数学：2.3.2《等比数列前n项和》课件(2)(新人教B版必修5)
n 1
n
⒋在等比数列中, 若项数为2n(n N ), S偶与S奇
*
分别为偶数项和与奇数项和, 则
S偶 S奇
q
___
课时小结 1.等比数列中
当k为奇数时，依次每k项的和，仍然构成等比数列。
当k为偶数时，若q 1时，依次每k项的和，仍然 构成等比数列。
⒉{an}是等比数列 Sn Aqn B, 其中A 0, q 1, A B 0
a1 (1 q7 ) a1 (1 q14 ) a1 (1 q 21 ) 当q 1时，S7 ，S14 ，S21 1 q 1 q 1 q
a (q q ) a q (1 q ) 此时(S14 S7 ) 2 2 (1 q) (1 q)
2 2 1 7 14 2 2 14 1
1 x
2
注：⑴注意对公比x的讨论。若去掉x 0 ?
⑵本例是形如{an bn }，其中an 是等差数列，bn 是 等比数列的求和问题，这类问题都可用错位相减法。
例3已知数列an 前n项和Sn 2 1，求此数列的
n
通项an，并证明它是一个等比数列。
分析：判断一个数列是等比数列（或等差数列），一定要用定 义来判断：任意两相邻的项具有某种特征：比（或差）为定值。
7 14 21 2 14 1
7 2
a1 (1 q ) a1 (q q ) a q (1 q ) S7 (S21 S14 ) 2 1 q 1 q (1 q)
7 2
(S14 S7 ) S7 (S21 S14 )
2an 是等比数列，Sn是其前项和， 求证：S7，S14 S7，S21 S14成等比数列。
证明：q 1时，S7 7a1，S14 14a1，S21 21a1，
此时，S14 S7 S21 S14 S7 0
S7，S14 S7，S21 S14成等比数列
当k N ，Sk，S2k Sk，3k S2k也成等比数列吗？ S
*
等比数列中
当k为奇数时，依次每k项的和，仍然构成等比数列。
当k为偶数时，若q 1时，依次每k项的和，仍然 构成等比数列。
an 例1 在等比数列 中，已知前10项的和为5， 前20项的和为15，求前30项的和。
n
Sn Aq B，A 0, q 1， 则数列an 是等比数列吗？
n
当n 1时，a1 S1 Aq B
当n 2时，an Sn Sn1 Aq B ( Aq B) ( Aq A)q
n n1 n1
若an 是等比数列，则Aq B Aq A， B A，即A B 0
当A B 0时， n 是等比数列； a 当A B 0时，an 不是等比数列。
课堂练习
70 ⒈等比数列中, S10 10, S20 30, 则S30 ____. 63 ⒉等比数列中, Sn 48, S2n 60, 则S3n ___.
⒊若等比数列{an}中，Sn m3 1, 则实数m -1 ___.
这类问题都可用错位相减法。
3.形如{an bn }，其中an 是等差数列，bn 是等比数列的求和问题，
4.应用等比数列前n项和公式时，注意分类讨论。
课后作业
补充练习
1.设a为常数，求数列a,2a ,3a ,, na ,的前n项和；
2 3 n
⒉等差数列an 中, a1 1, d 2，依次抽取这个数列的第1,3,32 ,,3 项组成数列bn , 求数列bn 的通项和前n项和Sn .
例2设数列an 为1,2 x,3x ,4 x , nx x 0 ,
2 3 n 1
求此数列前n项的和。
解：（用错位相减法）
Sn 1 2x 3x 4x nx ① 2 3 n1 n xSn x 2x 3x n 1 x nx ② 2 n1 n ① ②1 x Sn 1 x x x nx ，
解：由已知，得a1 S1 1,
n
n1
当n 2时，
n1 n1
an Sn Sn1 (2 1) (2 1) 2
又a1 1满足上式，an 2 (n N*)
an1 2n 由于 n1 2(n N *) an 是一个等比数列 an 2
a1 (1 q ) 探究：由Sn 得Sn是形如Sn Aq n B的式子， 1 q 且A B 0，反之，若一个数列an的前n项和为
复习回顾
等比数列前n项和公式
Sn 当q=1时， na1
a1 an q S 当q 1 时， n 1 q
a1 (1 q ) Sn 1 q
n
公式的推证用的是错位相减法
求 和：
1 a a a a
2 3
n 1
等差数列中依次每k项的和，仍成等 差数列。 在等比数列中，是否也有类似的性质？
2 3 n1
当x 1时，
1 x 1 x nx nx n nx 1 x Sn 1 x 1 x
n n n n 1
1 1 n x nx 1 x
n
n 1
Sn
1 1 n x nx
n
n 1
n 1 n 当x 1时，Sn 1 2 3 4 n 2
解：设A a1 a2 a10， B a11 a12 a20，
C a21 a22 a30
则A 5，B 15 5 10， A、B、C成等比数列，
B 10 C 20 A 5
2 2
S30 A B C 35
n
⒋在等比数列中, 若项数为2n(n N ), S偶与S奇
*
分别为偶数项和与奇数项和, 则
S偶 S奇
q
___
课时小结 1.等比数列中
当k为奇数时，依次每k项的和，仍然构成等比数列。
当k为偶数时，若q 1时，依次每k项的和，仍然 构成等比数列。
⒉{an}是等比数列 Sn Aqn B, 其中A 0, q 1, A B 0
a1 (1 q7 ) a1 (1 q14 ) a1 (1 q 21 ) 当q 1时，S7 ，S14 ，S21 1 q 1 q 1 q
a (q q ) a q (1 q ) 此时(S14 S7 ) 2 2 (1 q) (1 q)
2 2 1 7 14 2 2 14 1
1 x
2
注：⑴注意对公比x的讨论。若去掉x 0 ?
⑵本例是形如{an bn }，其中an 是等差数列，bn 是 等比数列的求和问题，这类问题都可用错位相减法。
例3已知数列an 前n项和Sn 2 1，求此数列的
n
通项an，并证明它是一个等比数列。
分析：判断一个数列是等比数列（或等差数列），一定要用定 义来判断：任意两相邻的项具有某种特征：比（或差）为定值。
7 14 21 2 14 1
7 2
a1 (1 q ) a1 (q q ) a q (1 q ) S7 (S21 S14 ) 2 1 q 1 q (1 q)
7 2
(S14 S7 ) S7 (S21 S14 )
2an 是等比数列，Sn是其前项和， 求证：S7，S14 S7，S21 S14成等比数列。
证明：q 1时，S7 7a1，S14 14a1，S21 21a1，
此时，S14 S7 S21 S14 S7 0
S7，S14 S7，S21 S14成等比数列
当k N ，Sk，S2k Sk，3k S2k也成等比数列吗？ S
*
等比数列中
当k为奇数时，依次每k项的和，仍然构成等比数列。
当k为偶数时，若q 1时，依次每k项的和，仍然 构成等比数列。
an 例1 在等比数列 中，已知前10项的和为5， 前20项的和为15，求前30项的和。
n
Sn Aq B，A 0, q 1， 则数列an 是等比数列吗？
n
当n 1时，a1 S1 Aq B
当n 2时，an Sn Sn1 Aq B ( Aq B) ( Aq A)q
n n1 n1
若an 是等比数列，则Aq B Aq A， B A，即A B 0
当A B 0时， n 是等比数列； a 当A B 0时，an 不是等比数列。
课堂练习
70 ⒈等比数列中, S10 10, S20 30, 则S30 ____. 63 ⒉等比数列中, Sn 48, S2n 60, 则S3n ___.
⒊若等比数列{an}中，Sn m3 1, 则实数m -1 ___.
这类问题都可用错位相减法。
3.形如{an bn }，其中an 是等差数列，bn 是等比数列的求和问题，
4.应用等比数列前n项和公式时，注意分类讨论。
课后作业
补充练习
1.设a为常数，求数列a,2a ,3a ,, na ,的前n项和；
2 3 n
⒉等差数列an 中, a1 1, d 2，依次抽取这个数列的第1,3,32 ,,3 项组成数列bn , 求数列bn 的通项和前n项和Sn .
例2设数列an 为1,2 x,3x ,4 x , nx x 0 ,
2 3 n 1
求此数列前n项的和。
解：（用错位相减法）
Sn 1 2x 3x 4x nx ① 2 3 n1 n xSn x 2x 3x n 1 x nx ② 2 n1 n ① ②1 x Sn 1 x x x nx ，
解：由已知，得a1 S1 1,
n
n1
当n 2时，
n1 n1
an Sn Sn1 (2 1) (2 1) 2
又a1 1满足上式，an 2 (n N*)
an1 2n 由于 n1 2(n N *) an 是一个等比数列 an 2
a1 (1 q ) 探究：由Sn 得Sn是形如Sn Aq n B的式子， 1 q 且A B 0，反之，若一个数列an的前n项和为
复习回顾
等比数列前n项和公式
Sn 当q=1时， na1
a1 an q S 当q 1 时， n 1 q
a1 (1 q ) Sn 1 q
n
公式的推证用的是错位相减法
求 和：
1 a a a a
2 3
n 1
等差数列中依次每k项的和，仍成等 差数列。 在等比数列中，是否也有类似的性质？
2 3 n1
当x 1时，
1 x 1 x nx nx n nx 1 x Sn 1 x 1 x
n n n n 1
1 1 n x nx 1 x
n
n 1
Sn
1 1 n x nx
n
n 1
n 1 n 当x 1时，Sn 1 2 3 4 n 2
解：设A a1 a2 a10， B a11 a12 a20，
C a21 a22 a30
则A 5，B 15 5 10， A、B、C成等比数列，
B 10 C 20 A 5
2 2
S30 A B C 35
合集下载
人教高中数学必修五等比数列的前n项和课件
人教A版必修五·新课标·数学
S 练习1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an的
n
(1)a 3, q 2, n 6; 1
3 (1 26 )
S6 1 2 189.
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33
S5
1 (1.5)
. 4
利用计算器得：
n
0.20 0.041
5
(年)
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教A版必修五·新课标·数学
练习2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
1 27 q8 243
又由q 0,可得：
于是当n 8时
q 1
3
271
1
8
Sn
3 1 ( 1)
1640 81
3
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教A版必修五·新课标·数学
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，
所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an}
其中 a1 5000, q 110 00 1.1 Sn 30000
可得：
Sn
5000(11.1n ) 11.1
30000
可得： 1.1n 1.6 两边取对数，得： n lg1.1 lg1.6
解：a1 1, q 2,
1 (1 24 ) S4 1 2 15.
等比数列的前n项和课件人教新课标B版
1 若q 2, S4 1,求S8
2 若a1
a3
10, a4
a6
5 4
, 求a4和S5
能力提升
求和：
a a2 a3 a4
an
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
或 Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
a1 anq
Sn
1q
na1
q1 q1
知三求二
小结
左端点（a
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天
的2倍．
提出问题
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
=? T30 1 2 3 30 S30 1, 22, 2222, 2233, , 229
465 (万元)
等比数列的前30项和
第一天给你１万， 每天给你投资比 前一天多１万元， 连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天
的2倍．
知识探究
等比数列的前n项和
=? Sn a1 a2 a3 an1 an
即
=? Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
知识探究 等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和
§2.5等比数列的前n项和
情境设置
高老庄集团
情境设置
周转不 灵……
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出这4猴分子入会３不万会元又；在……耍哇我，？发
了…………
猴哥,能不能帮帮 我……
情境设置
No problem！第一 天给你１万，每天给 你投资比前一天多１ 万元， 连续一个月 (30天)，但有一个条
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
课件_人教版高中数学必修等比数列的前n项和课件PPT精品课件[完整版]
![课件_人教版高中数学必修等比数列的前n项和课件PPT精品课件[完整版]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/ecf2ec8d01f69e31423294f4.webp)
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1
形式，不可忽略q＝1的情况. 综上，等比数列的前n项和公式为：
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 如何由以上两式得出等比数列的前n项和公式？ 掌握等比数列的前n项和公式. 梳理 等比数列的前n项和公式 梳理 等比数列的前n项和公式 梳理 等比数列的前n项和公式 等比数列前n项和公式的运用 提示：两式相减 如何由以上两式得出等比数列的前n项和公式？ 掌握等比数列的前n项和公式. 1、等比数列的通项公式是什么？ 思考： 国王应给他多少麦粒？ (用式 子表示出来)
3 1
n-1
n
1
1
梳理 等比数列的前n项和公式
如何由以上两式得出等比数列的前n项和公 已知a1, q, an
2、等差数列的前n项和的定义是什么？公式是用什么方法推导的？
式？ 梳理 等比数列的前n项和公式
等比数列前n项和公式的运用
提示：两式相减
错位相减法
梳理 等比数列的前n项和公式
两式相减得 1 qSn a1 a1qn
2、等差数列的前n项和的定义是什么？公式是用什么方法推导的？
梳理 等比数列的前n项和公式
梳理 等比数列的前n项和公式
梳理 等比数列的前n项和公式
综上，等比数列的前n项和公式为：
反思小结
前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要 即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式 1、等比数列的通项公式是什么？
1、等比数列的通项公式是什么？
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1
形式，不可忽略q＝1的情况. 综上，等比数列的前n项和公式为：
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 如何由以上两式得出等比数列的前n项和公式？ 掌握等比数列的前n项和公式. 梳理 等比数列的前n项和公式 梳理 等比数列的前n项和公式 梳理 等比数列的前n项和公式 等比数列前n项和公式的运用 提示：两式相减 如何由以上两式得出等比数列的前n项和公式？ 掌握等比数列的前n项和公式. 1、等比数列的通项公式是什么？ 思考： 国王应给他多少麦粒？ (用式 子表示出来)
3 1
n-1
n
1
1
梳理 等比数列的前n项和公式
如何由以上两式得出等比数列的前n项和公 已知a1, q, an
2、等差数列的前n项和的定义是什么？公式是用什么方法推导的？
式？ 梳理 等比数列的前n项和公式
等比数列前n项和公式的运用
提示：两式相减
错位相减法
梳理 等比数列的前n项和公式
两式相减得 1 qSn a1 a1qn
2、等差数列的前n项和的定义是什么？公式是用什么方法推导的？
梳理 等比数列的前n项和公式
梳理 等比数列的前n项和公式
梳理 等比数列的前n项和公式
综上，等比数列的前n项和公式为：
反思小结
前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要 即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式 1、等比数列的通项公式是什么？
1、等比数列的通项公式是什么？
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1
人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
（1） 1 ，1 ，1，~~~
248
a1
1 2
,
q
1 2
,
n
8
S8
a1(1 q8) 1 q
1
[1
（
1
8
）]
22
1 1
255 256
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
2
a9
a1 q8
1 243
27
q8
q0
q 1 3
S8
a1(1 q8) 1 q
27[1
（
1
8
项数为奇数 S奇 a1 q S偶
S偶 q S 奇 a2n1
作业
（1）若等比数列 an 中，S n 4 • 3n2 5a 则实数a=_______
(2) 已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和
为 21 ，偶数项的和为 21 ，求这个数列的通项公式
16
32
等比数列前n•项和的性质2
成等比数列
(Y X )2 X (Z Y ) Y 2 X 2 2XY XZ XY
Y 2 XY XZ X 2 Y(Y-X)=X(Z-X)
等比数列前n项和性质4
等比数列 an 中，公比为q，前n项和为 S n 任意m、p N*
Sm p Sm qm S p
首项 a1, q 1
Sm p
练习
（1）等比数列 an 中，前n项和为 S n S10 20，S20 80 S30 260
S10 20，S20 80
S10，S20 S10 , S30 S20 成等比数列
人教版高中数学数学必修5《等比数列的前n项和公式》课件
3 .已知 （2）等 an 首中 先感通受过比 a 知a3三1， 、求a2 3 9二数 ,求S 的3 出思 公想4 比列 1 2 ，,求 再a 求1.和，
第二十页，共26页。
五、教学过程 3、应用公式，深化理解
例 2 ： 求 和 1 + a + a 2 + a 3 + + a n 1 (. a 0)
第四页，共26页。
三、教学目标
1．知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法， 掌握等比数列前n项和公式及应用。 2运．用能基力本目概标念：分培析养问这学题一生解观目决察标问问体题题．的现、能了思力基考；础问提知题高能识学力的生，落运并算实能求、灵解活、
数据处理的能力；基锻本炼技数能学的思形维能成力，。这是数学教学的首 要环节，也正符合课程标准的要求． 因为数学教学的最终目的是通过思想
探讨1：（1-q）sn=a1-a1qn
？ Sn
a1 a1qn 1q
S探n 讨 2：a1结n(1S1n a合naa1111等aqqnqq比qqn11)数情公．列学况式q的q生,，这通很锻里项容11炼引易公了导在式学学公生生式a的对整n =分理qa类的进1q时思n行-候1,想分如忽．类视何讨了把论1-，q为得0出的
3．情感目标：通过对方公法式的推渗导透方以法及的思探维索品与质发的现锻，炼优，从 化学生的思维品质，渗而透让事学物生之在间能等力价上转得化到和发理展论．联 系实际的辩证唯物主义观点
第五页，共26页。
四、教法分析
教学过程
{
问题呈现阶段
探索与发现阶段
公式应用阶段
公式推导
{ 启发―探究
问题驱动 层层铺垫
-S2s233900=11+2+022+203 +…0+... 0-230
第二十页，共26页。
五、教学过程 3、应用公式，深化理解
例 2 ： 求 和 1 + a + a 2 + a 3 + + a n 1 (. a 0)
第四页，共26页。
三、教学目标
1．知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法， 掌握等比数列前n项和公式及应用。 2运．用能基力本目概标念：分培析养问这学题一生解观目决察标问问体题题．的现、能了思力基考；础问提知题高能识学力的生，落运并算实能求、灵解活、
数据处理的能力；基锻本炼技数能学的思形维能成力，。这是数学教学的首 要环节，也正符合课程标准的要求． 因为数学教学的最终目的是通过思想
探讨1：（1-q）sn=a1-a1qn
？ Sn
a1 a1qn 1q
S探n 讨 2：a1结n(1S1n a合naa1111等aqqnqq比qqn11)数情公．列学况式q的q生,，这通很锻里项容11炼引易公了导在式学学公生生式a的对整n =分理qa类的进1q时思n行-候1,想分如忽．类视何讨了把论1-，q为得0出的
3．情感目标：通过对方公法式的推渗导透方以法及的思探维索品与质发的现锻，炼优，从 化学生的思维品质，渗而透让事学物生之在间能等力价上转得化到和发理展论．联 系实际的辩证唯物主义观点
第五页，共26页。
四、教法分析
教学过程
{
问题呈现阶段
探索与发现阶段
公式应用阶段
公式推导
{ 启发―探究
问题驱动 层层铺垫
-S2s233900=11+2+022+203 +…0+... 0-230
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
高中数学第2章数列2.3.2等比数列的前n项和(第2课时)等比数列前n项和的性质及应用课件新人教B版必修5
(1) 求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足ba11＋ba22＋…＋bann＝1－21n，n∈N＋，求{bn}的前 n 项和 Tn.
[思路探究] (1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想
求 a1，d．
(2)解决本小题关键是认识到ba11＋ba22＋…＋bann是数列bann的前 n 项 和．求解时先利用“Sn 与 an 的关系”求出bann的通项bann，再求出 bn， 进一步求和．
数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前 n 项和公式都 是关于 n 的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本 方法．
1．若{an}是等比数列，且前 n 项和为 Sn＝3n－1＋t，则 t＝________. －13 [显然 q≠1，此时应有 Sn＝A(qn－1)，又 Sn＝13·3n＋t，∴t＝ －13.]
等比数列前n项和性质的应用 【例 2】 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)． [证明] 法一：设此等比数列的公比为 q，首项为 a1， 当 q＝1 时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．
[解] (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d．
由 S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 4aa1＋1＋26nd－＝18ad1＝＋24ad1，＋2n－1d＋1， 解得ad1＝＝21，， 因此 an＝2n－1，n∈N＋.
(2)由已知ba11＋ba22＋…＋bann＝1－21n，n∈N＋， 当 n＝1 时，ba11＝12； 当 n≥2 时，bann＝1－21n－1－2n1－1＝21n. 所以bann＝21n，n∈N＋. 由(1)知 an＝2n－1，n∈N＋， 所以 bn＝2n2－n 1，n∈N＋.
[思路探究] (1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想
求 a1，d．
(2)解决本小题关键是认识到ba11＋ba22＋…＋bann是数列bann的前 n 项 和．求解时先利用“Sn 与 an 的关系”求出bann的通项bann，再求出 bn， 进一步求和．
数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前 n 项和公式都 是关于 n 的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本 方法．
1．若{an}是等比数列，且前 n 项和为 Sn＝3n－1＋t，则 t＝________. －13 [显然 q≠1，此时应有 Sn＝A(qn－1)，又 Sn＝13·3n＋t，∴t＝ －13.]
等比数列前n项和性质的应用 【例 2】 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)． [证明] 法一：设此等比数列的公比为 q，首项为 a1， 当 q＝1 时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．
[解] (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d．
由 S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 4aa1＋1＋26nd－＝18ad1＝＋24ad1，＋2n－1d＋1， 解得ad1＝＝21，， 因此 an＝2n－1，n∈N＋.
(2)由已知ba11＋ba22＋…＋bann＝1－21n，n∈N＋， 当 n＝1 时，ba11＝12； 当 n≥2 时，bann＝1－21n－1－2n1－1＝21n. 所以bann＝21n，n∈N＋. 由(1)知 an＝2n－1，n∈N＋， 所以 bn＝2n2－n 1，n∈N＋.
等比数列的前n项和 课件(34张)
等比数列前n项和有关的性质应用
－S2(n1，)等S4比n－数S3列n，{a…n}成的等前比n项数和列S(n其，中满S足n，SnS，2n－S2nS－n，SnS，3n－S3n S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，
S偶 S奇
＝q；项数是奇数时
S奇S－偶 a1＝q.
2．(1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为 ________；
a1q3＋a1q5＝54， 即a1q31＋q2＝54. ②
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1， S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321.
(2)方法一：设首项为a1.∵q＝2，S4＝1， ∴a111－－224＝1，即a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17. 方法二：∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2， ∴S8＝a111－－qq8＝a111－－qq4(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17.
在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目
的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
1．在等比数列{an}中， (1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5； (2)若q＝2，S4＝1，求S8.
解析： (1)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 ①
① ②
②÷①得1＋q10＝3，∴q10＝2.
将q10＝2代入①得1－a1 q＝－10，
∴S30＝a111－－qq30＝－10(1－23)＝70.
方法二：∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20 ＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10＝q10S10. S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30 ＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20＝q20S10. ∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10. ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， ∵S10＝10，S20＝30. ∴(30－10)2＝10(S30－30)，∴S30＝70.