湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案
湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考试卷(二)数学试题+答案解析
长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：____________本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}|21A x x =-≤，(){}|ln 321B x x =-<，则A B =I （）A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3,32⎛⎤⎥⎝⎦2.若复数z 满足()21811z i i -=+，则4z i -=（）A .13B .15C .13D .153.我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示.已知a 为良马第n 天行驶的路程，b 为驽马第n 天行驶的路程，S 为良马、驽马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为（）A .51252250,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .51252250,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .(]1950,2250D .[]1950,22504.已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，()31f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()6f =（）A .-2B .-1C .0D .25.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为（）A .63B .-21C .-63D .216.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件7.若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（）A .5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .(),1-∞D .()1,+∞8.将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是（）A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D .函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9.已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（）A .5B .4C .5D .210.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，当()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]0,8上的解的个数是（）A .3B .5C .7D .911.已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若非零向量a r 与e r 的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r，则a b -r r 的最小值是（）A .31-B .31+C .2D .23-12.已知函数()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()xg x e =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()()0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为（）A .()11ln 22-B .1ln 22+C .1ln 2-D .()11ln 22+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a r ，b r 的夹角为120o，且2a =r ，227a b -=r r ，则b =r ______.14.正项等比数列{}n a 中，存在两项()*,,m n a a m n N ∈使得2116m na aa =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为______.15.在研究函数()()120xf x x =≠的单调区间时，有如下解法：设()()ln 2ln g x f x x==，()g x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数.类比上述作法，研究函数()0xy xx =>的单调区间，其单调增区间为______.16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()1sin cos sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为233+，则a =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量()sin ,cos a x x =r ，()sin ,sin b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r.（1）求()f x 的对称轴方程；（2）若对任意实数,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.18.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.（1）求边AC 的长；（2）若APB ∆的面积是23，求sin BAP ∠的值.19.已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-.（1）求()f x 的解析式.（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+，*n N ∈.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12111n nS a a a =++⋅⋅⋅+，若100n S <，求最大正整数n ；（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由.21.已知函数()()ln af x x x a R x=++∈.（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()()()21g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A 、B 两点，点P 的极坐标为22,4π⎛⎫-⎪⎝⎭，求11PA PB+的值.长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学参考答案一、选择题1-5：BCCDC6-10：CCBBD11-12：AD1.B 【解析】∵{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤，(){}33|ln 32122eB x x x -⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，∴33|11,22A B x x ⎧⎫⎡⎫=≤<=⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭I .故选B .3.C 【解析】由题意，得良马n 天的行程为()1311032n n n -+，驽马n 天的行程为()1974n n n --，所以良马、驽马n 天的总路程为()2520014S n n n =+-，当8n =时，1950S =；当9n =时，2250S =.因为输出9n =，所以19502250m <≤.故选C .4.D 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以()()61f f =，又由题知()f x 在区间[]1,1-上是奇函数，所以()()()311112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D .5.C 【解析】∵261116203a a a a a ---+=，∴()()220616113a a a a a +-+-=，∴113a =-，∴21112163S a ==-，故选C .6.C 【解析】由题意得，()2221212100n n n n a a a q q ---+<⇔+<()()()2110,1n qq q -⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C .7.C【解析】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即211122x a x x x +⎛⎫<=+ ⎪⎝⎭恒成立，∵11112x x x x⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，∴1a <，即实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C .8.B【解析】将函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()2cos 2sin 236y g x x x ππ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确；当12x π=时，1sin 062y π=-=-≠，故C 错误；当3x π=时，23sin132y π=-=-≠±，故D 错误，故选B .10.D【解析】由()()22f x f x -=+得，()()4f x f x =+，∵()f x 的周期为4，∵()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，()00f =，当20x -<<时，()()2ln 1f x x x =-++，∴当22x -<<时，()()()22ln 1,02ln 1,20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-++-<≤⎪⎩，当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±，又()()()222f f f -==-，故()20f =，则()60f =.∴当[]0,8x ∈时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8，2，6共9个，故选D .11.A 【解析】设()1,0e =r ，(),b x y =r ，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=r r r ()2221x y ⇒-+=.如图所示，a OA =r uu r ，b OB =r uu u r （其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=），∴min131a b CD -=-=-r r （其中CD OA ⊥）.12.D【解析】∵()2,0,0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，∴()0f x >恒成立，∴()()f xg f x em ==⎡⎤⎣⎦，∴()ln f x m =.作函数()f x ，ln y m =的图象如下，结合图象可知，存在实数()ln 01t m t =<≤，使得122x x e t ==，故211ln 2x x t t -=-，令()1ln 2h t t t =-，则()1'12h t t=-，故()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，∴()111ln 2222h t h ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭，故选D.二、填空题13.214.615.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.313.2【解析】∵227a b -=r r，∴()2228a b -=r r ，即224428a a b b -⋅+=r r r r ，∴2442cos120428b b -⨯⨯⨯+=or r ，解得2b =r ，故答案为2.14.6【解析】先由已知求出公比2q =，再得出6m n +=，于是()125112566m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，所以所求最小值为6.15.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设()()ln ln g x f x x x ==，则()'ln 1g x x =+，令()'0g x >，则1x e>，即()g x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，()0xy xx =>的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.3【解析】ABC ∆中，()1sin cos sin 2B B C C =+，∴()1cos 2b B C c =+⋅，即cos 02bA c=-<，∴A 为钝角，∴cos cos 0A C ≠；由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2cos sin A C =-，可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，∴()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=--22tan 223113tan 3233tan tan CCC C==≤=++，当且仅当3tan 3C =时取等号，∴B 取得最大值6π时，6c =，6C B π==，∴23A π=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：3a b =.∵三角形的周长为3233a b c b b b ++=++=+.解得：233332b +==+，∴33a b ==.故答案为3.三、解答题17.【解析】（1）()2sin sin cos f x a b x x x =⋅=+⋅r r 1cos 2121sin 2sin 222242x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈.∴()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈.（2）∵,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5212412x πππ≤-≤，又∵sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴5sin sin 2sin 12412x πππ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又562sinsin 12644πππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值是()max 2621332424f x ++=⨯+=，∵()2f x m -<恒成立，∴()max 2m f x >-，即354m ->，∴实数m 的取值范围是35,4⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭.18.【解析】（1）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅∠，则：()()22144242x x x x =+---⋅，整理得：2312120x x -+=，解得：2x =，故：2AC =.（2）由于2AC =，4AP AC +=，所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形.由于APB ∆的面积是23，则1sin 232AP BP BPA ⋅⋅∠=，解得4BP =.在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-⋅⋅⋅∠，解得：27AB =，在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：427sin 32BAP =∠，解得：21sin 7BAP ∠=.19.【解析】（1）当0x <时，0x ->，∴()23x xf x ---=-，又函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()23xx f x -=+.又()00f =.综上所述()2,030,02,03xx x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩.（2）()f x 为R 上的单调函数，且()()51003f f -=>=，∴函数()f x 在R 上单调递减.∵()()22220f t t f t k -+-<，∴()()2222f t t f t k -<--，∵函数()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t -<-.又()f x 在R 上单调递减，∴2222t t k t ->-对任意t R ∈恒成立，∴2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴4120k ∆=+<，解得13k <-.∴实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】（1）因为112133n n a a +=+，所以1111133n n a a +-=-.又因为1110a -≠，所以()*110n n N a -≠∈.所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列.（2）由（1）可得1121133n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，所以11213nn a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.2121111112333n n n S n a a a ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111133211313n n n n +-=+⨯=+--，若100n S <，则111003n n +-<，所以最大正整数n 的值为99.（3）假设存在，则2m n s +=，()()()2111m n s a a a --=-，因为332n n n a =+，所以2333111323232n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3323m n s +=⨯.因为332323m n m n s ++≥⨯=⨯，当且仅当m n =时等号成立，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在.21.【解析】（1）由题可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22'x x a f x x +-=，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，所以()'0f x ≥在区间[)1,+∞上恒成立，等价于()2min a x x ≤+，即2a ≤，所以a 的取值范围是(],2-∞.（2）由题得，()2ln g x x x ax a x =-+-，则()'ln 2g x x ax =-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ，所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，欲证2312x x e >等价于证()2312ln ln 3x x e ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，所以12322ax ax +>，因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+.由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，可得()2211ln 2x a x x x =-，则()2121ln 2x x a x x =-，由此可知，原不等式等价于212112ln 32x x x x x x >-+，即()2211221121313ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++.设21x t x =，则1t >，则上式等价于()()31ln 112t t t t ->>+.令()()()31ln 112t h t t t t -=->+，则()()()()2141'12t t h t t t --=+，因为1t >，所以()'0h t >，所以()h t 在区间()1,+∞上单调递增，所以当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t ->+，所以原不等式成立，即2312x x e ⋅>.22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为：2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入2y x =得29801500t t -+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设1t ，2t 是A 、B 对应的参数，则12809t t +=，12503t t =.∴121211815PA PB t t PA PB PA PB t t +++===⋅.23.【解析】（1）当2a =时，()21f x x x =-+-，()2f x ≤，即212x x -+-≤，故1212x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩或12212x x x <<⎧⎨-+-≤⎩或2212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得：112x ≤≤或12x <<或522x ≤≤，故不等式的解集是15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵()1f x x ≤+的解集包含[]1,2，∴当[]1,2x ∈时，不等式()1f x x ≤+恒成立，即11x a x x -+-≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴11x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∵22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴()()max min 22x a x -≤≤+，∴03a ≤≤，∴a 的取值范围是[]0,3.。
2025届长郡中学高三上学期第一次调研考试数学试题+答案
长郡中学2025届高三第一次调研考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A xx x Bxx x =−==−−<∣∣，则A B ∩=（ ）A.{}0,1B.{}1,0−C.{}0,1,2D.{}1,0,1−2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（ ） A.m ∥,n n ∥α B.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ∩=∥,m αα⊄3.20252x 的展开式中的常数项是（ ）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（ ）（注：π 3.14≈）A.1B.2C.3D.45.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <−′（()f x ′为()f x 的导函数），且()10f =，则（ ）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >6.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（ ）7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ=+><，对于任意的ππ,1212x f x f x ∈+=−R ，()π02f x f x+−=都恒成立，且函数()f x 在π,010 − 上单调递增，则ω的值为（ ）A.3B.9C.3或8.如图，已知长方体ABCD A B C D ′−′′′中，2,AB BC AA O ==′=为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D ′−′′′绕直线OD ′进行旋转.若平面α满足直线OD ′与α所成的角为53 ，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：43sin53,cos5355≈≈）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73,B 组性能得分为：73,70,96,79,94,88，则（ ）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD 12,e e 的值可以是（ ）A.12e e =121,2e e ==C.12e e =D.12e e = 11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=−++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（ ）A.0.30.50.5log 0.3,0.4,log 0.4a b c =−== B.0.30.50.50.4,log 0.4,log 0.3a b c ===− C.0.10.1100.09,,ln e 9abc ==D.0.10.110,ln ,0.09e 9ab c == 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz−=+__________. 13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列{}n a 的通项公式n a =__________. ①m na a m n−−是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③{}n a 的前n 项和存在最小值.14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ×的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n −−.如图，现有34×的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为,N O 为坐标原点，OMN 的重心为G . （1）求点G 的轨迹方程；（2）记第（1）问中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A B ､两点，点()0,1Q ，若点)H 恰好是ABQ 的垂心，求直线l 的方程. 16.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45 ，母线长为E 是 BD的中点.（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于,A C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分）素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操､增强学生的表现力和自信心､提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的. （1）声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为(01)p p <<，设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()f p ，求()f p 的极大值点0p .（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望. 18.（本小题满分17分）已知数列{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且1185482,8,a b a a a b ====. （1）求{}{},n n a b 的通项公式；（2）数列1ππ12242(1)n n b −+−⋅的前n 项和为n S ，集合*422,n n n S b A nt n n a ++ ⋅ =≥∈ ⋅N 共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，()212log 1,2114nnn a c c n b ==≥−，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅<19.（本小题满分17分）设有n 维向量1122,n n a b a b ab a b=，称1122,n n a b a b a b a b =+++ 为向量a 和b 的内积， 当,0a b = ，称向量a 和b 正交.设n S 为全体由1−和1构成的n 元数组对应的向量的集合. （1）若1234a=，写出一个向量b ，使得,0a b =； （2）令[]{},,nBxy x y S =∈∣.若m B ∈，证明：m n +为偶数； （3）若()4,4n f =是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b =，猜测()4f 的值，并给出一个实例.长郡中学2025届高三第一次调研考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案ACDCDDAAADADBD6.D 【解析】由题得C 的焦点为,02p F，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =−，与C 的方程22y px =（联立得2220y py p −−=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F=.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l xy ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=−××=−<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线､直线:3230l x y ++=以及 过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ， 所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥， 等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点， 所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F到直线:3230l x y ++=. 故选：D.7.A 【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010−上单调递增， 所以π0102T −−≤，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤. 由ππ1212f x f x+=−知()f x 的图象关于直线π12x =对称， 则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①. 由()π02f x f x +−= 知()f x 的图象关于点π,04对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②. ②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅−−∈Z ，令21kk k =−，则63,k k ω=−∈Z ， 结合010ω<≤可得3ω=或9.当3ω=时，代入（1）得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=， 此时()π2sin 34f x x=+，因为πππ32044x −<+<， 故()f x 在π,010−上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入（1）得11π,k k ϕ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=−， 此时()π2sin 94f x x=−，因为23πππ92044x −<−<−， 故()f x 在π,010−上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去. 综上，ω的值为3. 故选：A.8.A 【解析】在长方体ABCD A B C D ′−′′′中，AB ∥C D ′′， 则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ′′与l 的夹角.长方体ABCD A B C D ′−′′′中，2,AB BC AA O ==′=为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==′′，又2C D ′′=， 所以OC D ′′ 是等边三角形，故直线OD ′与C D ′′的夹角为60 .则C D ′′绕直线OD ′旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=′′ .因为直线OD ′与α所成的角为53,l α⊥ ，所以直线OD ′与l 的夹角为37 . 在平面C D O ′′中，作,D E D F ′′，使得37OD EOD F ∠∠′==′ .结合图形可知，当l 与直线D E ′平行时，C D ′′与l 的夹角最小，为603723C D E ∠−′′== ， 易知603797C D F ∠+′′== .设直线C D ′′与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ≤≤ ，故当23ϕ= 时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37=−=−sin60sin53cos60cos53=−≈故直线AB 与l . 故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.AD 10.AD11.BD 【解析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c −++=−++，即a b b c c a −−−=−，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a −−−=−，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c −−−=−−，不符合题意， 若,a b c b >≤，可得a b b c a c −−−=−，不符合题意， 若,a b c b >>，可得2a b b c c a b −−−=+−，不符合题意， 综上所述0,0a b b c −≤−≥，可得,b a b c ≥≥， 故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可.对于A,B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103−=<=，而0.3000.40.41<<=， 0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4−<<.（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数）， 对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确.对于C ，D 0.10.10.10.090.9e (10.1)e ,0.1e ==− （将0.9转化为10.1−，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1xf x x x =−∈， 则()e xf x x ′=−，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x ′≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <， 即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <. （若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e与10ln 9的大小即可） ()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e −−=−=+=+−， 构造函数()()[)ln 1,0,1e x xh x x x =+−∈，则()()211(1)e e 1e 1x x x x x h x x x −−−=−=−−′， 因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx −>，令()2(1)e xx x ω=−−，则()()21e xx x ω=−−−′， 当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω′<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x ′≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <， 即()0.10.1ln 10.10e +−<，所以0.10.110ln e 9<. 综上，0.10.1100.09lne 9<<.对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确. （提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断， 即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910− −=×−=−×+， 构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =−+∈， 则()()()221112112x x x x g x x x x x′+−+−++=−+==，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x ′≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <， 即100.09ln09−<，所以100.09ln 9<） 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.13i 55− 【解析】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+， 故()()()()1i 2i 21i 13i 13i 12i 2i 2i 555z z −−−−−====−+++−， 故答案为：13i 55− 13.4n −（答案不唯一）14.35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.【解析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y = =，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=， 又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠. （2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =，故设直线l 的方程为()1y m m +≠， 与2214x y +=联立消去y 得：2213440x m ++−=， 由2Δ208160m =−>得213m <，设()()1122,,,A x y B xy ，则212124413m x x x x −+=， 由AH BQ⊥2211y x −=−，所以()211210x x m m −+++−=，所以)()21212410x x m x x m m +−++−=， 所以()()()22444241130m m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =−.16.【解析】（1）E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥. 要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面,BDE ∴平面BEG ⊥平面BDE如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于2,G G ，则线段12G G 即点G 的轨迹.（2）易知可以2O 为坐标原点，221,O C O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz −，45,2AC BD = ，21122,1,1O A O B O O ∴===，取K 的位置如图所示，连接2O K ，22,60CK AC CO K ∠=∴= ，即230xO K ∠= ，则)()()()(),0,2,0,0,1,1,0,2,0,0,1,1K A B C D −−，则)))),2,1,1,0,1AK BK CK DK −−− . 设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =， 则00n AK n BK ⋅= ⋅=，即111113020y y z +=+−=，令1x =)111,1,1,1z y n ==−∴=− . 设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =， 则00m CK m DK ⋅= ⋅=，即222200y z −=−=，令2x =，则)223,3,z y m ==∴= . 设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos =sin θ∴17.【解析】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率()332124C (1)f p p p =⋅−， 则()()322132032202424C 3(1)21(1)C 3()8,01jf p p p p p p p p p =−−−=⋅⋅′−−<< ， 令()0f p ′=，得18p =， 所以当108p <<时，()()0,f p f p ′>单调递增； 当118p <<时，()()0,f p f p ′<单调递减， 故()f p 的极大值点018p =. （2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0,1,2,3，()()3213343377C C C 1120,1C 35C 35P P ζζ======， ()()1233443377C C C 1842,3C 35C 35P P ζζ======， 则随机变量ζ的分布列为()112184120123353535357E ζ=×+×+×+×=. 18.【解析】（1）设数列{}n a 公比的为q ，数列{}n b 公差的为d 则由318518,82,2n n n a a q q a a q −==∴=∴==，4816a b ==，即()827162,2122n b d d b n n =+=∴=∴=+−=. （2）设1ππ12242(1)n n n d b −+ =−⋅则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n −−−−−−+++=+−−=− ()()412344342414n n n n n S d d d d d d d d −−−∴=++++++++()12848802n n −+= ()6416n n +()()()()4222641622328222n n n n n n n n n S b n a ++++⋅+++⋅∴==⋅ 令()()()32822nn n f n ++=， 则()()()()()()113240332824122n n n n n n f n f n +++++++−=− ()22144113288822n n n n n n +−−+−−+=， 可得()()()()()1234f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大.且()()()147160,5,6254f f f ===， 147254t ∴<≤，即t 的取值范围为14725,4. （3）由()()()121,2111n n n c c n n n n ===≥−+−，则当2n ≥时， ()()()122311324113451n n n c c c n n n n =××××=⋅⋅−+×××××+ ()()()21111221!1!!1!n n n n n n +−==− +++当1n =时，11c =也满足上式()()*12112!1!n c c c n n n ∴=−∈ + N 112123123n c c c c c c c c c c ∴+⋅+⋅⋅++⋅⋅()1111221222!2!3!!1!n n =−+−++−=−< + 故原不等式成立.19.【解析】（1）由定义，只需满足12342340b b b b +++=，不妨取1110b= −（答案不唯一）. （2）对于,1,2,,m B i n ∈=， 存在{}{}1122,1,1,,1,1,ii n n x y x y x x y y x y ∈−=∈− ……使得[],x y m = . 当i i x y =时，1i i x y =；当i i x y ≠时，1i i x y =−.令11,,0,ni i i i i ii x y k x y λλ== == ≠ ∑. 所以所以22m n k n n k +−+为偶数.（3）当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =.不妨取123411111111,,,11111111a a a a −− −− ==== −−则有[][][][][][]121314232434,0,,0,,0,,0,,0,,0a a a a a a a a a a a a ======. 若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a − = − 或1111 − − 或1111 − −. 当51111a − = −时，[]45,4a a =− ； 当51111a − = −时，[]25,4a a =− ； 当51111a = − −时，[]35,4a a =− ， 故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三二模数学试题
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
( ) 22．已知函数 f ( x) = (cos x -1) e-x ， g ( x) = ax2 + 1- ex x (a Î R ) ．
(1)当 x Î(0,π ) 时，求函数 f ( x) 的最小值；
(2)当
x Î éêë-
π 2
=
1
+ 3i 2
=
1 2
+
3 2
i
，
故
z
=
1 2
-
3 2
i
，虚部为
-
3 2
，
故选：C． 3．A 【分析】列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率 计算公式运算即可.
【详解】如图，从 O, A, B, C, D 5 个点中任取 3 个有 {O, A, B},{O, A,C},{O, A, D},{O, B,C} {O, B, D},{O, C, D},{A, B,C},{A, B, D}
C
相交于点
H
æ çè
-
2 3
,
4 3
ö ÷ø
，与
y
轴相交于点
S
，过点
S
的另一
条直线 l 与 C 相交于 M , N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的 3 倍，求直线 l 的方 2
程． 21．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某
校成立了 A, B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的 AI 软件用于识别音乐的类别.
【详解】
取 BP 的中点为 O ，连接 OA,OC ， 因为 PA ^ 平面 ABC ，而 AB Ì 平面 ABC ，故 PA ^ AB ， 故OP = OA = OB . 同理 PA ^ BC ，而 CA ^ BC ， CA I PA = A,CA, PA Ì 平面 PAC ， 故 BC ^ 平面 PAC ，而 PC Ì 平面 PAC ，故 BC ^ PC ， 故 OP = OC = OB ，
长郡中学高三数学模拟试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = -2，则第10项an的值为（）A. -13B. -17C. -19D. -213. 已知复数z = 2 + 3i，若z在复平面上对应的点为P，则|OP|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 114. 下列函数中，在定义域内为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^35. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的正弦值分别为sinA = 1/2，sinB = 3/5，sinC = 4/5，则cosA的值为（）B. 3/5C. 4/5D. 5/56. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 < 08. 若等比数列{an}的公比q > 1，首项a1 = 1，则第n项an的值为（）A. 2n - 1B. 2nC. 2n + 1D. 2n/29. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 210. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 = b^2，则a = bB. a^2 = b^2，则a = ±bC. a^2 = b^2，则a = ±cD. a^2 = b^2，则a = ±c，b = ±c二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差d = 2，且a1 + a3 + a5 = 24，则第10项an的值为______。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考 化学试卷(含答案)
炎德·英才大联考长郡中学2025届高三月考试卷（二）化学得分：__________本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 O~16 Na~23 Al~27 S~32一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在巴黎奥运会舞台上，科技与体育双向奔赴，释放更加迷人的魅力。
下列说法不正确的是 A.奥运火炬燃料中的丙烷、丁烷属于烃B.生产橡胶弹性地板的原料天然橡胶是异戊二烯的聚合物C.中国队领奖服采用的环保再生纤维材料为有机高分子材料D.比赛乒乓球台可变灯光系统的控制芯片的主要成分为2SiO 2.下列化学用语表示正确的是 A.NH 4Cl 的电子式：B.铜的基态原子的简化电子排布式：92[Ar]3d 4sC.23SO -的VSEPR 模型：D.HCl 中σ键的电子云轮廓图：3.实验室在进行“电解CuCl 2溶液”实验时，与该实验无关．．的安全注意事项是4.下列有关物质结构与性质的说法错误的是A.酸性强弱：氯乙酸>乙酸>丙酸B.邻羟甲基苯甲醛的沸点低于对羟甲基苯甲醛C.O 3是含有极性键的强极性分子，它在四氯化碳中的溶解度低于在水中的溶解度D.由4R N +与6PF -。
构成的离子液体常温下呈液态，与其离子的体积较大有关5.原儿茶酸（Z ）具有抗菌、抗氧化作用，常用于治疗烧伤、小儿肺炎等疾病，可采用如图所示路线合成。
下列说法正确的是A.Y 存在二元芳香酸的同分异构体B.可用酸性KMnO 4溶液鉴别X 和ZC.X 分子中所有原子可能共平面D.Z 与足量的溴水反应消耗23molBr 6.下列过程中，对应反应方程式正确的是A.用氢氟酸刻蚀玻璃：2342SiO 4F 6H SiF 3H O --+++=↑+B.AgCl 溶于浓氨水：()32322Ag 2NH H O Ag NH 2H O ++⎡⎤+⋅=+⎣⎦C.酸性K 2Cr 2O 7溶液氧化2322222227H O :Cr O 8H 5H O 9H O 2Cr 4O -++++=++↑D.四氯化钛水解：4222TiCl (2)H O TiO H O 4HClx x ++⋅↓+ △7.化学是一门以实验为基础的学科。
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考 数学
长郡中学2023届高三月考试卷数 学本试卷共8页。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合||1|1,{} ==--∈A y y x x R ，{}3|log 1,=≥B x x ，则A∩=RBA ．{|1}≥-x xB ．{}|3<x xC ．}{|13-≤≤x xD ．{}|13-≤<x x2.若复数z 满足||2,3-=⋅=z z z z ，则2z 的实部为A -2B ．-1C ．1D ． 2★3.函数()()241--=-x x x e e f x x 的部分图象大致是★4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则⋅=EM ENA ． 12-B ．32-C ． -2D ．-3★5.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升。
某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程，甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 A ． A 与B 为对立事件 B ．A 与C 互斥 C ． B 与C 相互独立D ． A 与C 相互独立★6.已知三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，底面△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，且23，π=∠=BC BCA ，三棱锥P-ABC的体积为3，过点A 作⊥AM PB 于M ，过M 作MN ⊥PC 于N ，则三棱锥P-AMN 外接球的体积为A ．323π B．3C．3D ．43π 7.若sin 2sin ,sin()tan()1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=A ．2B ．32C ． 1D ．128.已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R 。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题
又 ， ， … ，累加可得 ，故 正确，故B正确；
故选：ABD
12.已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
有图可得出 ，由 可得 计算即可.
【详解】由题图可知， ，由 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
14.已知等边三角形 的边长为6，点P满足 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示 可求得P点坐标求得答案.
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图，边长为2 正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
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湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷
(二)数学试题含答案
湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案
第一部分：选择题（共计120分）
请将答案填写在答题卡上。
1. 已知函数$f(x) = 2^x + 4^{-x}$，则$f(1)+f(-1)$的值为（）。
A. 3
B. 3/2
C. 1
D. 1/2
2. 已知集合$A=\{x | x\in\mathbb{R}, x^2-4x<0\}$，则$A$的解集为（）。
A. $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$
B. $(0, 4)$
C. $[0, 4]$
D. $(0, +\infty)$
3. 设等差数列$\{a_n\}$的公差为2，$a_1=3$，若$a_m+a_n=16$，
其中$m,n$为正整数，且满足$m\neq n$，则$m+n$的值为（）。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
4. 若$f(x) = \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x+1)-f(x)$的值为（）。
A. -1
B. 1
C. $\frac{1}{(x+1)^2}$
D. $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$
5. 已知正方形$ABCD$的边长为1，点$E$为边$AB$上一点，$F$为边$BC$上一点，且满足$\angle EFD=90^\circ$，则$\triangle EFD$的面积为（）。
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{3}$
第二部分：填空题（共计60分）
请将答案填写在答题卡上。
1. 若$a, b$为实数，且满足$a^2+b^2=5$，则$a^3+b^3$的值为
__________。
2. 已知集合$A = \{x | x\in\mathbb{R}, x^2-4x\leq 0\}$，则集合$A$的元素个数为__________。
3. 设$n$为正整数，函数$f(x) = x^n-2x^{n-1}+x^{n-2}+1$，则
$f(2)$的值为__________。
4. 已知函数$f(x) = ax^2+bx+c$的图像开口向上，且经过点$(2,1)$和$(3,4)$，则$a+b+c$的值为__________。
5. 在平面直角坐标系中，点$A(2,1)$和点$B(4,3)$确定的线段
$AB$的中点坐标为__________。
第三部分：解答题（共计20分）
1. （6分）已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n+1$，求$\sum_{k=1}^{10}(a_k-a_{k-1})$的值。
2. （7分）已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2+x+1}$，求
$f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(\frac{1}{4}\right)+ ...+f\left(\frac{1}{100}\right)$的值。
3. （7分）已知函数$y=f(x)$的图像经过点$A(1,2)$，且$f'(x) =
3x^2-4x+1$，求曲线$y=f(x)$在点$A$处的切线方程。
参考答案：
第一部分：选择题
1. C
2. A
3. B
4. A
5. C
第二部分：填空题
1. 24
2. 5
3. 7
4. 9
5. (3,2)
第三部分：解答题
1. 55
2. 962/49
3. $y = x+1$
本试卷共计200分，其中选择题共计120分，填空题共计60分，解答题共计20分。
感谢参与本次考试，祝各位同学考试顺利！。