高等数学等价无穷小替换_极限的计算
浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
于荣娟;陈红红;梁显丽
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2012(000)028
【摘要】在高等数学中，极限的计算是一个很重要的问题。
本文主要针对一种求
极限的方法——应用等价无穷小及无穷小替换定理求极限。
在无穷小及等价无穷
小替换定理的基础上，研究了和它有关的几个性质、结论，并以某些类型题为例，对其性质进行了举例和应用；同时本文对等价无穷小替换求极限问题进行了总结归纳，扩大了等价无穷小替换在极限计算中的范围，使一些复杂的求极限问题简单化。
【总页数】1页(P198-198)
【作者】于荣娟;陈红红;梁显丽
【作者单位】内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学
职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.浅谈用等价无穷小替换法求极限 [J], 赵文菊;张秀全
2.泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用 [J], 郑瑞根
3.等价无穷小替换在求极限中的应用及推广 [J], 马艳丽;聂东明
4.浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用 [J], 杨录胜
5.等价无穷小替换求极限的推广及应用 [J], 苏燕玲;
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高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
利用函数中间变量等价无穷小代换求极限
用命题 ２ 对 无穷 小进 行 等价 代换 ． 这里 ， 仍使 用 洛必
达法 则进 行计 算 ．
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由命 题 ２得 知 ， 求 两个 无穷 小 之 比的极 限 时 ， 分 子和 分母 都可 用相 应 的等 价 无 穷 小来 代 替 ， 如 果 用
穷 小 的代 换 得 到 了极 限 的简 化 计 算 方 法 ．
关 键 词
中 间 变量 ； 等价无穷小 ； 代换 ； 极 限
文献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５ — ０ ０ ０ ５ — ０ ２
中 图 分 类 号 Ｏ１ ７ １
利 用 函 数 中 间 变 量 等 价 无 穷 小 代 换 求 极 限
倪 华， 田 立 新
（ 江苏大 学 理 学院， 江苏 镇 江， ２ １ ２ ０ １ ３ ）
摘
要 研 究 了 一 类 极 限 ， 极 限 中 函 数 的 中 间变 量 是 无 穷 小 ， 但 函数 本 身并 不是 无 穷 小 ， 利 用 中 间变 量 等价 无
第 １ ８卷 第 ５期
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。
它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。
而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。
下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。
我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。
2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。
3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。
5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。
6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。
7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。
这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。
在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。
一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。
那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。
下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。
一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。
举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。
如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。
实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。
再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
用等价无穷小代换求幂指函数的极限
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
例析等价无穷小代换求极限的方法
例析等价无穷小代换求极限的方法微积分是数学中的一个重要的分枝。
就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。
微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。
极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。
求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。
在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。
用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。
对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。
无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,, 恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。
那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。
或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。
下面就各种情况意义说明。
1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有证明:例如:求解:当时,推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有例如:求解:当时,推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,例如:2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则∴例如:求解:定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若则∴例如:求解:当时,3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误例如:代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。
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讲义无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim 0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2=又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法 例如，2222173373limlim142422xxx x x x x x x x ，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n nn n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== 由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim,,1,1)(2xfxxxxxfx→⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,=x)1(lim)(limxxfxx-=--→→,1=)1(lim)(lim2+=++→→xxfxx,1=左右极限存在且相等, .1)(lim=→xfx故【启发与讨论】思考题1：110,sinx yx x当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(=+=kkxππ取,22)(ππ+=kxy.)(,Mxyk>充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(==kkxπ取,,δ<kxk充分大时当ππkkxyk2sin2)(=但.0M<=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>xf，且Axfx=+∞→)(lim，问：能否保证有0>A的结论？试举例说明.解：不能保证. 例xxf1)(=,0>∀x01)(>=xxf=+∞→)(lim xfx.01lim==+∞→Axx思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x时,1)(xxf=xxxgsin)(=都是无穷小量但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x （2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。