高考数学复习策略2020
2020年新高考数学复习求同存异解决集合的交、并、补运算问题专题解析
2020年新高考数学复习求同存异解决集合的交、并、补运算问题专题解析考纲要求:1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.基础知识回顾:1、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集若全集为U，则集合A的补集为符号表示A∪B A∩B∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A}2、集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A，∁U（A∪B）=∁U A∩∁U B,∁U（A∩B）=∁U A∪∁U B应用举例:类型一：已知集合中的元素，求其交集、并集或补集 例1.已知集合，，则为（ ）A.B.C.D.【答案】C例2.全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0 【答案】D【解析】试题分析：根据韦恩图得到表示的是()U C A B ⋃，根据题意求得集合B ，再求集合A 并B ，再求补集即可.详解： {}{}2|1011B x x =-==-，，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃， {}2,1,1,2A B ⋃=--，(){}0U C A B ⋃=故答案为：D.点睛：这个题目考查了韦恩图的应用，一般先读懂韦恩图所代表的集合的含义，再将区域用集合的交并补形式表示出来，最终求解即可.例3．已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：先解分式不等式得集合U，解绝对值不等式得集合A，解二次不等式得集合B，最后根据并集以及补集定义得结果.详解：因为，所以,因为，所以,因为，所以,因此，元素的个数是3,选D,点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．类型二：已知集合交集、并集或补集中的元素，求其集合中的元素例4．设全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【例5】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C A B ==U {}(){}1,A 3U C B =I ，则集合B =（ ）A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【答案】B【解析】如图，{2,4,5}B =．故选B ．13U ：1，2，3，4，5BA类型三：已知集合关系求参数的值或范围 例6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B例7．已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜；②m 0= 时，成立；③1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜，综上所述， 112m -≤≤，故答案为112m -≤≤．例8．已知函数()41log ,,416f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合5|01x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->. （1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3.解：（1）因为41>，所以()f x 在区间1416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()()44min max 1log 2,log 4116f x f x ==-==，所以[]2,1A =-.由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，即3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭.又因为A B B ⋃=，所以A B ⊆． 所以14a->，解得4a <-， 所以实数a 的取值范围为(),4-∞-．方法、规律归纳:1、一个性质：要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 两种方法2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 实战演练:1．已知集合{}21,1M xN y y x x ⎧⎫=<==-⎨⎬⎩⎭，则()R C M N ⋂= A. (]0,2 B. []0,2 C. ∅ D. []1,2 【答案】B【解析】因为(){}[)212,,10,M xN y y x x ∞⎧⎫=<+==-=+∞⎨⎬⎩⎭＝，则(]R ,2C M =-∞， ()[]0,2R C M N ⋂=.故选B.2．已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C3．已知集合，，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：集合为函数的值域，集合为函数的定义域，分别求出它们后可求出交集及其补集. 详解：，，故，所以，故选C.点睛：本题为集合和函数性质的综合题，一般地，表示函数的值域，表示函数的定义域，解题中注意集合中代表元的含义. 4．设集合，，则的真子集的个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】C5．设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. M N = B. M N ⊂≠C. NM ⊂≠D. M N ⋂=∅【答案】B【解析】 因为()()112121,2,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以M N ⊂≠，故选B.6．已知集合，，若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可.详解： ，由，可得是方程得两根， 由韦达定理可得，即，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解． 7．集合,,若只有一个元素，则实数的值为（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2 【答案】B 【解析】因为只有一个元素，而， 所以 或，选B.8．集合，，，则的取值范围是_______．【答案】9．已知集合1{|}2M x x =≥-， 32{|310}A x M x x a =∈-+-=， {|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则a 的取值范围为__________． 【答案】51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】作函数()()321131,,2,22h x x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图像，因为集合A B ⋃的子集的个数为8，所以集合A B ⋃的子集的元素为3，因此()5111112228g a h a f ⎛⎫⎛⎫-=-≤<-=≠=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，即a 的取值范围为51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．函数()()2lg f x x ax b =++的定义域为集合A ,函数()243g x kx x k =+++的定义域为集合B ,若(∁R A )∩B =B , (∁R A )∪B ={x |－2≤x ≤3}.求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.【答案】1,6a b =-=-, 24,3k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.。
一核四层四翼高考评价体系下高三数学复习备考策略讲座(2020-2021)
• 2.函数的奇偶性
明函数的单调性等.
•
了解函数奇偶性的含义,会判断• 简单的函数的奇偶性；
b.借助数形结合的思想解题.函 数的单调性、周期性、奇偶性 的综合性问题是高考热点,高频
• 3.函数的周期性
考点，应引起足够的重视.
• 了解函数周期性的含义
• c.本节内容在高考中小题分值为 5分左右,覆盖能力题，属于掌握
的问题？
案例分析：初等函数性质
-------2019年考纲相关解读
考点、内容解读 、要求 ： 分析解读
• 1.函数的单调性及最值
• a.考查函数的单调性定义及单调
• 理解函数的单调性、最大(小) 值及其几何意义；
区间的求法及应用,如应用单调 性求值域、比较大小或证明不 等式,运用定义或导数判断或证
“从学科角度讲，要促进深度学习！就要为素养而教（用学 科教人），学科及其教学是为学生素养服务的，而非为学科 而教。把教学局限于狭隘的学科本位中，过分地注重本学科 的知识与内容，任务和要求，将十分不利于培养视野开阔、 才思敏捷并具有丰富文化素养和哲学气质的人才。”
教师的作用就要设计好“如何让学生深度学习”，做好“新 课堂”。
深度学习的主题分类 ---转变观念
以“一章或几章内容”组成主题（单元） 以“一学期内容”组成主题（单元） 以“蕴涵在一些章节重要核心概念”组成主题（单元） 以“蕴涵在一些章节重要方法”组成主题（单元） 以“培养某个数学核心素养、基本能力”组成主题（单元）
“以知识为本”——“以人为本” 学会——会学 知识——能力——素养 训练——理解——思维品质
层次019年考试大纲与2018年对照没有变化，依次按照四个方面做出要求 ：一是考核目标与要求；二是能力要求（提出七个层面）；三是个性 品质要求；四是考察要求（提出五个方面）
2020高中数学高效学习方法全攻略
2020高中数学高效学习方法全攻略高中数学应该如何学习?今日小编给大家分享高中学习数学时遇到的一些问题案例以及一些高中数学的学习技巧，希望对正处于高中阶段，想学好数学的同学，能提供到一定的帮助。
一.高中数学之于我的契机数学，在高考中是作为我的强项的。
但在整个高中阶段，我并非从一开始就能快速的掌握学习的技巧和方法。
高一刚开始，身处于直升班的我，在班里领悟力不算强，智商也并不算高，因而很长一段时间里，我对于自己的数学学习都完全没有信心。
初中总体来说成绩还不错，因而全校两个校区择100人的保送本校高中部，我作为最后几名勉强进了名单。
五月份，在大家还在为中考而努力的时候，我们已经提前开始了高中生活。
但因为对应的任课老师还在为当时的高三年级最后的冲刺而努力，所以说是提前的适应，其实就是每天早上老师留一道思考题，让我们用一天的时间去琢磨。
那两个月，我人生中第一次深刻体会到了智商的差异(虽然在之后的日子里，被智商碾压已成常态，笑)。
有道题我现在还记得，而且对我高中三年的影响颇大。
“在一个边长为1m的封闭立方体中，放置一个半径为0.1m的小球。
小球可以在立方体中随意的运动，求小球滚不到的部分的体积。
”现在看来，似乎并不难。
但对于当时的我而言，真的是莫大的难题。
身边的同学一个个算出了答案，而我的小球还在脑子里不停地旋转跳跃不停歇。
我怎么都想不明白，那个球究竟会怎么动。
我甚至用木板做了一个立方体出来，每天抱在怀里，拿个小乒乓球放在里面，每天盯着看。
终于有一天，我想清楚了。
尽管比别人慢了很多，但我真真正正地想明白了。
没有人会觉得这是什么了不起的事情，但对于我，确实是一件令我十分开心的成就。
它让我明白了，哪怕我不如别人聪明，但别人能做的事情，我也总归是能完成的，而且，也许会在质量上完成得更好。
而且，从那道题开始，在立体几何方面，我仿佛开窍了一般，豁然开朗。
我开始喜欢动脑子，喜欢那种琢磨很多天，忽然一刻想通了的感觉，开始喜欢上数学。
2020年高三数学开始复习步骤
2020年高三数学开始复习步骤目标本文档的目标是为高三学生提供数学复习的步骤和建议，帮助他们高效备考。
步骤1. 温习基础知识：回顾高中数学各个章节的基础知识，包括公式、定理和概念。
强化基础知识对于理解和解决更复杂的数学问题至关重要。
2. 复习重点章节：根据历年高考试题和教材的难度分布情况，确定高考数学的重点章节。
着重复习这些章节，并解析相关的典型题目，掌握解题思路和方法。
3. 制定复习计划：根据时间安排和个人情况，制定合理的复习计划。
将复习内容划分为小块，每天或每周集中复习一个章节或一个知识点。
合理安排时间，确保每个章节都有充分的复习时间。
4. 做试题：做大量的高考数学试题，包括历年真题和模拟试题。
通过做题，可以熟悉考试题型和解题思路，提高解题速度和准确性。
5. 错题整理：将做错的题目整理出来，分析错误的原因，并进行针对性的复习和训练。
通过不断纠正错误，提高解题能力和考试水平。
6. 多维度练习：除了做题，还要进行多维度的练习。
可以尝试解决一些实际问题，参加数学竞赛或小组讨论，拓宽数学思维和应用能力。
7. 考前冲刺：在离高考时间较近的时候，进行有针对性的考前冲刺复习。
重点复习易错知识点和高频考点，做模拟考试，增强应试能力和心理素质。
注意事项- 不要追求过于复杂的解题方法和策略，尽量选择简洁明了的解题思路。
- 尽量独立思考并解决问题，不要过度依赖他人的帮助。
- 不要引用无法确认来源和真实性的内容，避免误导和不准确的信息。
祝愿所有高三学生都能通过高效的数学复习，取得优异的成绩！。
2020年新高考数学复习充分条件与必要条件的合理判定专题解析
2020年新高考数学复习充分条件与必要条件的合理判定专题解析考纲要求:1、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2、掌握必要条件、充分条件与充要条件的判定. 基础知识回顾: 充分条件与必要条件已知命题p 是条件，命题q 是结论（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。
如：3x <是4x <的充分条件。
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件；所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。
如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。
但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足)()(x f x f =-才是偶函数，满足)()(x f x f -=-是奇函数。
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.（4）两种常见说法：A 是B 的充分条件，是指A ⇒B ；A 的充分条件是B ，是指B ⇒AA 的充要条件是．．．B ．，充分性是指B ⇒A ，必要性是A ⇒B ，此语句应抓“条件是B ”；A ·是．B 的充要条件．．，此语句应抓“A 是条件”． 应用举例:类型一：充分条件与必要条件的判定——函数【例1】已知函数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C是（）【例2】已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.解析：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，设其解为，则，因此方程的两解不可能都大于1，其在中只有一解，其充要条件是，解得或，因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.故选：C.点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质. 类型二：充分条件与必要条件的判定——不等式【例3】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【例4】“”是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C类型三：充分条件与必要条件的判定——圆锥曲线【例5】【河北省衡水中学2018届高三数学（理科）三轮复习系列七】直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据直线和圆的位置关系求出直线和圆有两个不同交点的充要条件，然后再结合给出的选项求解．详解：圆的方程即为．由直线与圆有两个不同交点得，解得．又，∴直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是．故选B．点睛：解答本题时注意两点：一是先求出直线与圆有两个交点的充要条件，即；二是要正确理解必要不充分条件的含义，即是所选择的范围的真子集．【例6】已知椭圆：，直线：与轴交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点在直线上，则“轴”是“直线过线段中点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，则：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，则与重合，所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.类型四：充分条件与必要条件的判定——复数【例7】设，则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B是的真子集，故为必要非充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解过程中，需要首先确定出各条件对应的参数的取值范围，利用集合间的关系，求得结果.类型五：充分条件与必要条件的判定——三角函数【例8】设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【例9】”是“关于的方程有解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先求出得，而s有解可得即可.详解：由题得得，s有解可得，故可得“”是“关于的方程有解”的充分不必要条件，故选A.点睛：考查逻辑关系，能正确求解前后的结论，然后根据定义判断是解题关键，属于基础题.类型六：充分条件与必要条件的判定——平面向量 【例10】已知向量，，则“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A类型七：充分条件与必要条件的判定——集合【例11】若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±，所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 充分不必要条件，选A.【例12】 已知集合{}|145A x x x =-+-<，集合(){}22||log 2B x y x x ==-，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】B类型八：充分条件与必要条件的判定——立体几何【例13】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．【例14】若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能可得必要性不成立. 详解：由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.类型九：充分条件与必要条件的判定——数列【例15】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【例16】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D类型十：充分条件与必要条件的应用【例17】已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≥11（2）0＜a≤1【解析】试题分析：（1）分别求函数的定义域和不等式（）的解集化简集合A，由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的范围.试题解析：(1)由题意得，或，若，则必须满足，解得，∴的取值范围为.(2)易得或.∵是的充分不必要条件，∴或是或的真子集，则，其中两个等号不能同时成立，解得，∴a 的取值范围为.【例18】已知集合3|0 1x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合(){}22|2120 B x x m x m m =-+++-< :p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】[]01，【解析】试题分析：先化简A ，B ，再根据p 是q 的必要不充分条件，得出B A ≠⊂，列出方程组即可求出m的范围. 试题解析：由301xx ->+得： 13x -<<，∴|1 3 A x x =-<<.由()222120x m x m m -+++-<，得12m x m -<<+.∴|1 2 B x m x m =-<<+，∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ≠⊂ ∴11{23m m -≥-+≤，∴01m ≤≤，经检验符合题意，∴m 的取值范围为[]01，.方法、规律归纳:(1)充分条件、必要条件的判断方法【定义法】直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．【等价法】利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q 与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．【集合法】若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． (2)判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． 实战演练: 1．设：，：，则是的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A2．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先化简复数z,再转化“复数在复平面内对应的点在第三象限”，最后利用充分必要条件判断得解.详解：由题得=-a-5i,由于复数在复平面内对应的点在第三象限，所以所以“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的充要条件.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的计算、几何意义和充要条件，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、集合法和转化法来判断.3．设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C4．己知命题p : “关于x 的方程240x x a -+=有实根”,若非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+,则实数m 的取值范围是( ）A ． ()1,+∞B ． [)1,+∞C ． (),1-∞D ． (],1-∞ 【答案】A【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定4a ≤，然后确定非p 条件下4a >；根据充分不必要条件确定314m +>，进而求出m 的取值范围。
2024届高三数学二轮复习策略课件
1.离心率的计算 2.圆锥曲线与三角形内心、重心相关的 问题
3.圆锥曲线与内接三角形 4.圆锥曲线中常用的二级结论
专
1.函数的图像与性质 2.利用导数研究函数的性质
题 函数与导数 3.导数与恒成立问题
六
4.导数与不等关系 5.导数与函数的零点
1.抽象函数的性质 2.切线与公切线 3.以指数、对数为载体的情景题 3.导数中的构造问题 4.端点效应问题
【分析】当x 时0 ， xf (x) ，f (x即) 0 [xf (x)] 0
构造函数 g(x) xf (x)
A 【例 1】（2020 新课标Ⅱ理11）若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0
二轮复习六大专题：
大专题
专 三角函数、 题 解三角形 一 和平面向量
专 题 数列 二
专 题 立体几何 三
子专题
微专题
1.三角恒等变换 2.三角函数的图像与性质 3.解三角形
1.平面向量数量积的求解策略 2.三角函数中与 相关的问题探究 3.三角形中的特殊线段 4.三角中的数学建模与情景题
1.数列的通项求法
【案例3】 微专题：同构式
【引例】（2015 年理12 改编）设函数 f (x) 是奇函数 f (x)(x R)的导
函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，xf '(x) f (x) 0 ，则使得 xf (x) 0
成立的 x 的取值范围是（
）
A．,1 0,1
B．1,0 0,1
C．,1 1,0 D．0,1 1,
3.确定备考策略
(1)对数列的概念及表示方法的理解和应用； (2)等差数列、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前项和公式中基本量的运算或者利用它们之 间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解 数列的问题； (3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题； (4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前项和； (5)数列与不等式、函数等的交汇问题； (6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考、探究与发现的学习材料，有意识地培养学生的阅读能力 和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活有关的数列的应用问题； (7)关注结构不良试题、举例问题等创新题型。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
(江苏专用)2020版高考数学复习第十章算法、统计与概率10.2抽样方法教案
§10.2 抽样方法考情考向分析 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填空题为主，属于中低档题．1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N 的总体中逐个不放回地取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出． 3．分层抽样(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． (2)分层抽样的应用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．概念方法微思考三种抽样方法有什么共同点和联系？提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √)(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( ×)(3)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √)(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( ×)(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ×)题组二教材改编2．[P52习题T1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．答案分层抽样法解析从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．3．[P52习题T4]某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_____名学生．答案15解析从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为310，所以应从高二年级抽取学生人数为50×310＝15.4．[P52习题T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．答案16解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16.题组三易错自纠5．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则________．答案p1＝p2＝p3解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 1800解析 分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．题型一 简单随机抽样1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是________．(填序号) ①这次抽样中可能采用的是简单随机抽样； ②这次抽样一定没有采用系统抽样；③这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率； ④这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率． 答案 ①解析 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，①正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，②错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，③和④均错误．2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.答案 01解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.3．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．答案514解析 由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514. 思维升华应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．题型二 系统抽样例1(1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________． 答案 12解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”) 答案 不能解析 若55被抽到，则55＝5＋20n ，n ＝2.5，n 不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________． 答案 28解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240(人)，又在[481,720]中抽取8人， 所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定． 跟踪训练1将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________． 答案 25,17,8解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.题型三 分层抽样命题点1 求总体或样本容量例2(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________. 答案 13解析 ∵360＝n120＋80＋60，∴n ＝13.(2)(2018·江苏省南京金陵中学模拟)某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为________． 答案 120解析 因为共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人， 所以女学生占的比例为10002400＝512，女学生中抽取的人数为50人， 所以n ×512＝50，所以n ＝120.命题点2 求某层入样的个体数例3(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.答案 180解析 由题意，得抽样比为3201600＝15， ∴该样本中的老年教师的人数为900×15＝180.(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人． 答案 108解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×81008100＋7488＋6912＝300×810022500＝108.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．跟踪训练2 (1)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝________. 答案 1040解析 分层抽样是按比例抽样的，所以81×12001000＋1200＋n＝30，解得n ＝1040.(2)(2018·如东模拟)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 答案 30解析 参与调查的总人数为150，由8∶n ＝40∶150， 得n ＝30.1．(2018·盐城调研)某单位有老年人20人，中年人120人，青年人100人，现用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n 的样本，已知从青年人中抽取的人数为10，则n ＝________. 答案 24解析 由分层抽样可得10n＝10020＋120＋100＝1024，故n ＝24.2．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是________． 答案 系统抽样解析 符合系统抽样的特点．3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是________． 答案110，110解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________． 答案 695解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k ＝N n ＝100050＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.5．某工厂的一、二、三车间在某月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为________．答案 1200解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的13，所以二车间生产的产品数为3600×13＝1200.6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为________． 答案 10解析 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 7．某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为________． 答案 180解析 设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001600＝y320，得y ＝180.8．某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是_____． 答案 157解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157.9．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．10．某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________． 答案 36解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案 37 20解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.12．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________． 答案 76解析 由题意知，m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.13．某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况，决定对该市参加2018年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是________． 答案 3解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为328＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.14．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.答案 16解析 由题意，知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.15．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．答案 78解析 设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别为6x,2x,3x ，由题意可得3x －2x ＝13，x ＝13，∴持“喜欢”态度的有6x ＝78(人)．16．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n . 解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ；分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.。
2020年成人高考复习数学拿高分技巧
01
题型分析：
选择题27%、填空题27%、解答题46%
02
内容比重：
理工类：代数占45%，三角占15%，平面解析几何占20%，立体几何占10%，概率与统计初步占10%。
文史类：代数占55%，三角占15%，平面解析几何占20%，概率与统计初步占10%
03
难度分析：
容易题：约30%
中等难度题：约50%
较难题：约20%
01考试大纲很重要
大纲是所有考生都需要彻底理一遍的首要材料。
所有的概念都须搞清记熟，查漏补缺。
这是9月份之前考生应做的工作。
02多做题
做题是考生这一段时间必须勤加练习的重要内容。
综合题、模拟题、历年真题都是最后阶段的必练题目。
尤其是历年真题，每套题都必须做完后认真分析、总结。
反复练习、纠错，才能真正掌握。
2020版高考数学一轮复习教案- 第1章 第1节 集合
第 章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语 言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间 包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的 含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交 集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能 使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号NN *(或N ＋)ZQR2.集合间的基本关系表 示文字语言符号语言记法关系A ⊆基 本子集集合 A 的元素都是集合 B 的元素x ∈A ⇒x ∈BB 或 B ⊇ 关 A 系真子集集合 A 是集合 B 的子集，但集合 A ⊆B ，∃x 0∈B ，x 0∉AA B 或B 中至少有一个元素不属于 AB A相等集合 A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A ⇒A ＝B A ＝ B空集不含任何元素的集合．空集是任 何集合 A 的子集∀x ，x ∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算 表示 文字语言符号语言图形语言记法运算 交集属于 A 且属于 B 的元素组成 的集合{x |x ∈A 且x ∈B }A ∩B并集属于 A 或属于 B 的元素组成 的集合{x |x ∈A 或x ∈B }A ∪B补集全集 U 中不属于 A 的元素组 成的集合{x |x ∈U ，x ∉A }∁U A[常用结论]1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n ，真子集的个数为 2n －1.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3．A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合都至少有两个子集． ( )(2)已知集合 A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则 A ＝B ＝C .( )(3)若{x 2，x }＝{－1,1}，则 x ＝－1. ( ) (4)若 A ∩B ＝A ∩C ，则 B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的． (2)错误．集合 A 是函数 y ＝x 2 的定义域，即 A ＝(－∞，＋∞)；集合 B 是函 数 y ＝x 2 的值域，即 B ＝[0，＋∞)；集合 C 是抛物线 y ＝x 2 上的点集．因此 A ，B ，C 不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C 可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝2 2，则下列结论正确的是() A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2 2知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C[∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1 或x＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1 或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含义与表示1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M 中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6B[因为集合M 中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3 时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3 时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4 个元素．]2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()9 9 9A. B. C．0 D．0 或2 8 8D[若集合A 中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．2当a＝0 时，x＝，符合题意；39当a≠0 时，由Δ＝(－3)2－8a＝0 得a＝，89所以a 的取值为0 或.]8b3．已知a，b∈R，若{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019 为()aA．1 B．0 C．－1 D．±1bC[由已知得a≠0，则＝0，a所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1 或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1 应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.] 4．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.1[由A∩B＝{3}知a＋2＝3 或a2＋4＝3.解得a＝1.][规律方法]与集合中的元素有关的问题的求解策略1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.集合间的基本关系【例 1】 (1)已知集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则( )A ．B ⊆A B ．A ＝BC ．AB D ．BA(2)(2019·大庆模拟)集合 A ＝Error!，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合 B 的子 集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合 A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若 B ⊆A ，则实 数 a 的取值集合为________．C.1 1(1)C (2)B (3){， [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则 A B ，故选－，0}3 2x ＋1(2)由 ≤0 得－1≤x ＜3，则 A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝ x －3 {1,2,5}，其子集的个数为 23＝8 个．(3)A ＝{－3,2}，若 a ＝0，则 B ＝∅，满足 B ⊆A ，11 1 1 1若 a ≠0，则 B ＝{，由 B ⊆A 知， ＝－3 或 ＝2，故 a ＝－ 或 a ＝ ，a}aa 3 21 1因此 a 的取值集合为{.]－， ，0}3 2[规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.易错警示：B⊆A A≠∅，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.(1)(2018·长沙模拟)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为()A．1 B．2 C．4 D．8(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a 的取值范围是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B 得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]集合的基本运算►考法1集合的运算【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B ＝()A．{0}B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是()A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1 或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2 －x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2 －x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a 的取值范围是()A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(1)(2019·东北三省四市联考)设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3) ＜0}，则A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝()A．{1}B．{2} C．{1,2}D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27}(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1 或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3 知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝Error!B．A∩B＝∅C．A∪B＝Error!D．A∪B＝RA[因为B＝{x|3－2x＞0}＝Error!，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝Error!，A∪B ＝{x|x＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2D[分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满足集合A中条件的元素个数即可．集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3 除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8 和14.故选D.]。
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高考数学复习策略2020
高考数学复习策略
一、夯实基础知识
高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题
占80%，难题占20%。
无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危
险!也只有“三基”过关，才有能力去做难题。
二、建构知识网络
数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程
中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知
识网络。
在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。
三、注重通性通法
近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途
径多、方法活、注重发散思维的考查。
在复习中千万不要过多“玩
技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差
的学生“信心尽失”。
四、提高运算能力
运算能力是最基础的能力。
由于高三复习时间紧、任务重，老师和学生都不重视运算能力的培养，一个问题，看一看知道怎样解就
行了。
这是我们高三学生运算能力差的直接原因。
其实，运算的合
理性、正确性、简捷性、时效性对学生考试成绩的好坏起到至关重
要的作用。
因此，运算能力要进一步加强，让学生自己体悟运算的重要性和书写的规范性。
同时，在运算中不断地反思自己解题过程的合理性，转化的等价性等等。
五、答题严谨规范
学生答题存在许多小错误，太多的小错误，累积起来影响了最后的成绩。
在复习中和试卷的评讲中，要不厌其烦告诫学生，注重推理的完整性，特别是“立体几何”中的推理过程;注意数学符号的严格性，以及字迹工整、如何涂改，在规定范围内答题每年都要向学生讲明白，养成严谨规范的作风。
阶段复习、系统小结
从时间来划分，如周复习、期中复习、期末复习、毕业复习、升学复习等，从知识上来划分，如章节复习、单元复习、总复习等，都可称做阶段系统复习。
1.阶段系统复习的任务
(1)强化记忆，使学习的成果牢固地贮存在大脑里，以便随时取用。
专家实验发现刚记住的材料，一小时后，只能保留44%，两天后只剩下25%，可见所有的人都会发生先快后慢的遗忘过程。
有的学者认为，经过学习，在大脑形成了一定的神经联系，这种联系，如果不通过反复的，有效的刺激来强化，那么就会慢慢消退，表现为遗忘现象。
采用各种方法来进行复习，正是为了强化和完善这种神经系统。
理解了的知识便于记忆，这是对的，但理解了的知识还要通过复习才能真正记牢。
记性好的同学，不仅重视理解，而且重视复习。
他们每天有复习，每周有小结，每章有总结，多次地从不同角度，不同层次上进行复习，从而产生了良好的记忆效果。
(2)查漏补缺，保证知识的完整性。
影响学习的因素很多，在一个漫长的学习过程中，很难保证各种因素都处于最佳状态，因此，难免出现漏洞和欠缺，通过复习，自
己检查出来后，就可以及时补上，保证所学知识的完整性和系统性。
凡是抓紧复习的同学，学习中的漏洞和欠缺，都能及时地得到补正，因此，他们的知识总是比较完整的。
(3)融会贯通，使知识系统化。
智慧不是别的，而是一种组织起来的知识体系。
这里所说的“一种组织起来的知识体系”就是指系统化的知识。
可以说，形成系统
化的知识是系统复习的中心任务。
通过平时分科、分章、分节的学习，可以说基本完成了对各种基本概念、基础知识的理解任务。
通
过复习，全面回顾，查漏补缺，又保证了知识的完整性，但这时同
学们对事物的认识还没有完成，复习的中心任务也没有完成，为什
么呢?因为头脑中的知识这时还是“半成品”，需要采取分析综合，
比较归类，抽象概括，归纳演绎等思维方法，把长期学习的各部分
知识“组装”起来，融会贯通，透彻理解，使之形成系统化知识。
这时，才能说完成了学习过程的全部任务。
2.阶段系统复习的程式和方法
阶段复习必须注意做好“三准备”，即主题准备、时间准备和材料准备。
(1)主题准备。
复习之前一定要明确这次复习的中心内容，复习时要围绕这个中心内容来进行。
如果不明确中心内容，拿起课本从头捋到尾，不能
称之为复习，只能算是一种重复，最多起到一个熟悉的作用，知识
还是分散的，构不成体系，效果并不好。
(2)时间准备。
由于阶段复习要看、要想、要查资料，还要写复习笔记，量比较大，因此复习的内容和复习的时间都必须相对集中，可以采取主动
分配、被动安排两种方法。
时间的主动分配，即根据复习的内容安
排若干天，每天或每隔一两天复习一部分内容，若干天后全部内容
复习完。
时间的被动安排，即复习的时间有限，不能任意安排，就要计算一下从复习开始到考试一共有多少时间，需要复习的内容有多少。
如果时间不够用，那就要根据时间的许可，调整复习内容，熟悉的
内容略去，保证重点学科等。
这样，虽然每天完成学习任务之后，所剩的时间不多，但是由于时间安排得当，可以避免出现手忙脚乱的情况。
(3)材料准备。
当复习的中心内容确定后，一切与中心内容有关的课本、笔记、作业、试卷和参考书都应当尽可能准备齐全，复习时专心思考，需
要查阅时资料伸手可得。
阶段复习的程式应该是这样的：
第一步：先回忆后看书
和课后复习一样，阶段复习进行时，也是先不看书，尽可能地独立思考回忆。
遇到难题或不理解的内容，也不要忙于翻书，先自己
想想看，实在想不起来才去看课本。
这样做，是逼着自己动脑筋，
有助于强化记忆，提高学习效率。
第二步：先看题后做题
阶段复习时对于过去做过的习题有必要再温习一遍。
不过，不是一题不落地再做一遍，也不要一题也不做。
看题是把书上的练习、
日常的作业、阶段测验的试卷，从头到尾看一遍。
看题的时候，只
看题目，理清解题思路，会做的可以与原先的做法相对照比较，不
会做的再看原先是怎么解的，自己这次“卡壳”是卡在什么地方，
然后再做一遍。
除了看题之外，有必要选择部分习题做一做，尤其是选一些综合性习题做一做。
因为平时学习所做的习题都是为了练习当时讲课的
内容，都是个别的。
而综合性习题则要运用本章或本体系的全部知
识才能解答，因此，做一些综合性习题是阶段复习中用来巩固知识、熟练运用知识的必要的方法。
通过做综合题使知识系统化、完整化。
第三步：先复习后笔记
阶段复习结束之前，应当把复习的成果记录下来。
复习的成果可以包括通过复习而获得的系统知识，新的体会，新的解题方法，自
己的难点弱点等等。
复习笔记不是课堂笔记的翻版，而应当是简洁
明了，高度概括。
如同你进入知识领域的一名向导，靠着它可以把
你引入知识的各个角落。
换句话说，看着复习笔记可逐一回忆起课
本上相关的内容。
3.阶段系统复习的基本要求
(1)复习前要抓紧平时学习时间，做好准备工作。
要利用平时零
星的时间，围绕复习中心内容把有关的笔记、书本、作业、试卷和
参考书等一一准备好。
(2)复习围绕一个中心内容来进行。
复习时，首先要确定复习的中心内容，这个中心内容要按照知识的体系来确定。
在复习时，从内容上来说，尽量选择与讲新课关系
最密切的内容来复习，这样，不仅完成了复习任务，而且还可以推
动新课的学习，另外，每次复习的内容不要太多，要适当，要注意
文理交替。
(3)要坚持用循环复习的方法。
所谓“循环复习法”是：在学完一部分内容后，及时地进行一次复习。
接着就是学习下一部分内容。
学完了后再进行第二次复习。
后一次复习要包括前一次复习的内容。
如此继续下去，一环套一环。
同时，学到一定阶段，要把整个复习的内容分成若干单元，每个单
元复习后都要搞一次大循环。
内容多的还可以穿插循环。
(4)要做点综合性题目。
目的是检验复习的效果，加深对知识理解，培养运用知识解决问题的能力。
选什么题，要围绕复习的中心来确定，重点是做点综合
性的习题。
综合习题类型和复习时所涉及的知识范围要一致，用做
综合题来进一步使知识完善化和系统化，并以此培养自己综合运用
知识的能力。
(5)要有集中的时间和安静的环境。
复习时，要处理较多的知识，要看、要想、要写、要查资料、要设计系统表和比较表等等。
这是比较费时间的脑力劳动，因此需要一个比较集中的时间和不受干扰的安静环境。
否则就会因为时间和环境的问题打断正常复习思路，影响复习效果。
(6)制作复习笔记。
在复习时，通过艰巨的思考形成了完整而系统的知识，应当珍惜这个学习成果，及时用笔记形式记录下来，以备今后使用。
重视复习笔记，把握知识的精华，考试时就一定会取得优异成绩。