2021版江苏高考数学复习讲义：集合含答案

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第01讲集合(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =．（2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( ) 【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个，故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合. 故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( ) 【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个. 故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M xx x =+=∣，则1M -∈.( ) 【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣ 所以1M -∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( ) 【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥. 故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（） A ．{}1,2,2- B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-，当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意；当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R，()RAB .【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥．故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() UA B ⋂D ．(U A B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ，故阴影部分为() UB A ⋂，故选：A.高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈，则1x =或21x =，解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去），所以1x =-.故答案为：1- 3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6 个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】B 因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（） A ．16 B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =< 故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-=，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__. 【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件．故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；【答案】7 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞ D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤. 故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣；（2）52m ≤. （1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}RA B x x x ⋂=≤≥或∣（2）因为B C C =，所以C B ⊆. 当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤；当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤；（2）{|2a a ≤或}4a >. （1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤.（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆，若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题. 重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<，故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|22}x x -<< D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()AB =R（）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞【答案】C解：由()214x -≥，即310x x ，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=；故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（） A ．(]0,2 B ．()2,e C ．()0,2 D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B =，故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ；当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，，满足A B A =.选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， {}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=. 故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则UA__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z{}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴= 故{1,6,7,8,9}UA =-故答案为：{1,6,7,8,9}- 集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．()U AB ⋂ B ．()UB AC ．()UA BD ．()U A B【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂. 故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB xx x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}xx <<∣ 【答案】C解：由题意得：{10}{1}A x y xx x x ⎧==->=<⎨⎩∣∣∣ {}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()MP S B ．()MP S C ．()UM P S ⋂⋂D ．()UM P S ⋂⋃【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是()UM P S ⋂⋂.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则UA 表示除草合格的学生，则UB 表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，+=人.所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=，又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U1,0,1,3A B -=-.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（） A ．[0,1](2,)+∞ B ．[0,1)(2,)⋃+∞ C ．[0,1] D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤，解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，，又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=，则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞. 故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（） A ．2 B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（） A ．4 B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5；若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5；若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5. 综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈，则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈；反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”. 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确. 故选：ABD .1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A =，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B . 故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B = 所以{}1,3A B =，故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<. 故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =. 故选：C.一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误； B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确. 故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B 中元素的个数为3. 故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（） A ．1- B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立， ∴1m =-. 故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（） A ．M B ．N C ．∅ D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n 表示奇数，故M N N =，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（） A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =- A B A ⋃=，则有：B A ⊆当0m =时，B =∅，满足题意；当0m ≠时，则有：1x m=- 则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B 由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃，故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（） A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤，所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--，所以A B ={}1,0,1-. 故选：B 二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦()R A B A =⋂，R A B ∴⊆ {}2280B x x x =--≤，{2R B x x ∴=<-∣或4}x > 当A =∅时，123,4a a a -+-，满足R A B ⊆当A ≠∅时，要使得R A B ⊆，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________. 【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >，因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+，若()R A B ⋂=∅，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=-M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞ (1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ， (,3)(5,)=-∞-+∞R M ，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R R M N .(2)由题可知M N ，所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ，解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. 集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+. 若选择①A B A =，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩，若选择③()R B A R ⋃=，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-. 因为{}{}24303,1A x x x =++==--，所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意；当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-. 综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a =满足题意，其中12k a a a <<<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， ∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，∴T k ≥， ∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++，{}0,1,2,,2020T m =-，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2020A =时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§1.1 集合(讲解部分)

实践探究
例 (2016北京文,16)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天
售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出
的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店:
①第一天售出但第二天未售出的商品有
种;
②这三天售出的商品最少有
种.
解题导引 “网购”是现代购物的重要方式之一,本题以售出商品的种类为背景,取材于人A必修113页的“阅读与思考——集合中元素的个数”, 考查了集合运算和Venn图等基本知识,同时也涉及化归与转化、数形结合的数学思想. ①可以通过集合交、补运算确定元素个数;②中“三天共售出的商品种类最少”应该是第三天与前二天售出的商品种类完全相同时,总的种类最少. 解析 ①设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B 中有3个元素.如图所示, 所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种). ②由①知,前两天售出的商品为19+13-3=29(种),当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少,售出的商品最少为29种.
由图可知∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={2,7},故选B. (2)A={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1},U=R,∴∁UA={x|x<-2或x>1},又B={x|x< 0},∴借助数轴可知(∁UA)∩B={x|x<-2}.故选C. 答案 (1)B (2)C
方法总结集合的基本运算包括集合的交、并、补运算,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看集合的表示方法,用列举法表示的集合,易用Venn图求解,用描述法表示的数集,常借助数轴分析得出结果,二是对集合进行化简,有些集合是可以化简的,通过化简集合,可使问题变得简单明了,易于解决.

2021年高考数学真题逐题解析：集合运算-每年必考(解析)

第1题集合问题,每年必考一、原题呈现【原题】已知集合24,2,3,4,5,A x x B 则A B ∩A. 2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4【答案】B【解析】由2,3,4,5A A A A ,可得 2,3A B ∩,故选B.【就题论题】本题所给两个集合，一个是不等式的解集，但无需化简，一个是离散的数集，足见命题者有意降低试题难度，突出对交集概念的考查，该题难度与往年老教材全国卷II ，III 的文科集合试题难度相当。

二、考题揭秘【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.【考情分析】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.【得分秘籍】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的．；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2.求解集合关系问题应注意的几个问题(1)判断集合中元素的个数,或利用元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系求参数取值,要注意元素的互异性,一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去.(2)A ⊆B ,A ∩B ＝A ,A ∪B ＝B ,∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单．(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【易错警示】1.化简集合时运算失误,如当所给集合为不等式解集时,解不等式运算错误；2.对集合概念理解不准确,错把数集当作点集,如已知集合22,A y y x B y y x ,求A B ∩得出 1,1,2,2A B∩的错误结果；3.忽略集合中元素的互异性,如根据集合A ＝{a －3,2a －1,a 2－4},且－3∈A ,求实数a 的值,忽略检验a ＝－1时不满足元素的互异性.4.利用,B A A B ∩求参数取值,忽略判断B 是否可以为 .如根据集合A ＝{x |x 2－x －12≤0},B ＝{x |2m －1<x <m ＋1},且A ∩B ＝B ,求实数m 的取值范围,忽略m ＋1≤2m －1即m ≥2时B ,也满足题意.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟（四））若集合{(,)30}M x y x y ∣, 22,}0{|N x y x y ,则（）A ．M N MB ．M N MC ．M N ND ．M N【答案】B【解析】∵集合 ,30{|}M x y x y , 22,00|,0N x y xy,因为2230000x y x x y y,∴ 0,0M N N ,所以M N M ,故选B.2．（2021湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测（二））已知集合 1,2A ,集合B 满足 1,2A B ∩,且2|0B x x ax b ,则210bx ax 的解集为（）A ． ||1x x x 或12xB ．1|12x xC ． |1x x x 或12xD ．1|12x x【答案】C【解析】因为集合B 满足 1,2A B ∩,且2|0B x x ax b ,所以3,2a b ,所以223102110x x x x ,所以不等式的解集为 |1x x 或12x,故选C3．（2021江苏省淮安市高三下学期5月模拟）已知M ,N 均为R 的子集,且N M R ð,则M N（）A ．NB ．MC ．D ．R【答案】A【解析】因为N M R ð,所以M N ,所以M N N .故选A4．（2021山东省百师联盟高三二轮联考）设集合2,{13},log 2U R A x x B x y x ∣∣,则()U A B ð（）A ．（1,2]B ．[3,＋∞）C ．（﹣∞,1]∪（2,＋∞）D ．（﹣∞,1]∪[3,＋∞）【答案】C【解析】∵A ＝（1,3）,∴U A ð＝（﹣∞,1]∪[3,＋∞）,∵2log (2)y x ,∴x ﹣2＞0,∴x ＞2,∴B ＝（2,＋∞）,∴()U A B ð（﹣∞,1]∪（2,＋∞）,故选C5．（2021福建省厦门第一中学高三高考模拟考试）已知,M N 为全集U 的两个不相等的非空子集,若UUN M 痧,则下列结论正确的是（）A ．,x N x MB ．,x M x NC ．,x N x MD ．,U x M x Nð【答案】D【解析】 U U N M ∵痧,M N ,x M ,x N ,x M ,U x N ð,故选D ．6．（2021山东省淄博市高三三模）已知全集U R ,集合210A x x,1B x x ,则如图阴影部分表示的集合是（）A ． 1,0B ． 1,01,2C ． 1,2D ．0,1【答案】C【解析】解不等式210x得02x ,故 21002A x x x x,解不等式1x 得11x ,故111B x x x x ,所以A B ∩01x x 所以如图阴影部分表示的集合是12A A B x x ð,故选C7．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知集合 1,A a ,2log 1B x x ,且A B ∩有2个子集,则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ．0,11,2 C ．2, D ．,02, 【答案】D【解析】由题意得：2log 10,2B x x ,A B ∵∩有2个子集,A B ∩中的元素个数为1个；1A B ∵∩, a A B ∩,即a B ,0a 或2a ,即实数a 的取值范围为 ,02, .故选D.8．（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）集合{2A x R z x i ∣的实部为0},{|||,}B y y x x A ,{|||3}C m Z m ,i 为虚数单位,则C B ð为（）A ．{2,1,1,2}B ．{2,1,1}C ．{1,1}D ．{2,2}【答案】A【解析】由{2A x R z x i ∣的实部为0},则 0A , {|||,}0B y y x x A ,所以{2,1,1.2}C B ð,故选A.9．（2021江苏省泰州市高三下学期考前练笔）已知集合220A x x x ,20B x x ,则A B ∩（）A ．[1,2)B ．1,2 C ．1,2 D ．,1 【答案】A【解析】因为22012A x x x x x ,2B x x ,所以[1,2)A B ∩.故选A.10．（2021湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）已知集合,|1A x y y x , ,|ln B x y y x ,则A B ∩（）A ．B ．1C ．1,0D ．1,0【答案】C【解析】因为集合,A B 都表示点集,所以由1ln y x y x 解得10x y,即A B ∩ 1,0．故选C ．11．（2021河北省高三下学期仿真模拟（四））设全集为R , ()0M x f x ,()0N x g x ,那么集合 ()()0x f x g x 等于（）A ．R RM N ∩痧B ．R M N ðC ．R M N ðD ．R RM N痧【答案】D【解析】因为()()0|()0x f x g x x f x 或 ()0g x ,又因为()0M x f x ,()0N x g x ,所以()()0R Rx f x g x M N痧.故选D12．（2021广东省汕头市高三二模）已知全集为实数集R ,集合|120A x x x ,则R A ð=（）A ．12x x B ．{|1x x 或2}x C ．{|1x x 或2}x D ．|12x x 【答案】B【解析】由 120x x ,解得12x ,∴{|12}A x x ,∴{|1R A x x ð或2}x ,故选B.13．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）设集合{|21,}A x x n n Z ,{|41,}B x x n n Z ,则（）A ．AB B ．B AC ．A BD ．B A【答案】B【解析】对于集合A ,当2n k ,k Z 时,41,x k k Z ,当21n k ,k Z 时,43,x k k Z ,所以 |41,A x x k 或 43,x k k Z ,所以B A ,故选B ．14．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知集合 |23A x x ,2|20B x x x ,则A B （）A ．RB ． |12x xC ． |21x xD ．【答案】A 【解析】易得 ,12,B,又 2,3A ∴A B R ,故选A15．（2021江苏省徐州市高三下学期5月四模）已知集合260A x x x ,2log 21B x x , R A B ∩ð（）A ．（－2,3）B ．（2,3）C ．[3,4）D ．（－ ,2]∪[3,＋）【答案】C【解析】由题意可知, 2,3A , 2,4B ,所以 ,23,R A ð,所以3,4R A B ∩ð,故选C ．16．（2021江苏省苏州市常熟中学高三下学期5月三模）设集合A ={1,2,3},B ={4,5},C ={x +y |x ∈A ,y ∈B },则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】集合A ={1,2,3},B ={4,5},C ={x +y |x ∈A ,y ∈B },所以C ={5,6,7,8}.即C 中元素的个数为4.故选B.17．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）已知集合3{}12A ，，,{1012}B ，，，,若M A 且M B ,则M 的个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】∵集合3{}12A ，，,{1012}B ，，，, 1,2A B ∩,又M A 且M B , M A B ∩,即 1,2M ,M 的个数为224 个,故选C.18．（2021河北省沧州市高三三模）已知集合220A x x x ,12B x x ,则A B ∩（）A ． 1,2B ． 1,2C ． 0,2D ．0,1【答案】A【解析】因为22002A x x x x x , 12B x x ,所以121,2A B x x .故选A.19．（2021广东省广州市天河区高三三模）已知集合1,,1,1A x ax a R B ∣,若A B ,则所有a 的取值构成的集合为（）A ． 1 B ．1,1 C ．0,1D ．1,0,1 【答案】D【解析】0a 时,A 满足题意,0a 时,1ax 得1x a ,所以11a 或11a,1a 或1a ,所求集合为{1,0,1} ．故选D ．二、多选题20．（2021·山东济南市高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A ． ABC B ． A B C ∩C ． U A B C ðD ． A B A C 【答案】AD【解析】由图可知,阴影部分是集合B 与集合C 的并集,再由集合A 求交集,或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集,所以阴影部分用集合符号可以表示为 A B C 或 A B A C ,故选AD21．（2021江苏南通市高三模拟）集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合22,925A x y xy, ,B x y y x m , ,2C x y y kx k 则下列说法中正确的有（）A ．若AB ,则实数m 的取值范围为 m m B ．存在k R ,使AC C ．无论k 取何值,都有A CD ．A C ∩的最大值为4【答案】ACD【解析】对于A,因为A B ,所以5,解得m ≤≤,故A 正确.对于B 和C,直线2y kx k 过定点()1,2,因为22129 ,故C 正确,B 错误.对于D,设原点到直线2y kx k 的距离为d ,则22A C∩,所以A C ∩的最大值,即d 的最大值,于是A C ∩的最大值为4,故D 正确.故选ACD22．（2021广东湛江市高三二模）已知集合23180A x x x R ,22270B x x ax a R ,则下列命题中正确的是（）A ．若AB ,则3a B ．若A B ,则3a C ．若B ,则6a 或6a D ．若B A Ü时,则63a 或6a 【答案】ABC【解析】36A x x R ,若A B ,则3a ,且22718a ,故A 正确.3a 时,A B ,故D 不正确.若A B ,则 2233270a a 且2266270a a ,解得3a ,故B 正确.当B 时,224270a a ,解得6a 或6a ,故C 正确.故选ABC ．23．（2021山东高三考前热身练）已知M 为给定的非空集合,集合12{,,,}n T T T T ,其中i T ≠ ,i T ⊆M ,且12n T T T M ,则称集合T 是集合M 的覆盖；如果除以上条件外,另有i j T T ∩,其中1,2,3,,i n ,1,2,3,,j n ,且i j ,则称集合T 是集合M 的划分.对于集合{,,}A a b c ,下列命题错误的是（）A ．集合{{,},{,}}S a b b c 是集合A 的覆盖B ．集合{{}{,},{,}}Q a a b a c ,是集合A 的划分C ．集合{{},{},{}}E a b c 不是集合A 的划分D ．集合{{},{,}}F a a c 既不是集合A 的覆盖,也不是集合A 的划分【答案】BC【解析】对于A,集合{{,},{,}}S a b b c 满足{,}a b ⊆A ,{,}b c ⊆A ,且{,}a b {,}b c =A ,故集合S 是集合A 的覆盖,选项A 正确；对于B,集合{{}{,},{,}}Q a a b a c ,中,{,}a b ∩{,}a c ,不满足题目定义中“i j T T ∩ ”,故集合{{}{,},{,}}Q a a b a c ,不是集合A 的划分,选项B 错误；对于C,集合{{},{},{}}E a b c 是集合A 的划分,因为{}a ⊆A ,{}b ⊆A ,{}c ⊆A ,且{}a {}b {}c =A ,{}a ∩{}b = ,{}b ∩{}c = ,{}a ∩{}c = ,满足定义中的所有要求,选项C 错误；对于D,集合{{},{,}}F a a c 中,{}{,}a a c A ,{}{,}a a c ∩ ,故集合{{},{,}}F a a c 既不是集合A 的覆盖,也不是集合A 的划分,选项D 正确.故选BC.。

2021年高考数学二轮复习(文数)讲义+测试：专题01集合、复数、算法(含答案解析)

2021年高考数学二轮复习(文数)讲义：专题01集合、复数、算法集合[题组练透]1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案为：C；解析：∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0,1,2}，∴A∩B={1,2}.2.设全集U={x∈Z||x|≤2}，A={x|x＋1≤0}，B={-2,0,2}，则(∁U A)∪B=( )A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-1,2]∪{-2}答案为：C；解析：因为U={x∈Z|-2≤x≤2}={-2，-1,0,1,2}，A={x|x≤-1}，所以∁U A={0,1,2}，又B={-2,0,2}，所以(∁U A)∪B={-2,0,1,2}.3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x2-3x＋2<0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，1)B.(-∞，1]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)答案为：D；解析：集合B={x|x2-3x＋2<0}={x|1<x<2}，由A∩B=B，可得B⊆A，结合数轴得a≥2.4.已知集合A={(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4答案为：A；解析：法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(-1，-1)， (-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，共有9个.故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2=3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.5.已知集合P={4,5,6}，Q={1,2,3}，定义P⊕Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )A.32B.31C.30D.以上都不对答案为：B；解析：由所定义的运算可知P⊕Q={1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25-1=31.快审题1.看到集合中的元素，想到元素代表的意义；看到点集，想到其对应的几何意义.2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集.准解题1.记牢集合的运算性质及重要结论(1)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.(2)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.(3)A∩(∁U A)=∅，A∪(∁U A)=U.(4)A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=A⇔B⊆A.2.活用集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解. (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图法求解.避误区 1.在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x ∈N ，x ∈Z 等)致误. 2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.复数[题组练透]1.计算：(1＋i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3＋iC.3-iD.3＋i 答案为：D ；解析：(1＋i)(2-i)=2-i ＋2i-i 2=3＋i.2.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( )A.-1B.0C.1D.2 答案为：C ；解析：∵a －i 1＋i =a －i 1－i 1＋i 1－i =a －12-a ＋12i 为纯虚数，∴a －12=0且a ＋12≠0，解得a=1.3.已知复数z 满足(2-i)z=i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案为：B ；解析：z=i ＋i 22－i =－1＋i 2－i =－1＋i 2＋i 2－i 2＋i =－3＋i 5=-35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，该点位于第二象限. 4.设z=1－i1＋i＋2i ，则|z|=( )A.0B.12C.1D. 2答案为：C ；解析：∵z=1－i 1＋i ＋2i=1－i 21＋i 1－i ＋2i=－2i2＋2i=i ，∴|z|=1.故选C.5.复数z 满足z(1-2i)=3＋2i ，则z =( )A.-15-85iB.-15＋85iC.75＋85iD.75-85i 答案为：A ；解析：由z(1-2i)=3＋2i ，得z=3＋2i 1－2i =3＋2i 1＋2i 1－2i 1＋2i =-15＋85i ，∴z =-15-85i.[题后悟通]快审题1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的加、减、乘法运算；看到复数的除法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简.2.看到复数z在复平面内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数，想到复数的分类条件.3.看到共轭复数，想到它们关于实轴对称；看到复数的模，想到|z|=|a＋bi|=a2＋b2.准解题掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.算法[题组练透]1.“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为( )A.2B.3C.4D.5答案为：C；解析：执行程序框图，x=4，y=6，k=1，k=k＋1=2，x>y不成立，x=y不成立，y=y-x=2；k=k＋1=3，x>y成立，x=x-y=4-2=2；k=k＋1=4，x>y不成立，x=y成立，输出k=4.2.执行如图所示的程序框图，当输出的n的值等于5时，输入的正整数A的最大值为( )A.7B.22C.62D.63 答案为：D ；解析：第1次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝0＋1＝1，x ＝3×1－1＝2，n ＝1；第2次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝1＋2＝3，x ＝3×2－1＝5，n ＝2；第3次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝3＋5＝8，x ＝3×5－1＝14，n ＝3；第4次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝8＋14＝22，x ＝3×14－1＝41，n ＝4；第5次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝22＋41＝63，x ＝3×41－1＝122，n ＝5.因为输出的n=5，所以22<A ≤63，所以输入的正整数A 的最大值为63.3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和B.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和C.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和答案为：D ；解析：由程序框图得，输出的S=(2×1-1)＋(2×3-1)＋(2×5-1)＋…＋(2×2 019-1)，可看作数列{2n-1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和.4.为计算S=1-12＋13-14＋…＋199-1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A.i=i ＋1B.i=i ＋2C.i=i ＋3D.i=i ＋4 答案为：B ；解析：由题意可将S 变形为S=⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋...＋199-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (1100)则由S=N-T ，得N=1＋13＋…＋199，T=12＋14＋…＋1100.据此，结合N=N ＋1i ，T=T ＋1i ＋1易知在空白框中应填入i=i ＋2.故选B.快审题1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止.2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断.3.看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值.准解题掌握程序框图2类常考问题的解题技巧 (1)求解程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件.(2)对于程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i ＞n ？”或“i ＜n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可. [专题过关检测]一、选择题1.已知集合A={x|x=2k ＋1，k ∈Z}，B={x|-1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案为：B ；解析：依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B={1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2.计算：1＋2i1－2i =( )A.-45-35iB.-45＋35iC.-35-45iD.-35＋45i 答案为：D ；解析：1＋2i 1－2i =1＋2i 21－2i 1＋2i =－3＋4i 5=-35＋45i.3.已知i 为虚数单位，若复数z=a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a=( )A.-5B.-1C.-13D.-53答案为：D ；解析：z=a 1－2i ＋i=a 1＋2i 1－2i 1＋2i ＋i=a 5＋2a ＋55i ，∵复数z=a 1－2i ＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，∴-a 5=2a ＋55，解得a=-53.4.设全集U=R ，集合A={x|x ≥1}，B={x|(x ＋2)(x-1)<0}，则( ) A.A ∩B=∅ B.A ∪B=U C.∁U B ⊆A D.∁U A ⊆B 答案为：A ；解析：由(x ＋2)(x-1)<0，解得-2<x<1，所以B={x|-2<x<1}，则A ∩B=∅，A ∪B={x|x>-2}，∁U B={x|x ≥1或x ≤-2}，A ⊆∁UB ，∁U A={x|x<1}，B ⊆∁U A ，故选A. 5.已知复数z 满足z ＋|z|=3＋i ，则z=( )A.1-iB.1＋iC.43-iD.43＋i答案为：D ；解析：设z=a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z|=3＋i ，得a ＋bi ＋a 2＋b 2=3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z=43＋i.6.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图(图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a=( )A.0B.25C.50D.75 答案为：B ；解析：初始值：a=675，b=125，第一次循环：c=50，a=125，b=50；第二次循环：c=25，a=50，b=25；第三次循环：c=0，a=25，b=0，此时不满足循环条件，退出循环. 输出a 的值为25.7.已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 答案为：B ；解析：∵x 2-x-2>0，∴(x-2)(x ＋1)>0，∴x>2或x<-1，即A={x|x>2或x<-1}.则∁R A={x|-1≤x ≤2}.故选B.8.设全集U=R ，集合A={x|log 2x ≤2}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B=( ) A.(0,2) B.[2,4] C.(-∞，-1) D.(-∞，4] 答案为：A ；解析：集合A={x|log 2x ≤2}={x|0<x ≤4}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}={x|x ≤-1或x ≥2}，则∁U B={x|-1<x<2}.所以A ∩∁U B={x|0<x<2}=(0,2).9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s=132，则判断框中可以填( )A.i ≥10?B.i ≥11?C.i ≤11?D.i ≥12? 答案为：B ；解析：执行程序框图，i=12，s=1；s=12×1=12，i=11；s=12×11=132，i=10. 此时输出的s=132，则判断框中可以填“i ≥11？”. 10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.5B.6C.7D.8 答案为：B ；解析：执行程序框图，第一步：n=12，i=1，满足条件n 是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n ＞123；第二步：n=8，不满足条件n 是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n ＞123；第三步：n=31，不满足条件n 是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n ＞123；第四步：n=123，满足条件n 是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n ＞123；第五步：n=119，不满足条件n 是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A.15B.16C.28D.25答案为：A ；解析：本题关键看清-1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由-1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15.12.若复数z=1＋mi1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1，＋∞)D.(-∞，-1) 答案为：A ；解析：法一：因为z=1＋mi1＋i =1＋mi 1－i 1＋i 1－i =1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得-1<m<1.法二：当m=0时，z=11＋i =1－i 1＋i 1－i =12-12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13.执行如图所示的程序框图，如果输出的n=2，那么输入的a 的值可以为( )A.4B.5C.6D.7 答案为：D ；解析：执行程序框图，输入a ，P=0，Q=1，n=0，此时P ≤Q 成立，P=1，Q=3，n=1，此时P ≤Q 成立，P=1＋a ，Q=7，n=2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P>Q ，所以1＋a>7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14.已知a 为实数，若复数z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i=( )A.1B.0C.iD.1-i 答案为：C ；解析：因为z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a=1，则有1＋i 2 0171－i =1＋i 1－i =1＋i 21＋i 1－i =i.15.沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛.沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式.图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层.某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A.i<n ？和S=S ＋a ·bB.i ≤n ？和S=S ＋a ·bC.i ≤n ？和S=a ·bD.i<n ？和S=a ·b 答案为：B ；解析：观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S=S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i=n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16.已知集合A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}，C=A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A.4B.7C.15D.16 答案为：C ；解析：因为B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}={(x ，y)|y=tan 2x}，函数y=tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象有4个交点.因为C=A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24-1=15，故选C. 二、填空题17.已知复数z=1＋3i2＋i ，则|z|=________.答案为：2;解析：法一：因为z=1＋3i 2＋i =1＋3i 2－i 2＋i 2－i =5＋5i5=1＋i ，所以|z|=|1＋i|= 2.法二：|z|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i =|1＋3i||2＋i|=105= 2.18.设全集U={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，集合M=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P={(x ，y)|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P)=________.答案为：{(2,3)}；解析：集合M={(x ，y)|y=x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}.则∁U (M ∪P)={(2,3)}.19.已知复数z=x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|=5，则z1＋i的共轭复数为________. 答案为：12-72i ；解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42=52，解得x=-3，∴z 1＋i =－3＋4i 1＋i =－3＋4i 1－i 1＋i 1－i =12＋72i ，故其共轭复数为12-72i. 20.已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B={1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B=∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素.(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A=________； (2)有序集合对(A ，B)的个数是________. 答案为：(1){6} (2)32；解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A={6}.(2)当集合A 中有1个元素时，A={6}，B={1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B)有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个；当集合A 中有6个元素时，A={1,2,3,4,5,7}，B={6}，此时有序集合对(A ，B)有1个. 综上可知，有序集合对(A ，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1=32.。

2021年新高考数学总复习：集合（附答案解析）

2021年新高考数学总复习：集合（附答案解析）2021年新高考数学总复习：集合1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<="" 2－x=""A ．{x |－4<3}<="" p="">B ．{x |－4<－2}<="" p="">C ．{x |－2<2}<="" p="">D ．{x |2<3}<="" p="">解析：因为M ＝{x |－4<3}，<="" p="" |－2所以M ∩N ＝{x |－2<2}．<="" p="">答案：C2．(2020·广东湛江测试)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，则集合A ∩B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，所以B ＝{－1，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}，所以A ∩B 的子集个数为22＝4.答案：C3．(2019·浙江卷)已知全集U ＝{－1，0，1，2，3}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，0，1}，则(?U A )∩B ＝( )A ．{－1}B ．{0，1}C ．{－1，2，3}D ．{－1，0，1，3}解析：因为?U A ＝{－1，3}，所以(?U A )∩B ＝{－1}．答案：A4．(多选题)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝x |1x <1，则下列关系正确的是( )A ．M NB ．N ?MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝M解析：集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝x |1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N ，则B 、C 、D 正确．答案：BCD5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1≥0}，全集U ＝R ，则A ∩(?U B )＝( )A ．(－∞，1)B ．(－2，1)C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)解析：由x 2－5x ＋6>0，得A ＝{x |x <2或x >3}，又B ＝{x |x ≥1}，知?U B ＝{x |x <1}，所以A ∩(?U B )＝{x |x <1}．答案：A6．若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{－1，1}D ．{0}解析：B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为?U (A ∪B )．A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以?U (A ∪B )＝{0}．答案：D7．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ?(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由x ＋y ＝1，x －y ＝3，得?x ＝2，y ＝－1，所以A ∩B ＝{(2，－1)}．由M ?(A ∩B )，知M ＝?或M ＝{(2，－1)}．答案：C8．(2020·佛山一中检测)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ?B ，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3)B ．[1，3]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，3]解析：由log 2(x －1)<1，得A ＝(1，3)，又|x －a |<2，得B ＝(a －2，a ＋2)．由A ?B ，所以?a －2≤1，a ＋2≥3，解之得1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[1，3]．答案：B9．(2019·江苏卷)已知集合A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R}，则A ∩B ＝________．解析：因为A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R}，所以A ∩B ＝{1，6}．答案：{1，6}10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ?B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.答案：[1，＋∞)11．已知集合A ＝（x ，y ）x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R}，若对任意实数k ，A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是________．解析：由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22 ＝1上或在其内部，所以m 2≤2，所以－2≤m ≤ 2.答案：[－2，2]12．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(?U B )＝________．解析：集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，因为log 3(2－x )≤1＝log 33，所以0<2－x ≤3，所以－1≤x <2，所以B ＝{x |－1≤x <2}，所以?U B ＝{x |x <－1或x ≥2}，所以A ∩(?U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．答案：{x |x <－1或x ≥2}[B 级能力提升]13．(多选题)(2020·东莞中学质检)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |3x 2＋6x ＝1}，则( )A ．A ∪B ＝(－4，4)∪{－6}B ．B ?AC ．A ∩B ＝{0}D ．A ?B解析：因为A ＝{x |x 2－16<0}，所以A ＝{x |－4<="" 错误，a="" ＝1}，则b="" ＝{0}，故c="" ＝{0，－6}，a="" ＝{x="" ＝－6或－4答案：AC14．如图，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：图中阴影部分表示集合B ∩?R A .因为A ＝{x |log 12(x －1)>0}＝{x |1<="">x |2x －3x <0＝?x |0<="" ＝{x="">15．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．解析：A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}＝{x ∈R|－5<1}，<="" p="">由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <="" ＝－1，n="">答案：－11[C级素养升华]16．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B ＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A ＝________，A*B＝________．解析：因为A＝{y|y≥0}＝[0，＋∞)，B＝(－3，3)，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．< p="">因此A*B＝[3，＋∞)∪(－3，0)＝(－3，0)∪[3，＋∞)．答案：(－3，0)(－3，0)∪[3，＋∞)</x<0}．<>。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练01 集合与常用逻辑用语(含解析)

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-，要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =，当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈，所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确；由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”，则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲，乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”；在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+，记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立，即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈，又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。

2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)

8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、经典例题
考点一集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，

2021高考数学课标版理数一轮复习讲义+提能作业：第一节集合及其运算 Word版含解析

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合及其运算1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.元素与集合(1)集合中元素的特性:①确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b∉A.(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤N ⑥N*或N+⑦Z ⑧Q ⑨R2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⑩⊇A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且∃x0∈B,x0∉AA ⫋B或B ⫌A相等集合A,B的元素完全相同A⊆B,B⊆A A=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A,⌀⫋B(B≠⌀)⌀▶提醒(1)“⊆”与“⫋”的区别:A⊆B⇒A=B或A⫋B,若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更准确.(2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U,则集合A的补集为∁U A 图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;(3)补集的质:A∪∁U A=U;A∩∁U A=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=∁U A∩∁U B;∁U(A∩B)=∁U A∪∁U B.1.非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足).3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1){x|x≤1}={t|t≤1}.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)含有n个元素的集合有(2n-1)个子集.()(4)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}.()(5)若A∩B=A,则B⊆A.()(6)若A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合A=B.()答案(1)√(2)✕(3)✕(4)✕(5)✕(6)√2.(2019课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}答案C3.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.答案1或44.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则∁R(A∪B)=.答案{x|x≤2或x≥10}5.已知集合P={2,3,4,5,6},Q={3,4,5,7},若M=P∩Q,则M的子集的个数为. 答案8集合的基本概念典例1(1)设a,b∈R,若{1,a+b,a}={0,ba,b},则b-a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B={y|6y∈N*,y∈A}中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案(1)C (2)D方法技巧与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错提示要注意检验集合中元素的互异性.1-1若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=()A.92B.98C.0D.0或98答案 D 当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=98. 1-2已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案-32解析因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m2+m=3时,解得m=-32或m=1(舍去),此时m+2=12≠3符合题意.所以m=-32.集合间的基本关系典例2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则()A.B⊆AB.A=BC.A⫋BD.B⫋A(2)若集合A满足{a,b}⊆A⊆{a,b,c,d,e},则集合A的个数是()A.6B.7C.8D.9(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.(4)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(i)若B是A的子集,则实数a的取值范围是;(ii)若A是B的子集,则实数a的取值范围是.答案(1)C (2)C (3)(-∞,3](4)(i)a≤-1或a=1;(ii)a=1解析(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知A⫋B,故选C.(3)若B=⌀,则2m-1<m+1,所以m<2.若B≠⌀,则{2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.综上可得,符合题意的实数m的取值范围是(-∞,3].(4)由题意可得,A={0,-4}.(i)易知B ⊆A,∴B={0}或{-4}或⌀或{0,-4}.当B={0}或{-4}时,方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0有两个相等的实根,即[2(a+1)]2-4×(a 2-1)=0, ∴a=-1,此时B={0},满足题意.当B={0,-4}时,即x=0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的根,易得a=1. 当B=⌀时,即方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0无解, 则Δ<0,即[2(a+1)]2-4(a 2-1)<0,解得a<-1. 综上可得,a ≤-1或a=1. (ii)易知A ⊆B,A={0,-4},即0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的根, ∴{a 2-1=0,a 2-8a +7=0⇒a=1. ◆探究 (变条件)若将本例(3)中的“A={x|-2≤x ≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,求实数m 的取值范围.解析当B=⌀时,有2m-1<m+1, ∴m<2,符合题意;当B ≠⌀时,有{m +1≤2m -1,m +1>5或{m +1≤2m -1,2m -1<-2, 解得{m ≥2,m >4或{m ≥2,m <-12, 即m>4.综上可知,实数m 的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞). 方法技巧已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观地解决这类问题. 2-1 已知集合P={1,3},则满足P ∪Q={1,2,3,4}的集合Q 的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 D2-2 已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x ≤a+3},若B ⊆(A ∩B),则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1]解析因为B ⊆(A ∩B),所以B ⊆A. 当B=⌀时,满足B ⊆A,此时-a ≥a+3,即a ≤-32; 当B ≠⌀时,要使B ⊆A,则{-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1.综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].2-3 已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},若B 是A 的子集,则实数a 的取值集合为 . 答案 {0,1,-1} 集合的基本运算典例3 (1)已知集合M={x|x -2x -3<0},N={x|2x -5x -2≤0},则M ∩N=( )A.[52,3) B .(2,52] C.[2,52] D.(52,3)(2)设全集U=R ,集合A={x|x 2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x ≤-1或x ≥3}B.{x|x<1或x ≥3}C.{x|x ≤1}D.{x|x ≤-1}(3)已知集合A={x|y=√4-x 2},B={x|a ≤x ≤a+1},若A ∪B=A,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)答案 (1)B (2)D (3)C解析 (1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=(2,52], 所以M ∩N=(2,52].(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=[1,+∞), 所以A ∪B=(-1,+∞),所以∁U (A ∪B)=(-∞,-1],所以选D. 方法技巧(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn 图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到. (3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. 3-1 若集合A={x|x 2+2x-8<0},B={x|5-m<x<2m-1}.若U=R ,A ∩∁U B=A,则实数m 的取值范围是 .答案 (-∞,3]解析易知A={x|-4<x<2}.由A ∩∁U B=A,得A ⊆∁U B, 则A ∩B=⌀,由数轴得5-m ≥2m-1或{2m -1≤-4,5-m <2m -1或{5-m ≥2,5-m <2m -1,解得m ≤3.集合中的新定义问题典例4(1)定义集合的商集运算为AB ={x|x=mn,m∈A,n∈B},已知集合A={2,4,6},B={x|x=k 2-1,k∈A},则集合BA∪B中的元素的个数为()A.6B.7C.8D.9(2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案(1)B (2)D解析(1)由题意知,B={0,1,2},则BA ={0,12,14,16,1,13},则BA ∪B={0,12,14,16,1,13,2},共有7个元素.故选B.(2)∵A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},B={x|x2-7x+10<0}={x|2<x<5},A-B={x|x∈A,且x∉B},∴A-B={0,1,2,5}.故选D.方法技巧解决集合中的新定义问题的方法解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.4-1设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有个.答案6解析符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.1.(2019课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}答案A},B={x||x|<2},则A∩B=()2.已知集合A={x|y=√x+1A.(-1,2)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-2,-1)答案A的定义域为B,则A∩B=()3.设函数y=2A,函数y=√1-xA.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D4.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B5.设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是()A.B⊆AB.B⊇AC.B∈AD.A∈B}.答案 A 因为A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x|x>52在数轴上表示出集合A与集合B,如图所示,可知,B⊆A.6.已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},则A∩B=()A.{1,2}B.{-2,-1,1,2}C.{1}D.{0,1,2}答案D7.集合A={1,2,3,4},B={x|(x-1)(x-a)<0},若集合A∩B={2,3},则实数a的范围是()A.3<a<4B.3<a≤4C.3≤a<4D.a>3答案B8.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C9.设集合M={x|-12<x<12},N={x|x2≤x},则M∩N=.答案[0,12)10.若{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则m=.答案111.已知a∈R,b∈R,若{a,ln(b+1),1}={a2,a+b,0},则a2020+b2020=.答案1解析由已知得a≠0,所以ln(b+1)=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2020+b2020=1.12.当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-1,12,1},B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为. 答案{0,1,4}解析当a=0时,B为空集,满足B⊆A,此时A与B构成“全食”;当a>0时,B={√a ,-√a},由题意知√a =1或√a=12,解得a=1或a=4,经检验,均符合要求.故a的取值集合为{0,1,4}.13.已知集合A={x|1≤x ≤2},B={x|m ≤x ≤m+3}.(1)当m=2时,求A ∪B;(2)若A ⊆B,求实数m 的取值范围.解析 (1)当m=2时,B={x|2≤x ≤5},∴A ∪B={x|1≤x ≤2}∪{x|2≤x ≤5}={x|1≤x ≤5}.(2)∵A ⊆B,∴{m ≤1,m +3≥2,解得-1≤m ≤1,∴实数m 的取值范围是[-1,1].14.已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A,求实数a 的值. 解析依题意得A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}.因为A ∪B=A,所以B ⊆A,所以集合B 可以为{1,2},{1},{2}或⌀.当B={1}时,有{Δ=a 2-4(a -1)=0,1-a +a -1=0,所以a=2,与题意相符;当B={2}时,有{Δ=a 2-4(a -1)=0,22-2a +a -1=0,无解; 当B=⌀,即方程x 2-ax+a-1=0无实数根时,Δ=a 2-4(a-1)<0=(a-2)2<0,无解;当B={1,2}时,有{Δ>0,a -1=1×2,a =1+2,所以a=3,与题意相符.综上,a=2或a=3.。

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高考命题规律把握说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本不等式一般不单独考查.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①集合的交、并、补集运算问题；②充分条件、必要条件的判断问题；③含有一个量词的命题的否定问题；④一元二次不等式的解法及基本不等式的应用.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节集合[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B).A⊆B或(B⊇A)真子集如果A⊆B且A≠BAB或B A集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素)A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集设A⊆U，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集∁U A＝{x|x∈U且x∉A}[常用结论]1．非常规性表示常用数集{x|x＝2(n－1)，n∈Z}为偶数集，{x|x＝4n±1，n∈Z}为奇数集等．2．集合子集的个数对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.3．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1. ( )(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知a∉A.]2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为___ _____．64[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M ∪N ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M ∪N 的子集有26＝64个．]3．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.[答案] {x |x 是直角} 4．方程组⎩⎨⎧x＋y＝1，2x－y＝1的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 [由⎩⎨⎧x＋y＝1，2x－y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13，故方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13.] 5．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.(－2,1) (－∞，3) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |x ＜3}．]考点1 集合的概念与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．1.(20xx·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．－32 [由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.]3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 0或98 [当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.]4．已知a ，b ∈R ，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 020＋b 2 020＝________. 1 [由已知得a ≠0，则ba＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.](1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T 2，T 4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T 3.考点2 集合的基本关系判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．(1)(20xx·沈阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝1－x2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．ABB ．BAC ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x2，x ∈R }，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以BA ，故选B.(2)因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．][母题探究]1．(变问法)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围．[解] 因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．2．(变问法)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围． [解] 若A ⊆B ，则⎩⎨⎧m＋1≤－2，2m－1≥5，即⎩⎨⎧m≤－3，m≥3.所以m 的取值范围为∅.3．(变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，试求m 的取值范围．[解] 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1＜m ＋1，即m ＜2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎨⎧m＋1≤2m－1，m＋1＞5或⎩⎨⎧m＋1≤2m－1，2m－1＜－2，解得⎩⎨⎧m≥2，m＞4或⎩⎨⎧m≥2，m＜－12，即m ＞4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个A [由题意知，M ＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．] 2．若集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[－2,2) [①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．]考点3集合的基本运算集合运算三步骤集合的运算(1)(20xx·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( ) A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}(2)(20xx·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}(3)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(1)C(2)A(3)C[(1)∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.(2)∵∁U A＝{－1,3}，∴(∁U A)∩B＝{－1}，故选A.(3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.][逆向问题]已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁B)∩A＝{9}，则A＝( )UA．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}D[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．法二：(Venn图)如图所示．]集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1。