高三数学考试卷-含答案
高三数学考试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. -3D. 无理数2. 函数y=2x-1的图像是：A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 指数函数图像D. 对数函数图像3. 已知等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 254. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°5. 若复数z满足|z-1|=2，则复数z在复平面上的几何意义是：A. z到点(1,0)的距离为2B. z到点(0,1)的距离为2C. z到点(1,1)的距离为2D. z到点(0,0)的距离为26. 下列函数中，是奇函数的是：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^57. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 78. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标是：A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)9. 若log2(x+1)=3，则x的值为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2xB. 3x < 2xC. 3x ≤ 2xD. 3x ≥ 2x二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则第n项an=______。
12. 在△ABC中，若∠A=60°，b=8，c=10，则a=______。
13. 函数y=2^x的图像与y=2^(-x)的图像关于______对称。
14. 若复数z=3+4i，则|z|=______。
15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10=______。
上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)
上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。
高三数学考试试卷(含答案)
1高三数学考试试卷数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}32≤≤=x x Q .记Q P M Y =，则 A .{}M ⊆2,1,0 B .{}M ⊆3,1,0C .{}M ⊆3,2,0D .{}M ⊆3,2,1 2. 函数xx x f 1)(+=的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}0≠x x D .R 3. 将不等式组⎩⎨⎧≥-+≥+-01,01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是A .)1,3(-B .)3,1(-C .)3,1(D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(fA .1B .6log 2C .3D .9log 25. 双曲线1322=-y x 的渐近线方程为 A .x y 31±= B .x y 33±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是A .31B .33C .32D .367. 若锐角α满足53)2πsin(=+α，则=αsinA .52 B .53 C .43 D .548．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则= A .OB OC OA -+2121 B . OC OB OA ++2121 C .OA OC OB -+2121 D . OA OC OB ++21219. 设{}n a ，{}n b )N (*∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A .{}n n b a ⋅ B .{}n n b a + C .{}1++n n b a D .{}1+-n n b aABCD 1A1D 1C 1B（第6题图）210.不等式1112<+--x x 的解集是 A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-313x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-331x x C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<31,3x x x 或 D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3,31x x x 或11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则A .)2(+x f 为奇函数B . )2(+x f 为偶函数C .)2(-x f 为奇函数D . )2(-x f 为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A .01222=++-+y x y x B .012222=+-++y x y x C .01222=-+-+y x y x D .012222=-+-+y x y x13. 设a 为实数，则“21aa >”是“a a 12>”的A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .41 B .43 C .1 D .3415. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体积为乙甲，V V ，则A .乙甲乙甲，V V S S >>B . 乙甲乙甲，V V S S <>C .乙甲乙甲，V V S S ><D . 乙甲乙甲，V V S S <<ABCDxyo(第12题图)a a a aa a 15题图①）a aa aaa 侧视图15题图②）316．如图，F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF 面积的25倍，则该椭圆的离心率是 A .52或53 B .51或54C .510或515 D .55或552 17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，则函数)]([x f f y =零点的个数是A .1或3B . 2或3C . 2或4D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是A . C AB F -- B . D EF B --C . C BF A --D . D AF B --二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数1)3π2sin(2)(++=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .20. 若平面向量,满足)6,1(2=+，)9,4(2-=+，则=⋅ ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是▲ .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*∈n a n 中，已知21=a ，65=a .(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n an ，求数列{}n b 的前n 项和.24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物ABCDEF（第18题图）（第16题图）4线上位于第一象限内的点.(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△PAD 的面积.25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =)20(<<t 将△OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω.设Ω各边长的平方和为)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .(Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；（Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求a b - 的最大值；若不存在，说明理由.ABxoyt x =(第25题图)xyO ABPD（第24题图）5数学试题答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19． π，3 20. 2- 21.)1,35[ 22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122+==n a n nb .由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .所以数列{}n b 的前n 项和421)1(21-=--=+n n n qq b S 24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .设点P 的坐标为)1,(2-t t P ，且1>t ，则11121-=+-=t t t k ，11122+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.（Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11.因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=⋅t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=t .得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ⎩⎨⎧+-=-+=),1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)22,22(-D . 所以△PAD 的面积22121+=-⋅⋅=D P y y AB S .25.解：（Ⅰ）当10≤<t 时，多边形Ω是三角形（如图①），边长依次为 t t t 2,3,； 当21<<t 时，多边形Ω是四边形（如图②），边长依次为62),1(2),2(3,--t t t .所以，⎩⎨⎧<<+-≤<=,21,20208,10,8)(22t t t t t t f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-+-+≤<+=.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(t t t tt tt g（Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)45,1(，所以 )45,1(),(⊆b a .另一方面，任取)45,1(,21∈t t ，且21t t <，则)()(21t g t g -])2)(2(31)1)(1(211)[(21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<<<t t 知，1625121<<t t , 81)1)(1(2021<--<t t ,1639)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --,即0)2)(2(31)1)(1(212121>-----t t t t 所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)45,1(上也单调递减.证得 )45,1(),(=b a .所以，存在区间)45,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且a b -的最大值为41.(第25题图②)。
广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题一含答案
2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（答案在最后）2024.11本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足3i1z -=，则z =（）A.2 B.1C.D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得z =，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.【详解】因为i1z-=+，所以i 1i z --==-，所以1z =.故选：B2.已知集合{}Z |13A x x =∈-<，{}03B xx =≤≤∣，则A B = （）A.{}0,1,2,3 B.{}1,0,1,2- C.{}03xx ≤≤∣ D.{24}xx -<<∣【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由13x -<，即313x -<-<，解得24-<<x ，所以{}{}{}Z |13Z |241,0,1,2,3A x x x x =∈-<=∈-<<=-，又{}03B xx =≤≤∣，所以{}0,1,2,3A B = .故选：A3.“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】由21a >可得0a >，由2log 1b >可得2b >，由24a b +>可得2a b +>，所以由“21a >，2log 1b >”推得出“24a b +>”，故充分性成立；由“24a b +>”推不出“21a >，2log 1b >”，如0a =，3b =，满足24a b +>，但是21a =，故必要性不成立；所以“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的充分不必要条件.故选：A4.已知单位向量a，b 满足1a b += ，则下列说法正确的是（）A.,150a b =B.3a b -= C.向量a b +在向量a上的投影向量为2a D.12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，即可求出,a b ，从而判断A ，再根据a b -=判断B ，根据投影向量的定义判断C ，计算12b a b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ ，即可判断D.【详解】单位向量a，b 满足1a b += ，则()22221a ba ab b ++⋅==+ ，所以12a b ⋅=-r r ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，又0,180a b ≤≤ ，所以,120a b = ，故A 错误；a b -====，故B 错误；因为()2211122a b a a b a ⎛⎫+⋅=+⋅=+-= ⎪⎝⎭ ，所以向量a b + 在向量a 上的投影向量为()212a a b a a a+⋅⋅=，故C 错误；因为221111102222b a b b a b ⎛⎫⋅+=⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ，故D 正确.故选：D5.函数()cos2cos f x x x =-是（）A.偶函数，且最小值为－2B.偶函数，且最大值为2C.周期函数，且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.非周期函数，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A ，B ；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C ，D.【详解】()cos2cos f x x x =-定义域为R ，关于原点对称，()()()()cos 2cos cos 2cos f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，又()2cos2cos 2cos cos 1f x x x x x =-=--，令cos x t =，11t -≤≤，()221f t t t =--，当14t =时，即1cos 4x =，()f x 有最小值，最小值为98-，当1t =-时，即cos 1x =-时，()f x 有最大值，最大值为2，故A 错误，故B 正确；因为()()()()2πcos22πcos 2πcos 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=，所以()f x 为周期函数，因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，01t <<，()221f t t t =--，()f t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，10t -<<，()221f t t t =--，()f t 在()1,0-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先减后增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；故C ，D 错误，故选：B.6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现302555+=，2553025=，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）A.815B.35C.13D.0【答案】C 【解析】【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.【详解】因为()2281981+==，所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A ，则()1526C 51C 153P A ===.故选：C7.已知函数()()21,1,ax x af x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[]1,1- D.[)1,0-【答案】D 【解析】【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R ，求实数a 的取值范围.【详解】若0a <，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递增，所以()2,1y a∈-∞-；此时，函数()21y x =-在[],1a 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；因为函数()f x 的值域为R ，所以210a -≥，结合0a <得10a -≤<.若0a =，则()()21,01,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为[)0,+∞；若01a <<，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a ->）；在[],1a 上，函数()21y x =-单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；所以函数()f x 的值域不可能为R ；若1a ≥，则函数在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a -≤）；在[),a +∞上，函数()21y x =-单调递增，())21,y a ⎡∈-+∞⎣，此时函数()f x 的值域不可能为R .综上可知：当10a -≤<时，函数()f x 的值域为R .故选：D8.记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，已知()12n n n a T a -=，若10011000n a <，则n 的最小值是（）A.999B.1000C.1001D.1002【答案】C 【解析】【分析】由数列的前项积满足()12n n n a T a -=，可求得{}n T 是等差数列，并求得n T 的通项，进而得到{}n a 的通项，再由10011000n a <，即可求得正整数n 的最小值.【详解】∵n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，()12n n n a T a -=，∴当1n =时，()11112T T T -=，113a T ==2n ≥时，1nn n T a T -=，又()12n n n a T a -=，∴11122211n nn nn n n n n n T T T T a T a T T T -----=-==，即12n n T T --=，∴{}n T 是首项为3，公差为2的等差数列，且32(1)21n T n n =+-=+.由()2n n n T a T -=，得21221n n n T n a T n +==--若10011000n a <，则211001211000n n +<-，∴2001,2n >所以，正整数n 的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：1216,,,x x x ；乙组数据为：121639,39,,39x x x --- ，若甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则下列说法一定正确的是（）A.乙组数据的平均数为39m -B.乙组数据的极差为3aC.乙组数据的第60百分位数为39b -D.乙组数据的标准差为n【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：1216,,,x x x ，则乙组数据从小到大排列为：121639,39,,39x x x --- ，因为甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则161a x x =-，又1660%9.6⨯=，所以10b x =，所以乙组数据的平均数为39m -，故A 正确；乙组数据的极差为()()161161393933a x x x x ----==，故B 正确；乙组数据的第60百分位数为109393b x -=-，故C 正确；乙组数据的标准差为3n ，故D 错误.故选：ABC10.在三棱台111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是等腰梯形且与底面垂直，111A C =，1AA =，3AC BC ==，AB =）A.1A A BC ⊥B.11119A ABC B A B C V V --=C.1112A ABC B A CC V V --= D.三棱台111ABC A B C -的体积为136【答案】ABD 【解析】【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A 的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC 的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D 的真假.【详解】如图：对于A ：在ABC V 中，3AC BC ==,AB =，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥.由平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11ACC A ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以1BC A A ⊥，故A 正确；对于B ：因为111A C =，3AC =，且111A B C △∽ABC V ，所以11119A B C ABC S S =.又三棱锥1A ABC -和111B A B C -的高相同，所以11119A ABC B A B C V V --=，故B 正确；对于C ：因为113AC A C =，所以1113A AC A C C S S = ，所以1113B A AC B A C C V V --=，即1113A ABC B A CC V V --=，故C 错误；对于D ：因为三棱台的高为1，所以三棱台111ABC A B C -的体积为：119133226V ⎛=⋅++= ⎝，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()()22f x f x +-=，()1g x -为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.()()()0123f f f ++= B.()()4g x g x +=C.()()4f x f x += D.1322g g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】对A ：令1x =，则()()112f f +=⇒()11f =；令0x =，则()()022f f +=.所以()()()0123f f f ++=，故A 正确；对B ：因为()()22f x f x +-=，两边求导，得()()20g x g x --=即()()2g x g x =-；因数()1g x -为偶函数，所以()()11g x g x -+=--⇒()()24g x g x -=-+，所以()()4g x g x =-+，故()()4g x g x +=成立，故B 正确；对C ：因为()()4g x g x +=，所以()()124f x c f x c ++=+⇒()()4f x f x c +=+，c 未必为0，故C 错误；对D ：因为()()2g x g x =-，令12x =，则1322g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：若()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()g x f x '=，则：（1）若()f x 为奇函数，则()g x 为偶函数；若()f x 为偶函数，则()g x 为奇函数.反之也成立.（2）若()f x 为周期函数，则()g x 也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3cos 4sin 5αα+=，则tan α=_____________．【答案】43【解析】【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得sin cos αα，，进而可得解.【详解】联立223cos 4sin 5cos sin 1αααα+=⎧⎨+=⎩，得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此sin 4tan cos 3ααα==．故答案为：4313.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知及1AF B ∆是等边三角形即可求得：23AF c =,13AF =，利用椭圆定义列方程可得：21233AF AF a +=+=a =，问题得解．【详解】如图，依据题意作出图形，由题可得：122F F c =，又1AF B ∆为等边三角形，由椭圆的对称性可得：126AF F π∠=，又12AB F F ⊥计算可得：2233AF c =,1433AF c =由椭圆定义可得：2133233AF AF a +=+=整理得：3c a =所以33c e a ==【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题．14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.【答案】134【解析】【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，对A 、B 、C 取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，若A 、B 、C 都没有取到，则有34A 24=种不同的取法；若A 、B 、C 取到一个，则有112324C A A 72=种不同的取法；若A 、B 、C 取到两个，则有()21113244C A A C 36+=种不同的取法；若A 、B 、C 取到三个，则有12C 2=种不同的取法；综上可得一共有2472362134+++=种不同的取法.故答案为：134四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin B C A ⋅=，2a =.（1）求ABC V 的面积S ；（2）若2212b c +=，求A .【答案】（1）2（2）π4【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到sin 2b C a ⋅==，从而得到2sin C b=，再由面积公式计算可得；（2）由余弦定理得到cos 4bc A =，从而得到2cos bc A a =，再由正弦定理将边化角，即可求出tan A ，从而得解.【小问1详解】因为sin sin sin B C A ⋅=，2a =，由正弦定理可得sin 2b C a ⋅==，所以2sin C b=，所以112sin 2222ABC S ab C b b==⨯⨯= ；【小问2详解】因为2222cos a b c bc A =+-，又2212b c +=，2a =，所以4122cos bc A =-，所以cos 4bc A =，则2cos bc A a =，由正弦定理可得2sin sin co s s in A B C A =，又sin sin sin B C A ⋅=，所以2sin cos sin A A A =，显然sin 0A >，所以cos sin A A =，则tan 1A =，又()0,πA ∈，所以π4A =.16.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，且2AB =，PA PB ⊥.四棱锥P ABCD -的体积为43.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，即可得到1PO =，设P 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积公式求出1h =，即可得到⊥PO 平面ABCD ，从而得证；（2）取CD 的中点，连接OE ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接OP ，因为2AB =，PA PB ⊥，所以112PO AB ==，又四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以224ABCD S ==，设P 到平面ABCD 的距离为h ，则1144333AB P ABCD CD V hS h -==⨯⨯=，所以1h =，所以PO h =，即⊥PO 平面ABCD ，又PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD；【小问2详解】取CD 的中点，连接OE ，则//OE BC ，即OE AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则0,0,1，()1,2,0C ，()1,2,0D -，所以()2,0,0DC = ，()1,2,1PC =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2020n DC x n PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取()0,1,2n = ，又平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面PAB 与平面PCD 夹角为θ，则cos 5m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为5.17.已知函数()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>.（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，且120x x +>，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0y =（2）答案见解析（3）()1,+∞【解析】【分析】（1）求出()0f ，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得()()()12e exxf x a=--'，再分1a =、1a >、01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）由()00f =，可得()f x 必有一个零点为0，再结合（2）讨论可得.【小问1详解】因为()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>，所以()00f =，()()22e21e 2xx f x a a '=-++，则()00f '=，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()()()2e 21e 2210xx f x a ax a a =-++++>的定义域为R ，且()()()()22e21e 22e e 1xx x x f x a a a '=--+=-+，当1a =时，()()22e 10x f x '=-≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；当1a >时，则当ln x a >或0x <时()0f x '>，当0ln x a <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，则当0x >或ln x a <时()0f x '>，当ln 0a x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减；综上可得，当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减.【小问3详解】因为()00f =，()f x 必有一个零点为0，由（1）可得，当1a =时()f x 只有一个零点，不符合题意；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，显然()()ln 00f a f <=，当()ln 21x a >+⎡⎤⎣⎦时()e 21x a >+，则()e 210xa -+>，e 0x>，20ax >，所以()()()2e21e 221e 21e 2210xx x xf x a ax a a ax a ⎡⎤=-++++=-++++>⎣⎦，所以()f x 在()ln ,a +∞上存在一个零点，此时()f x 有两个零点1x ，2x （不妨令12x x <），且10x =，()2ln ,x a ∈+∞，即20x >，满足120x x +>；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，所以()f x 在()0,∞+不存在零点，且一个零点为0，则另一零点不可能大于0，此时不满足120x x +>，故舍去；综上可得实数a 的取值范围为()1,+∞.18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为12；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为13，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为()1,2X X =，求X 的分布列.【答案】（1）542（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可；（2）设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出135P =，从而得到()315P X ==和()225P X ==，得到分布列.【小问1详解】7人中随机选择2人，共有27C 21=种情况，其中含甲的情况有16C 6=种，6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为31121321⨯=，和同级的玩家对抗并获胜的概率为31321242⨯=，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为135214242+=；【小问2详解】设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，考虑1P ，需考虑甲直接从a 号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，故121122P P =+①，考虑2P ，则甲从b 号门进行密室①，且从密室①走出密室，故2113P P =②，联立①②，可得135P =，所以()1315P X P ===，故()322155P X ==-=，故分布列如下：X12P352519.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a n =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11,12,11k n n k k k n a b b k a n a -+=-⎧=⎨+-<<-⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，求证：()11n k n b a b -≥-⋅；（ii ）求1n S nii b -=∑.【答案】（1）121n n a -=+（2）（i ）证明见解析；（ii ）114399n n ⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据数列的前n 项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式.（2）先利用等差数列的前n 项和公式求12121k k i i b --=+∑，因为1n S ni i b -=∑()11141n nk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑，再利用错位相减法求和.【小问1详解】当1n =时，11213=+-a a ⇒12a =.当2n ≥时，23n n S a n =+-，1124n n S a n --=+-，两式相减得：1221n n n a a a -=-+⇒121n n a a -=-⇒()1121n n a a --=-.所以{}1n a -是以111a -=为首项，以2为公比的等比数列，所以112n n a --=⇒121n n a -=+.当1n =时，上式也成立.所以数列{}n a 的通项公式为：121n n a -=+【小问2详解】由题意：111,22,22k n k kn k n b b k n ---⎧==⎨+<<⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，1n b k =+，112k k a --=，()111221222k k k n b k k k k ---=+--⨯=⨯-.因为()11n k n b a b ---⋅()112212k k k k k --=⨯--+⋅()112k k k -=-⋅-，因为2k ≥，所以()()1122120k k k k k k --⋅-≥--=-≥，所以：()11n k n b a b -≥-⋅.（ii ）因为()111222112nni n n i S n n n -=-=+=+=+--∑，所以21n n S n -=-.()()()()11121121212221222k k k k k i i b k k k -----=+--=-++⨯∑()141k k -=-，所以1n S ni i b -=∑()11141nnk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑设01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅ ，则()12141424144n nn T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ 两式相减得：01134444n n n T n --=+++-⋅ 11433n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，所以114399n n n T ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.即1n S ni i b -=∑114399n n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：（1）当122k k n -<<时，数列{}n b 是首项为2k k +，公差为2k 的等差数列，项数为：1122121k k k ----=-.（2）当数列是“等差⨯等比”形式时，其前n 项和用“错位相减法”求和.。
福建省部分达标高中2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案
高三半期考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{13}A x x =-<≤∣，{}1,2,3,4B =，则A B = （）A ．{}2,3B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}12．函数41tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4B ．22πC ．8D ．24π3．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数()32z =-+，则z 的虚部为（）A ．-B ．C ．10-D ．105．在梯形ABCD 中，5BC AD = ，AC 与BD 交于点E ，则ED =（）A ．1166AD AB-B ．1177AD AB-C ．1166AB AD-D ．1177AB AD-6．将函数()cos y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象．若()y f x =的图象关于点7,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则ϕ的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π7．已知22111x y+=，则221169x y --的最大值为（）A ．35-B ．49-C ．42-D ．48-8．若2sin cos 2tan3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，则α的值可以为（）A ．12π-B ．20π-C ．10πD ．5π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D ，G 分别边AC ，BC 上，点E ，F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（）A ．ABC 的面积为B ．()13S =C ．()S x 先增后减D ．()S x 11．已知向量a ，b ，c 满足6a = ，1b = ，,3a b π= ，()()3c a c b -⋅-= ，则（）A ．a b -=B ．cC ．a c - 的最小值为2D ．a c - 的最大值为62三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．log =________．13．已知14ω>，函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,ωπ上单调递增，则ω的最大值为________．14．已知函数()e x x f x m =-，()2exg x m =-，若()f x 与()g x 的零点构成的集合的元素个数为3，则m 的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin sin c A B a B C =．（1）求角B ；（2）若3a =，ABC 的面积为92，求b ．16．（15分）已知函数()3f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程；（2）若()ln f x m >恒成立，求m 的取值范围．17．（15分）已知函数()14sin sin 3f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭．（1）将()f x 化成()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的形式；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（3）将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()h x 的图象，求不等式()0h x ≥的解集．18．（17分）已知函数()f x ，()g x 满足()2e exxf x ax -=-+，()()()2212e 1e 2e 2e x x f x g x a -⎛⎫+=-+-+ ⎪⎝⎭．（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围．（2）证明：()f x 与()g x 的图象关于一条直线对称．（3）若a ≥-，且关于x 的方程()()()e 22xf x f mg x +-=-在[]1,1-内有解，求m 的取值范围．19．（17分）若存在有限个0x ，使得()()00f x f x -=，且()f x 不是偶函数，则称()f x 为“缺陷偶函数”，0x 称为()f x 的偶点．（1）证明：()5h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．（2）对任意,x y ∈R ，函数()f x ，()g x 都满足()()()()22f x f y g x g y x y++-=+①若()g x y x=是“缺陷偶函数”，证明：函数()()F x xg x =有2个极值点．②若()32g =1x >时，()()21ln 12g x x >-．参考数据：1ln0.4812+≈ 2.236≈．高三半期考数学试卷参考答案1．C因为{13}A x x =-<≤∣，{}1,2,3,4B =，所以{}1,2,3A B = ．2．D 函数41tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期244T πππ==．3．B若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马．故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件．4．A因为()()()321210z =-+=--+=+，所以z的虚部为-．5．A 因为5BC AD = ，所以AD BC ，且15DE AD BE BC ==，所以()11116666ED BD AD AB AD AB ==-=- ．6．A 依题意可得()1cos 2f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭．因为()y f x =的图象关于点7,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()17232k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，即()53k k πϕπ=+∈Z ，所以ϕ的最小值为5233πππ-=．7．D因为22111x y+=，所以()2222222222119161691692525249y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2222916y x x y=，即274x =，273y =时，等号成立．故221169x y --的最大值为14948-=-．8．B因为sin cos tan 1tan sin cos tan 14αααπαααα--⎛⎫==-⎪++⎝⎭，22tan3tan61tan 3ααα=-，且2sin cos 2tan3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，所以()64k k πααπ-=+∈Z ，所以()205k k ππα=--∈Z ，所以α的值可以为20π-．9．AC因为()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()()()h x f x g x h x -=--=-，则()h x 为奇函数，其图象关于原点对称，故选AC ．10．ACD取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥，且AN ==，所以ABC的面积为122⨯⨯=，A 正确．过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，设CH 与DG 交于点M ，由等面积法可得1 2AB CH⋅=3CH=．由CM DGCH AB=，得9CH DGCMAB⋅==，则3MH CH CM=-=9-，所以()()2233992S x DG DE DG MH x x x⎛⎫=⋅=⋅=-=--+<⎪⎝⎭3)x<，则()19S=，则() S x在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()S x，B错误，C，D均正确．11．BC a b-==A错误．建立平面直角坐标系xOy，不妨假设()6,0a OA==，1,22b OB⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，设(),c OC x y==，则()6,c a x y-=-，1,22c b x y⎛-=--⎝⎭，代入()()3c a c b-⋅-=，整理得221343444x y⎛⎛⎫-+-=⎪⎝⎭⎝⎭，所以点C在以13,44M⎛⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上．因为该圆经过坐标原点，所以cB正确．因为22133143604444⎛⎛⎫-+-=<⎪⎝⎭⎝⎭，所以点A在圆M内，因为a c AC-=，2AM=，所以a c-的最小值为43312，a c-的最大值为43312+，C正确，D错误．12．1525221515log log8log8222===．13．34因为[]0,x ωπ∈，所以,444x πππωπ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，又14ω>，所以04πωπ->，所以42ππωπ-≤，解得34ω≤，则ω的最大值为34．14．222210,,e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()0f x =，得e x x m =，令()0g x =，得2e xm =．设()e x x h x =，()1exxh x -='，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max11e h x h ==．当0x >时，()0h x >，所以结合()h x ，()2exk x =的图象（图略）及()()22122e e h k ==<，得m 的取值范围是222210,,e e e ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．解：（1）因为sin cos sin sin c A B a B C =，所以sin sin cos sin sin sin C A B A B C =，2分因为sin 0A >，sin 0C >，所以cos sin B B =，4分所以tan 1B =．6分又()0,B π∈，所以4B π=．7分（2）因为193sin 242c π⨯=，所以c =，9分所以2222cos 918292b ac ac B =+-=+-⨯=，12分解得3b =．13分16．解：（1）()231f x x=--'2分所以()4481146f =--='．3分因为()4644852f =--=，所以曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程为()52464y x -=-，即46132y x =-．6分（2）()231f x x=--'()0,+∞上单调递增．8分因为()10f '=，9分所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，11分所以()()min ln 14m f x f <==-，13分解得410e m <<，故m 的取值范围为410,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．15分17．解：（1）()2114sin 4sin 12sin cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-⨯-⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1分1cos212cos22sin 226xx x x x π-⎛⎫=-⨯+=+=+ ⎪⎝⎭．4分（2）由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．5分当266x ππ+=时，()f x 取得最小值，最小值为2sin 16π=；6分当262x ππ+=时，()f x 取得最大值，最大值为2sin 22π=．7分故()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2．8分（3）由题意可得()2sin 22sin 22cos26662h x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11分则不等式()0h x ≥即为2cos20x ≥，得()22222k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，13分解得()44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即不等式()0h x ≥的解集为(),44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．15分18．（1）解：因为()f x 为R 上的增函数，所以()2e e 0x x f x a -=++≥'恒成立，2分因为()f x a a ≥='，3分当且仅当2e e xx-=，即1ln22x =-时，等号成立，4分所以0a ≥，即a ≥-，a 的取值范围为)⎡-+∞⎣．5分（2）证明：因为()2e exxf x ax -=-+，()()()2212e 1e 2e 2e x x f x g x a -⎛⎫+=-+-+ ⎪⎝⎭，所以()222e e 2x x g x a ax --=-+-，7分所以()()()()222ee 22x xg x a x f x ---=-+-=-，9分则()f x 与()g x 的图象关于直线1x =对称．10分（3）解：因为()()()e 22xf x f mg x +-=-，所以由（2）知()()()e 2xf x f m f x +-=，即()()e xf m f x -=．12分由（1）知，当a ≥-时，()f x 为R 上的增函数，所以e xm x -=，即e x m x =-．13分设()()e 11x h x x x =--≤≤，则()()e 111x h x x '=--≤≤，当10x -≤<时，()0h x '<，当01x <≤时，()0h x '>，14分所以()()min 01h x h ==，又()111eh -=+，()()11e 1h h =-+>-，所以()()max 1e 1h x h ==-．16分故m 的取值范围是[]1,e 1-．17分19．证明：（1）由()()h x h x -=，得()55x x x x -+-=+，则()()542210x xx x +=+=，1分解得0x =，所以()h x 只有1个偶点，且偶点为0，所以()5h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．3分（2）由题意得()()()()22f x g x x f y g y y +-=-++对,x y ∈R 恒成立，4分所以存在常数a ，使得()()()()22f x g x x f y g y y a +-=-++=．5分令y x =，得()()()()2,2,f x g x x a f x g x x a ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩解得()223x x a g x -+=．6分①()21333g x x a y xx ==+-，由()()g x g x x x -=-，得2033x ax+=，即()220x a x =-≠，则20a ->，即0a <．7分()()3223x x ax F x xg x -+==，()23223x x aF x -+='，因为4240a ∆=->，所以()0F x '=必有两根1x ，2x （设12x x <），8分当1x x <或2x x >时，()0F x '>，当12x x x <<时，()0F x '<，所以函数()()F x xg x =有2个极值点1x ，2x ．9分②若()62323ag +==，则0a =，()23x x g x -=，10分当1x >时，要证()()21ln 12g x x >-，只需证()223ln 12x x x ->-，因为()()223420x x x x ---=-≥，所以234x x x -≥-，所以只需证()2334ln 12x x ->-．12分设函数()()()2334ln 112p x x x x =--->，则()()()()22231631121x x xp x x x x '--=-=>--，当112x <<时，()0p x '<，当12x +>时，()0p x '>，14分所以()min12p x p ⎛+= ⎝⎭，211122⎛++-= ⎝⎭，所以()min 3353153 2.236534ln 0.4810.132522222p x ++⨯-=--≈-⨯=，16分所以()min 0p x >，从而()()2334ln 102p x x x =--->，故当1x >时，()()21ln 12g x x >-．17分。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知角，满足，，则（ ）A.B. C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭{}220Bx Nx x =∈+-≤∣AB = (]1,1-{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-i ()()1122z i i ++=-+z =1i-+1i --1i +1i-a b ()3,4a = ()2,1b =- b a68,2525⎛⎫⎪⎝⎭(6,8)68,55⎛⎫⎪⎝⎭(4,2)αβtan 2α=()sin 2cos sin βαβα=-tan β=2323-4343-()26ln 1f x x x ax =++-(1,2)a 8,⎡--⎣(8,--7,⎡--⎣(8,7)--(2π+(1π+(3π+()f x ()g x R ()1f x +()()114f x g x -++=，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.()()24f x g x +-=()f x ()g x ()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑x y 2x y +=2291x y x y+++22:13y C x -=1F 2F 2F l C A B 12AF F △1I 12BF F △2I AB (),-∞+∞12I I ⎡⎢⎣2112tan3tan22AF F AF F ∠∠=P ABC -AB =PA =P ABC -O P ABC Q PQ M P ABC -M AB P --O 43π1O O 1O (),4A a 24y x =F AF B FB13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，y ax=()x ef xx=a1323{}na{}n b()()*21nnnb n N=+-∈()1,0n n na b b Rλλλ+=-∈>{}na{}nc2n nc n a={}n c n n T9TABC△A B C a b csin sin sin sinA B B Cc a b++=-A3,0BC BD AB AD=⋅=2AD=ABC△AD B AD C'--AB'B CD'X X()2222:10x yC a ba b+=>>()2,1P O l C A B OP Q2AB QB=直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.l x y M N C APB △MON △R ()f x [],a b (,)a b ()()f a f b =(),c a b ∈()0f c '=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)a b c d R ∈()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈(0,1)m湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化简得.由余弦定理得，，故；（2）设，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，从而.二面角为直二面角，，平面平面，平面，10324e 2881{}n a 2213a a a =()()()2755177λλλ-=--()()210λλ-+=0λ>2λ=()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦{}n a ()231nn c n=--22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ sin sin sin sin A B B C c a b ++=-a b b c c a b++∴=-222b c a bc +-=-2221cos 22b c a A bc +-==-23A π=BD x =2CD x =ACD △sin sin CD AD DAC C ∠=22sin30sin x C=1sin 2C x=ABD △2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭sin B x ==BD ∴=CD =AB = B AD C '--AB AD '⊥AB D ' ACD AD =AB '⊂AB D '平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，，.设平面的法向量，则有，即令，解得.故直线与平面.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，AB ∴'⊥ACD()0,0,0A ()D ()C (B '(AB ∴='(B C =' (B D '=B CD '(),,n x y z = 00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1y =()4n =cos ,n AB n AB n AB ⋅∴=''='AB 'B CD '111224⨯=111224⨯=111442+=X 111224⨯=111224⨯=()1111044464P X ==⨯⨯=()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.()1111444464P X ==⨯⨯=X X P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=C D D (,0)a -PD ==2a =C c e a ==c =1b =C 2214x y +=A (),A A x y B (),B B x y A B C 22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()222204A B A B x x y y -+-=222214A B A B y y x x -=--Q (),Q Q x y 2AB QB =Q AB 2A B Q x x x +∴=2A BQ y y y +=Q OP P (2,1)12OQ OP k k ==12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-12A B AB A B y y k x x -==--l 1,02y x m m =-+≠l C 221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222210x mx m -+-=由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.点到直线的距离为且.记，.由，及得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，19.（17分）证明：（1）设，，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.0>△m <<0m ≠l C A B 2A B x x m +=()221A B x x m =-B AB x ∴=-==P l d 122APB S AB d ∴==-=△m <<0m ≠()()()2222f m mm =--()()()2421f m m m m =---'()0f m '=m <<0m ≠m =m =APB S △l 12y x =-()1M -N ⎛ ⎝12MON S OM ON ∴== △()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++[]0,1x ∈()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++()F x ∴[]0,1(0,1)()()010F F ==()00,1x ∈()00F x '=()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)()()2222222xf x emx e m x =----- m R ∈(0,1)1x ()10f x =()10,1x ∈由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，，则.，.当，即时，，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，，解得.结合，且，，()()224222xf x e mx e m '=----()f x '[]10,x []1,1x ()10,x ()1,1x ()()()1010f f x f ===()210,x x ∈()20f x '=()31,1x x ∈()30f x '=∴()()2242220x f x e mx e m '=----=(0,1)2x 3x ()()()224222xg x f x emx e m ==--'--()0,1x ∈()282x g x e m =-'()0,1x ∈ ()2288,8x e e ∴∈1 28m ≤4m ≤()()0820g x g m >=-'≥'()g x (0,1)()0g x =(0,1)2 228m e ≥24m e ≥()()21820g x g e m <=-'≤'()g x (0,1)()0g x =(0,1)3 244m e <<()0g x '=()1ln 0,124mx =∈10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '>()g x ∴(0,1)()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,1)()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩222622e m e -<<+244m e <<22262 2.564e ->⨯->222222224e e e e +<+=故的取值范围为.m ()2226,22e e -+。
广东省莞佛深部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.样本数据1，1，5，7，8，8，9，10，10，11的平均数和第40百分位数分别为（）A.7，7B.7，7.5C.7.5，7D.7.5，7.52.已知集合{}205A x x =<<，{}Z 12B x x =∈-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2- B.{}0,1,2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2,3-3.若12i z z-=-，则z =（）A.1i2+ B.1i 2+-C.1i 2- D.1i2-+4.已知向量()1,1a = ，(),b x y =，若()4a b a ⊥- ，()//b b a + ，则2x y +为（）A.12B.8C.9D.4-5.已知α、3π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos αβαβ-=+，则sin 2α=（）A.12-B.1C.0D.1-6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（）A.B.C.D.7.已知函数为3211,1()3e ln(2),1x x ax x x f x x x +⎧++<-⎪=⎨⎪++≥-⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.7[1,]3B.7(,]3-∞ C.[]71,3- D.(,1]-∞8.函数π()|cos |)6f x x x =-在13π[0,]6上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知变量X 服从正态分布()20,X N ~σ，当σ变大时，则（）A.11(22P X -<<变小 B.11()22P X -<<变大C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移10.已知命题p ：对于正数a ，b ，[)00,x ∞∀∈+使()00e 1x bx a ++⋅>．若p 为假命题，则（）A.e 1b a ⋅> B.1eab ≤C.1a b +≤D.224e ab ≤11.函数()f x 的定义域为R ，若(1)()()f x y f x f y m ++=+-，且(0)f n =，,Z m n ∈，n m >则（）A.(1)f m -=- B.()f x 无最小值C.401()860820i f i n m==-∑ D.()f x 的图象关于点(2,2)m n --中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线:l y kx =是曲线()1ex f x +=和()ln g x x a =+的公切线，则实数a =______．13.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且2cos a B c a =-．当3c ab+取最小值时，则A =______．14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．奖品一个健身背包一盒蛋白粉概率3414则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______．三、解答题：本题共5小题，共77分．15.如图，在直角三角形POA 中，PO AO ⊥，24PO AO ==，将POA 绕边PO 旋转到POB 的位置，使2π3AOB ∠=，得到圆锥的一部分，点C 为 AB上的点，且 14AC AB =．（1）在A 上是否存在一点D ，使得直线OA 与平面PCD 平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由；（2）设直线OC 与平面PAB 所成的角为θ，求sin θ的值．16.已知数列{}n a 满足()121221333334n nn n a a a +-⋅++++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，求证：4121nn nT n n <<++．17.已知O 为坐标原点，点2在椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>上，过左焦点1F 和上顶点A 的直线1l 与椭圆相交于点A ，B ．记A ，B 的中点为M ，有12OM k =-．过上顶点A 的直线2l 与椭圆相交于点C （C 点异于B 点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）求ABC V 面积的最大值，18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为13，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为16．记比赛结束．．．．时甲乙两人的答题总次数为()2n n ≥．（1）求p ；（2）求在4n =的情况下，甲晋级的概率；（3）由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率．19.函数()ln f x x =，2()2g x x x m =--+．（1）若e m =，求函数()()()F x f x g x =-在1[,2]2的最小值；（2）若2()()(2)e x f x g x x x +≤--在(0,](1)x t t ∈>上恒成立时，实数m 的取值范围中的最小值为ln 2，求实数t 的值．高三数学注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】3【13题答案】【答案】π4【14题答案】【答案】37384三、解答题：本题共5小题，共77分．【15题答案】【答案】（1）存在，3AD AB =；（2）17.【16题答案】【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）2212x y +=；（2）2323+.【18题答案】【答案】（1）12（2）1 5（3）17 216【19题答案】【答案】（1）e4ln2-+；（2）2.。
2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷附答案解析
2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷本卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ，则A B ⋂=()A.{}10x x - B.{}10x x -< C.{}10x x -< D.{}10x x -<<2.“01a <<”是“函数()log (2)a f x a x =-在(,1)-∞上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()()2sin x xf x x e e x-=-+-在区间[]2.8,2.8-的大致图像为()A. B. C. D.4.已知5log 2a =，2log b a =，1()2bc =，则()A.c b a >> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3(2)()f x f x +=，且(2)1f =-，则(100)f =()A.3B.1C.1-D.3-6．已知函数1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x⎧-⎪==-⎨<⎪⎩ ，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是()A.{}e B.[,)e +∞ C.1(,0){}8e -⋃ D.1(,){}8e -∞-⋃7.已知函数3()1f x x x =-+，则()A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.直线2y x =是曲线()y f x =的切线D.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心8.已知函数24,0(),0x x f x x log x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()A.28-B.28C.14- D.14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211(x x'=- B.()x xe e '--= C.21(tan )x cos x'=D.1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则()A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11.已知0c b a <<<，则()A.ac b bc a+<+ B.333b c a +< C.a c ab c b+<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为__________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14.5(1)(2)y x y x-+的展开式中，23x y 的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线bx a y e +=的附近，请根据下表中的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数a 和b 的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.98 3.87 3.46 3.29附：经验回归方程：ˆˆˆybx a =+中，1221ˆniii nii x ynx y b xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17.已知函数()log (1)a f x x =+，()2log (2)(a g x x t t =+∈R )，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围．18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19.已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.6513.ln 214.40三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）解：(1)1a =时，3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--，所以1x <或2x >时，()0f x '>；12x <<时，()0f x '<则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞上递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =...............................5分陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测数学参考答案题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD3212(2)()232a f x x x ax +=-+，则()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x ' ，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<,所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减................................8分（2）令-+<=≈，所以，解得，由于，所以，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下................................5分17.（本小题满分15分）解：(1)1=- t 时，()()2log 1log 21a a x x +- ，又01a <<，21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩，2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩，∴解集为：15{|}24x x <；...............................6分(2)解法一：()222F x tx x t =+-+，由()0F x =得：22(2x t xx +=-≠-且12)x -< ，22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++，设2U x =+(14U < 且2U ≠，则212424U t U U U U=-=--+-+，令2()U U Uϕ=+， 当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴且() 4.U ϕ≠12402U U∴---< 或2044U U<--- ，t 的取值范围为：2t - 或224t +解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得：24t =，又1212x x t ==-(]1,2,∈-24t +∴=；②()F x 在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有()()120F F -<，解得：2t <-或1t >，又经检验：2t =-或1t =时，()F x 在(1,2]-上都有零点；2t ∴- 或 1.t ③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩或0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，解得：214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t - 或224t +...............................15分18.（本小题满分17分）(1)(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即69x μ≈=11s σ≈≈，所以X ∽2(69,11)N ，因为质量指标值X 近似服从正态分布2(69,11)N ，所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+== 10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16................................5分(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：3010103202(0)19C C P C η===，21101032015(1)38C C P C η===，12101032015(2)38C C P C η===，0310103202(3)19C C P C η===，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分()ii 设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由(1)知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以Y ∽(100,0.16)B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-,令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4x ∈，()0f x '>，()f x 递增79;(,24)4x ∈，()0f x '<，()f x 递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大................................17分19.（本小题满分17分）(1)解：当0=a 时，()ln =-f x x x ，且知11()1-'=-=xf x x x，在(0,1)上，()0'>f x >，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0'<f x ，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞..............................4分(2)证明：因为1a =，所以1()ln 2x f x e x x -=+-，且知11()2x f x e x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x ' 在(0,)+∞上恒成立，设11()2x g x ex -=+-，0x >，则121()x g x e x-'=-，注意1x y e -=，21y x=-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g = ，即()0f x ' ，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;...............................10分(3)由11()1x f x ae a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()1x h x ae a x -=+--，有121()x h x ae x-'=-，①当0a 时，11()0x xh x aex -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1x y ae -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞..........................17分。
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高三数学试题第I卷(选择题共40 分)符合题目要求的一项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出1•若集合A {x|0 x 3}，B {x| 1 x 2}，则AU B(A){x| 1 x 3} (C) {x|0 x 2} (B){x| 1 x 0} (D){x|2 x 3}2 .在复平面内，复数旦对应的点的坐标为1 i(A) (1,1) ( B) ( 1,1) (C) ( 1, 1) (D) (1, 1)3 .下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是(A) y x 1 (B) y (x 1)2(C) y sinx 1(D) y x"4 •执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)30(D)2705 .若log 2 a log^b 2，则有(A) a 2b (B) b 2a (C) a 4b6 •一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去.的几何体是(A)三棱锥(B)三棱柱(C)四棱锥7.函数f (x) sin(xn )的图象记为曲线c.则“ f(o) f( n”是“曲线C关于直线x -对称”的xx210.已知双曲线—a2每1的一个焦点是F(2,0)，其渐近线方程为b3x , 该双曲线的方程是11.向量a,b 在正方形网格中的位置如图所示.如果小正方形网格的边长为1，那么a b _____ .12•在△ ABC 中，a 3, C , △ ABC 的面积为①空，则b ______________ ; c3 413.已知点M(x,y)的坐标满足条件x 1 < 0,x y 1> 0,设O 为原点，则 OM 的最小值是 x y 1 > 0.14.已知函数f(x)2x x, 2 w x w c,1若c 0 ,贝y f(x)的值域是, c x w 3. ；若 f(x)的值域是［丄,2］，则实数c 的取值范围是4第H 卷(非选择题共110 分)(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件&已知 A , B 是函数y2x的图象上的相异两点 .若点则点 A , B 的横坐标之和的取值范围是(A ) ( ,1)(B ) ( , 2) (C )1y 2的距离相等，(D) ( , 4)、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30 分.9 .若函数f(x) x(x b)是偶函数，则实数b(C )充分必要条件 A , B 到直线 (,3)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知函数f (x) 2sin2 x cos(2x n).(I)求f (x)的最小正周期；(n)求证：当x [0,n]时，f (x) > 丄.2 216. (本小题满分13分)1已知数列｛a n｝是公比为-的等比数列，且a2 6是印和a3的等差中项.3(I)求｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛a n｝的前n项之积为T n，求T n的最大值.17. (本小题满分13分)某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A, B两类(评定标准见表1).根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A的学生中有一半是女生.等级为A和A的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B类学生.整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图.表1 图2(I)已知该市高中学生共 20万人，试估计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；(n)某5人得分分别为45,50,55,75,85 .从这5人中随机选取2人组成甲组，另外 3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；(川)在这10000名学生中，男生占总数的比例为 51% , B 类女生占女生总数的比例为 k i , B类男生占男生总数的比例为 k 2 .判断k 1与k 2的大小.(只需写出结论)18. (本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，AB 平面AA 1C 1C , AA 1 AC .过AA 1的平面交B 1C 1 于点E ，交BC 于点F .(I)求证：AC 平面ABC 1 ; (n)求证：AA//EF ;A 20 <x 5019. (本小题满分14分)(I)求椭圆C 的方程及离心率；(n)设点Q 在椭圆C 上.试问直线x y 4 0上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.20. (本小题满分13分)已知函数f(x) x 2lnx 2x .(I)求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (n)求证：存在唯一的x o (1,2)，使得曲线y f(x)在点(x o ,f(x o ))处的切线的斜率为f(2) f(1)；(川)比较f(1.01)与2.01的大小，并加以证明.(川)记四棱锥BAA 1 EF 的体积为V ,三棱柱 ABC的值.2 2已知椭圆C:务告1(aa 2b 2b 0)过 A(2, 0) , B(0,1)两点.ABC 的体积为V.若v i '求北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准2018.1一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. B二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.29. 010. x2- 111. 43.2 1 112. 1 ; .1313. 14. [ —, ) ；[―,1]2 4 2注：第12, 14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15. (本小题满分13分)解：(I)因为f(x) 2sin2x cos(2x n)3n n1 cos2x (cos2x cos sin 2x sin ) ［ 4 分］3 33sin2x -cos2x 1 ［ 5 分］2 2 3sin(2 x16. (本小题满分13分)解：(I)因为a 2+ 6是a 1和a 3的等差中项，所以 2(a 2 6) a 1 a 3. ［ 2 分］1因为数列｛a n ｝是公比为1的等比数列，3所以2(旦6) a 1去,［4分］3 9解得a 1 27 . ［ 6分］所以 an d q n1 (3)n 4. ［ 8分］(n)令 a n > 1，即(^广4》1，得 n < 4 , ［10 分］3故正项数列｛a n ｝的前3项大于1,第4项等于1，以后各项均小于1. ［11分］ 所以当n 3，或n 4时，T n 取得最大值，［12分］ T n 的最大值为T 3 T 4耳a 2 a 3 729 . ［13分］17. (本小题满分13分) 解：(I)依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.02 0.04) 10 60% , [ 2分]所以A 类学生所占比例为 40% . [ 3分]所以 f(x)的最小正周期T2n~2 (n)因为2x所以 sin(2x¥，［12分］所以 f(x) >2.［13分］因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人.[4分](H)由表1得，在5人(记为a,b, c, d,e)中，B类学生有2人(不妨设为b, d ).将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种.[6分]依次为：(ab,cde),(ac,bde),( ad,bce),(ae,bcd),(bc, ade),(bd,ace),(be, acd),( cd,abe), (ce,abd),(de,abc) . [ 8 分]所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为6 3. [10分]10 5(川)k1 k2. [ 13 分]18. (本小题满分14分)解：(I)因为AB 平面AA1C1C，所以AC AB . [2分]在三棱柱ABC A1B1C1中，因为AA1 AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以AC AC1 . [3分]所以AC 平面ABC1. [5分](H)在三棱柱ABC A1B1C1中，因为A1A//B1B , A1A 平面BB1C1C , [6 分]所以A,A〃平面BB1C1C . [8分]因为平面AA1EF I平面BB1C1C EF ,所以AA//EF . [10 分](川)记三棱锥B1 ABF的体积为V，三棱柱ABF 厲B1E的体积为V3.因为三棱锥B1 ABF与三棱柱ABF A1B1E同底等高，所以业1, [11分]V3 3所以百1冷2V3 V3 3V 3 13 1 . 所以一 .[12分]V 6 2 4ABE 与三棱柱 ABC A i B 1C 1等高,所以△ ABF 与厶ABC 的面积之比为19. （本小题满分14分）解：（I ）由题意得，a 2, b 1 . ［2分］2 所以椭圆C 的方程为—y 21 . ［3分］4设椭圆C 的半焦距为c ，则c . —b 2 3 , ［ 4分］ 所以椭圆C 的离心率e -乜.［5分］a 2(H)由已知，设 P(t,4 t) , Q(x 0,y 0)18 2此时P （—,），或P （2,2） •经检验，符合四边形 PAQB 是平行四边形,5 518 2所以存在P （7，），或P （2,2）满足题意.［14分］5 520. （本小题满分13分）解：(I)函数f(x) x 2lnx 2x 的定义域是(0,),导函数为 f (x) 2xln x x 2．［ 1 分］若PAQB 是平行匹 【边形, 则 uua PA uu u PB所以（2t,t 4) (t,t 3) (X 0 t, 整理得 X 02 t,y ot 3 .[10分］将上式代弋入 2 X 4y 024 ,得(2t)2 4(t 3)2 4 , [11 分]整理得 5t 2 28t 36 0 ,解得t 18 或t2 . [13 分］5uurPQ , [ 8 分]y 0 4 t), 因为V 1, 因为三棱柱ABF所以BFBC所以 f (1) 1，又f (1) 2 ，所以曲线y f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y x 1 . ［ 3分］(n)由已知f(2) f (1) 41 n 2 2 . ［ 4 分］所以只需证明方程2xln x x 2 4ln2 2在区间(1,2)有唯一解．即方程2xlnx x 4ln2 0在区间(1,2)有唯一解．［ 5分］设函数g(x) 2xln x x 4ln 2，［ 6 分］则g (x) 2ln x 3 ．当x (1,2)时，g (x) 0，故g(x)在区间(1,2)单调递增.［7分］又g(1) 1 4ln 2 0，g(2) 2 0，所以存在唯一的x0 (1,2)，使得g(x0) 0．［ 8分］综上，存在唯一的x o (1,2)，使得曲线y f(x)在点(x o,f(x。