北师大版七年级数学下册 第二章平行线讲义(含解析)

北师大版第二章平行线讲义平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。

平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：∥相交；∥平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两 条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等一、平行线基础【例1】（1）判断：两条直线不相交必平行.（2）平面内不相交的两条射线平行吗？【解析】略【答案】（1）错误 （2）不一定【例2】学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的如图2：图2从图中可知，小敏画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直角平行；④内错角相等，两直线平行； A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】由折纸方法可知，直线a ，b 都和直线c 互相垂直．所以a b ∥，理由是③或④．故选C 【答案】C(4)(3)(1)【例3】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A、平行B、垂直C、平行或垂直D、无法确定【解析】根据平行公理和垂直的定义解答．【答案】∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，∴是90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选C．【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．【例4】在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（）A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或垂直【解析】在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．【答案】根据在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．可知A、B都不完整，故错误，而D选项中，垂直是相交的一种特殊情况，故选C．【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．【例5】在如图的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与AB平行的线段有（）A、1条B、2条C、3条D、4条【解析】根据几何体的性质，与AB同方向的棱都与线段AB平行，找出即可．【答案】如图，与AB平行的线段有：CD、A′B′、C′D′共3条．故选C．二、平行公理【例6】下列说法不正确的是（）A、过任意一点可作已知直线的一条平行线B、同一平面内两条不相交的直线是平行线C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D、平行于同一直线的两直线平行【解析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【答案】A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．B、C、D是公理，正确．故选A．【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．【例7】三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A、a⊥bB、a∥bC、a⊥b或a∥bD、无法确定【解析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．【答案】由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b，故选B．【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．【例8】下列命题中真命题是（）A、过一点可以画无数条直线和已知直线平行B、如果甲看乙的方向是北偏东60°，那么乙看甲的方向是南偏西30°C、三条直线交于一点，对顶角最多有6对D、与同一条直线相交的两条直线相交【解析】对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案】A、过直线外一点可以画一条直线和已知直线平行，故本选项错误；B、如果甲看乙的方向是北偏东60°，那么乙看甲的方向是南偏西60°，故本选项错误；C、三条直线交于一点，对顶角最多有6对，正确；D、与同一条直线相交的两条直线可以相交，也可以平行，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查几何基础知识，打好基础是走向成功的关键．【例9】下列说法：（1）两点之间的距离是两点间的线段；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】根据相关的定义或定理，逐一判断，排除错误答案．【答案】（1）两点之间的距离是两点间的线段长度，故（1）错误；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线不一定没有交点，故（2）错误；（3）邻补角的两条角平分线一定构成一个直角，故（3）正确；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（4）正确；（5）同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（5）错误．其中正确的是2个．故本题选B．【点评】本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．【例10】下列推理中，错误的是（）A、因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CDB、因为∠α=∠β，∠β=∠γ，所以∠α=∠γC、因为a∥b，b∥c，所以a∥cD、因为AB=CD，CD=EF，所以AB=EF 【解析】根据相关的定义或定理判断．【答案】A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误；B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确；C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确；D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确；综上所述，答案选A．【点评】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用．【例11】设a．b．c表示三条直线，下列推理不正确的是（）A、∵a∥b，b∥c，∴a∥cB、∵a⊥b，b⊥c，∴a∥cC、∵a∥b，b⊥c，∴a⊥cD、∵a⊥b，b⊥c，∴a⊥c【解析】根据平行公理及公理的推论对各选项分析后利用排除法求解．【答案】A、∵a∥b，b∥c，∴a∥c，是平行公理，正确；B、∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，是公理的推论，正确；C、∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c，是公理的推论，正确；D、应为∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平行公理以及公理的推论，都是需要熟记的知识．【例12】三条不同的直线a、b、c，其中a⊥b，a⊥c，则直线b与直线c的关系是（）A、相交B、平行C、垂直D、不确定【解析】根据平行线的性质：垂直于同一直线的两条直线互相平行可知直线b与直线c的关系是平行．【答案】∵a⊥b，a⊥c∴a∥c．故选B．三、平行线的性质与判定∠=∠的是（）【例13】下列图形中，由AB CD∥，能得到12ABC D【解析】略 【答案】B ．【例14】如图，ABC ∆中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 与E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．【解析】略【答案】∵FG AB CD AB ⊥⊥，，∴GF CD ∥ ∴1BCD ∠=∠， ∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例15】有一直的纸带，如图折叠时，α∠=_________．DCB A DCB A A BCDDCBA 21122112ABCDGFE 21D CBA【解析】∵AC BD ∥∴30CBE ∠=︒由折叠问题可知：ABC ABD ∠=∠ ∴()118030752ABD ∠=︒-︒=︒ ∵AC BD ∥ ∴75ABD α∠=∠=︒【答案】75︒【例16】如图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是 ．【解析】略 【答案】122°【例17】如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE BD ，于点G H ，．已知C D EGF BHA ∠=∠∠=∠，．求证：A F ∠=∠．α30°EDCBA图1DCBAH BCG FE D A【解析】略【答案】∵EGF BHA ∠=∠，EGF AGC ∠=∠∴BHA AGC ∠=∠ ∴CE BD ∥ ∴C ABD ∠=∠ 又∵C D ∠=∠ ∴ABD D ∠=∠ ∴DF AC ∥ ∴A F ∠=∠【例18】如图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是 ．【解析】略 【答案】110°．【例19】如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=︒，则______AEC ∠=．【解析】∵AB CD ∥∴180A ACD ∠+∠=︒图221ba l EBCDA∴62ACD ∠=︒， ∵CE 平分ACD ∠ ∴31ECD ∠=︒ ∵AB CD ∥∴31AEC ECD ∠=∠=︒【答案】31︒．【例20】如图，已知a b ∥，170∠=︒，240∠=︒，则3∠= __________．【解析】略 【答案】70︒【例21】已知：如图3，CD AB ⊥于D ，EF AB ⊥于F ，CD 平分ACB ∠．请找出与BCD∠相等的角．【解析】∵CD 平分ACB ∠（已知），∴BCD ACD ∠=∠（角平分线的定义）∵CD AB ⊥，EF AB ⊥（已知），∴CD EF ∥（垂直于同一直线的两直线平行） ∴AEF ACD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），ACD BCD ∠=∠（等量代换） ∴与BCD ∠相等的角有ACD ∠和AEF ∠．【答案】ACD ∠和AEF ∠．b a321CBA 图2FE BDA C【例22】如图，DH EG BC ∥∥，且DC EF ∥，那么图中与BFE ∠相等的角（不包括BFE ∠）的个数是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【解析】本题考查平行线的性质，由图形找到与BFE ∠相等的角有DCB ∠，GEF ∠，GAC ∠，HDC ∠，DAE ∠ 【答案】C【例23】如下图，已知：AB CD ∥，ABF DCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠【解析】（法1）：如图所示，过点F 作FG AB ∥，过点E 作EH CD ∥，则AB FG HE CD ∥∥∥，则1ABF ∠=∠，4DCE ∠=∠， 23∠=∠，又因为ABF DCE ∠=∠，所以14∠=∠，即BFE FEC ∠=∠（法2）：如图所示，延长BF ，DC 相交于G 点，F H GED CB AFED CBA4321ABCD EF∵AB CD ∥，∴ABF BGD ∠=∠ ∵ABF DCE ∠=∠， ∴BGD DCE ∠=∠，∴BG EC ∥，∴BFE FEC ∠=∠如果延长CE ，AB 相交于H 点，如右图，也可用同样的方法证明（法3）：如右图所示，连接点B ，C∵AB CD ∥，∴ABC BCD ∠=∠， ∵ABF DCE ∠=∠，∴12∠=∠ ∴BF EC ∥，∴BFE FEC ∠=∠【例24】如下图，已知AB CD ∥，14EAF EAB ∠=∠，14ECF ECD ∠=∠，求证：34AFC AEC ∠=∠【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，GABCD EF21ABCD EF D CFEBA易得：AEC EAB ECD ∠=∠+∠444()EAF ECF EAF ECF =∠+∠=∠+∠ AFC FAB FCD ∠=∠+∠333()EAF ECF EAF ECF =∠+∠=∠+∠即有：34AFC AEC ∠=∠【例25】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律.【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有34=12⨯对同位角，32=6⨯对内错角，32=6⨯对同旁内角；当有4条平行线时，有64=24⨯对同位角，6212⨯=对内错角，6212⨯=对同旁内角；当有5条平行线时，有10440⨯=对同位角，10220⨯=对内错角，10220⨯=对同旁内角.⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有(1l ，2l )、(1l ，3l )、(1l ，4l )、…(1l ，n l )；(2l ，3l )、(2l ，4l )、…(2l ，n l )、…21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -共()()()112212n n n n --+-+++=L 对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()()14212n n n n -⨯=-对同位角，()()1212n n n n -⨯=-对内错角，()()1212n n n n -⨯=-对同旁内角．【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角；21ABCDEF ABEFCD当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；当有5条平行线时，有40对同位角，10220⨯=对内错角，10220⨯=对同旁内角. ⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有()12n n -对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()21n n -对同位角，()1n n -对内错角，()1n n -对同旁内角四、图形的平移【例26】如图，△ABC 经过怎样的平移得到△DEF （ ）A 、把△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位B 、把△ABC 向右平移4个单位，再向下平移2个单位C 、把△ABC 向右平移4个单位，再向上平移2个单位D 、把△ABC 向左平移4个单位，再向上平移2个单位【解析】根据平移的性质可知，图中DE 与AB 是对应线段，DE 是AB 向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的．【答案】由题意可知把△ABC 向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△DEF ．故选C ． 【点评】本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答．【例27】作图题：在方格纸中，将△ABC 向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1．【解析】分别找出△ABC向右平移3个单位后对应的关键点，然后顺次连接即可．【答案】如下图所画△A1B1C1即为所求．【点评】本题考查了平移变换中的作图问题，属于基础题，关键是找出平移后的关键点．【例28】将∥ABC沿AD平移，A点平移到点D，画出平移后的∥DEF．【解析】连接AD，过B、C分别做AD的平行线，并且在平行线上截取BE=CF=AD，连接ED，EF，DF，得到的△DEF即为平移后的△DEF．【答案】．【点评】用到的知识点为：平移前后的图形的对应点的连线平行且相等．课后作业1.如右图，△DEF是由△ABC平移得到的，AD=4cm，DF=7cm，那么DC=cm．【解析】根据平移的性质得出AC=DF，再利用AD=4，DF=7，即可求出DC的长．【答案】∵将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，AD=4，DF=7，∴AC=DF，∴DC=AC﹣AD=DF﹣AD=7﹣4=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出AC=DF，DC=AC﹣AD=DF﹣AD=AD=CF是解决问题的关键．2.如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是（）A、∠1=∠2B、∠1+∠2=90°C、∠3+∠4=90°D、∠2+∠3=90°【解析】考查平行线的判定问题，可由同位角，内错角相等及同旁内角互补等，判定两直线平行．【答案】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，A、∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，故错误；B、∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即同旁内角互补，可得其平行，故B对；C、D、同B，皆由同旁内角互补，可判定其平行，故C，D都对．故选A．【点评】熟练掌握平行线的判定定理．3.如图所示，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则（）A、l3∥l4B、l2∥l5C、l1∥l5D、l1∥l2【解析】由已知易得∠1=∠4，然后根据两角的位置关系判断两条被截线的关系．【答案】∵∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，∴∠1=∠4（同角的补角相等），∴l1∥l5（内错角相等，两直线平行）．故选C．【点评】解决本题的关键是运用补角的性质：同角的补角相等．。