中考数学一轮复习专题圆中角度长度计算问题

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2014中考数学复习课件23与圆有关的计算-第一轮复习第六单元圆

例 12(2013· 乐山)如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2π－4 .
解析：如图，连接 AB，根据轴对称与旋转对称的性质，从图中可知，S
2
阴影
＝ 2(S
扇形
AOB － S△AOB) ＝
90π×2 1 2×( － ×2×2)＝2π－4. 360 2
例 8．(2013· 德州)如图，扇形 AOB 的半径为 1， ∠AOB＝90° ，以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( C )
1 A. π 4
1 B．π－ 2
1 C. 2
1 1 D. π＋ 4 2
解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB＝90° ， 1 所以 AB＝ 2，△AOB 的面积为，扇形 AOB 的面积为 2 90×π×1 π π 1 ＝，所以弓形的面积为－ .又因为半圆的面 360 4 4 2 1 22 π π π 1 积为 π×( ) ＝，所以阴影部分的面积为－ ( － ) 2 2 4 4 4 2 1 ＝ .故选 C. 2
例 5 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A＝30° ， AB＝2.将△ ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至△ AB′C′ 的位置，B，A，C′三点共线，则线段 BC 扫过的区域 5 面积为 π . 12
3 解析：在 Rt△ABC 中，AC＝AB· cos 30° ＝2× ＝ 2 3.∠BAB′ ＝ ∠CAC′ ＝ 150° . 把 △AB′C′ 按逆时针旋转到△ABC 的位置，则阴影部分恰好为一个完整的扇环， 150π× 22 150π× 32 所以 S 阴影＝S 扇形 BAB′－S 扇形 CAC′＝－＝ 360 360 5 π. 12

中考数学角度、长度和面积的计算讲义及答案

中考数学角度、长度和面积的计算（讲义）一、知识点睛●几何计算、证明的基本思考流程1．标注条件，合理转化2．分析结构，整合信息3．由因导果，执果索因●几何中常见的思考角度1．角①同位角、内错角、同旁内角常用来证；②内角、外角、对顶角、余角、补角，常用来；③圆中，常找的角是、_________________；④直角，常考虑、、、、______；⑤特殊角30°、45°、60°等，常放在中，求三角形关系．2．中点的常用方法有_____________、____________________、________________________、_________________________．3．角平分线、垂直平分线常考虑性质．4．面积①公式法（规则图形）；②割补转化法（分割求和、补形作差）；③性质法（相似类、同底类、共高类、构造平行同底等高转移类）．二、精讲精练1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是__________．ADOE CF B2．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B'处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB'与AD 的交点'C 处，则BC :AB 的值为．B 'C 'FEDC BAADFEBC第2题图第3题图 3．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F为AD 的中点，若∠AEF =54°，则∠B =___________． 4．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为________．FEBAGDC G FB ECD A第4题图第5题图5．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =60°，BC =2AD =23，点E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周长为_____________． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝5，OC ＝62，则另一直角边BC 的长为．C BOAED7．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(32，0)、（0，2），P 是△AOB 外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP =45°，则点P 的坐标为． OAxPyBADEBC F第7题图第8题图8．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上的一点，且AD =23AB ，DF ∥BC ，E 为BD 的中点．若EF ⊥AC ，BC =6，则四边形DBCF 的面积为．9．如图，△ABC 的面积为63，D 是BC 上的一点，且BD ∶CD ＝2∶1，DE ∥AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE ∶ED ＝2∶1，则△CDF 的面积为．EBDCAF OF GE DCB A第9题图第10题图10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BD ⊥DC ，BD =DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH =DH ；②EH CH )12(+=；③ECEHS S EBH ENH =，其中正确的是．A DH N EBCCFM PND AEB第11题图第12题图12．如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2AD ，点E 、F 分别是AB 、BC 边的中点．连接AF 、CE 交于点M ，连接BM 并延长交CD 于点N ，连接DE 交AF 于点P ，则下列结论：①∠ABN =∠CBN ；②DE ∥BN ；③△CDE 是等腰三角形；④EM ∶BE =5∶3； ⑤18EPM ABCD S S =△梯形，其中正确的是．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．①平行②转化计算③圆周角、圆心角④互余、勾股定理、高、距离、直径⑤直角三角形、边角2．倍长、三线合一、中位线、直角三角形斜边中线等于斜边的一半3．轴对称二、精讲精练1．50°2．33．72°4．155．3+36．77．()31,31++8．159．42 10．74S11．②③12．①②③④。

初三上学期期末专题复习圆内有关角度、长度的计算

圆内有关角度、长度的计算一、选择题1．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（）A 、︒5.67B 、︒135C 、︒5.112D 、︒110 2．如图1所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对 3．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（） A 、215 B 、315 C 、2315 D 、2215 4．下列四边形中，有外接圆的四边形是（） A 、有一个角为︒60的平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、直角梯形5．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么 ∠C 等于（）A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒40 6．若四边形ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n ，则（） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9 D 、m=n=︒180二、填空题1．（南通市，2006）圆内接四边形ABCD 中∠A ：∠B ：∠C=4：5：2，则∠D=________。

2．（无锡市，2007）如图21-5，⊙O 的内接四边形ABCD 的边AB 与DC 的延长线交于点P ，已知∠DAB=60°，∠ABC=100°则∠P=________度。

3．（河北省，2006）若三角形的三边长分别为3、4、5，则其外接圆直径的长等于________。

ACBPQ图1ADB C· O 图24．（山西省2007）三角形的一边长为a,它的对角30°，则此三角形外接圆的半径为________。

5．（吉林省，2006）圆内接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=________度。

6．（三明市，2007）圆内接四边形ABCD 中，如果∠A=2∠C ，那么∠C=________度。

人教版九年级数学上册《圆中的角度计算》必考题型专项分类专题练习

人教版九年级数学上册《圆中的角度计算》必考题型专项分类专题练习《圆中的角度计算》必考经典题型专项分类专题练习题型一：垂径定理中的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,则∠AEO的度数是________.=AC?,∠A=30°,则∠B= ( )2.如图所示,在☉O中,ABA.150°B.75°C.60°D.15°3.如图,在☉O中,直径AB∥弦CD,若∠COD=120°,则∠BOD=________°.=AC?,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠COA.4.如图,在☉O中,AB题型二：和圆周角、圆心角相关的角度计算=AC?,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )1.在☉O中,ABA.40°B.30°C.20°D.15°2.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°3.如图,点A,B,C在☉O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B= 。

4.如图,已知经过原点的☉P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB= 。

5.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,求∠CAD的度数。

题型三：和切线有关的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,AC切☉O于A,BC交☉O于点D,若∠C=70°,则∠AOD 的度数为( )A.70°B.35°C.20°D.40°2.在△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,点I为△ACD 的内切圆圆心,则∠AIB的度数是( )A.120°B.125°C.135°D.150°【解析】选C.如图所示,因为I 为△ACD 的内切圆圆心,则IA 平分∠BAC,即∠IAD=∠IAC,则△AIB ≌△AIC,则∠AIB=∠AIC.在△AIC 中,∠AIC=180°-12∠DAC-12∠ACD=180°-12(∠DAC+∠ACD). 又∠DAC+∠ACD=90°,所以∠AIC=180°-12×90°=135°,即∠AIB=135°.3. 如图,△ABC 中,内切圆I 和边BC,AC,AB 分别相切于点D,E,F,P 为EF ?上任一点,若∠BAC=40°,求∠EDF 和∠EPF 的度数.4. 如图,在△ABC 中,以BC 为直径的圆交AC 于点D,∠ABD=∠ACB.(1)求证:AB 是圆的切线.(2)若点E 是BC 上一点,已知BE=4,tan ∠AEB=53,AB ∶BC=2∶3,求圆的直径.题型四：扇形、多边形中的角度计算1.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则∠PAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°2.如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.(1)求证:AD是半圆O的切线.(2)连接CD,求证:∠A=2∠CDE.的长.(3)若∠CDE=27°,OB=2,求BD3. (1)如图,EF是☉O的直径,请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD,要求所作正方形的一组对边AD,BC垂直于EF.(见示意图;不写作法,保留作图痕迹). (2)连接EA,EB,求出∠EAD,∠EBC的度数.《圆中的角度计算》必考经典题型八项分类专题练习（答案版）题型一：垂径定理中的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,则∠AEO的度数是________.【解析】∵BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,×(180°-78°)=51°.∴∠AEO=12答案:51°=AC?,∠A=30°,则∠B= ( )2.如图所示,在☉O中,ABA.150°B.75°C.60°D.15°【解析】选B.∵在☉O中,AB?=AC?,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B=180°?30°=75°.23.如图,在☉O中,直径AB∥弦CD,若∠COD=120°,则∠BOD=________°.【解析】∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵∠COD=120°,∴∠C=∠D=30°,∵AB∥CD,∴∠BOD=∠D=30°.答案:30=AC?,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠COA.4.如图,在☉O中,AB【证明】∵AB?=AC?,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∴∠AOB=∠BOC=∠COA.题型二：和圆周角、圆心角相关的角度计算=AC?,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )1.在☉O中,ABA.40°B.30°C.20°D.15°【解析】选C.由AB?=AC?可知,AB?与AC?所对的圆心角的度数相等,又因为×40°=20°.∠AOB=40°,所以AC?所对的圆心角的度数为40°,所以∠ADC=122.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°【解析】选A.∵A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,∴∠AOC=2∠B=150°.3.如图,点A,B,C在☉O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B= 。

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52，即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。

九年级圆求角度题知识点

九年级圆求角度题知识点圆是我们数学学习中的重要概念之一，它涉及到很多有趣而又实用的知识点，其中包括圆求角度题。

在本文中，我们将详细介绍关于九年级圆求角度题的知识点。

1. 弧度与角度的转换在圆的求角度题中，我们常常会遇到弧度与角度之间的转换。

弧度是表示角度大小的一种单位，在圆的内部，弧度与半径长和弧长之间存在一定的关系。

具体转换方法如下：- 弧度到角度：角度 = 弧度* (180/π)- 角度到弧度：弧度 = 角度* (π/180)其中，π（pi）是一个著名的数学常数，约等于3.14159。

2. 弧长与半径、圆心角的关系在圆的求角度题中，我们还需要熟悉弧长、半径及圆心角之间的关系。

当我们已知圆心角的大小时，可以通过以下公式计算弧长：弧长 = 圆心角/ 360° * 2πr其中，r表示圆的半径。

3. 圆周角与弧度的关系圆周角是指整个圆的内角总和，它的大小恒定为360°或2π弧度。

因此，在圆的求角度题中，我们经常会用到圆周角与弧度之间的换算。

4. 弦与弧的关系在圆的求角度题中，弦是一个重要概念。

弦是连接圆上两点的线段，它可以将圆分成两个弧。

对于相同半径的圆，相等弧对应的弦也相等。

5. 切线角与弦的关系切线是与圆相切的直线，与切线相交的弦所对应的角被称为切线角。

在圆的求角度题中，我们需要掌握切线角与弦的关系。

当切线与弦相交时，切线角等于所对应的弦上的圆心角的一半。

6. 弧度制求解圆求角度题弧度制是一种用弧长与半径比值表示角度大小的单位制。

在解决圆的求角度题时，使用弧度制可以更方便地计算。

比如，通过转化角度为弧度制，我们可以利用等于弧长与半径的比值来求解各种圆求角度题。

以上就是关于九年级圆求角度题的一些重要知识点。

在实际问题中，我们可能会结合这些知识点，进行复杂的角度计算。

通过不断练习，我们可以提高在圆的求角度题中的解题能力，更好地理解圆的几何性质。

希望本文对你的数学学习有所帮助！。

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章圆微专题7 圆中最值及隐圆问题

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究
微专题七
圆中最值及隐圆问题
类型 11
点圆最值
已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一点，当D，O，E三点共线时，线段
已知条件
DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)，设点O与点D之间的距离为d，
⊙O的半径为r
位置关系
点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
2π
△A′BC′.若BC＝6，则点C运动的路径长为____．
思路点拨
第一步：依据特征找模型
特征1：是否存在一定点和一动点(定
点：点B，动点：点C)
特征2：连接定点和动点的线段长度是
否固定(BC＝6 )
第二步：抽离模型
第三步：模型应用
以点B为圆心，BC长为半径作圆，
෢
点C′在’上.
例 2 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，
(1)点A，B，C，D在同一个圆上，AB为⊙O的直径；
(2)圆内接四边形的对角互补
例 5 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，BD，若AC＝2，∠BCD＝
135°，则BD的长为( A )
A． 2
B．2 2
C． 3
D．2 3
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于
A．1.5
B．1.2
C．2.4
D．以上都不对
类型 31
已知条件
定点定长作隐圆
平面内，O为定点，B为动点，且OB长度
OA＝OB＝OC
固定
类型
一点作圆
三点作圆
图示
结论
点B的轨迹在以点O为圆心，OB长为半径

备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合(切线证明、长度与面积问题)

备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合练习一：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC 于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．2．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．3．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C，D，E均在⊙O上（不与A，B重合），EA 的延长线交DC的延长线于点F，过点A作⊙O的切线AG交DF于点G，连接AC，AD，DE，DB．（1）求证：∠DAG＝∠FCA．（2）填空：①当DB＝，△ACG是等腰直角三角形；②当DB＝，四边形ODCA是平行四边形．4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC的度数．（2）求证：△PCM为等边三角形．（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面积．5．以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D．（1）如图1，过点D作⊙O的切线交AC于E，若点E为线段AC中点，求证：AC与⊙O相切．（2）在（1）的条件下，若BD＝6，AB＝10，求△ABC的面积．（3）如图2，连OC交⊙O于E，BE的延长线交AC于F，若AB＝AC，CE＝AF＝4，求CF的长．练习二：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点F．连接AE．（1）求证：AE平分∠CAD；（2）连接DF，交AE于点G，若⊙O的直径是12，AE＝10，求EG的长；（3）连接CD，若∠B＝30°，CE＝2，求CD的长．7．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D、E、F．（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：内切圆半径r＝（a+c﹣b）（2）若AD交圆于P，PC交圆于H，FH∥BC，求∠CPD；（3）若r＝3，PD＝18，PC＝27，求△ABC各边长．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，＝．（1）求证：AD+CD＝BD；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA2+CF2＝EF2；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O半径．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且BE＝2，CD＝8，点G是⊙O上一动点，连结AD，AG，GD，BC．（1）求直径AB的长；（2）若G是上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由；（3）当△ADG和△CEB相似时，求此时AG的长．10．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．练习三：11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．12．P是以AB为直径的半圆上一动点（P与A、B不重合），O为圆心，CO⊥AP，OC、BC与AP分别相交于D、E两点，AB＝12．（1）若∠ABC＝35°，求∠PAB的度数；（2）若AP平分线段BC，求弦AP的长度；（3）是否存在点P，使△PBC的面积为整数，如果存在，这样的P点有几个？（直接写出结果，不需写出解题过程．）13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．14．定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形（1）求美角∠C的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为2，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD＝AC．15．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若＝，求的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表示）参考答案1．解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∵OH＝OE＝OB，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．2．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴＝，即＝，∴AC＝4，即AC的长为4；（3）解：AC＝BC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠DAB＝45°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（SAS），∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴△EFC为等腰直角三角形．∴CF＝EC，∴AC＝AF+CF＝BC+EC．3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵AG是⊙O的切线，∴∠OAG＝90°，即∠DAG+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠DAG，∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，∴∠DCA+∠DBA＝180°，又∵∠DCA+∠FCA＝180°，∴∠FCA＝∠DBA，∴∠DAG＝∠FCA；（2）解：①如图1所示：∵△ACG是等腰直角三角形，∴CG＝AG，AG⊥CG，∴∠CAG＝∠GCA＝45°，∵AG是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°，∴点D与点C重合，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×4＝2，故答案为：2；②如图2所示：连接OC，∵四边形ODCA是平行四边形，∵OA＝OD，∴平行四边形ODCA是菱形，∴OC＝OA＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BAD＝∠OAC＝×60°＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB＝AB＝×4＝2，故答案为：2．4．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°；（2）∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∵CM∥BP，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，又由（1）得∠APC＝60°，∴△PCM为等边三角形；（3）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，∴∠BCP＝∠ACM，在△BCP和△ACM中，，∴△BCP≌△ACM（SAS），∴CM＝CP，AM＝BP＝3，∴CM＝PM＝1+3＝4，作PH⊥CM于H，在Rt△PMH中，∠PMH＝60°，PM＝4，∴PH＝2，∴S △PCM＝PH•CM＝×4×2＝4．5．证明：（1）连接OD，OE，AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵点E为线段AC中点，∴AE＝EC，∴AE＝DE，在△ODE与△OAE中，∴△ODE≌△OAE（SSS），∴∠ODE＝∠OAE，∵⊙O的切线交AC于E，∴∠ODE＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）如图1，连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝8，∵tan∠ABD＝，∴∴AC＝，∴S△ABC＝×AC×AB＝＝；（3）如图，作FH∥AB交OC于H，设半径为r△FEH为等腰三角形∵AC＝AB＝2r∴CF＝2r﹣4∵△CFH∽△OAC∴∴HF＝r﹣2∴EH＝r﹣2∴HC＝4﹣（r﹣2）＝6﹣r∵△CFH∽△OAC∴∴∴r＝1±∴r＝1+∴CF＝2r﹣4＝2﹣26．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵BC是⊙O切线∴OE⊥BC∴∠OEB＝90°，且∠ACB＝90°∴OE∥AC∴∠CAE＝∠AEO∴∠CAE＝∠EAO∴AE平分∠CAD（2）连接DE，∵AD是直径∴∠AED＝90°，∵AD＝12，AE＝10∴DE＝＝2∵∠EDF＝∠EAC＝∠EAD，∠AED＝∠AED ∴△DEG∽△AED∴∴DE2＝AE×EG∴44＝10×EG∴EG＝4.4（3）如图，过点D作DP⊥BC于点P∵∠B＝30°，∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°，AB＝2AC∵AE平分∠CAB∴∠CAE＝∠BAE＝30°∴∠B＝∠EAB＝30°∴AE＝BE，∵∠CAE＝30°，CE＝2，∠ACB＝90°∴AE＝2CE＝4，AC＝CE＝6，∴AB＝2AC＝12∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，AE＝4∴DE＝4，AD＝8∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4∵PD⊥BC，∠B＝30°，BD＝4∴PD＝2，PB＝2，∴CP＝CE+BE﹣PB＝2+4﹣2＝4在Rt△CDP中，CD＝＝27．解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE ∴∠B＝∠ODB＝∠OFB＝90°∴四边形BDOF是矩形∵OD＝OF＝r∴矩形BDOF是正方形∴BD＝BF＝r∴AE＝AF＝AB﹣BF＝c﹣r，CE＝CD＝BC﹣BD＝a﹣r∵AE+CE＝AC∴c﹣r+a﹣r＝b整理得：r＝（a+c﹣b）（2）取FH中点O，连接OD∵FH∥BC∴∠AFH＝∠B＝90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH＝∠ODB＝90°∴∠CPD＝∠DOH＝45°（3）设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于点G，连接PG，过O作OM⊥PD于M ∴∠OMD＝90°∵PD＝18∴DM＝PD＝9∵BF＝BD＝OD＝r＝，∴OM＝∴tan∠MOD＝∵DG为直径∴∠DPG＝90°∴OM∥PG，∠G+∠ODM＝90°∴∠G＝∠MOD∵∠ODB＝∠ADB+∠ODM＝90°∴∠ADB＝∠G∴∠ADB＝∠MOD∴tan∠ADB＝＝tan∠MOD＝3∴AB＝3BD＝3r＝∴AE＝AF＝AB﹣BF＝设CE＝CD＝x，则BC＝+x，AC＝+x ∵AB2+BC2＝AC2∴解得：x＝∴BC＝12，AC＝15∴△ABC各边长AB＝，AC＝，BC＝8．解：（1）延长DA至W，使AW＝CD，连接WB，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝BC，∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠WAB＝180°，∴∠BCD＝∠WAB，在△BCD和△BAW中，，∴△BCD≌△BAW（SAS），∴BW＝BD，∴△WBD是等腰直角三角形，∴AD+DC＝DW＝BD；（2）如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，则α+β＝45°，过B作BE的垂线BN，使BN＝BE，连接NC，在△AEB和△CNB中，，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°，∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN，∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）得EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形COMH＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∴AE＝3，CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∴（3）2+[（k+3）]2＝[（8k﹣3）]2，整理，得7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1，∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O半径为6．9．解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，∵BE＝2，∴OE＝r﹣2，∵直径AB⊥CD，∴CE＝CD＝4，在Rt△OEC中，根据勾股定理得，OC2﹣OE2＝CE2，∴r2﹣（r﹣2）2＝16，∴r＝5，∴AB＝2r＝10，即：直径AB的长为10；（2）∠AGD＝∠ABC＝∠ADC，理由：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ABC＝∠AGD（等弧所对的圆周角相等），∵∠ADC＝∠ABC，∴∠AGD＝∠ABC＝∠ADC；（3）∵CD⊥AB，∴∠BEC＝90°，由（2）知，∠AGD＝∠CBE，∵△ADG与△CEB相似，∴∠ADG＝∠BEC＝90°或∠DAG＝∠BEC＝90°，①当∠ADG＝90°时，∴AG是⊙O的直径，∴点G和点B重合，此时，AG＝AB＝10；②当∠DAG＝90°时，∴DG是⊙O的直径，DG＝10，如图2，在Rt△BEC中，BE＝2，CE＝4，∴BC＝＝2，∵△DAG∽△CEB，∴，∴，∴AG＝2，即：当△ADG和△CEB相似时，AG的长为10或2．10．解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，∵AC＝BC，∴∠BDC＝∠CDA＝∠DAM＝45°，∴AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则HE＝GE，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．11．（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴＝，∴AB•CP＝BD•CD．（3）解：∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，∴BD＝CD＝，∵AB•CP＝BD•CD．∴PC＝＝．12．解：如图连接BP，CP，OP，（1）∵∠ABC＝35°，∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，∵CO⊥AP，∴∠PAB＝90°﹣70°＝20°；（2）∵AB是圆的直径，∴BP⊥AP，∵CO⊥AP，∴OC∥BP，∠CDE＝∠BPE＝90°，∵CE＝BE，∠CED＝∠BEP，∴△BPE≌△CDE，∴CD＝BP，∵AO＝BO，OC∥BP，∴2OD＝BP，∴CD＝2OD，∵OC＝AB＝6，∴OD＝2，BP＝4，由勾股定理可得，AP＝＝＝8；（3）∵OC∥BP，∴S△BPC＝S△BOP，∵OB＝6，∴当点P到OB距离为，，…，6时，S△BPC为整数，∴这样的P点有35个．13．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠BAD＝180°，∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；（2）如图1连接OC，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，∵OB＝OC＝OD，∴△BOC和△DOC都是等边三角形，∴OB＝OC＝OD＝BC＝DC，∴四边形OBCD是菱形，（3）如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，∵∠BOD＝120°，OB＝OD，∴∠ODM＝30°，∵∠BOM＝∠DOM，∴OM⊥BD，∴OM＝r，DM＝r，∴BD＝2DM＝r，∴，∵∠ODA＝45°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，∴∠AOB＝150°，∴∠AON＝30°，∴AN＝OA＝r，∴S△AOB＝r2，∴△ABD的面积为r2+r2+r2＝（+）r2．14．解：（1）∵四边形ABCD是圆美四边形，∴∠C＝2∠A，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝120°；（2）由（1）知，∠A＝60°，如图1，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，∴∠E＝∠A＝60°，∵⊙O的半径为2，∴DE＝2×2＝4，在Rt△DBE中，BD＝DE•sin E＝4×＝6；（3）如图2，在CA上截取CF＝CB，由（1）知，∠BCD＝120°，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BC＝BF，∠BFC＝60°，∴∠AFB＝120°，∠AFB＝∠BCD，在△ABF和△BCD中，，∴△ABF≌△DBC（AAS），∴AF＝DC，∴AC＝CF+AF＝BC+CD．15．解：（1）∵BC＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝∠COB＝30°，∵OC＝OD，点E为CD中点，∴OE⊥CD，∴∠GED＝90°，∴∠DGE＝60°；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3∵∠COB＝60°∴OH＝＝1，∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，在Rt△BHF中，BF＝＝，由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，∴∠OGB＝∠OCB，∵∠OFG＝∠CFB，∴△FGO∽△FCB，∴，∴GF＝，∴；（3）过点F作FH⊥AB于点H，设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，∵∠COB＝60°，∴OH＝，∴HF＝，HB＝OB﹣OH＝k+，在Rt△BHF中，BF＝，由（2）得：△FGO∽△FCB，∴，即，∴GO＝，过点C作CP⊥BD于点P∵∠CDB＝30°∴PC＝CD，∵点E是CD中点，∴DE＝CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴．。

重难点圆中的计算及其综合专项中考数学

重难点圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。

解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

2025年九年级中考数学一轮复习考点突破课件+第26讲与圆有关的计算(7年7考,3～5分)

面积为( D )
A. 4
B. 6
C. π
D. π
D
3. (2022·玉林16题3分)数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁
丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不
计)，则所得扇形DAB的面积是 ⁠.
1
4. (2019·北部湾经济区23题8分)如图，△ABC是☉O的内接三角
∴ 的长为＝ π.
圆锥的有关计算(7年1考，3分)
5. (2022·柳州10题3分)如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长
AC＝12，则这个圆锥的侧面积为( C )
A. 16π
B. 24π
C. 48π
D. 96π
C
6. (2021·北部湾经济区17题3分·源自人教九上P116第10题)如图，
3. [源自人教九上P的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ⁠.
4. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积
为 ⁠.
2
20π
考点梳理
3. 正多边形和圆
(1)正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，正n边
形的中心角α的度数为；
(2)正多边形中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边
心距；
(3)正多边形的外接圆的半径R、边心距r、边长a之间的关系：
r2＋()2＝R2.
对点训练
5. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数
是 ⁠.
是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC
分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为( C )
A.
B.
C.
D.
C
8. (2020·百色16题3分)如图，正方形ABCD的边长为2.以点A为

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2022-2023学年中考数学一轮复习专题---圆中角度长度计算问题一、角度问题
1．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则
∠B=（）
A．70° B．60°C．50°D．40°
2．如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB=36°，则∠AOB=．
3．已知∠O的直径AB长为2，弦AC长为√2，那么弦AC所对的圆周角的度数等
于．
4．如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则
∠C=°．
5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）
A．28° B．30°C．36° D．56°
6．如图，AB是∠O的直径，PA与∠O相切于点A，∠ABC＝
25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）
A．25° B．35° C．40° D．50°
7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=62°，则∠ACB=度.
⌢的8．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P=30°，∠AOC=80°，则BD
度数是（）
A．30°B．25°C．20°D．10°
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°
10．如图，∠O是△ABC的外接圆，AC是∠O的直径，点P在∠O上，若∠ACB=40°，则∠BPC的度数
是（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
11．如图，∠DCE是∠O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的
度数为.
12．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）
A．2√13
13B．3√13
13
C．23D．√5
3
二、长度问题
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC⌢=BD⌢，∠CDB=30°，AC=2√3，则OE=（）
A．√3
2
B．√3C．1D．2
14．如图，点A，C，D，B在∠O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形.若∠ABC=45°，AC=√2，则⊙O的半径是.
三、切线长问题
16．四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
17．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是∠O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
18．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB=AM；
（3）若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
19．如图，在Rt∠ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、
E 的∠O 分别交AB 、AC 于点D 、
F ，连接OD 交AE 于点M ．
（1）求证：BC 是∠O 的切线．
（2）若CF ＝2，sinC ＝35
，求AE 的长． 20．如图， ⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 是直径， OD ⊥OC ，连接AD ， ∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．
（1）求证：AD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 tan∠OAC =12 ， AD =32
，求 ⊙O 的半径． 21．如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 E 是 ⊙O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB � 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC ⊥AE 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ∠ADC 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH=4√2，HB=2，求⊙O的直径．
22．如图，AB是∠O的直径，E为∠O上的一点，∠ABE的平分线交∠O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且∠PCA＝∠CBD.
（1）求证：PC为∠O的切线；
（2）若PC＝2√2BO，PB＝12，求∠O的半径及BE的长.
23．如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长.
四、阴影面积问题
24．如图，∠ABC是∠O的内接三角形，AD是∠O的直径，∠ABC=60°．
（1）求：∠CAD的度数；
（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积．
25．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分
∠BAD，CD=2√2，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE=5√2，计算图中阴影部分的面积．
27．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
28．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为BC⌢的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是∠O的切线；
（2）若AC
⌢=BD⌢，CG＝2√3，求阴影部分的面积．
29．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD=AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD=4
5，AB=4√5，求AC长度及阴影部分面积．
五、正多边形与圆
30．如图，已知⊙O的半径为1，则它的内接正方形ABCD的边长为（）
A．√2B．2C．1D．2√2
31．如图，已知∠O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）
A．3√3B．32C．3√3
2
D．3
32．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依
次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆
内接正六边形的周长l6=6R，则π≈l6
2R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约
为（）
A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°。