关于大学高等数学等价无穷小
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
等价无穷小求极限
证明 因为0→x 时，01→-x e .解 令x tan =α，x sin =β. 在0→x 时， αα'==x x sin ~tan ，ββ'==x x tan ~sin .解 令x tan =α，x sin =β，32x =γ ．在0→x 时，有αα'==x x sin ~tan ，当α、β为无穷小量，αα'~，ββ'~，且()A =+βα11lim ．则()()ββαα111lim 1lim +='+'A =．证 ()()()()ββαββααα111ln 1ln 1ln lim1ln lim +⋅'⋅+'+='+'()()()βααααααα11ln 1ln 1ln lim +⋅⋅+'⋅''+= ()βααα11ln lim +⋅'=()βα11ln lim +=A ln lim =．所以 ()()ββαα111lim 1lim +='+'A =．例14 求()xx x sin 31021lim +→．其中，当α、β为无穷小量，αα'~，ββ'~，且βα⎪⎭⎫⎝⎛1lim 存在．则ββαα'⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛1lim 1lim ．证 βα⎪⎭⎫ ⎝⎛1ln lim βααβαβ'⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅''--=1ln ln ln lim βααα'⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅'=1ln 11lim βα'⎪⎭⎫⎝⎛'=1ln lim所以 ββαα'⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛1lim 1lim .例15 ()xx x ln 1cot lim +→ （它是0∞型）解 当0→x 时，x x ~tan ．根据4.1.2可知，()xx x ln 10cot lim +→=xx x xx xx ex x 1ln ln 10ln 10ln 10lim 1lim tan 1lim +→→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1ln ln 1lim -⋅-→=+e ex xx ．当0→x 时，越计算过程越复杂．这时，我们可以把洛必达法则和等价无穷小的代换结合起来使用，这样就可以简化计算，方便问题求出．我们通过大量的例题，分别从等价无穷小的概念及其重要性质，等价无穷小的应用这几个方面研究了等价无穷小在求函数极限中的作用，通过我们做题可知：计算函数极限的方法是多种多样的，但是方法的选择是否恰当，直接关系到计算过程是否简洁和计算结果是否正确．本文通过对大量例题的分析和做题方法的比较，体现了等价无穷小代换求极限是一种行之而有效的方法．用无穷小量的等价代换来计算极限虽然很方便，但在计算过程中并非所有的无穷小量都能用其等价无穷小量来代换．而在做题的过程中，相当一部分学生往往不清楚在什么情况下才能进行代换，以至于不可避免地会出现这样或那样的错误，所以我在本文针对这些问题给出了大量的例题来解释．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991[2] 田婷．等价无穷小求极限问题的探讨[J]．苏州工业职业技术学院．2007，06[3] 李秀敏，王灵色．等价无穷小代换在求极限过程中的应用[J]．高等数学研究，2002，03[4] 杨明顺．利用等价无穷小求极限方法的一个推广[J]．商洛师范专科学校学报，2003，01[5] 伍华健．在求函数极限过程中使用等价无穷小[J]．广西师范学校（自然学科）.1999，02[6] 王建平．无穷小量的等价代换在代数和极限运算中的应用[J]．河南教育学院报（自然科学版），2005，04[7] 姜玉秋．巧用等价无穷小替换求解复杂极限的研究[J]．吉林师范大学学报（自然科学版），2005，04[8] 胡景明．用等价无穷小代换求极限时常犯的错误[J]．河北工程技术高等专科学校学报，1997，01[9] 同济大学数学教研室主编．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1988[10] 吕祥凤，王艳．等价无穷小的性质及应用[J]．重庆师范学院学报（自然科学版），2000，06[11]Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis [M]．McGraw-Hill PublishingCo，197611。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n r 数列x n的极限、X—；（X r •: :、X-:-'）函数f x 的极限、X—x0（X-x0、X—乞一）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用x > *表示上述七种的某一种趋近方式，即* x_ x— x 、-： x- x0 x- X Q x- x0_;定义：当在给定的x > *下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x > *下的无穷小，即xm f(x)=o。
例如,V I X m o sinx = o,二函数sinx是当XT 0时的无穷小.lim - = 0^函数-是当x—• 时的无穷小.x—x x■■■ lim。
^ =0, 数列｛-^―^｝是当n—；二时的无穷小.—n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的X—. *下，f x无限增大，则称f x是X—. *下的无穷大，即lim* f(x)=°°。
显然，n T血时，n、n2、n3、…都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim e x = 0，lim e x：X x :.所以e x当x >时为无穷小，当x、时为无穷大。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是很常见的概念。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数和它的无穷小表达式之间的关系。
在本文中，我们将介绍高等数学中几个常用的等价无穷小公式及其应用。
一、等价无穷小的定义在函数f(x)中，当x趋于a时，如果存在一个函数g(x)，满足当x 趋于a时，f(x)与g(x)的差趋于0，那么我们称g(x)是f(x)在x趋于a时的等价无穷小。
使用符号记作f(x)≈g(x)。
二、常用的等价无穷小公式1. 当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x- ln(1+x)≈x- e^x-1≈x2. 当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- e^x-1≈x- ln(1+x)≈x- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x三、等价无穷小的应用等价无穷小的公式在高等数学中有广泛的应用，特别是在极限计算中。
通过将函数替换为与其等价的无穷小形式，可以简化复杂的计算过程。
举个例子来说明，我们来计算lim(x→0) (sin(x)/x)。
由于sin(x)在x趋于0时与x是等价无穷小，因此可以将sin(x)替换为x。
这样，我们的极限计算就变成了lim(x→0) (x/x)，结果为1。
四、高等数学等价无穷小的注意事项在使用等价无穷小公式时，需要注意以下几个问题：1. 应该选择与原函数在某一特定点附近具有相同性质的等价无穷小。
2. 当使用等价无穷小公式进行计算时，需要满足等价无穷小的定义，即两个函数的差趋于0。
3. 在实际应用中，需要结合具体问题进行思考，是否适用等价无穷小公式。
综上所述，等价无穷小是高等数学中的重要概念，可以简化复杂的计算过程。
通过掌握常用的等价无穷小公式，我们可以更加高效地进行极限计算，并且在实际问题中能够灵活运用。
希望本文对您理解和应用等价无穷小有所帮助。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学的学习中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在求极限等问题中有着广泛的应用。
等价无穷小的本质是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
下面我们来介绍几个常用的等价无穷小公式。
当$x ＼to 0$时，有以下几个常见的等价无穷小：1、＄＼sin x ＼sim x$这意味着当$x$趋近于 0 时，＄＼sin x$和$x$的比值趋近于 1。
我们可以通过泰勒展开来理解这个等价关系。
＄＼sin x$的泰勒展开式为$x ＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^5}｛5!｝＼cdots$，当$x$很小时，高次项可以忽略不计，所以$＼sin x$近似等于$x$。
2、＄＼tan x ＼sim x$同理，＄＼tan x$在$x ＼to 0$时，也与$x$等价。
因为$＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄，而$＼cos x ＼to 1$（当$x ＼to 0$），所以$＼tan x$与$＼sin x$在$x ＼to 0$时具有相似的性质。
3、＄＼ln(1 ＋ x) ＼sim x$对于对数函数$＼ln(1 ＋ x)＄，当$x ＼to 0$时，它与$x$等价。
我们可以通过对$＼ln(1 ＋ x)＄进行泰勒展开来证明这一点。
4、＄e^x 1 ＼sim x$指数函数$e^x$在$x ＼to 0$时，＄e^x 1$与$x$等价。
因为$e^x$的泰勒展开式为$1 ＋ x ＋＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^3}｛3!｝＋＼cdots$，所以$e^x 1$在$x$很小时近似等于$x$。
5、＄1 ＼cos x ＼sim ＼frac{1}｛2}x^2$当$x ＼to 0$时，＄1 ＼cos x$与$＼frac{1}｛2}x^2$等价。
同样可以通过$＼cos x$的泰勒展开式来理解。
这些等价无穷小公式在求极限时非常有用，能够大大简化计算。
例如，计算$＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄，由于$＼sin x ＼sim x$（当$x ＼to 0$），所以该极限的值为 1。
高等数学中“等价无穷小”探讨
无穷小的定义 是以极限的形式来 定义
的, 当
时(或
) 时,
, 则称
函数 当
时( 或
) 时 为无穷小 。
当
, 就说 β 与 α 是等 价 无 穷
小。同 一自 变 量 变 化 过
程 中 的 无 穷 小 , ① 若 α ～ α ′, β ～ β ′, 且
′存在, 则
②若α～β,
件, 不仅 使这些 原本复 杂的问 题简单 化, 而 且可避免 出现错 误地应 用等价 无穷小 。
关键词: 等价无 穷小 极限 罗 比塔法则 正 项级数 比较审 敛法
中图分 类号: Ｇ 64 2
文献标识码: A
文章编号: 167 3- 97 95 ( 2 00 8) 11 ( a ) - 0 15 6- 01
高 等教 育 出版 社 , 2 00 2, 7 ( 3 8) : 5 6～ 59 . [ 2] 杨文泰, 等. 价无穷小量代换定理的推广[ M] .
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的探 讨 [ J ] . 黔 西南 民族 师专 学 报, 200 1, 12 ( 4) : 5 6～5 8.
“ =c ( ≠ - 1 ) ”,“ 用。
′≠ 0 ”的 使
2 等价无 穷小的应 用
在求极限中经常 用到的等价无穷小有
～
～
～～
～
～
, 1-cosx～ ,
～
,(
)。
例1
。
知
中 某一 个的 敛散 性, 就 可以
找 到另一个的敛散性。
例 3 判定
的 敛散 性 。
关于等价无穷小代换求极限的一点注记
关于等价无穷小代换求极限的一点注记摘要：本文通过一个例题提出问题，进而给出求极限对非乘积因子使用等价无穷小代换的几种特殊情形并给出若干充分条件。
关键词：极限; 无穷小；等价无穷小1. 问题的提出极限理论贯穿于高等数学教学的全过程，极限运算的方法和技巧也就成了教学的重要内容之一，在众多极限计算方法中，等价无穷小代换就是一种非常有效的方法，因为它能将复杂的极限化繁为简，化难为易，从而达到快捷，准确的目的。
但目前大多数的《高等数学》教材对这种方法都没有详细的阐述，甚至教师在教学中也只是强调只有乘积因子才能进行等价无穷小代换，但是学生在实际计算过程中，却又感到似乎还有一些其它情形也可以使用等价无穷小代换，从而他们经常感到非常困惑，以至于只能模仿例题“机械地套用”，使用时经常忽略代换的条件，从而导致错误的结果。
上课时讲了一道求极限的例题：当时, ，将其代入上式得：，所以。
这时有学生马上就提出了另一种解法：因为当时，，将其代入得.同一个函数的极限，怎么出现两个不同的结果呢？根据极限存在原理：一个函数的极限如果存在，那么其极限值一定是唯一的，所以这其中一定有一个结果是错误的。
哪种方法是错误的呢？我们用洛必达法则去验证，得知学生的方法是错误的，那么问题又出在哪呢？这是因为学生在计算极限时只注意利用等价无穷小代换这一性质, 而没有考虑到利用等价无穷小代换是有一定条件的，从而导致错误的结果。
因此本文将对等价无穷小代换求极限这一方法作进一步的分析和补充, 并指出求极限时对非乘积因子在某种条件下也可使用其等价无穷小代换。
2. 等价无穷小代换的条件设为同一变化过程中的非零无穷小，且定理1：如果存在，则=。
现在我们就可以回答为什么，这是因为当时，与并不是等价无穷小，所以导致错误结果。
下面给出求极限时可以使用等价无穷小代换的几种特殊情形，并加以证明。
定理2: 如果存在，则=。
证明：因为，所以，故=..=注：该此定理说明求极限时，分子或分母的因子可以用其等价无穷小代换。
关于等价无穷小量
一一ｎ一 ｎ 一 ｌ ｓ 意Ｘ ｉ ｉ １ ｍ ｓ 。 十ｉ
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显 然 当 Ｘ一 ０ ， ， 均为无穷 小量 ， ａ 。 ， 时 ａａ， ， 且 ～ ～ ， 与 不 等价 ， ａ Ｏ ｔ 但 一卢与 ａ 一 也不等 价．
根 据 Ｈｅｎ ｉｅ定 理 ［ 极 限 （ ）不 存 在 ． 引， １
现将命 题 １重新表 述为如 下定 理．
定理 １ 设在 某个 变化过 程 中有 ａ ａ ， ～ ｐ～ ，
作者 简 介 ： 强 （ ９６－） 男 ， 东 潍坊 人 ， 士 ， 刘 】７ － ， 山 博 副教 授 ， 要 从事 金 主
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这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。
而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。
等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。
高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：等价无穷小的定义及常用的等价无穷小无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。
而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。
常用的等价无穷小有：sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～x(x→0)sin?x～tan?x～arctan?x～arcsin?x～ln?(1+x)～x(x→0)1?cosx～x22,1+x?????√n?1～xn(x→0)1?cos?x～x22,1+xn?1～xn(x→0)等价无穷小量在求极限问题中非常重要。
恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。
但是有时却不能使用等价无穷小量代换。
等价无穷小替换原理定理1：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α～α1,β～β1α～α1,β～β1，若limαβlimαβ存在，则limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。
例1：lim x→0ln(1+3x)sin2x.limx→0ln?(1+3x)sin?2x.解：lim x→0ln(1+3x)sin2x=lim x→03x2x=32.limx→0ln?(1+3x)sin?2x=limx→03x2x=32.例2：lim x→0tanx?sinxx3.limx→0tan?x?sin?xx3.错误解法：lim x→0tanx?sinxx3=lim x→0x?xx3=0.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x?xx3=0.正确解法：lim x→0tanx?sinxx3=lim x→0sinx(1?cosx)x3?cosx=lim x→01?cosxx2?cosx=lim x→012co sx=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0sin?x(1?cos?x)x3?cos?x=limx→01?cos?xx2?cos?x=limx→012cos?x=12.从上面的解法可以看出，该题分子不能直接用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的原因：等价无穷小之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小，由函数f(x)f(x)在点x=0x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)很容易有：tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)tan?x=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)sinx=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)sin?x=x+x33!+x55!+x 77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)由此可知，\sin{x}与\tan{x}相差一个较xx的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母x3x3相比不可忽略，因为把上述结论代入原式得lim x→0tanx?sinxx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我们可以得出：加减情况下不能随便使用等价无穷小。
下面我们给出一个在加减情况下使用等价无穷小的定理并加以证明。
在这里我们只讨论减的情况，因为我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数。
为方便，首先说明下面的定理及推论中的无穷小量其自变量都是xx，其趋近过程都相同：x→0x→0，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程。
定理2：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α～α1,β～β1α～α1,β～β1，则α?β～α1?β1α?β～α1?β1的充分必要条件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。
证明：1°1°充分性：α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1又limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1则limα?βα1?β1=limαβ1?ββ1α1β1?1=k?1k?1=1limα?βα1?β1=limαβ1?ββ1α1β1?1=k?1k?1=1即α?β～α1–β1.α?β～α1–β1.2°2°必要性：α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1即lim(α?βα1?β1?1)=0lim(α?βα1?β1?1)=0通分得limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0所以limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0又limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1所以lim01?βα1?lim0α1β1?1=0lim01?βα1?lim0α1β1?1=0所以limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1又limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.所以limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.由1°,2°1°,2°得，原命题成立。
证毕。
这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。
例3：lim x→01?cosx+2sinxarcsin2x?sinx.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x?sin?x.解：1?cosx～x22,?2sinx～?2x,2arcsinx～2x,sinx～x(x→0)1?cos?x～x22,?2sin?x～?2x,2arcsin?x～2x,sin?x～x(x→0)所以lim x→01?cosx?2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01?cos?x?2sin?x=0≠1,limx→02arcsin?xsin?x=2≠1由定理2得lim x→01?cosx+2sinxarcsin2x?sinx=lim x→x22+2xx=2.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x?sin?x=limx→x22+2xx=2.例4：lim x→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan?2x+arcsin?5xsin?3x.解：arctan2x～2x,arcsin5x～5x,sin3x～3x(x→0)arctan?2x～2x,arcsin?5x～5x,sin?3x～3x(x→0)又limarctan2x?arcsin5x=?25≠1limarctan?2x?arcsin?5x=?25≠1由定理2得lim x→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan?2x+arcsin?5xsin?3x=2x+5x3x=73.总结本文指出，在有加减的情况下不能随便运用等价无穷小代换求极限，并且指出了在有加减的情况下能够使用等价无穷小代换的充分必要条件。
对于不满足条件的情况，根据给出的泰勒展开公式，可以求出。