梯形和圆为背景的有关计算

1
P
B 图2图1B
C
C B
图2图1B C 梯形和圆为背景的图形有关计算
一、直角梯形直角梯形直腰为直径的圆的有关计算
例：直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC ＝
AB 4
1
2=R 2； （2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO•AE =2R 2(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .
1、以AB 为直径的⊙O 分别与四边形ABCD 的边AD 、CD 、BC 切于A 、E 、B ，DB=DC 。

（1）如图1，求证：BC=2AD ；
（2）如图2，延长OE 、AD 交于点P ，tan ∠P 的值。

2、以AB 为直径的⊙O 分别与四边形ABCD 的边AD 、CD 、BC 切于A 、E 、B ，CE=4DE 。

（1）如图1， 求证：AB=BC ；
（2）如图2，OE 、BD 交于点M ，求ME
OM
的值。

图1
图2
图3
2
图2
B
图1
G
E B
3、如图1，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ，DE 与⊙O 相切于点E ，点C 为DE 延长线上一点，且CE=CB 。

（1）求证：BC 为⊙O 的切线；
（2）连接AE ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点G （如图2所示）。

若AB=52，AD=2，
求线段BC 和EG 的长。

4、如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作⊙O 的切线CE ，点D 是CE 延长线上一点，连结AD ，且AD+BC=CD .
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）设OE 交AC 于F ，若OF =3，EF =2，求线段BC 的长.
二、直角梯形直角梯形斜腰为直径的圆的有关计算
例题2：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F . ⑴求证：CD 为⊙O 的切线 ⑵若53 AB BE ，求DF
BF
的值
1、梯形BCED 中，DE ∥BC ，BD=CD ，∠BCE=90° ，以BD 为直径的⊙O 交CE 于F 、G ，交BC 于M 。

（1）求证：BC=2DE （2）若DE=2，CF=8求⊙O 的直径。

B
D
3
图2
P 图1
P
2、已知四边形ABCD 中，∠CD=∠90°，过A 、B 两点的⊙O 与边CD 切于点P 。

（1）如图1，若AB 为⊙O 的直径，AD ≠BC ，求证：AD+BC=AB ；
（2）如图2，若AD ＝BC ，且tan ∠APD=2
3
，求cos ∠APB 的值。

3、如图，AB 为半圆⊙O 的直径，AC=BD ，过B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于E ，EG ⊥AC 于G ，BN ⊥EG 于N ，连DC 。

（1）求证：AC=BN ；
（2）若AB=54，DC=5512
，求EG 的长。

4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，O 是CD 边的中点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，交BC 边于点E ，过E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，已知⊙O 与AB 边相切，切点为F 。

（1）求证：OE ∥AB ；
（2）求证：EH=2
1
AB
（3）若41 BE BH ，求CE
BH
的值。

N A
E。