复变函数第二章解析函数2

复变函数及积分变换第二章

x
arg z在负实轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,

复变函数复变函数2

z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明：可导
可微；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。
在区域内：解析可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.

第2章、解析函数

第二章解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。

最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。

第一节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。

如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。

2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。

注1、此定义也用εδ-语言给出。

注2、可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。

复变函数第二章解析函数

第一节解析函数的概念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第一节解析函数的概念
二、解析函数定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则称 f ( z ) 在 z0点可导，而极限值为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在区域 D内可导。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第一节解析函数的概念

复变函数第二章

2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x

【复变函数】第二章解析函数(工科2版)

(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件所以在z=0处可导处处不解析. 所以在处可导, 处处不解析处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为则f(x)在D内为一个常数】在内处处为在内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y

复变函数2

解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数
u x, y x y xy ,
2 2
求一解析函数 f z u iv 使 f 0 0. 解：（法一） ux 2x y , u y 2 y x
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v
2 x y dy
2
1 2 2 xy y c x vx 2 y c x , 2 1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c ,
u与v是区域D内的调和函数证明：f ( z)在D内解析 u x v y , vx u y ,
u xx vxy , u yy vxy uxx u yy 0. 同样可得 vxx v yy 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv 不一定是解析函数 .
2
2
lim (2 z Δ z ) 2 z .
Δ z 0
所以 f '(z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。）
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则。
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f ( z z ) f ( z ) [解] 这里 lim z 0 z ( x x) 2( y y )i x 2 yi x 2yi lim lim z 0 z 0 x yi x yi x 2yi x lim 1. 取z x 0, lim z 0 x yi z 0 x x 2yi 2y 取z iy 0, lim lim 2. z 0 x yi z 0 y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.

复变函数解析函数

(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数). 证明对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
z lim
z z0
lim
z z0
z z0
n ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 1 ) n lim nz0 1 z z0 z z0
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。

思考题
2
实函数中 f ( x ) x 在( , )内可导 , ; 复函数中 f (z) z 的可导性 , ?
2
1 例2 已知 f ( z ) ( z 5 z ) ，求f ' ( z ) z 1 1 2 解 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所以f ( z )在z0连续
二. 解析函数的概念
定义如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；
如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称