离散数学(1.4真值表与等价公式)
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离散数学讲义
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
设P，Q是两命题，其条件命题是一个复合命题，记做P→Q， 读做“如果P，则Q”。
P 1
真值关系：
Q 1 0 1
PQ 1 0 1
“善意的推定”
1 0
0
0
1
28
1-2 联结词（续）
5、双条件
设P，Q是两命题，其双条件命题是一个复合命题， 记做P↔Q，读做“如果P，则Q”。
P 1 真值关系： 1 0 0
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”，“0” 表示“假”。
13
1-1 命题及其表示法（续）
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
命题的形式化描述：(P↔Q)。
35
1-3 命题公式及翻译（续）
例题3： （自学）
例题4： （自学）
例题5： （自学） 例题6： （自学）
36
习题：
* 各章节后习题中的双号大题中的双 号小题。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
设P，Q是两命题，其条件命题是一个复合命题，记做P→Q， 读做“如果P，则Q”。
P 1
真值关系：
Q 1 0 1
PQ 1 0 1
“善意的推定”
1 0
0
0
1
28
1-2 联结词（续）
5、双条件
设P，Q是两命题，其双条件命题是一个复合命题， 记做P↔Q，读做“如果P，则Q”。
P 1 真值关系： 1 0 0
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”，“0” 表示“假”。
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1-1 命题及其表示法（续）
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
命题的形式化描述：(P↔Q)。
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1-3 命题公式及翻译（续）
例题3： （自学）
例题4： （自学）
例题5： （自学） 例题6： （自学）
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习题：
* 各章节后习题中的双号大题中的双 号小题。
离散数学第1章 命题逻辑
P Q 原命题 P Q （P Q） 利用联结词组合起来
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
离散数学第一章数理逻辑
故命题可形式化为:(A∧B∧C) ↔ P
34
中北大学离散数学课程组
例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
中北大学离散数学课程组
作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
36
中北大学离散数学课程组
b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
37
中北大学离散数学课程组
练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
11
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
24
中北大学离散数学课程组
例 （解）
34
中北大学离散数学课程组
例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
真值表与等价公式
(4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得 到的符号串是命题公式。
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学重要公式定理汇总
⑴ 交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵ 结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。教材里有证明。 ⑶ 同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷ 对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸ ∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学(1.4真值表与等价公式)
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
11
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
F F F F F
Q R P (Q R) (P ∧ Q R
T T F T T T T T T T T T T T T
T F T
T T F
F
T
T
F
T
F
T
F
Байду номын сангаас
T T T
T
T
T
T
17
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
F F T T
F T F T
1
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
11
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
F F F F F
Q R P (Q R) (P ∧ Q R
T T F T T T T T T T T T T T T
T F T
T T F
F
T
T
F
T
F
T
F
Байду номын сангаас
T T T
T
T
T
T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
F F T T
F T F T
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(P Q )
T T F T
(P Q) F
F T F
(P Q) ∧ Q
F F F F
12
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 给定n个(n 1) 命题变元, 按合式公式的形 成规则可以形成无数多个命题公式, 但这 些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的 真值表。考虑：由n个命题变元能生成??? 种真值
23
F F F F F
Q R P (Q R) (P ∧ Q R
T T F T T T T T T T T T T T T
T F T
T T F
F
T
T
F
T
F
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F
T T T
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T
T
T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
• 2、等值演算法(Equivalent Caculation)（利用 P15表1-4.8) • 重要的等价式(补充):
11. 蕴涵等值式: PQ ┐PQ 12. 等价等值式: PQ (P→Q)(Q→P) 13. 假言易位: PQ ┐Q ┐P 14. 等价否定等值式: PQ ┐P┐Q 15. 归谬论: (PQ ) ( P ┐Q) ┐P
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
等值演算在计算机硬件设计中 , 在开关理论和电子元 器件中都占有重要地位. 小结: 本节介绍了真值表、公式等价、等值演算和等 价置换等概念，给出了常用的重要等价公式（24个）。 重点掌握用真值表法验证公式的等价性和等值演算法 推演两个公式等价。 作业：P17 1 c,e, 4 a,c, 7d,e, 8. 预习: 1.5, 1.6 思考题：9
Q PQቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ→P P→Q (P→Q)(Q→P) F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P) P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
(表)不同的命题公式？
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn 为出现于A和B中的所有原子变元,若给P1 , P2 ,…,Pn 任一组真值指派, A和B的真值都相同,则称A和B是 等价的或逻辑相等.记作A B 注: (1) “ ”不是逻辑联结词. (2)命题公式之间的逻辑相等关系具有： 自反性：A A ；对称性：若A B，则B A； 传递性：若A B且B C，则A C。
F F T T
F T F T
T F F T
T F T T
T T F T
T F F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例3：判断公式 P(QR)、(P∧Q)R是否等价。
P Q R
F F F F F T F T F F T T T F F
P∧ Q
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。
P Q P F F
P Q Q P Q
(P Q)( Q P)
F T
T F
T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T F T T F F T T T F T T F
T T T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
P Q R PQ (P Q) ∧R
F F
F F T T T T
F F
T T F F T T
F T
F T F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
P F F F F T T T T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T PQ T T T T F F T T (P Q) ∧R F T F T F F F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1： 证明 Q→（P（PQ））Q→P 证: Q→（P（PQ））Q→P ~~~~~~~~~~~ P(吸收律) 例2： 证明 P┐QQ PQ 证： (P┐Q)Q(PQ)(┐QQ)(PQ)TPQ 例3：证明（P→Q）→（Q R ） PQR 证：（P→Q）→（Q R ） （┐PQ）→（QR） ┐（┐PQ）（QR） （P┐Q）（QR） （PQR）（┐QQR） P Q R
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例4：验证P(QR) (P ∧ Q) R 证: 右 (P ∧ Q) ∨ R P∨Q∨R P ∨ ( Q ∨ R) P ∨ (Q R)) P (Q R) 练：1.((P Q) ∧(P R)) P (Q ∧ R) 2.(P ∧ Q) ∨( P ∧ Q) (P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)
考虑：含有n个命题变元的公式共有多少组 不同的赋值？
定义1.4.2(真值表)在命题公式A中, 对于命题变元的每 一组赋值和由它们所确定的命题公式A的真值列成 表，称做命题公式A 的真值表。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元P1 , P2 ,…,Pn , 列出全部的2n组赋值。 （ 2 ）按从小到大的顺序列出对命题变元 P1 , P2 ,…,Pn ,的全部2n组赋值。 （ 3）对应各组赋值计算出公式 A的真值，并 将其列在对应赋值的后面。
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• •
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P F F T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
比如:对公式(PQ)∧R,赋值FTT(即令P=F,Q=T,R=T) 为 (PQ)∧R 的 成 真 赋 值 ; 另 一 组 赋 值 FTF 为 (PQ)∧R 的 成 假 赋 值 ； 还 有 FFF ， FFT ， TTT……
离散数学(Discrete Mathematics)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
定义1.4.4(子公式)：如果X是wff A的 一部分,且X本身也是wff，则称X是A的 子公式。例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
定理1.4.1(置换定理Axiom of replacement)设X是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来置换， 所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派,X与Y真值相同，所以Y 取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真 值也相同,所以AB。 注: 满足定理1.4.1的条件的置换称为等价置换(或等 价代换). 定义1.4.5(等值演算)：根据已知的等价公式,推演 出另外一些等价公式的过程称为等值演算.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式