2019-2020学年九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题教学课件 (新版)华东师
初中数学九年级下册《27.3圆中的计算问题》PPT课件 (2)
1、圆锥的侧面展开图 2、计算圆锥的侧面积和全面积， 3、圆锥的底面周长就是其侧面展开
图扇形的弧长。 4、圆锥的母线就是其侧面展开图扇
形的半径
ha
2、如图，若圆锥的侧面展
开图图的是圆半心圆角，是那_1_8么_0度这；个展开 圆锥底半径1:2r与母线a的比
S
h
l
A
Or
B
童心玩具厂欲生产一种圣诞
老人的帽子，其帽身是圆锥
形(如图)PB=15cm，底面半
径r=5cm，生产这种帽身
A
10000个，你能帮玩具厂算
一算至少需多少平方米的材
料吗（不计接缝用料，和余
答：至少需 235.5 平方米的材料.
P
l
O. r
B
如图，圆锥的底面半径为1，母线长 为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点 B，问它爬行的最短路线是多少？ A
B
C
解： 将圆锥沿AB展开成扇形ABB， 则点C是BB
， 的 沿A6A.最 3在 0BB. BB垂 垂 答 解 答 短 R展 过AtBBB，：：B足 路 ：1足 开 点 D垂 答 解 ADABA2DB它 将 B则 为 线 B0垂 答 解 成 它 BBAB为 ：：足 A B垂 答 解 ADDBCD爬 圆 B点 是 6B扇 D它 将 BD为 ：：爬 足 23中 BAB作.：：0足 23ADr行 锥 Bl.23DCAD爬 圆 形 DBr行 ，它 将 Bl为 236,3它 将 BB为 A.是 A的 沿 06AAr行 锥 l33D3D的 D0D爬 圆 6D爬 圆 B36B3A..B最 2323的 沿 在 0BB03..6B.B最 r行 锥 l在 r6行 锥 lAA.A0最 短 R展 在 ，0636的 BD33Ct的 沿 短 0R短 的 沿 R展 路 013.开 则 3At26t中 A.最 在 路 6A2 A02垂 答 解 0点 BC线 短 0R成 展 B线 是 0C扇 B短 中 R展 B,tCB，是 是 ：：足 扇 路 1C开 23A中 形 t是 A，A2DB中 路 1开 23BB形 过 线 0A成 它 将 B，为 BA223A3BA，BC线 0成 .B3点 是 扇 DBDBB爬 圆 的 3中 .B23C3BA.23是 B.扇 ，形 .A中 ，中 rD行 锥 l，B作 DBA则 36形 33A点 则 ，B的 沿 B0.D3点 6BBA，点 6D30 6AA.0最 BC在 ，.过 0C,DABBB是 ,6是 A则 A短 R展 点 A0AB，BBBtD点 6BBCB路 ,1开 0则 作 CA，A2C的 3的 3,B线 .0.成 是 BB点 A6中 中 D
课题：27.3圆中的计算问题(第1课时弧长和扇形的面积)
nR 2 360
探究发现
若设圆心角是n的扇形面积为S,圆的半径为r,则扇形的面积为：
S 扇形
n nr r 1 2 r lr 360 180 2 2
n 2 s r 360
1 s lr 2
探究发现
S扇形
nr 360
2
S 扇形
1 lr 2
（Ⅰ）应用方法：
例 2 如图，已知⊙O半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦
BC//AO，若∠A=30°，求劣弧BC的长。
C B A
O
数 学 活 动 室
2.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向转动一次, 使它转到△A'BC '的位置。若BC=1，∠A=30°。求点A运动到 A'位置时，点A经过的路线长。
扇形面积
180 360
180 r 2 360
90 360
45 360
n 360
90 r 2 360
45 r 2 360
n r 2 360
探究发现
如果设圆心角是n的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形的面积为：
S 扇形
nr 2 360
A
O
B O
l
n R 180
S扇形
求图中阴影部分的面积之和。
A A A D B
B
B
C
B
C
【拓展】如图,依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画 半径为1的圆,且圆与圆之间两两不相交。把三角形与各圆重叠部分面积 之和记为S3,四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4, ……,n边形与各圆 重叠部分面积之和记为Sn,求S90的值。
27.3 圆中的计算问题(2)-2020-2021学年华东师大版九年级数学下册课件
解：∵ 圆锥的高4cm，底面半径3cm， ∴ 圆锥的母线长为5 cm, ∴ S侧=π×3×5 =15π(cm2)
5 cm
4 3
S全=S侧+S底
=5π+9π
=24π(cm2)
∴ 这个圆锥形零件的侧面积为15πcm2,全面积24πcm2.
例题精析
例2 一个圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为 20π的扇形.试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
ha r
作业与课外学习任务
1.作业：课本P63 习题27.3 3,4 练习：学习检测 P36-38 1～15
2.课外学习任务： 预习课本P65-67 27.4 正多边形和圆
教学反馈： 作业存在的主要问题：
新知探索
如图，沿着圆锥的母线剪开，把圆锥的侧面展开， 得到一个 扇形 .
S
AO
B
圆锥的侧面展开图
新知探索
问题1:圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中 的哪一条线段相等？
问题2:沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开，得到一个 扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
扇形的半径就是 圆锥的母线长
即时应用
1.根据下列条件求值(其中r、h、a分别是圆锥的 底面半径、高线、母线长): (1) a = 2, r=1 则 h=_______; (2) h =3, r=4 则 a=____5___; (3) a =17, h = 15 则r=___8____.
图 23.3.6
2.已知一个圆锥的高为8 cm,半径为6 cm, 则这个圆锥的母线长为_1_0__c_m__.
5.若圆锥的底面周长是20π,侧面展开后所得的扇形的圆心
角为60度,则该圆锥的侧面积为_6_0_0_π_ ,全面积为_7_0_0_π___.
2020华师版九年级数学下册 27.3圆中的计算问题
27.3圆中的计算问题学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并能利用这些公式解决有关问题。
2、了解圆锥的侧面展开图是一个扇形，掌握圆锥的侧面积和全面积计算公式，并会用公式解决问题。
【重点难点】1、弧长公式和扇形面积公式及运用公式求弧长和扇形面积。
2、圆锥的侧面展开图及侧面积和全面积的计算。
知识概览图扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形圆锥：可以看成一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一 周而形成的图形弧长公式：l ＝180n Rπ扇形面积公式：S 扇＝2180n R π；S 扇＝12lR (l 为扇形的弧长)S 侧＝xrlS 全＝πrl ＋πr 2新课导引【生活链接】某中学的体育场上有一跑道，第一跑道每圈400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道长 85米，跑道宽为1米，现在要画出4×100米的起点. 你能求出两个弯道的直径长吗?【问题探究】由于每圈跑道400米，其中两直道长为85×2＝170米，故两个弯道长为400－170＝230米，两个弯道均为半圆，故可看作是一个圆形(周长为230米)，进而利用圆的周长公式可求出其直径．【点拨】400852230ππ-⨯=(米)．教材精华知识点1 弧长公式圆中的计算问题扇形与圆锥的定义 弧长与扇形面积公式圆锥的侧面积与全面积的计算公式弧长公式．因为圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360，所以圆心角是n °的弧长l ＝n ·2360r π＝n 180rπ，其中的n 表示1°的圆心角的倍数，不带单位，180也不带单位． 所以弧长公式为l ＝180n rπ． 拓展 在弧长公式l ＝180n rπ中有三个变量l ，n ，r ，已知其中的任意两个变量，可求出第三个变量．探究交流 (1)如图28－104(1)所示，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在的圆的半径分别是20 cm ，10 cm ，∠AOB ＝120°，求这个广告标志的周长；(精确到0．1 cm)(2)如图28－104(2)所示，⊙O 1的半径是⊙O 2的直径，C 是⊙O 1上的一点，O 1C 交⊙O 2于点B ．若⊙O 1的半径等于5，AC 的长等于⊙O 1的周长的110，求AB 的长．点拨 (1)本题是对弧长公式的实际应用．广告标志的周长由四部分组成，不要漏算AC 和BD 的长．设半径为20 cm ，10 cm 的圆的弧长分别是l 1，l 2．根据题意得l 1＝24020801803π⨯⨯=π(cm)，l 2＝24010401803π⨯⨯=π(cm)． ∴广告标志的周长为： l 1＋l 2＋AC ＋BD ＝803π＋403π＋(20－10)×2＝40π＋20≈145．7(cm)．(2)本题主要考查弦长公式与圆周角、圆心角的综合应用．连接BO 2．∵AC 的长等于⊙O 1的周长的110，∴∠CO 1A ＝110×360°＝36°，∴∠BO 1A ＝36°，∴∠BO 2A ＝72°． 由已知得O 1A ＝2O 2A ＝5，∴O 2A ＝52，∴l AB ＝5722180π⨯＝π．知识点2 扇形的定义及面积公式 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如图28－105所示的阴影部分为一扇形，扇形的圆周包括两条半径和一条弧，扇形的周长＝2R ＋l ．扇形的面积公式：(1)S 扇＝360n πR 2；(2)S 扇＝12lR ．n 是1°的圆心角的倍数；无单位，R 是半径，l 是弧长．拓展 已知S 扇，l ，n ，R 四个变量中的任意两个变量，可求出另外两个变量． 探究交流 (1)n °的圆心角所对的弧长为圆周长的 ； (2)n °的圆心角的扇形的面积为圆面积的 ；(3)弧长大小和扇形面积与 有关；(4)如图28－106所示，⊙A ，⊙B ，⊙C ，⊙D ，⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE ，则五个扇形(阴影部分)的面积之和是 ( )A ．πB ．1．5πC ．2πD ．2．5π点拨 (1) 360n (2) 360n(3)圆心角、半径的大小 (4)图中五个扇形的圆心角的度数和就是五边形ABCDE 的五个内角的度数和．设∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E 的大小分别为α°，β°，γ°，δ°，θ°，则S 阴影＝2222211111360360360360360360απβπχπδπθππ++++=(α＋β＋γ＋δ＋θ)＝360π×(5－2)×180＝32π＝1．5π．故选B ．知识点3 圆锥的侧面积和全面积圆锥的相关概念．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线长的扇形面积，圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和，即S 全＝S 侧＋S 底． 有关的计算公式． (1)圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl (l 为母线长，r 为底面的半径)．(2)圆锥的全面积(表面积)：S 全＝S 侧＋S 底＝πr (l ＋r )(l 为母线长，r 为底面的半径)．拓展 不要把圆锥的底面半径当作其侧面展开图形即扇形的半径，注意区分圆锥侧面展开图中的各元素与圆锥间的各元素的对应关系，以免在解题中出现错误．例如：如图28－107所示，圆锥的母线长AB ＝6，底面半径r ＝ 2，求圆锥的侧面展开图即扇形的圆心角．分析 圆锥的母线长是侧面展开图即扇形的半径，底面圆周长等于扇形的弧长．解：设扇形的半径是R ，弧长是l ，则有R ＝AB ＝6，l ＝2πR ＝4π．∵l ＝180n R π，∴n ＝18018046l R πππ⨯=＝120． ∴圆锥的侧面展开图即扇形的圆心角为120°．拓展 (1)在本节的学习中渗透了“从特殊到一般”的数学思想，应注重培养归纳、推理能力和类比方法的运用．(2)本节的学习内容大多与生活实际紧密相连，要深刻体会数学来源于生活又反作用于生活的辩证思想．课堂检测基础知识应用题1、在半径为10的圆中，60°的圆心角所对的弧长为．2、已知扇形的弧长为20 cm，半径为5 cm，求扇形的周长及面积．3、如图28－108所示，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OC长为8 cm，贴纸部分的CA长为15 cm，则贴纸部分的面积为 cm2．(保留π)4、如图28－109所示，有一个圆心角为120°，半径长为 6 cm的扇形，若将OA，OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是 ( )A．C．．5、如图28－110所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6 cm，AB＝．(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．综合应用题6、已知圆锥形的烟囱帽的底面直径是80 cm，母线长是 50 cm，求这个烟囱帽的侧面展开图的面积．7、已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面的面积是多少?8、如图28－112所示，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC＝1，AC AB＝2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线长是多少?9、某抗震帐篷的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径为10米，母线长为 6米，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少是 ( )A．30米2 B．60米2C 30π米2 D．60π米210、现有一把折扇和一把团扇，已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，则哪一种扇子的面积大?从而得到的风量也大．11、如图28－114所示，△ABO中，OA＝OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA，OB于点E，F．(1)求证AB是⊙O的切线；(2)若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB＝，求ECF的长．探索与创新题12、如图28－115所示，有一直径是1 m的圆形铁皮，要从中剪一个最大的圆心角是90°的扇形AB C．(1)求被剪掉的阴影部分的面积；(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面的半径是多少?(结果可用根号表示)13、如图28－116所示，扇形的半径OA＝2 cm，圆心角为90°，半圆O1与半圆O2外切，求阴影部分的面积S．体验中考1、如图28－118所示，小红同学要用纸板制作一个高4 cm，底面周长是6∏cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ( )A．12π cm2 B．15π cm2 C．18π cm2 D．24π cm22、如图28－119所示，在⊙O中，∠AOB＝60°，AB＝3 cm，则劣弧AB的长为 cm．3、如图28－120所示，小刚制作了一个高12 cm ，底面直径为 10 cm 的圆锥，这个圆锥的侧面积是 cm 2．4、如图28－121所示，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．πB ．πC ．3πD ．2π5、如图28－122所示，若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是 ( )A ．1．5B ．2C ．3D ．66、如图28－123所示，圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面积是 ( ) A ．24π B ．12π C ．6π D ．127、已知圆锥的底面半径为5 cm ，侧面积为65π cm 2；设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图28－124所示)，则sin θ的值为 ( )A ．512B ．513C ．1013D ．1213学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题考查对弧长公式的基本应用，l ＝180n R π＝6010101803ππ=．故填103π． 2、分析 本题主要考查扇形周长与面积公式的基本应用．已知扇形的弧长，求面积时应采用公式S ＝12rl ．解：扇形的周长＝2×5＋20＝30(cm)．扇形的面积＝12×20×5＝50(cm 2)．3、分析 先计算扇形OAB 的面积，再求扇形OCD 的面积，相减即可．S 贴＝S 扇OAB －S 扇OCD ＝22120()12023603OC CA OC πππ+-=(232－82)＝155π(cm 2)．故填155π．4、分析 半径为6，圆心角为120°的扇形弧长为1206180π＝4π，即底面圆的周长为4π，所以底面圆的半径为2，所以OC =．故选A ．5、分析 (1)⊙O 的半径OC (2)S 阴＝S △BOC －S 扇形DO C ． 解：(1)连接OC ，则OC ⊥A B ．又OA ＝OB ，所以AC ＝BC ＝12AB ＝12×．所以⊙O 3(cm)．(2)因为OC ＝12OB ，所以∠B ＝30°，∠COD ＝60°， 所以扇形OCD 的面积为S 扇＝260333602ππ⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为S 阴＝S △OCB －S 扇OCD＝12OC ·CB －32π32-π(cm 2)．6、分析 这是一道实际应用问题，应先转化为数学问题，再代入公式求解．解：S 侧＝12l ·2πr ＝12×50×2×40π＝2000π(cm 2)．∴这个烟囱帽的侧面展开图的面积是2000π cm 2．7、分析 本题主要考查的是扇形的弧长公式与等腰三角形的综合应用．将扇形卷成圆锥时，圆锥的轴截面应是一个等腰三角形，并且腰长应是扇形的半径的长．解：(1)设扇形的半径为R cm ．∵2120360R π＝300π，∴R ＝30．∴扇形的弧长l ＝12030180π⨯＝20 π(cm)．(2)如图28－111所示，设新圆锥的底面半径为r ， 由题意知，在轴截面即等腰三角形ABC 中， AB ＝AC ＝R ＝30，BC ＝2r ．∵2πr ＝20π，∴r ＝10，∴高AD ＝20 ，∴S △ABC ＝12×20×200×(cm 2)． 【解题策略】 圆锥的侧面展开图是扇形．8、分析 本题是对弧长公式的应用的考查，可分两个弧长求得．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝1，AC AB ＝2， ∴∠ABC ＝60°，∴∠ABA ′＝120°．∴l AA ′＝120241803π⨯=π，同理，l A ′A ″=π．∴点A 经过的路线长为43ππ＝(43)π．9、分析 圆锥的侧面展开图是一个扇形，即求扇形的面积可用S 扇形＝12Rl ，其中，R 为母线长，l 是底面圆的周长，l ＝2π·102＝10π，故S 扇＝12×6×10π＝ 30π(米2)．故选C 。
九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题同步习题(含解析)(新版)华东师大版
27.3圆中的计算问题一．选择题1．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（）A．200πcm2B．100πcm2C．100πcm2D．50πcm22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．2πB．8 C．8﹣2πD．16﹣2π3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作半圆交AC于点D，若AD＝1，DC＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3π﹣24．将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为120o的扇形，则（）A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为D．圆锥形冰淇淋纸套的高为5．如图，边长为4的正方形ABCD外切于圆O，则阴影部分面积为（）A．2π﹣4 B．2π+4 C．15 D．146．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE （阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．7．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+8．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π9．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．π10．如图，点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝30°，以点O为旋转中心顺时针旋转△ABC得到△A1B1C1，若BC＝2，当BC∥A1C1时，图中弧BC1所构成的阴影部分面积为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，若AB＝5，则图中阴影部分的面积为．12．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC 的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA＝4，则阴影部分的面积为．14．圆锥的母线长为5，圆锥高为3，则该圆锥的侧面积为．（结果保留π）15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是．三．解答题16．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．17．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．18．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．参考答案一．选择题1．解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴OD＝OA＝10，AD＝OD＝10，∴AB＝2AD＝20，∴扇形围成的圆锥的侧面积＝＝200π（cm2）．故选：A．2．解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AB＝4，∴AC＝BC＝AB×sin45°＝4，∴S△ACB＝＝8，S扇形ACD＝＝2π，∴图中阴影部分的面积是8﹣2π．故选：C．3．解：连接OD、BD、作DE⊥BC于点E，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠BCD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠ADB＝∠BDC，∴△ADB∽△BDC，∴，∵AD＝1，DC＝3，∴，∴BD＝，∴BC＝＝2，∴∠DCB＝30°，OD＝OC＝，∴∠DOC＝120°，∵DE⊥BC，∴DE＝1.5，∴阴影部分的面积是：＝π﹣＝，故选：A．4．解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）设圆锥的底面半径是r（cm）则：2πr＝8π，解得：r＝4即个圆淋的底面半径是4cm；圆锥形冰淇淋纸套的高为＝8（cm）．故选：C．5．解：如图，连接HO，延长HO交BC于点P，∵正方形ABCD外切于⊙O，∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°，∴四边形AHPB为矩形，∴∠OPB＝90°，又∠OFB＝90°，∴点P与点F重合则HF为⊙O的直径，同理EG为⊙O的直径，由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知，四边形BGOH为正方形，同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，∴DH＝DG＝GC＝CF＝2，∠HGO＝∠FGO＝45°，∴∠HGF＝90°，GH＝GF＝＝＝2，则阴影部分面积＝S⊙O+S△HGF＝•π•22+×2×2＝2π+4，故选：B．6．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，底面圆的周长等于弧长：∴2πr＝，解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．7．解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为，∴＝，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．故选：A．8．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．9．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝﹣﹣＝，故选：B．10．解：设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，∵点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∴OC＝AB＝2，∴OC1＝OA1＝2，∴∠A1＝∠A1C1O＝30°，∴∠A1OC1＝120°，∵BC∥A1C1，∴∠ADA1＝∠ABC＝60°，∵∠A1＝∠A＝30°，∴∠A1OD＝90°，∴∠DOC1＝30°，∴∠DOC1＝∠A1C1O，∴OD＝DC1，∴OE＝EC1＝1，∴DE＝OE＝，∴S阴影＝S扇形﹣S＝﹣＝﹣，故选：A．二．填空题11．解：作DM⊥AB于M，∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，AB＝5，∴△AED的面积＝△ABC的面积，∠BAD＝45°，AB＝AD＝5，∴DM＝AD＝，∴S△ABD＝＝×＝，∵图中阴影部分的面积＝△AED的面积+△ADB的面积﹣△ABC的面积＝△ADB的面积，∴S阴影＝，故答案为：．12．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故答案为10π．13．解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．∵OC＝AC，OD＝DB，∴CD∥AB，∵＝，∴OE⊥AB，∴CD⊥OE，∵OC＝OD＝2，∴CJ＝OJ，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝＝2，∴S四边形OCED＝•CD•OE＝4，∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形OCED＝•π•42﹣4＝4π﹣4，故答案为：4π﹣4．14．解：圆锥的底面圆的半径为＝4，所以该圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．故答案为20π．15．解：A（1，1），由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．∵2021＝505×4+1，∴A2021的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．三．解答题16．解：（1）连接OC交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，∴四边形CEOD是矩形，∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，∵CG是⊙O的切线，∴∠OCG＝90°，∴∠OCD+∠GCD＝90°，∴∠ECF＝∠GCD，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠FCD＝∠CGD，∴∠CGO＝∠CDE；（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，∴∠DCO＝60°，∴∠COD＝30°，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2，OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．17．（1）证明：连接BD，∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠AEB＝90°，∵点B恰好为的中点，∴＝，∴∠A＝∠C，∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，∴∠ABE＝∠CDB，∴＝，∴AE＝BC；（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠A＝∠ABE，∴∠A＝30°，在Rt△ABE中，cos∠A＝，∴AB＝＝＝4，∴⊙O的半径为2．（3）连接OE，∵∠A＝30°，∴∠EOB＝60°，∴△EOB是等边三角形，∵OB＝OE＝2，∴S△EOB＝×2×＝，∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．18．解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．。
课题：27.3圆中的计算问题(第2课时圆锥的侧面积和全面积)
A
学 以 致 用
2.将一块弧长为的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计）, 则围成的圆锥的高为（ B ） 5 3 A、 3 B、 C、 5 D、 2 2
学以致用
例 3 如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝
忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的 面积是（ A ） A、 B、 480cm 2 240cm 2
温故知新
温故知新
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。底面是个圆， 侧面是个曲面。
探究发现
（Ⅰ）圆锥的母线： 把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段叫做圆锥的母线， 记作l.注意：圆锥的母线有无数条哟！ （Ⅱ）圆锥的高： 连结顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高，记作h.
探究发现
问题：圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间有何数量关系？
学以致用
例 2 若用一张直径为20cm的半圆形铁皮做一个圆锥的侧面,接缝忽略不
计，则所得圆锥的高为（ A、 5 3cm A ）
5 15 C、 cm 2
B、 5 5cm
D、 10cm
10
5 3
20
5 2r 10 r 5
数 学 活 动 室
1.如图,半径是10cm圆纸片,剪去一个圆心角是120°的扇形（图 中的阴影部分）,用剩余部分围成一个圆锥,求圆锥的高和底面圆 的半径。
h
l 2 h2 r 2
r
如：已知一个圆锥的高为6cm,半径为8cm,则这个圆锥的母线长为 10cm
探究发现
问题：请将准备的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图。
通过刚才 的操作， 你有何收 获呢？
S
哇噻！是 一个扇形 哟！
201X年秋九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题(第2课时)课件(新版)华东师大版
2
知识管理
1．圆锥的相关概念 圆锥的母线：连结圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．
精选ppt
3
2．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的全面积：全面积＝__侧__面___积___＋_底__面___积____． 公 式：圆锥的底面半径为 r，母线长为 a，则它的 S 侧＝_π__ra____， S 全＝S 侧＋S 底＝_π_r_a_＋__π_r_2__． 说 明：(1)圆锥的侧面展开图是__扇___形． (2)圆锥的底面周长＝其侧面展开图扇形的___弧__长_____，圆锥的母线就是其侧 面展开图扇形的___半___径______．
5．[2017·自贡]一个圆锥的底面周长为 6π cm，高为 4 cm，则该圆锥的全面积 是__2_4_π___，侧面展开扇形的圆心角是_2_1_6__°．
精选ppt
13
分层作业
1．[2017·遵义]已知圆锥的底面面积为 9π cm2，母线长为 6 cm，则圆锥的侧 面积是( A )
A．18π cm2 B．27π cm2 C．18π cm2 D. 27π cm2
设阴影扇形 OBD 围成的圆锥底面半径为 r，则有 2πr＝38π，r＝43.
精选ppt
10
当堂测评
1．[2018·遂宁]已知圆锥的母线长为 6，将其侧面沿着一条母线展开后所得 扇形的圆心角为 120°，则扇形的面积是( C )
A．4π B．8π C．12π D．16π 2．[2018·宁夏]用一个半径为 30，圆心角为 120°的扇形围成一个圆锥，则 这个圆锥的底面半径是( A ) A．10 B．20 C．10π D．20π
3 D. 2 R
精选ppt
2019_2020学年九年级数学下册第27章圆27.3圆中的计算问题教案(新版)华东师大版
27.3 圆中的计算问题第1课时教学目标1、掌握扇形的弧长和面积计算公式，会用公式求阴影部分的面积；2、对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算。
教学重难点重点：掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积。
难点：对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算。
教学准备：课件教学方法：讲授法教学过程：一、引入1、提出问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°，你能求出这段铁轨的长度吗？（精确到0.1米）2、学生回答后，老师总结：3、提出新的问题：如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？二、思考与探索1、思考：如图，各圆心解所对的弧长分别是圆周长的几分之几？2、探索（1）圆心角是180°，占整个周角的180360，因此它所对的弧长是圆周长的；（2）圆心角是90°，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的；（3）圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的；（4）圆心角是1°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的；（5）圆心角是n°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的。
3、教师总结如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为因此弧长的计算公式为4、提出问题扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。
圆心角越大，扇形的面积也越大。
怎样计算圆心角为n的扇形的面积呢？三、思考与探索扇形的面积1、思考：如下图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？2、探索（1）圆心角是180°，占整个周角的180360，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的；（2）圆心角是90°，占整个周角的90360，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的；（3）圆心角是45°，占整个周角的，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的；（4）圆心角是1°，占整个周角的，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的；（5）圆心角是n°，占整个周角的，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的。
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例1.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这 个圆锥形零件的侧面积。
解 : a h2 r 2 42 32 5
P s侧 ra 3 5 π 15π(cm2 )
a h
答:圆锥形零件的侧面积是15cm2 .
A
O
r
B
即时训练 （1）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面
积为___2__4____.
s n r 2 或s 1 lr
360
2
第2课时
一、知识回顾 1、弧长计算公式 2、扇形面积计算公式
l nR
180
nR 2
s 360
或s 1 lR 2
圆锥的认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它 的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
2.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母 线
图 23.3.6
二、设置情境
如图，一只蚂蚁从底面圆周上一点B出发沿圆锥的 侧面爬行一周后回到点B，请你帮助它找到最短的 路线。
B’
A
B
B.
C
准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图．
R h Or
图 23.3.7
问题1:
探究新知
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得
到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什
解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
S nr 2 60 3.14 10 2 ≈52.33(平方厘米)
360
360
扇形的周长为
l nr 2r 60 3.1410 20
180
180
≈ 30.47（厘米）
一、弧长的计算公式
l n 2r nr
360
180
二、扇形面积计算公式
公式二： na 360r
即时训练
填空、根据下列条件求值 .
(1) a=2， r=1，则n =_1_8__0_°__
(2) a=9, r=3，则n =__1_2_0_°__
(3) n=90°,a=4，则r =__1_____ (4) n=60°,r= 3，则a =___1_8___
n
圆锥的全面积 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
(2)已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为12cm，则它
的侧面积为1__2_0_π_c_m__2_.
(3）已知圆锥底面圆的半径为2cm,高为 5cm，则这个 圆锥的侧面积为_6_π_c_m_.2
5
2
圆锥的侧面积
S扇形
na 2
360
S侧 ra
na 360r
na 2
ra
360
n
na r
360
3
结论
如果扇形面积为S，圆心角度数为n，圆半径是r，
那么 扇形面积计算公式为
Q
S
n
r2
360
l
扇形面积S
n° Or
nr r 1 lr 180 2 2
S n r2 或s 1 lr
360
2
例题讲解
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为 10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
么关系？ 相等 问题2：
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆
锥中的哪一条线段相等？
母线
图 23.3.7
R h
Or
圆锥的侧面积和 全面积
S侧 S扇形 rR
S全 S侧 S底
rR r2
圆锥的侧面积 圆锥的侧面积=扇形的面积
S侧=S扇形
n
1 la 1 2ra ra
22
公式一： S侧 ra
S全=S侧+S底
n
ra r 2
思考：你能探究展开图中的圆心角n与r、R之
间的关系吗？
）n
R h
n r 360 R
Or 当圆锥的轴截面是等边三角形时， 圆锥的侧面展开图是一个半圆
思考：如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂 蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再 回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
4
问题探究 上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心
角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、 450、n0所对的弧长.
图 23.3.2
圆心角占整个周角的
1800
180
360
900
90
360
450
45
360
n0
n
360
所对的弧长是
180 2r 360
圆锥与侧面展开图之间的主要关系：
1、圆锥的母线长=扇形的半径 （a = R）
n
2、圆锥的底面周长=扇形的弧长（C = l）
3、圆锥的侧面积=扇形的面积
S侧 ra na 360r
2、立体图形的处理方式--转化为平面几何图形
Or
锥的母线长为_1_0_c_m___
A
圆锥可以看做是一个 直角三角形绕它的一条 直角边旋转一周所成的 图形．
C
O
B
即时训练 填空: 根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆 锥的底面半径、高线、母线长）。
(1) h =3, r=4 则 a =___5____ 3
(2) a = 2，r=1 则 h =_______ (3) a= 10, h = 8 则r =__6_____
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
n 360r 3601
B’
a
6
解得: n=60
A
6
∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6 答:蚂蚁爬行的最短路线为6.ຫໍສະໝຸດ C B1五、小结升华
1、本节课所学：“一个图形、三个关系、两 个公式”，理解关系，牢记公式；
问题：圆锥的母线有几条？
3.连结顶点与底面圆心的线段 叫做圆锥的高
a
h
图中 a是圆锥的母线,
h 就是圆锥的高
r
r 是底面圆的半径
圆锥知识知多少
O
母线
高
h
B
r
底面半径
A2
侧面
A1 A
底面
探究新知 4、圆锥的底面半径、高线、母线长
三者之间的关系:
h2 r2 a2
a
例如：已知一个圆锥的高为
h
6cm，半径为8cm，则这个圆
教学课件
数学 九年级下册 华东师大版
第27章 圆
27.3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和 扇形的面积
问题情景
如图，是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半 径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨 的长度吗?
解:∵圆心角900
∴铁轨长度是圆周长的 1
4
图 23.3.1
则铁轨长是 1 2 100 50米
90 2r 360
45 2r 360
n 2r 360
结论
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那
么，弧长的计算公式为：
练一练：
l n 2r nr
360
180
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此
圆弧的长度.
解：l
n 2r
360
nr
180
=
50 cm
3
答：此圆弧的长度为 50 cm