4.2.2-等差数列的前n项和公式 教案(师生互动)
等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案一、教学目标：1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的前n项和的公式。
2. 培养学生运用等差数列的前n项和公式解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 等差数列的概念及通项公式。
2. 等差数列的前n项和公式。
3. 等差数列的前n项和的性质。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的概念，等差数列的前n项和公式。
2. 教学难点：等差数列的前n项和的性质。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究等差数列的前n项和公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固等差数列的前n项和公式。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾等差数列的概念及通项公式。
2. 新课：讲解等差数列的前n项和公式，并通过案例分析让学生理解并掌握公式。
3. 练习：布置练习题，让学生运用前n项和公式解决问题。
4. 拓展：讲解等差数列的前n项和的性质，引导学生进行思考。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学活动：1. 课堂讨论：让学生举例说明在生活中哪些问题可以用等差数列的前n项和公式解决，促进学生对知识的理解和应用。
2. 小组合作：学生分组，每组选择一个实际问题，运用等差数列的前n项和公式进行解决，并展示解题过程和结果。
七、教学评价：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列的前n项和公式的掌握情况。
2. 课后作业：布置有关等差数列前n项和的练习题，评估学生对知识的吸收和运用能力。
3. 小组报告：评估学生在小组合作中的表现，包括问题选择、解题过程、结果展示等方面。
八、教学资源：1. PPT课件：制作包含等差数列前n项和公式的PPT课件，辅助教学。
2. 实际问题案例：收集一些生活中的实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。
等差数列前n项和公式教学设计
等差数列前n项和公式教学设计一、引言等差数列是数学中常见的数列类型之一，它的前n项和公式是数学教学中的重要内容。
本文将针对等差数列前n项和公式的教学设计进行讨论，旨在帮助学生理解和应用该公式。
二、教学目标通过本次教学，学生将能够：1. 掌握等差数列的定义和性质；2. 推导等差数列前n项和公式；3. 熟练应用前n项和公式解决实际问题。
三、教学内容1. 等差数列的定义和性质在开始介绍前n项和公式之前，首先向学生介绍等差数列的定义和性质。
教师可以通过提供具体的数列示例，并引导学生观察数列中的规律，以加深他们对等差数列的理解。
2. 推导等差数列前n项和公式为了引导学生主动参与教学过程，并提高他们对公式的理解程度，教师可以采用探究性学习的方法来推导等差数列前n项和公式。
以下是一种教学策略：（1）教师先给出一个等差数列，例如：2, 5, 8, 11, 14, ...（2）教师引导学生观察数列中的规律，如何由前一项得到后一项。
（3）学生通过观察和思考，可以发现每一项与前一项的差是相同的，即公差（d）。
（4）接下来，教师可以引导学生通过等差数列的通项公式（an =a1 + (n-1)d）来表示数列中的各项。
（5）通过代入相应的值，教师指导学生推导出等差数列前n项和的公式（Sn = (n/2)(a1 + an)）。
3. 应用前n项和公式解决实际问题为了提高学生的应用能力，教师可以设计一些实际问题，要求学生运用前n项和公式解决。
例如：（1）小明连续10天每天跑步，第一天跑了2公里，每天比前一天多跑3公里，问小明共跑了多少公里？（2）某商店连续7天的销售额分别是100元、110元、120元、...，每天比前一天增加10元，求7天的总销售额。
四、教学步骤1. 引导学生回顾等差数列的定义和性质；2. 通过探究性学习的方法，引导学生推导等差数列前n项和的公式；3. 提供实际问题，要求学生运用前n项和公式进行计算；4. 指导学生总结等差数列前n项和的公式；5. 练习巩固：提供更多练习题，让学生进行接触和熟练应用。
第4章 4.2 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新教材】
境
堂
导 学
探
n 的二次函数 Sn＝d2n2＋a1－d2n，类比二次函数的最值情况，等差数
·
小 结
提
新
素
知 列的 Sn 何时有最大值？何时有最小值？
养
合
作 探
[提示]
由二次函数的性质可以得出：当 a1<0，d>0 时，Sn 先减
课 时
究
分
释
后增，有最小值；当 a1>0，d<0 时，Sn 先增后减，有最大值；且 n 取
·
提
新
素
知
又因为 a1＝S1＝3，
养
合 作
所以 a1 不满足 an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
探
课 时
究 释
(3)错误．当公差为零时，Sn 为一次函数．
分 层 作
疑 难
[答案] (1)√ (2)× (3)×
业
·
返 首 页
11
·
情
课
境 导
2．在等差数列{an}中，已知 a1＝2，d＝2，则 S20＝( )
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
·
16
情
等差数列前n项和的有关计算
课
境
堂
导 学
【例 1】 在等差数列{an}中，
小 结
·
探 新
(1)已知 a6＝10，S5＝5，求 a8；
求和公式
《等差数列前n项和的公式》教案
《等差数列前n项和的公式》教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握等差数列前 n 项和的公式。
能够熟练运用公式解决与等差数列前 n 项和相关的问题。
2、过程与方法目标通过推导等差数列前 n 项和公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，体会数学中的转化思想。
3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和理解。
公式的熟练运用。
2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想的渗透。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾等差数列的定义和通项公式。
提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导以等差数列：1，2，3，4，5，，n 为例，引导学生思考求和的方法。
方法一：依次相加。
方法二：倒序相加。
设等差数列\（a_n\）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。
＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＋ a_{n-1} ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n-1} ＋ a_{n-2} ＋＋ a_2 ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n-1}）＋＋（a_{n-1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）3、公式理解分析公式中各项的含义。
4.2.2 等差数列的前n项和公式(第一课时)
Sn
=
na1
+
n(n -1)d 2
不从第一个公式出发,你能用其他方法得到第二个公式吗?
三、典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列. (1)若a1=7，a50=101，求S50；
(2)若a1=2，a2=
(3)若a1= ，d1= 2
，求S510； 2
，Sn=-15,求n. 6
对于等差数列{an}的相关 量a1, an，d,n, Sn，已知几个量就可以确定其
你能用高斯的方法求 1+2+3+…+100+101吗?
将上述方法推广到一般，可以得到:
一、探究新知
当n是偶数时，有 于是Sn=1+2+3+…+n=
a1 an
a2
( 1
an1
n )[ 2 ( n
an
2
a
n 2
1
1 ) ] [
nபைடு நூலகம்2
(
n 2
1)]
=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)=
n(1 n) 2
一、探究新知
我们发现，在求前n个正整数的和时,要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否 避免分类讨论?
对Sn=1+2+3+…+n=
n变(形1可n得) ： 2
2Sn=2(1+2+3+…+n)=n(1+n)
它相当于两个Sn相加，而结果变成n个(n+1)相加. 受此启发，我们得到下面的方法:
老师问：“你是如何算的？” 高斯回答说：“1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
等差数列的前n项和公式(2)教学设计- (人教A版 高二 选择性必修第二册)
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
数列是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。
发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
课程目标学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质
及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点：求等差数列前n项和的最值
难点：等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。
所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。
这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。
多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
4.2.2等差数列的前n项和公式说课课件(人教版)
列的首项和公差得到它的前n项和公式吗？
转化为基本量a1和d
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 2 d
也可以通过
Sn a1 a2 a3 an
利用求和公式和每 项具体化
a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
1
n项 2
2
n 1个
n n 1
2
2
n 1 1 n n 1 n n 1
2
2
2
演绎推理“推”公式
问题4：在求前n个正整数的和时，对n分奇偶数进行讨论得到的结果是一样
的，那么怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相
同数的求和”呢？
“奇数加奇数、偶数加偶数”都可以变成偶数，根据这个性质让它自己和自己配对.
3+98 =101 a3+a98 =101
50+51 =101 a50+a51=101
S100 (1 100 ) (2 99) (50 51)
=50 ×101=5050 首尾配对法
通过S配10对0=凑(a成1+相a1同00)的+数(a，2+变a9“9) 多+…步+求(和a5”0+为a51) “一步相乘=5”0 ，×即10将1“=5不05同0数的求和”转化为
（简化计算）
设计意图：高斯算法蕴含着等差数列的特殊性 质，让学生去观察、探索、发现等差数列的 这一性质，引导学生提炼高斯算法的实质， 体会转化与化归的思想方法.
高斯 Gauss.C.F （1777~1855）
高斯, 德国数学家. 与阿基米德, 牛顿 并称为历史上最 伟大的数学家, 有 “数学王子”之称.
4.2.2-2 等差数列前n项和公式(二)课时教学设计(淮冰会)-高中数学新教材选择性必修第二册小单
4.2.2-2 等差数列前n项和公式（二）课时教学设计（淮冰会）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）一、教学目标1. 知识目标：掌握等差数列前n项和公式，并能应用到各种实际问题中。
2. 技能目标：能够通过等差数列前n项和公式计算等差数列各种题型。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。
二、教学重点掌握等差数列前n项和公式及应用。
三、教学难点解决实际问题中的等差数列计算。
四、教学过程1. 课前导入出示一道小问题：“小明今年10岁，5年后他多少岁？”学生回答15岁。
过程中教师引导学生思考，不难发现这是一道“等差数列”问题。
2. 讲解“等差数列前n项和公式（二）”在此之前，教师先引导学生回顾等差数列前n项和公式（一）的公式：Sn=n×(a1+an)/2，然后再介绍等差数列前n项和公式（二）：Sn=n×[2a1+(n-1)d]/2。
3. 解题操作根据所学知识，教师在黑板上做出一道应用题，引导学生掌握等差数列前n项和公式的题目：某人从第1天开始每天增加2元花费，10天后共花费多少元钱？（1）找出a1=1，d=2，n=10，并代入公式Sn=n×[2a1+(n-1)d]/2中（2）得出Sn=10×[2×1+(10-1)×2]/2=1104. 课堂小结教师归纳总结等差数列前n项和公式的使用方法；同时也指导学生通过应用题来理解公式的实际应用性，激发学生的兴趣。
五、课后作业1. 完成课堂练习。
2. 分析生活中的实际问题，运用公式求解。
3. 预习下节课内容。
六、教学反思本节课以引导学生思考为切入点，引出等差数列前n项和公式的应用。
教师在授课过程中注重解释，操作简便，便于学生理解本节课的知识点，并通过教学案例的解析，引导学生理解等差数列的应用性和实用性；同时课上还针对应用题的解题方法和思路作了进一步讲解，让学生在运用公式的基础上能够更好地解决等差数列的实际问题。
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高斯的算法实际上解决了数列
1，2，3，…， 前100项的和问题 。
老师问：高斯解决的是偶数项的问题。实际上我们会遇到的不仅是偶数项的问题。如果是奇数项的问题那又是如何解决？
老师：展示PPT让学生思考几种常用的解决奇数项的问题
老师：总结解决几种常用的奇数项的方法。
高斯（gauss,1777-1855),德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”
老师：展示PPT课件。据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
你准备怎么算呢？
三、探究新知，讲授新课
1.老师：展示PPT高斯的算法：
作业布置：1.练习册P13 课后作业 1，4，9题
课后反思
高二年级组
老师：讲解倒序相加法
老师：我们只研究或解决了一些具体的等差数列的求和问题，那么对于一般的等差数列来说又是如何解决呢？
老师板演：等差数列的前n项和公式推导，并跟学生互动推导第1公式。
老师问：这个公式有哪些基本量？能否用_1,,表示_呢
？
老师板演：写出求和公式2.
老师问：我们如何选用以上两种公式？
老师：如果是n项的和的问题，我们又不知道奇数还是偶数项的情况下又是怎么解决呢？
老师：可以考虑分类讨论。
老师问：这个分类讨论有点麻烦，那么还有别的方法吗？
老师：展示PPT，讲解解决的这类问题的另一种问题（通过数形结合的方式引入倒序相加法）
老师：这种方法，使不同数的求和问题转化成了相同数的求和，从而简化了运算。
四．巩固练习
老师展示PPT，例题1
老师问：如果把例题1中的第10项换成公差d，能不能计算Sn？（例题2）
老师：展示PPT，让学生完成例题3.
4、让学举手回答，指名提问
二、（1）学生边听老师讲的故事边进行思考，从故事中受到启发。
（2）以小组为单位,进行讨论高斯的方法从而得到启发。（完成课前预习任务单中的第一个要求）让学生举手说出自己的感受。
探究学习活动
学生活动时间
二次备课
教学过程
一、复习与回顾
1.等差数列的概念，
2.等差数列的通项公式。
3.等差数列的性质。
4.数列前n项和概念
二、导入新课
老师：我们学过了等差数列的概念，通项公式和性质。那么我们还会需要去学习等差数列的前n项和。
老师：板书，导入新课的同时板书题目。
老师：给学生讲高斯的小故事。
三、学生观察数列的特征，进行思考。
分组讨论，老师进行引导。最终指名回答
学生在老师指引下进行思考
学生跟同桌两人互说自己的感受和发现。
学生保持跟老师的互动，边思考，边做相关的记录。
学生保持跟老师的互动，边思考，边做相关的记录
指名回答
学生分组讨论，动笔动脑自行推导公式2，并指名进行板书。
学生分组讨论，动手解决问题，指名进行板演。
教学重点
掌握等差数列的前n项和的两个基础公式。
教学难点
等差数列前n项和公式的推导过程与方法。
教学准备
PPT课件
课前预习任务单
1.让学生提前阅读第18页至第19也内容，找出高斯算法高明之处。
2.提前预习在第一求和公式的基础上结合等差数列的通项公式推导第二个求和公式。
教学过程
教学环节
教师活动
学生自主合作
2分钟
3分钟
3分钟
2分组
2分钟
2分钟
1分钟
4分钟
2分中
1分中
3分中
5分中
课堂小结
这节课你们学到了什么？你们还有什么不懂的地方吗？
指名回答
1分钟
板书设计
4.2.2等差数列的前n项和（1）
一．等差数列的前n项和公式推导
二．等差数列的前n项和公式
三．巩固练习
课堂检测及作业布置
课堂检测：课本 P24 习题4.2的第1题
高二年级 数学 选择性必修 第二册 第四章 数列
课题
4.2.2等差数列的前n项和
课型
新课讲授
课时
第一课时
授课时间
2023年2月27日
课时目标
1.探索并理解等差数列的会用等差数列的两个求和公式。综合运用等差数列的通项公式和前n相和公式进行简单的计算。