx+c
2
=a(x +
b —a
x)+c
=a﹝x
2+—bx+(
b —)
2
﹞+c-(
—b
)2×a
a 2a
2a
2
=a( x +
—b
2 )+
4ac-b —————
2a
4a
思考：上式中m为多少？k呢？
2
显然，m=—b ,k=—4a—c-b—
2a
4a
结论：二次函数y=ax2 +bx+c的图象是一条抛物
线，它的对称轴是直线x= — —b—，顶点坐标是
(—
—b—,
2a
—4—a4ca—-b——x
2
+3x
—
—5
的对称
轴的顶点坐标．
2
2
解：在函数式y=— —12 x 2 +3x — —52 中，
a=— —1 , b=3, c= — —5 .
一般形式与顶点式之间的转换
一般形式与顶点式之间的转换近年来，高中数学中一类常见的问题是关于二次函数的转化和变换。
其中，一般形式与顶点式的转换是一项基本技能。
本文将介绍一般形式与顶点式之间的转换方法，以及其在解题过程中的应用。
一、一般形式的二次函数在开始讨论转换之前，我们先对一般形式的二次函数进行简要介绍。
一般形式的二次函数公式如下：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，并且a不等于0。
通过对这个公式的分析，我们可以得出以下结论：1. 当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 二次函数的图像关于直线x = -b / (2a) 对称。
3. 当二次函数与x轴交点时，令f(x) = 0，我们可以得到二次方程的解。
二、顶点式的二次函数接下来我们来介绍顶点式的二次函数形式。
顶点式的二次函数公式如下：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为实数，并且a不等于0。
通过对这个公式的分析，我们可以得出以下结论：1. 若a>0，顶点式二次函数的图像开口向上；若a<0，图像开口向下。
2. 顶点式二次函数的顶点坐标为(h, k)。
三、从一般形式到顶点式的转换现在我们来研究如何从一般形式转换为顶点式。
假设我们有一个一般形式的二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c1. 首先，通过化简将一般形式转换为完成平方的形式。
f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c2. 接下来，为了将二次项转换为一个完全平方的形式，我们需要加上一个适当的数值，并且要保持方程等价。
f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c3. 继续简化并移项，得到：f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c4. 最后，再次简化并得到转换后的顶点式形式：f(x) = a(x + b/2a)^2 + (c - b^2/4a)四、从顶点式到一般形式的转换现在我们来讨论如何从顶点式转换为一般形式。
二次函数一般式和顶点式的关系
二次函数一般式和顶点式的关系二次函数是高中数学中较为重要的一个概念，它的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——抛物线，而这个抛物线的形状则取决于二次项系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口向上，且顶点位于二次函数的最小值点，反之，当a<0时，抛物线开口向下，且顶点位于二次函数的最大值点。
对于一般式的二次函数，我们可以通过配方法将其化为顶点式的形式。
顶点式的二次函数形式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
如何从一般式的形式推导出顶点式呢？我们可以通过以下步骤进行：1. 对于一般式y=ax²+bx+c，我们可以通过求导数的方法来确定其最值点。
求导数得到y'=2ax+b，令y'=0，可得x=-b/2a。
2. 将x=-b/2a带回原式中，可得y=a(b/2a)²+b(b/2a)+c，化简可得y=c-b²/4a。
3. 由于两个平方项的和不小于0，且a≠0，因此当a>0时，y取最小值c-b²/4a，当a<0时，y取最大值c-b²/4a。
4. 将y=c-b²/4a带入y=ax²+bx+c中，可得y=a(x+b/2a)²+c-b²/4a，进一步化简可得y=a(x-h)²+k，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。
通过以上推导，我们可以得到一般式和顶点式二次函数的关系。
在实际运用中，顶点式的形式更为方便，可以直接读出抛物线的顶点坐标，同时也更加直观，有助于对二次函数的图像有更深入的理解。
除此之外，顶点式的二次函数还有其他的特点。
例如，当a>0时，y≥k，当x=h时，y=k；当a<0时，y≤k，当x=h时，y=k。
这些特点可以通过顶点式直接读出，而一般式则需要借助求导等数学方法进行推导。
一般式化为顶点式公式
一般式化为顶点式公式关键信息项：1、一般式的表达式2、顶点式的表达式3、转化的步骤和方法4、公式推导的原理5、应用实例及解析11 一般式与顶点式的定义111 一般式：形如＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a ＼neq 0$）的二次函数表达式称为一般式。
112 顶点式：形如＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（其中＄a ＼neq 0$，＄（h, k)＄为顶点坐标）的二次函数表达式称为顶点式。
12 一般式化为顶点式的重要性121 顶点式能够直观地反映出二次函数的顶点坐标，有助于分析函数的最值和对称轴等重要性质。
122 在解决实际问题和数学计算中，有时需要将一般式转化为顶点式以更方便地进行分析和计算。
13 一般式化为顶点式的公式推导131 对一般式＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ 进行配方：＄y ＝ a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c$＄y ＝ a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c$＄y ＝ a(（x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c$＄y ＝ a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c$132 整理可得顶点式：＄y ＝ a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＄14 转化步骤总结141 提出二次项系数＄a$。
142 在括号内对＄x$ 的一次项和二次项进行配方。
143 整理得到顶点式。
15 应用实例151 例 1：将一般式＄y ＝ 2x^2 ＋ 4x 1$ 化为顶点式。
首先，提出二次项系数 2：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x) 1$然后，配方：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x ＋ 1 1) 1 ＝ 2(（x ＋ 1)＾2 1) 1$整理得：＄y ＝ 2(x ＋ 1)＾2 3$152 例 2：已知二次函数的一般式为＄y ＝ x^2 ＋ 6x ＋ 5$，求其顶点坐标。
人教版九年级上数学-二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题
二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式 一．基础知识:1.（1）完全平方公式:222a ab b ±+=()2a ±—— （2）()226_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()224____x x x -+=-二、基础知识练习1.类型一:1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式,并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
举一反三:用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式,并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
类型二:1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。
举一反三:求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。
类型三:1a ≠例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三:求二次函数23123y x x =--的最小值。
例4.求抛物线21232y x x =--+的顶点坐标。
举一反三:求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。
三、过关练习:1.求抛物线243y x x =--的顶点坐标2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()214y x =--3.已知抛物线228y x x =+。
（1）化成顶点式为_________(2)顶点坐标为_________(3)当x ________时,y 的最_______值__________;(4)当x________时,y 随x 的增大而增大。
4.二次函数2112y x x =---的图像可由抛物线212y x =-怎样平移得到？5.抛物线222y x x =-++。
二次函数的一般式化为顶点式
2020年3月26日星期四
5
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
2020年3月26日星期四
2020年3月26日星期四
13
y=ax2+bx+c =a(x2+ b x)+c
a
=
a[x2+
b
a x+
( b )2]-
2a
( b )2a +c
2a
=a(x+ b )2+ 4ac b2
2a
4a
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
y 3 x 22 5 的图象？
2020年3月26日星期四
4
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
像的特征吗？
2020年3月26日星期四
7
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y -2x2 8x-7 也能化成这样的形式 吗?
2020年3月26日星期四
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表达形式：①一般式：y=a*2+b*+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(*-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线*=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a*2的图像一样，当*=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(*-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(*-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在*轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(*-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(*-*1)(*-*2) (a≠0) [仅限于与*轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .抛物线与*轴即y=0有交点A〔*1，0〕和 B〔*2，0〕,我们可设y=a(*-*1)(*-*2),然后把第三点代入*、y中便可求出a。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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二次函数一般式化为顶点式，有两种方法，配方法或公式法
二次函数一般式化为顶点式方法解析
配方法
y=ax +bx+c
=a（x +bx / a ）+c
=a（x +bx/a+b /4a -b /4a ）+c
=a（x+b/2a）-b /4a+c
=a（x+b/2a）+（4ac-b）/4a
顶点式
y=a（x-h）+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标：（h，k）。
另一种形式：y=a（x+h）+k（a≠0），则此时顶点坐标为（-h，k）。
二次函数一般式
二次函数一般式的公式为：y=ax +bx+c
已知三点求二次函数解析式，可设二次函数解析式为：y=ax +bx+c
二次公式为：
求解方法：知道3点了，分别代入这个解析式，就可以得出3个方程，3个方程，3个未知数，就可以求出a，b，c了。
一般式的图像关系
a、b、c值与图像关系
a＞0时，抛物线开口向上；
a＜0时，抛物线开口向下。
c＞0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；
c＜0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数的基本定义
“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
二次函数的性质
二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。
二次函数的顶点式
当h>0时，y=a(x-h)的图像可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)的图像可由抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。