1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析
[高考数学]1994年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案文
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1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1) 设全集I ={0，1，2，3，4}，集合A ={0，1，2，3}，集合B ={2，3，4}，则B A ⋃= ( )(A) {0}(B) {0，1}(C) {0，1，4}(D) {0，1，2，3，4}(2) 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞)(B) (0，2)(C) (1，+∞)(D) (0，1)(3) 点(0，5)到直线y =2x 的距离是 ( )(A)25 (B)5(C)23 (D)25 (4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )(A) 22θθctgtg>(B) 22θθctgtg<(C) 2cos 2sinθθ> (D) 2cos 2sinθθ<(5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )(A) 511个(B) 512个(C) 1023个(D) 1024个(6) 在下列函数中，以2π为周期的函数是 ( )(A) y =sin2x +cos4x(B) y =sin2x cos4x(C) y =sin2x +cos2x(D) y =sin2x cos2x(7) 已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为( )(A) 323 (B) 283 (C) 243 (D) 203(8) 设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90º，则△F 1PF 2的面积是( )(A) 1(B)25 (C) 2(D)5(9) 如果复数Z 满足|Z +i |+|Z －i |=2，那么|Z +i +1|最小值是 ( )(A) 1(B)2(C) 2(D)5(10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( )(A) 1260种(B) 2025种(C) 2520种(D) 5040种(11) 对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( ) (A) m ⊥n ，m ∥α，n ∥β (B) m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α (C) m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α(D) m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β(12) 设函数f (x )=1－21x -(－1≤x ≤0)，则函数y = f －1(x )的图像是( )(13) 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是( )(A)916π(B)38π (C) 4π (D)964π(14) 如果函数y =sin2x +a cos2x 的图像关于直线=－8π对称，那么a = ( )(A)2 (B) 2-(C) 1(D) －1(15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f (x )都可表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和.如果f (x )=lg(10x +1)，x ∈(－∞，+∞)，那么( )(A) g (x )=x ，h (x )=lg(10x +10x +2)(B) g (x )=21[lg(10x +1)+x ] h (x )=21[lg(10x +1)－x ] (C) g (x )= 2x ，h (x )=lg(10x +1)－2x(D) g (x )=－2x ，h (x )=lg(10x +1)+2x第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题，共6个空格：每空格4分，共24分.把答案填在题中横线上)(16) 在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是______________(用数字作答)(17) 抛物线y 2=8－4x 的准线方程是___________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是__________(18) 已知sin θ+cos θ=51，θ∈(0，π)，则ctg θ的值是________________ (19) 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥项点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为____________(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a =__________三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)(21) (本小题满分11分)求函数x xxx x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 233++=的最小值. (22) (本小题满分12分)以知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1，x ∈R +)，若x 1，x 2∈R +，判断()()[]2121x f x f +与⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f 的大小，并加以证明.(23) (本小题满分12分)如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点.(1) 证明AB 1∥平面DBC 1；(2) 假设AB 1⊥BC 1，BC =2，求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长. (24) (本小题满分12分)已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.(25)（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有()21n n a a n S +=，证明{a n }是等差数列.1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．D 15．C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)16．－189 17．x =3，(x －2)2+y 2=1 18．43-19．322π20．na a a n+++Λ21三、解答题21．本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.解：因为sin3x sin 3x +cos3x cos 3x=(sin3x sin x )sin 2x +(cos3x cos x )cos 2x=21[(cos2x －cos4x )sin 2x +(cos2x +cos4x )cos 2x ] ——4分=21[(sin 2x +cos 2x )cos2x +(cos 2x －sin 2x )cos4x ] =21(cos2x +cos2x cos4x ) ——6分=21cos2x (1+cos4x ) =cos 32x ——8分所以x xx y 2sin 2cos 2cos 23+= =cos2x +sin2x =2sin(2x +4π). 当sin(2x +4π)=－1时，y 取最小值－2. ——11分22．本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分. 解：f (x 1)+(x 2)=log a x 1+ log a x 2=log a (x 1x 2) ∵ x 1，x 2∈R +，∴ x 1x 2≤2212⎪⎭⎫⎝⎛+x x (当且仅当x 1= x 2时取“=”号).——2分当a >1时，有log a (x 1x 2)≤log a 2212⎪⎭⎫⎝⎛+x x——5分∴21log a (x 1x 2)≤log a ⎪⎭⎫⎝⎛+221x x ， 21( log a x 1+ log a x 2)≤log a ⎪⎭⎫⎝⎛+221x x ， 即21[f (x 1)+f (x 2)] ≤f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x (当且仅当x 1= x 2时取“=”号) ——7分当0<a <1时，有log a (x 1x 2)≥log a 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，——10分∴21 (log a x 1+log a x 2)≥log a 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， 即21[f (x 1)+f (x 2)] ≥f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x (当且仅当x 1=x 2时取“=”号).——12分23．本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.(1)证明：∵ A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴ 四边形B 1BCC 1是矩形.连结B 1C ，交BC 1于E ，则B 1E =EC .连结DE .在△AB 1C 中，∵ AD =DC ， ∴ DE ∥AB 1，——3分 又AB 1⊄平面DBC 1.DE ⊂平面DBC 1 ∴ AB 1∥DBC 1.——5分(2)解：作AF ⊥BC ，垂足为F .因为面ABC ⊥面B 1BCC 1，所以AF ⊥B 1BCC 1平面B 1F .连结B 1F ，则B 1F 是AB 1在平面B 1BCC 1内的射影.——7分∵ BC 1⊥AB 1， ∴ BC 1⊥B 1F .∵ 四边形B 1BCC 1是矩形，∴ ∠B 1BF =∠BCC 1=90º； ——9分 ∠FB 1B =∠C 1BC ，∴ △B 1BF ∽△BCC 1. ∴BB BFC C BF BC B B 111== 又F 为正三角形ABC 的BC 边中点，因而B 1B 2=BF ·BC =1×2=2， 于是B 1F 2= B 1B 2+ BF 2=3，∴ B 1F =3. 即线段1AB 在平面11BCC B 内射影长为3——12分24．本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是 P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1. ——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则()222221y x y x +-=-+λ——5分整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分 当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(45，0)，当λ≠1时，方程化为(x －1222-λλ)2+y 2=()222131-+λλ它表示圆，该圆圆心的坐标为(1222-λλ，0)，半径为13122-+λλ——12分25．本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分14分. 证法一：令d =a 2－a 1.下面用数学归纳法证明a n =a 1+(n －1)d(n ∈N ). (1)当n =1时上述等式为恒等式a 1= a 1.当n=2时，a 1+(2－1)d = a 1+( a 2－a 1)= a 2，等式成立. ——5分(2)假设当n =k (k ≥2)时命题成立，a k =a 1+(k －1)d .由题设，有 S k =()21k a a k +，S k +1=()()2111+++k a a k ，又S k +1= S k +a k +1 ∴(k +1)()()111122++++=+k k k a a a k a a ——9分把a k = a 1+(k －1)d 代入上式，得 (k +1)( a 1+ a k +1)=2ka 1+k(k －1)d +2a k +1. 整理得(k －1)a k +1=(k －1)a 1+k (k －1)d .∵ k ≥2，∴ a k +1= a 1+kd .即当n =k +1时等式成立.由(1)和(2)，等式对所有的自然数n 成立，从而{a n }是等差数列 ——14分证法二：当n ≥2时，由题设，()()21111--+-=n n a a n S ，()21n n a a n S +=. 所以a n = S n －S n －1= ()21n a a n + －()()2111-+-n a a n ——6分同理有a n+1= ()()2111-++naan－()21naan+. ——8分从而a n+1－a n=()()2111-++naan－n(a1+a n)+()()2111-+-naan，——12分整理得a n+1－a n= a n－a n－1=…= a2－a1从而{a n}是等差数列. ——14分。
1994年考研数学一真题及答案解析
又已知某线性齐次方程组 () 的通解为
k1(0,1,10) k2 (1, 2, 2,1) .
(1) 求线性方程组 () 的基础解系；
(2) 问线性方程组 () 和 () 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没
有,则说明理由.
九、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶非零方阵, A* 是 A 的伴随矩阵, AT 是 A 的转置矩阵,当 A* AT 时,证明 | A | 0 .
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】 1 6
【解析】原式变形后为“ 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连 0
续应用两次洛必达法则,有
原式 lim cos x(x sin x) lim cos x lim x sin x
十、填空题(本题共 2 小题, 每小题 3 分,满分 6 分.)
(1) 已知 A 、 B 两个事件满足条件 P(AB) P(AB) ,且 P(A) p ,则 P(B) __________. (2) 设相互独立的两个随机变量 X 、Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为
X
0
1
1
1
P
2
2
则随机变量 Z maxX ,Y 的分布律为_______.
x0 x sin2 x
x0
x x0
3
1 cos
lim
x0
3x2
x
lim
x0
sin x 6x
1 6
.
(由重要极限 lim sin x 1 ) x0 x
(2)【答案】 2x y 4 0
1994考研数学一真题及答案详解
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011limcot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2ux y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则nA =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdy x y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x xx→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23zF x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂,()2221112(2,)(2,)2cos x y x x u u uxe x x y y x x y xπππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a bπ+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式2222222322220000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr a b a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰.注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则 原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312TA αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()()()()n T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβ==L L 11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 422cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x x x o x e x o x --=-=::, 故 tan (1cos ) (0)a x b x ax a +-≠:,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠:,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1） 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；（2） 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ:； （3） 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+:.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠, 由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dydx dt dt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=, xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++L L L (11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++L L (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++-L L (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (Q 22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdy x y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出22002222yzR R D dz I R z==⨯⨯ +⎰⎰ 2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 20,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分) 【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim(0)12n f nf n →+∞''⇒=. 因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：2211()(0)(0)()()(01,[,])22f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈-2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰,或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =.设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有()()1()P AB P A B P A B ==-U U1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==, {}{}31104P Z P Z ==-==. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)X N :,2(0,4)Y N :,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= 111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。
1994考研数二真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 若2sin 21,0,() , 0ax x e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32ln(1),x t t y t t =-+⎧⎨=+⎩所确定,则22d ydx =＿＿＿＿＿＿. (3) cos30()xd f t dt dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 23x x e dx =⎰＿＿＿＿＿＿.(5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 51,2a b ==-(B) 0,2a b ==- (C) 50,2a b ==- (D) 1,2a b ==-(2) 设322,1()3 , 1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则()f x 在点1x =处的 ( )(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0xy y e '''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( )(A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值(4) 曲线121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(5)设43422222sin cos ,(sin cos )1x M xdx N x x dx x ππππ--==++⎰⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰,则有 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设()y f x y =+,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22d ydx.(2) 计算3142(1)x x dx -⎰.(3) 计算2lim tan ()4nn nπ→∞+.(4) 计算sin 22sin dxx x+⎰.(5) 如图,设曲线方程为212y x =+,梯形OABC 的面积为D ,曲边梯形OABC 的面积为1D ,点A 的坐标为(,0)a ,0a >,证明：3D <.四、(本题满分9分)设当0x >时,方程211kx x+=有且仅有一个解,求k 的取值范围.五、(本题满分9分)设324x y x+=, (1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.六、(本题满分9分)求微分方程2sin y a y x ''+=的通解,其中常数0a >.七、(本题满分9分)设()f x 在[0,1]上连续且递减,证明：当01λ<<时,1()()f x dx f x dx λλ≥⎰⎰.八、(本题满分9分)求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】2-【解析】2sin 21ax x e x+-在0x ≠时是初等函数,因而连续；要使()f x 在(,)-∞+∞上连续,()f x 在0x =处也连续,这样必有0lim ()(0)x f x f →=.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0x →时,sin xx ；1x e x -.2200sin 21sin 21lim lim()ax ax x x x e x e x x x→→+--=+ 0022limlim 22x x x axa a x x→→=+=+=,从而有2a =-. (2)【答案】(1)(65)t t t++【解析】dy dy dt dy dx dtdt dx dt dx =⋅=2232352111t t y t t t t x t'+===++'-+,()65(1)(65)111x txx t y t t t y x t t''+++''==='-+. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】3sin 3(cos3)xf x -【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)f x x f x xxf x '=⋅=⋅-⋅=-. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(4)【答案】221(1)2x x e C -+,其中C 为任意常数【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2x e 先进入积分号,原式22222211()()22x x x x d e x e e d x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰ 221(1)2x x e C =-+ 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(5)【答案】4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得0(4)dx dyx x y+=-,两项分别对x 和对y 积分得到114ln ln ,4x y C x-+= 化简有44x y C x-⋅=,即 4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得2222ln(1)()(())()2x x ax bx x o x ax bx +-+=-+-+221(1)()()2a xb x o x =--++,由假设,应该有101()22a b -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,故由此51,2a b ==-,故应选(A).方法2：用洛必达法则.220ln(1)()lim x x ax bx x→+-+为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,0121lim 2x a bx x x→--+=原式左边 20(1)(2)2lim 2(1)x a a b x bx x x →--+-=+(若10a -≠,则原式极限为∞,必有10a -=)122,2b +=-= 51,2a b ⇒==-. 故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因32(),(1)()3f x x x f x =≤⇒左可导,312(1)23x f x --='⎛⎫'== ⎪⎝⎭.又211lim ()lim 1(1)()x x f x x f f x ++→→==≠⇒不右连续()f x ⇒在1x =的右导数不存在, 故选(B). 方法2：2(1)3f =,而 211lim ()lim 1(1)x x f x x f ++→→==≠, 所以,()f x 在1x =点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.2113112()(1)3(1)lim lim ,1122()(1)33(1)lim lim 2.11x x x x x f x f f x x x f x f f x x ++--+→→-→→--'===+∞----'===--故()f x 在1x =点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)【解析】由于()f x 满足微分方程sin 0xy y e '''+-=,当0x x =时,有0sin 00()()x f x f x e '''+=.又由0()0f x '=,有0sin 0()0x f x e ''=>,因而点0x 是()f x 的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令1t x=,则当x →±∞时,0t →,且有 2201lim lim arctan ,(1)(12)4t x t t t y e t t π→±∞→++==-+ 0lim x y →=-∞,所以y 轴和4y π=是曲线的两条渐近线.而1x =和2x =-并非曲线的渐近线,因当1x =和2x =-时,y 分别趋向于2e π±和 142eπ±.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对x 求导,得(1)y f y '''=⋅+,两边再求导,得2(1)y f y f y ''''''''=⋅++⋅,由于一阶导数不等于1,所以10f '-≠. 以1f y f ''='-代入并解出y '',得 3(1)f y f ''''='-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令2sin x t =,则2cos xdx tdt =.当0x =时,0t =；当1x =时,2t π=,故 原式4201cos 2tdt π=⎰1313()242232ππ=⋅⋅⋅=. 【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!!, !!2sin cos (1)!!, !!n n n n n n I xdx xdx n n n πππ-⎧⎪⎪===⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!!n 的定义如下:当n 为奇数时,!!13n n =⨯⨯⨯；当n 为偶数时,!!24n n =⨯⨯⨯.(3)【解析】方法1：用三角函数公式将2tan()4n π+展开,再化为重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的形式,利用等价无穷小因子替换,即0x →时,tan x x ,从而求出极限.221tan 2tan 2lim tan ()lim lim 12241tan 1tan n nn n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 221tan4tan 124tan22212tan 1tanlim221tan422tan lim 121tan n n n n n n nnnn n ee n →∞-⋅⋅-⋅-→∞⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim ln ()lim ()x f x x e f x →∞→∞=.因为221tan2tan2limln tan ()lim ln lim ln 12241tan1tan n n n n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤+⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 222tan tan 4lim lim 42221tan 1tann n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 于是 2ln tan ()442lim tan ()lim 4n nn n n e e n ππ+→∞→∞+==.(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰(22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++ 22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+, 01120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦. (5)【解析】对梯形OABC 的面积为D ,可用梯形面积公式()2ha b +,其中h 为梯形的高,a 、b 分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC 的面积则用积分式求解.222231011()(1)22,22111(32)().2326a a a a D a a a D x dx a a +++==+=+=+=⎰ 由于 22312a a +<+,所以221132a a +<+,由此, 2222221(1)3(1)31323(32)322226a a D a a a a D a a +++===<+++.四、(本题满分9分) 【解析】方程211kx x +=的解即为32()1x kx x ϕ=-+的零点. 要证明方程211kx x+=有且仅有一个解,只需要证明()x ϕ是单调函数,且它的函数图像仅穿过x 轴一次就可以了.以下是证明过程.对()x ϕ求一阶导数,有2()32(32)x kx x x kx ϕ'=-=-.当0k ≤时,()0x ϕ'<,()x ϕ单调减少,(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=-∞()x ϕ在0x >有唯一的零点；当0k >时,()x ϕ在2(0,)3k 单调减少,在2(,)3k +∞单调增加,224()1327k kϕ=-,而(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=+∞当且仅当最小值2()03k ϕ=时,()x ϕ才在0x >有唯一零点,这时应该有k =总之,当0k ≤或k =,原方程有唯一实根.五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y '在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y ''的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.2344824,1,0y x y y x x x'''=+=-=>. 无定义点：0x =,驻点：2x =.函数在(,0)(2,)-∞+∞单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)-∞+∞凹,在2x =取极小值23x y ==；由于 0lim ,x y →=∞所以0x =为垂直渐近线.由于 24lim1,lim()lim 0,x x x y y x xx →∞→∞→∞=-==所以y x =是斜渐近线.粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线； 铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程220r a +=有两个根为12,r r ai =±.当1a ≠时,非齐次方程的特解应设为 sin cos Y A x B x =+.代入方程可以确定 221sin ,0,11xA B Y a a ===--. 当1a =时,应设 sin cos Y xA x xB x =+,代入方程可以确定 10,,cos 22xA B Y x ==-=-.由此,所求的通解为当1a ≠时,122sin cos sin 1xy c ax c ax a =++-； 当1a =时,12cos sin cos 2xy c x c x x =+-. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令x t λ=,则 1()()f x dx f t dt λλλ=⎰⎰,由此[]11()()()()f x dx f x dx f x f x dx λλλλ-=-⎰⎰⎰.因为()f x 递减而x x λ<,所以()()f x f x λ≥,上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)λλ两区间内用积分中值定理：11()()()f x dx f x dx f x dx λλ=+⎰⎰⎰,由此,11()()(1)()()f x dx f x dx f x dx f x dx λλλλλλ-=--⎰⎰⎰⎰12(1)()(1)()f f λλξλλξ=-⋅-⋅-[]12(1)()()f f λλξξ=-⋅-,其中,1201ξλξ<<<<；又因()f x 递减,12()()f f ξξ≥.上式的右端大于零,问题得证. 方法三：作为函数不等式来证明.令1()()()f x dx f x dx λϕλλ=-⎰⎰, [0,1]λ∈.则 1()()()f f x dx ϕλλ'=-⎰.由积分中值定理,有()()()f f ϕλλξ'=-,其中(0,1)ξ∈为常数.由()f λ递减,λξ=为唯一驻点,且()ϕλ'在λξ=由正变负,λξ=是()ϕλ的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0λ=或1.从而有()(0)(1)0,0 1.ϕλϕϕλ≥==<<命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.八、(本题满分9分)【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x 轴的交点是(2,0),(2,0)-. 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元：222223(3)3(1)dV y dx x dx π⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦24(82),02x x dx x π=+-≤≤,于是 22404482(82)15V x x dx ππ=+-=⎰.y =。
1994考研数学一真题及答案解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011limcot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则nA =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关 (B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关 三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdy x y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛. 七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积. 八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2)则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______. 十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x x x→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23zF x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂, 2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a b π+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式222222232222000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr a b a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰.注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则 原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312T A αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵) 于是,11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.) 所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x xx o x e x o x --=-=,故 tan (1cos )(0)a x b x ax a +-≠,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1） 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； （2） 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；（3） 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dy dx dtdt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t ''''=='-,代入参数值t =则xt y '=, xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x'=++-=+-+-+-+ 44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得(22sin 1cos x x =-)()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦. 四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdyx y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 200,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 六、(本题满分8分)【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim(0)12n f nf n→+∞''⇒=. 因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈-2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z=-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰, 或者 11220[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解.故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *T A A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =. 设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=,则 222120T i i i i in a a a αα=+++= (1,2,,)i n =.于是 12(,,,)0i i i in a a a α== (1,2,,)i n =.进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠. 十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==,{}{}31104P Z P Z ==-==. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)XN ,2(0,4)Y N ,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= (2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。
1994年考研数学试题详解及评分参考
该点连续的
(A) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件
(B) 必要条件而非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
【答】 应选 (D) .
【解】
取
f
ì xy
(x,
y)
=
ï í
x2
+
y2
, x2
+
y2
¹0
，易见
fx¢(0, 0),
fy¢(0, 0) 存在，但
f
(x, y) 在
ïî0,
x2 + y2 = 0
)dxdy
+
D
(
y2 a2
+
x2 b2
)dxdy]
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考
òò ò ò =
1 2
×
(
1 a2
+
1 b2
)
D
(x2
+
y2 )dxdy
=
1 2
(
1 a2
+
1 b2
)
2p dq
0
R 0
r2
×
rdr
=
1 4
p
R
4
(
1 a2
，其中
S
是由曲面
x2
+
y2
=
R2
及两平面
z = R, z = -R (R > 0) 所围成立体表面的外侧.
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考
解：设 S1,S2 ,S3 依次为 S 的上、下底和圆柱面部分，则
1994考研数二真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) s in 2x +e 2ax —1 ⑴若 f(x)=< x ，X ",在上连续，则 a= _ . a, x^x^t-l n(1+t) d 2y⑵设函数y 二y(x)由参数方程 3 2'所确定，则一 = ___________ .y=t +tdxd 一 cos3 x ⑶打f(t)dt 卜一^.(4) x 3e x dx 二 _____________ .⑸微分方程ydx • (x 2 -4x)dy =0的通解为 ______________ .、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中 2x(A) a = 1,b = --5 (B) a = 0,b = -2(C) a = 0,b - - 5 (D) a =1,b - -2‘2 3 2—x x 兰1⑵设f(x)二3 '，则f (x)在点x =1处的()x 2 , X A 1(A)左、右导数都存在(B)左导数存在，但右导数不存在 (C)左导数不存在，但右导数存在(D)左、右导数都不存在 ⑶设厂f(x)是满足微分方程y 「y 〔e sinx = 0的解且f 仅)=0,则f(x)在()(A) x 的某个领域内单调增加(B) x 的某个领域内单调减少 (C)x 0处取得极小值(D) X 。
处取得极大值(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条 cos 4 xdx, N 二 2 (sin 3 x cos x)dx, P 二 2・(x 2 sin 3 x- cos 4 x)dx,"2~2则有()(A) N :: P :: M (B) M :: P N只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 2(1)设叫皿+“^拟+如+则().)(4)曲线 1 y =e x 2x 2x 1 (x-1)(x 2)的渐近线有()⑸设Mn .2sinx 」兀心2 "2 1 x(C) N :: M :: P (D) P :: M :: N三、(本题共5小题,每小题5分，满分25分.)d2y(1)设y=f(x，y),其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1,求13 ⑵计算0x(1-x4)2dx.⑶计算lim tan n ( 2).4 ndx ⑷计算f i 2d x2i.sin 2x +2sin x⑸如图，设曲线方程为y = x2」，梯形OABC的面积为D ,曲边梯形OABC的面积2D 3为D1,点A的坐标为(a,0) ,a 0,证明：一：：：3.2D i四、(本题满分9分)1设当x >0时方程kx + —五、(本题满分9分)X’ +4设"需，x(1)求函数的增减区间及极值1有且仅有一y=x冷B，求k的取值范围.⑵求函数图像的凹凸区间及拐点;(3)求其渐近线;⑷作出其图形•六、(本题满分9分)求微分方程y：a2y=sinx的通解，其中常数a 0.七、(本题满分9分)■i 设f(x)在［0,1］上连续且递减，证明：当0 —”：1时，° f(x)dx_ ■ ° f(x)dx.八、(本题满分9分)求曲线y =3-|x2-1|与x轴围成的封闭图形绕直线y =3旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 【答案】-22ax【解析】sinxe一—在x = o 时是初等函数，因而连续；要使f (x)在 mx上连续，f (X )在x = 0处也连续，这样必有巴0 f (x) = f (0). 由极限的四则混合运算法则和等价无穷小，x —• 0时,sin xL x ； e x 'LI x ...sin 2x e 2ax 一1 .. , sin 2x e 2ax 一 1), x x2x 2ax 小 c =lim lim 2 2a = a , x 10x x _p x从而有a 「-2 . (2) 【答案】gg t【解析】矽=32=dy dxdxdt dx dt / dtx ； [ _丄 t【相关知识点】复合函数求导法则：如果■ t u 二g(x)在点x 可导,而y 二f (x)在点 u 二g(x)可导，则复合函数y 二f l.g(x) 在点x 可导，且其导数为dy dy dy du f (u) g (x)或dxdx du dx(3)【答案】-3sin 3xf (cos3x)【解析】原式二 f(cos3x) (cos3x)二 f (cos3x) (-sin3 x) 3 ~ -3sin3 xf (cos3x). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 F(t) = ,；：f(x)dx 「(t), "t)均一阶可导，则F (t)二 1 (t) f 匸⑴f 上(t)L1 2⑷【答案】-(x 2 -1)e x C ,其中C 为任意常数221 2 x 2 2-xe2y t 3t 2 2t 2 t3t 2 5t 2,dt dtx t 彳 1p _(y ；)； 6t+5〔俯 1)(6t+5)Y xx — dy【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解•显然是e x先进入积分号,1 o v2 原式二-x d(e )=21 -2 -.e"d(x2)二1 (x2 -1)e" • C其中C为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题 ，如果选择不当可能引起 更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来•在做题的时候应该好好总结，积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定 u 二u(x)与v = v(x)均具有连续的导函数，则uvdx 二uv- u vdx,或者 udv =uv - vdu.⑸【答案】(x-4) .y 4二Cx,C 为任意常数【解析】这是可分离变量的方程.(1)【答案】(A)【解析】方法1 :将极限中的分子用泰勒一皮亚诺公式展开得22x 22ln(1 x) -(ax bx ) = (xo(x )) -(ax bx )212 2= (1—a)x —(2 b)x o(x ),5 ，故由此a =1,b = -5，故应选(A).22故应选(A). L dy =0,两项分别对x 和对y 积分得到 y1ln 4化简有 匕4 y^C ,即(x -4) y 4 =Cx ,C 为任意常数.x二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)分离变量得x(x-4)x -4 In y1 - a = 0由假设，应该有 1「(丄+b)=2方法2:用洛必达法则.limx T分母在点0处导数都存在，所以,—— a -2bx原式左边 =lim 1一x— T 2x … (1—a) —(a+2b)x —2bx 2=limx _02x(1 x)1 2b W 2尸(若1 - a = 0，则原式极限为：：必有1 - a = 0)5a = 1,b⑵【答案】 (B)2x 3,(xE1)= f(x)左可导，f _(1「2x 3 又lim.f(x^lim x ^^ f(1^ f (x)不右连续 =f (x)在x=1的右导数不存【解析】方法1 :因f (X )二 X=1-2.故选(B).2方法 2 : f (1) ，而lim f (x) = lim x2=1 = f (1),3 7十7十所以,f(x)在x=1点不连续，故不可导，但左，右导数可能存在，这只需要用左，右导一2 2数定义进行验证. f(x) f(i) xf 护)=|im j(x)-f(1) = lim __ 十,x _1 —+ x _12 x3 _2故f (x)在x =1点左导数存在im但右导数不存在in故应选(B)= 2.x—1 7一 x_1⑶【答案】(C)【解析】由于f (x)满足微分方程y、y-e Sinx=0,当x = x g时，有f (x o) f (X o)=e sinxo.又由f (x o) =0,有f (X o) =e sinxo0,因而点X o是f (x)的极小值点，应选(C).⑷【答案】(B)斜渐近线：若有 a =lim 卫刃,b =lim[ xf (x) - ax ］存在且不为 ::则ax b 为 斜渐近线.【解析】所以y 轴和用换元法求极限，令t J,则当x —::时,t > o ,且有X 2 t2t+t +1 兀 lim y = lim e arctan , lim y = x 匚: t )o (1—t)(1 2t) 4 x >0 y 是曲线的两条渐近线.4而x =1和x = -2并非曲线的渐近线，因当x =1和x = -2时，y 分别趋向于 —和 -2e 14—寺.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识:水平渐近线：若有l im_f(x)=a ,则y=a 为水平渐近线;铅直渐近线：若有ljm f (x^°° ,则x = a 为铅直渐近线;⑸【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分，应该关注被积函数的奇偶性• 由对称区间上奇偶函数积分的性质，被积函数是奇函数，积分区间关于原点对 称，则积分为0,故M = 0 ,且由定积分的性质,如果在区间〔a,b 丨上,被积函数f (x) 一 0 ,则b af (x)dx _ 0 (a ::: b).nn所以 N = 2『cos 4 xdx > 0, P = —2 02 cos 4 xdx = —N < 0. 因而P M ■ N ，应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分，满分25分.)(1)【解析】方程两边对x 求导,得y = f (V y ),两边再求导，得y = f (1 y)2 f y ,由于一阶导数不等于1,所以1-f 丄0. 以y 代入并解出y ,得y f 3.1 - f(1 - f )3【相关知识点】复合函数求导法则：如果u 二g(x)在点x 可导，而y 二f(x)在点u 二g(x)可导,则复合函数 y = f lg(x)在点x 可导，且其导数为(2)【解析】用换元积分法观察被积函数的特点，可考虑引入三角函数化简.业dx 二 f (u) g (x)或 dydy dxdu dudx2 ■•: 令 x 二 si nt ,则 2xdx 二 costdt .当 x = 0 时,t = 0 ；当 x=1时,t=?，故 2 j 1 启 1 二、32 cos tdt ( ) . 12 4 2 2 32 【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式:T”！二丑 M Il n 2 sin n xdx 2 cos n xdx 二 n・0 -0Vl n 为奇数. 注：对于双阶乘n!!的定义如下：当n 为奇数时，n !n 鬥3 n ；当n 为偶数时,1 原式二 n!!2 (n -1)!!,n 为偶数，n!! =2 4 川 n .— — ⑶【解析】方法1 :用三角函数公式将tan 「•)展开,再化为重要极限 4 n1 迎1 +_)X=e 的形式,利用等价无穷小因子替换，即X T 0时,tanxL x ,从而求出极 限. n 兀 2 lim tan (—十一)=lim -S 4 n FJ 1 +ta n? 1 n 爲n : -n 2 n n_ n 2 1-ta n tan 2ta 1+4 2tan2 4talim — 2 2 1_ta-e 4=e .方法2 : 先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim In f(x)e x ::=lim f (x). x因为 limln n _j : 2 TT 2 1 +ta n - tan n ( -) =lim nln -------- n 4 nf 1_ta =lim n n 5: lntan n ( -) / = lim e 4 n 二e 4. n ?: n n 2 1 - ta n — n _ ln 2tan? I 1+t 2 1 - ta n ta - n n 2 lim 2 2 1 -ta - n 于是 lim tan n ( 2) n 爭 4 n⑷【解析】方法1 :利用三角函数的二倍角公式sin2「「2sin : co^ ,并利用换 元积分，结合拆项法求积分，得 dx dx l --------------------- = i ------------------------- si n2x 2si n x 2si n x(cosx 1) 「 s i nxdx cosx u 2sin x(cos x 1) = 2 2 ('「sin x = 1 -cos x ) 1 (1 u) (1-u) 1 (du = —― J ( 8, +亠仁 (1 + u) 一 cosx - In 1 cosx 1+cosx 」 2du2 (1-u)(1 u)2 24 (1 -u)(1 u) 1 ln |1 -u|-ln|1 u| 8 “ =b ln(1 - 其中C 为任意常数• 1 1 2 2)duu 1 u (1 u) C C, 方法 2 : 换元 cosx=u 后,有 dx原式 2sin x(cosx +1) 用待定系数法将被积函数分解：1 2 —— ・2sin x(cosx 1)2 (1 — u)(1 u)sin xdx du2・ D- -(1 -u)(1 u) 1 -u1 u (1 u)(A — B)u 2 (2A —D)u (A B D)2A —B = 0 (1—u)(1 u)—' — 1 1n <2A — D=0 二 A = B= — ,D =—.4 2A + B^D=1i 2 i -于是,原式=——(—— - ——)du =- I8，1 -u 1 +u (1+u)2 8 ]1 2In 1 -cosx -1n 1 cosx C.81 cosx(5)【解析】对梯形OABC 的面积为D ,可用梯形面积公式-(a的高,a 、b 分别为上底和下底长度/.对于曲边梯形OABC 的面积则用积分式求解.D — — 2 a ,2 2a 3 1 a a(3 2a 2)a a — 2 6 3(1 a 2) 3 1a 2 3_—成一a(3+2a 2) 3 + 2a 2 2 3 + a 2 2'2【解析】方程kx 丄=1的解即为「(x) =kx 3 -X 2 1的零点.x 要证明方程kx • A =1有且仅有一个解，只需要证明(x)是单调函数,且它的 x函数图像仅穿过x 轴一次就可以了 •以下是证明过程•对(x)求一阶导数，有「(x) =3kx 2 -2x =x(3kx -2).当 k 乞 0 时，：(X )：：0, (x)单调减少，(0) =10, lim 「(x) --(x)在 x 0有唯一的零点；2 22 4当k 0时「(x)在(0,—)单调减少,在(，=)单调增加，「( 2)=1 一 4 2，而 3k 3k3k 27k 2「(0)=1 0, lim (xH ::,当且仅当最小值「(二)=0时,(x)才在x 0有唯一零 x _ 坷 3k点，这时应该有k = 2 \ 3 .9总之，当k 乞0或k = 2「时原方程有唯一实根.9五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点，根据这些点将函数的定义域分成不同区间，然后根据y 在此区间上的正负来判断该区间上函数的 增减性以及极值点；根据y“的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否-b)，其中h 为梯形DD四、(本题满分9分)2 由于2|『所以存在水平或垂直渐近线外，还要注意有没有斜渐近线•作函数图形时要能综合（1）、 ⑵、（3）所给出的函数属性，尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.*4—8 “24 y 二x 飞，y =1 -飞，y 40.x x x无定义点：X = 0，驻点：x = 2 .(-°°,0) 0 (0,2) 2（2严）y + 无定义 —— 0 + y”+ 无定义 +++ y上升无定义下降 极小上升函数在（」：,0）U （2,：：）单调增加，在（0,2）单调减少，在（」：,0）U（0,：：）凹，在x = 2取极小值y 心=3 ；由于四y 所以x = 0为垂直渐近线.由于陀7冋y -X ）叽手0,所以厂X 是斜渐近线.近线.六、（本题满分9分）【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程，对应的齐次方程的特征方程r a =0有两个根为口」2=方.粗略草图如下:【相关知识点】渐近线的相关知识:铅直渐近线：若有 归£©）= 斜渐水平渐近线; ::，则 y 二 ax • b 为y水平渐近线：若有lim f （x 2 斜渐近线：若有”冋亍a 为铅直渐近线；=O x m 【2 （x ） - ax ］存在且不为当a =1时，非齐次方程的特解应设为丫二Asin x ' Bcosx .代入方程可以确定A = =0,Y二晋a -1 a -1当 a =1 时，应设丫二xAsin x xBcosx ,代入方程可以确定A=0,B=-丄,丫x cosx.2 2由此所求的通解为sin x当 a = 1 时，y = G cosax c2 sin ax 2a -1当 a =1 时,y =c1 cosx c2sin x -彳cosx.2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方y P(x)y： Q(x)y = f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y P(x)y * Q(x)y =0的通解，则y =Y(x) y*(x)是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即八P(x)y，Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y，py、qy=0.其特征方程写为r2，pr，q=0,在复数域内解出两个特征根几卫；分三种情况：(1)两个不相等的实数根九咕则通解为y二Ge" «2尹；⑵两个相等的实数根A二则通解为y二G • C2X e%;(3) 一对共轭复根* ±i卩,则通解为y = e^GcosEx + C z Sin P x ).其中G,C2为常数.3. 对于求解二阶线性非齐次方程y P(x)y Q(x)^ f( x)的一个特解y*(x)，可用待定系数法，有结论如下：如果f ( x)二材(x)x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x) =x k Q m(x)e"的特解，其中Q m(x)是与P m(x)相同次数的多项式,而k按■不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =e x[p(x)cos^x +P n(x)sin ^x],则二阶常系数非齐次线性微分方程9 P(x)y ' q(x)y二f (x)的特解可设为y^x k e x[R m i)(x)co^o^ R J2)(x)sincox],其中R mm)(x)与(x)是m次多项式,m =max「l, n?，而k按■ r ■(或■ - i・•)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理•1 1首先需要统一积分区间：换元，令X二■ t ,则0f (x)dx二-0 f(' t)dt , ■ 1 1由此° f (x)dx- f(x)dx = 0 - f (，x) - f (x) Idx.因为f (x)递减而x所以f (■ X)- f (X)，上式的右端大于零，问题得证• 方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小，需要分别在(0, ),(',1)两区间内用积分中值定理：1 ■ 1° f (x)dx= I。
1994考研数一真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)1 1(1) lim cot x( -- --) = ______________ .x -S ＞ sin x x⑵曲面z-誉+2xy = 3在点(1,2,0)处的切平面方程为 ______________ .宀2 ⑶设u = e 」sin x，则 色U在点(2,—)处的值为 ______________ . y 阴均 2⑷设区域D 为x 2 +y 2兰R 2，则J J (x 2十y 2)dxdy=__________________ .D a b⑸已知〉=(1,2,3),」(1,丄,丄),设，其中门是〉的转置，则A n 二2 3二、 选择题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)~2 Sin x 42 3 4 -2 2 3 422cos xdx , N (sin x cos x)dx , P (x sin x —cos x)dx , 三1X 2 -2 则()⑵二元函 数f(x, y)在点(by 。
)处两个偏导数f x (x °,y 。
)、 f y (X o ,y o )存在是f(x, y)在该点连续的()(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件0000| a |⑶设常数'0,且级数a 2收敛,则级数(-1)"」0丄() n 二 n m J n +&(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与，有关⑷怙atanx bdosx ：詔,其中a2 c 2= 0,则必有() x 0cln(1-2x) d(1-e^ ) (A) b =4d (B)b =—4d(C) a =4c (D) a 二 _4c⑸已知向量组〉1、〉2、〉3、＞4线性无关，则向量组()(A)N ::P :: M (B) M :: P :: N (C)N ::M :: P (D) P M :: N(A) 〉2、＞3、〉3*4、〉4 * -线性无关(B) ：1 一°2、a 2-^3、G 3-^4、 a 4 一°1 线性无关(C) 心亠-：：2、-:込亠'：：3、>3亠二4、〉4-「线性无关(D) 宀亠-：：2、〉2亠二3 > :- 3—4、二4 线性无关 三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分.)X =CO s(t ), , ,2(1) 设」 2 t 21 求或、4在t =匸的值.l y =tcos(t 2) - [ — cosudu, dx dx \ 2 ⑵将函数f (x) arctanx-x 展开成x 的幕级数.4 1 -x 2四、(本题满分6分)2计算曲面积分xdy dz 2zd x dy,其中S 是由曲面x 2• y 2二R 2及两平面z 二R,Sx+y+zz =-R(R 0)所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设f(x)具有二阶连续导数，f (0) =0, f (0) =1，且[xy(x y) - f (x)y]dx [f (x) - x 2y]dy =0为一全微分方程，求f (x)及此全微分方 程的通解.六、 (本题满分8分)设f(x)在点x = 0的某一领域内具有二阶连续导数,且lim-^^ -0,证明级数 001 xf (丄)绝对收敛. n 生 n七、 (本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所 围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面z=0,z=1所围成的立体体积. 八、 (本题满分8分)x + x — 0设四元线性齐次方程组()为 12'又已知某线性齐次方程组(二)的通 〔X 2 - = 0,解为 k 1（0,1,10） k 2（—1,2,2,1）.(1)求线性方程组()的基础解系；⑶求dxsin 2x 2sin x⑵问线性方程组()和(「)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由•九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A T是A的转置矩阵，当A =A时, 证明| A| = 0.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)二P(AB),且P(A)二p ,则P(B)= ____________(2)设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z二max 仅,丫｝的分布律为 ______ .十、(本题满分6分)已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32) 和1X YN(0,42),X与Y的相关系数,设Z二一一，2 3 2(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；⑵求X与Z的相关系数‘XZ ；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)⑴【答案】-6【解析】原式变形后为“ 0”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法则，有cosx(x —sin x) x — sin x原式二 lim 2lim cosx lim 7 xsin x T T1-cosx si nx 1 si nx 、 =lim 2 lim .(由重要极限lim 1)x 刃 3x 2 x e 6x 6 x>0x⑵【答案】2x y -4 =0【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点（1,2,0）处法线方向的方向向量l ,取n = l ，又平面过已知点M （1,2,0）.已知平面的法向量（A,B,C ）和过已知点（冷』。