2019年上海市春考数学试卷(含答案)

上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ； 4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________； 11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(= （1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题： 17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2） 59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a tt a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ，则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意； 2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2min g a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。

21、解析（1）依题意得，()[][]12120)12(0)12(120)22(1211+<≤-⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---⇔≤+-+-+=--+n m n n m n m n m n m nm c a c a n m n m因为*∈N m ，于是，可得，n m 2=，故存在这样的m ，使得01≤--+n m nm c a c a ，所以数列{}m a 是{}n c 的分隔数列，得证；（2）6323-==-n c d n n ，又因为n S 是{}n c 的前n 项和，所以()n n n n S n2722432-=-+-=，假设数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，则必定存在*∈N m ，使得01≤--+n m nm d S d S ，代入不并化简得：()()()[]()[]()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--≤+--+--⇔≤+--+--0667066712670667126722222n m m n m mn m m n m m n m m所以，6671262-<-≤-n m m n ，又因为()()Z k k m m ∈=-27，所以{}86,106,126)7(---=-n n n m m ，对于任意的*∈N n ，三个方程⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-③②①86710671267222n m m n m m n m m 都不能确保m 一直偶整数解，故不符合定义，所以数列{}n S 不是数列{}n d 的分隔数列； 另解：举出反例即可！ 1°当1=n 时，()6076=⇒⎩⎨⎧∈<-≤-*m Nm m m ，存在；2°当2=n 时，()7670=⇒⎩⎨⎧∈<-≤*m Nm m m ，存在；3°当3=n 时，()81276=⇒⎩⎨⎧∈<-≤*m N m m m ，存在； 4°当4=n 时，()∅=⇒⎩⎨⎧∈<-≤*m N m m m 18712，不存在； 综上，数列{}n S 不是数列{}n d 的分隔数列； （3）因为{}n c 是递增数列，所以⎩⎨⎧>>01a q ，或⎩⎨⎧<<<100q a ； ①当1=q 时，na T a c n n =⇒=，则011>=--=--+ama ama c T c T n m n m ，不符合数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，故舍去。

②当1>q 时，()q q a T n n --=11，因为01≤--+n m nmc T c T ，代入并化简得： 1111+-<≤+-+-n n m n n q q q q q ，令n m =，则()01211≥+-⇒>+-+q q q q q n n n n ，对任意的*∈N n 恒成立，则2≥q ，而1111≥⇒≤+---n n n nq q qq （恒成立），故数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，且此时0>a ；③当10<<q 时，因为01≤--+n m nm c T c T ，代入并化简得：1111+-<≤+-+-n n m n n q q q q q ，因为mq 单调递减，而111−−→−+-∞→-n n nq q ，111−−→−+-∞→+n n n q q ，此时m 不存在，故这种情况，舍去； 综上，0>a 或2≥q 。