(新课标)2020年高考数学二轮复习 专题能力训练11 等差数列与等比数列 理

专题能力训练11 等差数列与等比数列
一、能力突破训练
1.在等差数列{a n}中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()
A.20
B.-20
C.10
D.-10
2.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=()
A.4
B.5
C.2
D.25
3.设{a n}是等比数列,S n是{a n}的前n项和.对任意正整数n,有a n+2a n+1+a n+2=0,又a1=2,则S101的值为()
A.2
B.200
C.-2
D.0
4.已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则()
A.a1d>0,dS4>0
B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0
D.a1d<0,dS4>0
5.已知数列{a n}满足,且a2=2,则a4等于()
A.-
B.23
C.12
D.11
6.已知各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n,S10=40,则a3·a8的最大值为.
7.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.
8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则= .
9.已知S n为数列{a n}的前n项和,且a2+S2=31,a n+1=3a n-2n(n∈N*).
(1)求证:{a n-2n}为等比数列;
(2)求数列{a n}的前n项和S n.
10.(2018全国Ⅱ,理17)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求S n,并求S n的最小值.
11.已知数列{a n}是等比数列.设a2=2,a5=16.
(1)若a1+a2+…+a2n=t(+…+),n∈N*,求实数t的值;
(2)若在之间插入k个数b1,b2,…,b k,使得,b1,b2,…,b k,成等差数列,求k的值.
二、思维提升训练
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()
A.440
B.330
C.220
D.110
13.若数列{a n}为等比数列,且a1=1,q=2,则T n=+…+等于()
A.1-
B.
C.1-
D.
14.已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,若A≤S n-≤B对n∈N*恒成立,则B-A 的最小值为.
15.无穷数列{a n}由k个不同的数组成,S n为{a n}的前n项和,若对任意n∈N*,S n∈{2,3},则k的最大值为.
16.等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.
17.若数列{a n}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有a n·S n=2n3-n2.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)是否存在数列{b n},使得数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{b n}的通项公式及其前n项和T n;若不存在,请说明理由.
专题能力训练11等差数列与等比数列
一、能力突破训练
1.D解析因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.
2.A解析由题意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9==4.故选A.
3.A解析设公比为q,∵a n+2a n+1+a n+2=0,
∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,
∴q2+2q+1=0,∴q=-1.
又a1=2,∴S101==2.
4.B解析设{a n}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.
∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.
∵d≠0,
∴a1d=-d2<0,且a1=- d.
∵dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.
5.D解析由已知得=2,则{a n+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以
a4=11.故选D.
6.16解析因为S10==40⇒a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.
7.64解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,
两式相除得,
解得q=,a1=8,
所以a1a2…a n=8n,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,
又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…a n取最大值为=26=64.
8解析由题意知
解得xz=y2=y2,x+z=y,
从而-2=-2=
9.(1)证明由a n+1=3a n-2n可得
a n+1-2n+1=3a n-2n-2n+1=3a n-3·2n=3(a n-2n).
又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,
得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=3≠0.
故{a n-2n}为等比数列.
(2)解由(1)可知a n-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴a n=2n+3n,
∴S n==2n+1+
10.解 (1)设{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.
(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.
11.解设等比数列{a n}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.
(1)∵a1+a2+…+a2n=t(+…+),
=t,即=t对n∈N*都成立,∴t=3.
(2)=1,,
且,b1,b2,…,b k,成等差数列,
∴公差d==-,且=(k+1)d,
即-1=(k+1),解得k=13.
二、思维提升训练
12.A解析设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第
n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-
n=2n+1-2-n.
由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数
N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈
N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.
所以N=+5=440,故选A.
13.B解析因为a n=1×2n-1=2n-1,所以a n a n+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以
所以是等比数列.
故T n=+…+
14解析易得S n=1-,
因为y=S n-上单调递增(y≠0),
所以y[A,B],因此B-A的最小值为
15.4解析要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4个不同的数组成.
16.解 (1)设数列{a n}的公比为q.
由=9a2a6得=9,所以q2=
由条件可知q>0,故q=
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=
故数列{a n}的通项公式为a n=
(2)b n=log3a1+log3a2+…+log3a n
=-(1+2+…+n)=-
故=-=-2,
+…+
=-2+…+=-
所以数列的前n项和为-
17.解 (1)设等差数列{a n}的公差为d,则d>0,
a n=dn+(a1-d),S n=dn2+n.
对任意n∈N*,恒有
a n·S n=2n3-n2,则[dn+(a1-d)]=2n3-n2,
即[dn+(a1-d)]=2n2-n.
∵d>0,a n=2n-1.
(2)∵数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),
∴当n=1时,a1b1=A1=4,∴b1=4,
当n≥2时,a n b n=A n-A n-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2.
∴b n=2n-2.假设存在数列{b n}满足题设,且数列{b n}的通项公式b n=∴T1=4,当n≥2时,T n=4+=2n-1+3,当n=1时也适合,
∴数列{b n}的前n项和为T n=2n-1+3.。