高一期末复习《立体几何初步》教案

高一期末复习：立体几何初步教学目的1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用2. 掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析1. 多面体的结构特征对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。

2. 旋转体的结构特征旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。

3. 表面积与体积的计算有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。

4. 三视图与直观图的画法三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。

5. 直线和平面平行的判定方法 （1）定义：a a αα=∅⇒//；（2）判定定理：a b a b a ////，，⊄⊂⇒ααα； （3）线面垂直的性质：b a b a a ⊥⊥⊄，，，ααα//； （4）面面平行的性质：αβαβ////，a a ⊂⇒。

6. 线线平行的判定方法（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线； （2）公理4：a b b c a c //////，，⇒； （3）平面几何中判定两直线平行的方法；（4）线面平行的性质：a a b a b ////αβαβ，，⊂=⇒ ； （5）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊥⇒αα，//；（6）面面平行的性质：αβαγβγ////，， ==a a b 。

7. 证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线垂直⇒⊥a α；（2）判定定理1：m n m n A l m l n l 、，，⊂=⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥αα； （3）判定定理2：a b a a b //，⊥⇒⊥α； （4）面面平行的性质：αβαβ//，a a ⊥⇒⊥；（5）面面垂直的性质：αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥，，， l a a l a 。

8. 证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°； （2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊂⇒⊥αα，； （4）线面垂直的性质：a b a b ⊥⇒⊥αα，//。

9. 判定两个平面平行的方法 （1）依定义采用反证法； （2）利用判定定理：αββαααβ//////，，，，b a b a b A ⊂⊂=⇒ ； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； a a ⊥⊥⇒αβαβ，//；（4）平行于同一平面的两个平面平行； αγβγαβ////，/⇒/。

10. 平行关系的转化由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向。

11. 判定两个平面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角。

（2）判定定理：a a ⊆⊥⇒⊥αβαβ， 12. 垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键。

【典型例题】例1. 图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图。

解析：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示。

在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计。

点评：画简单组合体的三视图应注意两个问题：（1）要确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置位置的不同，所画的三视图可能不同。

（2）要明确简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是交线位置。

例2. 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB ＝PC＝a，求这个球的表面积和体积。

解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ，球心到截面距离为d ，球半径为R ，则R r d 222=+。

在三棱锥P ABC -中∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ⊥PC∴P 在△ABC 上的射影O 1是△ABC 的垂心 又PA=PB=PC∴O 1又是△ABC 的外心因此可知△ABC 是等边三角形，边长为2a∴=⋅=r a a 33263又∵PO a a a 1226933=-=∴R r d r R PO 222212=+=+-()∴=R a 32于是，S R a a 球==⋅=44343222πππV R a a 球===43433232333πππ()点评：因为PA ，PB ，PC 两两垂直，于是也可以构造一个长方体来解决，长方体对角线恰为球的直径，R a 223=，所以R a=32，这样就简单了。

例3. 如图，已知P 为△ABC 外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求P 点到平面ABC 的距离。

解析：过P 作PO ⊥平面ABC 于O 点，连结AO 、BO 、CO∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB ，PO ⊥OC ∵PA=PB=PC=a∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ∴OA=OB=OC∴O 为△ABC 的外心 ∵PA 、PB 、PC 两两垂直∴AB=BC=CA=2a ，△ABC 为正三角形∴AO AB a ==3363∴=-=PO PA AO a 2233因此点P 到平面ABC 的距离为33a点评：（1）求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离。

（2）求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理及有关三角函数知识。

（3）点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到的方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程中不断总结．例4. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点。

（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD。

解析：取PD中点E，连结AE、EN则EN CD AB AM //////1212故四边形AMNE为平行四边形∴MN//AE又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD∴MN//平面PAD（2）∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AB又AD⊥AB ∴AB⊥平面PAD∴AB⊥AE，即AB⊥MN又CD//AB，∴MN⊥CD（3）∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD又∠APD=45°，E为PD中点∴AE⊥PD，即MN⊥PD又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD点评：应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行的直线。

处理有关线面垂直和线线垂直的问题，要注意转化思想的应用，即将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直又可转化为线线垂直。

例5. 正三棱柱ABC A B C -111中，若AB BC 11⊥，求证：AB A C 11⊥。

解析：取AB 中点D ，A B 11中点D 1，连结A D BD CD C D 1111、、、 由正三棱柱性质知：CD AB C D A B ⊥⊥，1111 又正三棱柱侧面与底面垂直则有CD ⊥面ABB A 11，C D ABB A 1111⊥面 所以C D AB 111⊥又AB BC C D BC C 111111⊥=，所以AB BC D 111⊥平面 所以AB BD 11⊥ 又A D DB 11//所以四边形DBD A 11为平行四边形 所以BD A D 11// 所以A D AB 11⊥ 又CD ⊥平面ABB A 11 所以CD ⊥AB 1 所以AB DCA 11⊥平面又A C DCA 11⊂平面 所以AB A C 11⊥点评：证明线线垂直的主要方法是证明线面垂直。

例6. 已知正方体ABCD 一A 1B l C 1D 1的棱长为a ，O 为面A 1B l C 1D 1的中心，求点O 到平面C 1BD 的距离。

解析：连结AC BD H =因为BD ⊥AC 又C C ABCD 1⊥平面 所以BD ⊥C C 1所以平面C BD AA C C C H 1111⊥平面，且交线为 作OG C H G OG C BD ⊥⊥11于，所以面 所以OG 的长为点O 到面C BD 1的距离。

连结OH ，在Rt △HOC 1中，OH a OC a ==，122所以C H a 132=所以OG OH OC C Ha aa a=⋅=⋅=11223233点评：本例是通过定理“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”（即其中一个平面内一点在另一个平面上正射影在两互相垂直平面的交线上）得到点O 到平面C 1BD 的距离OG 的。

【模拟试题】一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 2. 下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

正确的命题有________个A. 1B. 2C. 3D. 43. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12B. 24C. 214D. 4144. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cmB. 12cmC. 13cmD. 82cm5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）A. 122+ππB. 144+ππC.12+ππD. 142+ππ6. 已知直线l m ⊥⊂平面，直线平面αβ，有下面四个命题：①αβ//⇒⊥l m ；②αβ⊥⇒l m //；③l m //⇒⊥αβ；④l m ⊥⇒αβ//。