二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷
班级姓名分数
一、选择题：（共30分）
1、下列函数中是二次函数的是（）
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1 C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝x3＋2x－3
2、抛物线()1
3
22-
-
=x
y的顶点坐标是（）
A.（3,1）
B.（3，-1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
3、抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，新抛物线是( )
A.()2
1
32-
-
=x
y B. C. D.
4、若(2，5)，(4，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是（）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5、抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数为（）
A．无交点B．1个C．2个D．3个
6、同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是（）
7、若,,,,,
123
351
A y
B y
C y
444
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为二次函数2
y x4x5
=+-的图象上的三点，则
123
y y y
、、的大小关系是（）
A.
123
y y y
<< B. 213
y y y
<< C.312
y y y
<< D.132
y y y
<<
8、二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0
9、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
10.已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线，给出下
列结论:(1)；(2)＞0；(3)；(4)；(5).
则正确的结论是（）
A.(1)(2)(3)(4)
B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(4)(5)
2
3
y x
=
2
3(1)2
y x
=+-2
3(1)2
y x
=++2
3(1)2
y x
=-+
11.已知函数()x x m y m 3112
+-=+，当m = 时，它是二次函数. 12、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
13、若将二次函数y=x 2﹣2x +3配方为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ．
14、二次函数y=x 2-3x+2的图像与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点
坐标为
15、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为__ ___． 16、请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
17、若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 ．
18、某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ） 之间的函数表达式是y =60x 1.5x 2，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来. 19、如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax 2；②y=bx 2；③y=cx 2；④y=dx 则a 、b 、c 、d 的大小关系为 ．
20、如图，把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和
原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q ，则图中阴
影部分的面积为____．
第9题图 第19题图 第20题图
三、解答题：（共40分）
21、（8分）把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移l个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a、b、c的值，并画出一个比较准确的示意图．
22、（10分）如图，二次函数y＝－1
2x
2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)
两点．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
23、（10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
24、（12分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：A2. 二次函数y=-3x^2+6x-2的对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 0答案：B3. 二次函数y=x^2-4x+c的顶点坐标是（）A. (2, c-4)B. (2, c+4)C. (-2, c-4)D. (-2, c+4)答案：A4. 若二次函数y=x^2-6x+c的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是（）A. c > 9B. c < 9C. c = 9D. c ≠ 9答案：B5. 二次函数y=2x^2-4x+3的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C6. 二次函数y=-2x^2+4x+1的图像与y轴的交点坐标是（）A. (0, -1)B. (0, 1)C. (0, 3)D. (0, 5)答案：B7. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴没有交点，则a和b的取值关系是（）A. a > 0, b^2 > 4acB. a < 0, b^2 > 4acC. a > 0, b^2 < 4acD. a < 0, b^2 < 4ac8. 二次函数y=x^2-2x+1的图像的顶点坐标是（）A. (1, 0)B. (1, 1)C. (0, 1)D. (2, 1)答案：B9. 二次函数y=x^2-6x+5的图像开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A10. 若二次函数y=2x^2-4x+1的图像与x轴有一个交点，则该交点的坐标是（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (-1, 0)D. (0, 0)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 二次函数y=x^2-2x+1的对称轴方程是______。
二次函数 单元检测试卷(含答案)
二次函数单元检测试卷(含答案)二次函数复套卷时间：120分钟满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）A。
y = 1/2xB。
y = 2x + 1C。
y = x^2 + x - 2D。
y^2 = x^2 + 3x / x2.抛物线y = 2x^2 + 1的顶点坐标是（）A。
(2.1)B。
(0.1)C。
(1.0)D。
(1.2)3.二次函数y = ax^2 + bx - 1 (a ≠ 0)的图像经过点(1.1)，则a +b + 1的值是（）A。
-3B。
-1C。
2D。
34.抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是（）A。
0个B。
1个C。
2个D。
3个5.下列函数中，当x。
0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（）A。
y = x^2 + 1B。
y = x^2 - 1C。
y = (x + 1)^2D。
y = -(x - 1)^26.二次函数y = ax^2 + bx + c的部分对应值如下表：x。
y2.51.-31.-42.-33.…二次函数图像的对称轴是（）A。
直线x = 1B。
y轴C。
直线x = -1D。
直线x = -27.如图，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交于(-2.0)和(4.0)两点，当函数值y。
0时，自变量x的取值范围是（）A。
x < -2B。
-2 < x < 4C。
x。
0D。
x。
48.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像如图所示，那么一次函数y = ax + b的图像大致是（）9.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A。
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案1. 选择题（每题2分）1. 下列函数中，属于二次函数的是：A. y = 3x + 2B. y = x^2 + 3x - 2C. y = √xD. y = |x|答案：B2. 二次函数y = 2x^2 + 3x - 4的图像开口方向是：A. 向上开口B. 向下开口答案：A3. 函数y = -x^2 + 5x + 3的顶点坐标是：A. (3, 8)B. (-3, 2)C. (5, 8)D. (-5, 3)答案：A4. 函数y = x^2 - 4x + 4的轴对称线方程为：A. x = 2B. x = 4C. x = -2D. x = -4答案：A5. 函数y = x^2 + 6x + 9的值域是：A. (-∞, 9)B. [9, +∞)C. (-∞, 0)D. [0, +∞)答案：B2. 填空题（每题3分）1. 二次函数y = -2x^2 + 4x - 1的判别式为_______。
答案：402. 函数y = x^2 + bx + c的顶点坐标是（-2, 1），则b和c的值分别为_______。
答案：b = 4，c = -33. 函数y = 3x^2 - 6x + k的图像与x轴有两个交点，则k的值为_______。
答案：k > 04. 函数y = -x^2 - 4x + m的轴对称线方程为x = 2，则m的值为_______。
答案：m = 35. 函数y = ax^2 + bx + 2的值域是(-∞, 1]，则a和b的关系是_______。
答案：a < 0，b > 03. 计算题（每题5分）1. 求二次函数y = -3x^2 + 6x + 9的顶点坐标和对称轴方程。
解答：首先，二次函数的顶点坐标可以通过公式 h = -b/2a 和 k = f(h) 来求得。
其中，h 表示对称轴的横坐标，k 表示顶点的纵坐标。
对于给定的函数 y = -3x^2 + 6x + 9，我们可以得到 a = -3，b = 6，c = 9。
二次函数单元测试题
二次函数单元测试题一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (0, 0)B. (-b/2a, -Δ/4a)C. (-b/a, -c/a)D. (b/a, c/a)2. 抛物线y = x^2 + 4x + 3的对称轴方程是：A. x = -1B. x = -2C. x = 2D. x = 13. 若二次函数y = -2x^2 + 5x - 3的图像与x轴交于两点A和B，则这两点的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 54. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的最小值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + k的最大值为6，则k的值是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 若二次函数y = -x^2 + 4x - 3的图像与y轴交于点P，则点P的坐标是 ______ 。
7. 二次函数y = x^2 + 2x - 3的顶点坐标是 ______ ，对称轴是______ 。
8. 已知抛物线y = -2x^2 + 4x + 5与x轴的一个交点坐标为(1, 0)，则另一个交点坐标是 ______ 。
9. 若二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最大值为0，则其图像的开口方向是 ______ 。
三、解答题10. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + k，其图像在x轴上有两个交点，求k的取值范围。
11. 某公司生产的产品的年利润L（单位：万元）与年销售量x（单位：千件）之间的关系可以用二次函数L = -x^2 + 6x + 5来描述。
求年销售量为多少时，该公司的年利润最大？12. 一个抛物线形状的拱桥，其最高点距水面2米，跨度为6米。
若拱桥的方程为y = ax^2 + bx + c，请确定其方程。
13. 一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图像与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C。
求点A、B、C的坐标。
二次函数单元测试题(卷)(含答案)
二次函数单元测试题(卷)(含答案) 二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.当-2≤x≦1，二次函数y=-(x-m)^2+ m+1有最大值4，则实数m值为（）A.-7/4B.3或-3C.2或-3D.2或3或-7/42.函数y=mx+x-2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.关于二次函数y=ax^2+bx+c的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，并且函数的图像开口向下时，方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是4ac-b^2/4a；④当b=0时，函数的图像关于y轴对称。
其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.关于二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是（）A.m-1/16且m≠0 D。
m≥-1/165.下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（）A.y=x^2B.y=x+4C.y=3x^2-2x+5D.y=3x+5x-16.若二次函数y=ax+c，当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.-cD.c7.下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A.y=x^2-2B.y=x+4C.y=x^2-2x+1D.y=3x+5x-18.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与坐标轴交点的个数是（）A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点9.函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax^2+bx+c-3=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根10.若把函数y=x的图象用E(x,x)记，函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记，……则E(x,x-2x+1)可以由E(x,x)怎样平移得到？A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位二、填空题11.抛物线y=2x-8-3x与x轴有2个交点，因为其判别式b^2-4ac=2，相应二次方程3x-2x+8=0的根的个数为2.12.关于x的方程mx^2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx^2+mx+5-m与x轴必然相交于两点，此时m=0和(x,0)，若x+1/x=7，要使抛物线经过原点，应将它向右平移1个单位。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中，当a的值变为原来的2倍时，函数图像如何变化？A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案：B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案：B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案：A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少？A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案：C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B，那么线段AB的长度是多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，其顶点坐标为__________。
答案：(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。
答案：18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称，则新的函数表达式为y = __________。
答案：y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3，求该函数在x = -1时的函数值。
答案：当x = -1时，y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。
10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，求该函数的对称轴方程。
答案：对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。
二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 二次函数y = x² - 2x + 1的顶点坐标是（）A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)2. 二次函数y = -2x² + 4x - 5的对称轴是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -23. 二次函数y = 3(x - 1)² + 2的图象的开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右4. 把二次函数y = x²的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（）A. y=(x - 2)²+3B. y=(x + 2)²+3C. y=(x - 2)² - 3D. y=(x + 2)² - 35. 二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），当y = 0时，得到一元二次方程ax²+bx + c = 0，若方程有两个相等的实数根，则二次函数的图象与x轴（）A. 有两个交点B. 有一个交点C. 没有交点D. 无法确定6. 二次函数y = 2x² - 3x + 1与y轴的交点坐标是（）A. (0, 1)B. (0, -1)C. (1, 0)D. (-1, 0)7. 已知二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象经过点(0, -1)，(5, -1)，则它的对称轴是（）A. x = 0B. x = 2.5C. x = 5D. 无法确定8. 二次函数y = x²+bx + c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y = x² - 2x + 1的图象，则b、c的值分别为（）A. b = -6，c = 6B. b = -8，c = 14C. b = -8，c = 18D. b = -6，c = 89. 若二次函数y = kx² - 6x + 3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<3B. k≤3C. k<3且k≠0D. k≤3且k≠010. 对于二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），若a>0，b = 0，c<0，则它的图象（）A. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴B. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴C. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴D. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴二、填空题（每题3分，共15分）11. 二次函数y = -x²+2x - 3的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。
二次函数单元测试卷(含解析)
二次函数单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（）A．y＝1﹣3x2B．y＝3x+2C．y＝2x D．y＝2．如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O43．二次函数y＝x2﹣2x+1的对称轴为（）A．直线x＝4B．直线x＝2C．直线x＝﹣2D．直线x＝14．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+20217．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y 与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．正例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正例函数关系D．二次函数关系，一次函数关系10．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m 时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．＜m D．2≤m≤5二．填空题（共7小题）11．当m＝时，函数y＝（m+1）x+8x﹣1是二次函数．12．抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向．13．二次函数y＝（x﹣2）（x+c）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC 为直角三角形，则c＝．14．汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是S ＝8t﹣2t2．则汽车从刹车到停止所用时间为秒．15．商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w（个）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种帽子每天的利润为y（元），则y与x之间的函数关系式为；当销售单价定为元时，每天的利润最大．16．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x ＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为．17．如图，过抛物线y＝x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣4，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP 的对称点D，连结BD，求BD的最小值为．三．解答题（共9小题）18．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式．（2）当S＝时，求x的值．19．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．20．已知在△ABC中，∠B＝30°，AB+BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积是S，求面积S 关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．22．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点（0，﹣3）、（﹣6，﹣3）．（1）求此抛物线的解析式．（2）此抛物线的顶点坐标为；（3）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．（4）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．23．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线最高点到x轴的距离为4．求该抛物线的解析式．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线解析式；（2）求△ACD的面积．25．如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x−2）2+h+，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）若h＝，求抛物线AC表达式．（2）在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，求d的取值范围．（3）若h＝1，喷水器喷出的水能否洒到整个汽车？请说明理由．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（）A．y＝1﹣3x2B．y＝3x+2C．y＝2x D．y＝解：A、是二次函数，故此选项符合题意；B、是一次函数，故此选项不合题意；C、是一次函数，故此选项不合题意；D、是反比例函数，故此选项不合题意．故选：A．2．如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，所以点O2是原点；故选：B．3．二次函数y＝x2﹣2x+1的对称轴为（）A．直线x＝4B．直线x＝2C．直线x＝﹣2D．直线x＝1解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴二次函数y＝x2﹣2x+1的对称轴为直线x＝1，故选：D．4．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2．故选：B．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+2021解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．故选：C．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：由图象可得，该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，故甲正确；由图象可知，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故乙错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴该抛物线的对称轴是直线x＝，∴﹣＝2，∴b+4a＝0，故丙错误；由图象可得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a+4a+c＜0，即5a+c＜0，故丁正确；故选：B．9．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y 与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．正例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正例函数关系D．二次函数关系，一次函数关系解：由题意得，y＝（18﹣x），S＝xy＝﹣x2+9x，所以y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系．故选：A．10．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m 时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．＜m D．2≤m≤5解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，Δ＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为＝，解得a＝﹣1，c＝﹣，故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象顶点为（2，1），∴当x＝2时，函数有最大值为1，把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣8＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝﹣1或5，∵当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣8，最大值为1，∴2≤m≤5，故选：D．二．填空题（共7小题）11．当m＝3时，函数y＝（m+1）x+8x﹣1是二次函数．解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0，解得m＝3，故答案为：3．12．抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向向上．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣1中a＝1＞0，∴抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向向上．故答案为：向上．13．二次函数y＝（x﹣2）（x+c）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC 为直角三角形，则c＝．解：∵y＝（x﹣2）（x+c）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴A，B两点坐标为（2，0），（﹣c，0）当x＝0时，y＝﹣2c，∴点C坐标为（0，﹣2c），∴AB＝2+c，AC2＝4+4c2，BC2＝5c2，∵△ABC为直角三角形，∴AB2＝AC2+BC2＝5c2+4+4c2＝（2+c）2，∴8c2﹣4c＝0，∴c＝或c＝0（舍去），∴c＝．故答案为：．14．汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是S ＝8t﹣2t2．则汽车从刹车到停止所用时间为2秒．解：∵S＝8t﹣2t2＝﹣2（t﹣2）2+8，∴a＝﹣2＜0，s有最大值，∴汽车从刹车到停下来所用时间是2秒．故答案为：2．15．商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w（个）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种帽子每天的利润为y（元），则y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40）；当销售单价定为30元时，每天的利润最大．解：y＝w（x﹣20）＝（﹣2x+80）（x﹣20）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200．∵20≤x≤40，a＝﹣2＜0，＝200．∴当x＝30时，y最大值故答案为：y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40；30．16．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x ＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为 1.4．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，∴另一个交点坐标为：（1.4，0），则方程的另一个近似根为1.4，故答案为：1.4．17．如图，过抛物线y＝x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣4，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP 的对称点D，连结BD，求BD的最小值为10﹣10．解：当x＝﹣4时，y＝x2﹣2x＝10，∴A（﹣4，10），对称轴直线x＝﹣＝8，∵A、B关于对称轴对称，∴B（20，10），如图中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值＝OB﹣OD＝﹣10＝10﹣10．故答案为：10﹣10．三．解答题（共9小题）18．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式．（2）当S＝时，求x的值．解：（1）∵正△ABC，∴∠B＝60°，∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，∴∠BED＝90°，BE＝CF＝x，EF＝4﹣2x，∴DE＝BE•tan60°＝x．∴S＝EF•DE＝x•（4﹣2x）＝﹣2x2+4x．（2）∵S＝，∴﹣2x2+4x＝．∴2x2﹣4x+1＝0．解得：x＝1±．∵0＜x＜2．∴x＝1±．19．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m （x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．20．已知在△ABC中，∠B＝30°，AB+BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积是S，求面积S 关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：如图，作△ABC的高AD．在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AD＝AB＝x，∴S＝△ABC的面积＝BC•AD＝（12﹣x）•x＝﹣x2+3x，∴面积S关于x的函数解析式为S＝﹣x2+3x（0＜x＜12）．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，∵AE＝AH＝CG＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），所以S ＝S 矩形ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △EFB ＝2×4﹣2×x 2﹣2×（4﹣x ）（2﹣x ）＝﹣2x 2+6x （0＜x ≤2）．（2）S ＝﹣2x 2+6x ＝﹣2（x ﹣）2+．所以当x ＝时，S 的值最大，最大值为．22．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）经过点（0，﹣3）、（﹣6，﹣3）． （1）求此抛物线的解析式．（2）此抛物线的顶点坐标为 （﹣3，6） ；（3）当﹣4≤x ≤0时，求y 的最大值和最小值．（4）当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，直接写出m 的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y ＝﹣x 2+bx +c 得，解得得b ＝﹣6，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣3；（2）∵y ＝﹣x 2﹣6x ﹣3＝﹣（x +3）2+6，∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，6）；故答案为：（﹣3，6）；（3）∵y ＝﹣x 2﹣6x ﹣3＝﹣（x +3）2+6，∴抛物线开口向下，∴当x ＝﹣3时，y 有最大值为6．∵x ＝0时，y ＝﹣3，∴在﹣4≤x ≤0中，y 的最大值是6，，最小值为﹣3；（4）①当﹣3＜m ≤0时，当x ＝0时，y 有最小值为﹣3，当x ＝m 时，y 有最大值为﹣m 2﹣6m ﹣3，∴﹣m 2﹣6m ﹣3+（﹣3）＝2，∴m ＝﹣2或m ＝﹣4（舍去）．②当m ≤﹣3时，当x ＝﹣3时y 有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m＝﹣3﹣或m＝﹣3+（舍去）．综上所述，m＝﹣2或﹣3﹣．23．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线最高点到x轴的距离为4．求该抛物线的解析式．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），∴这条抛物线的对称轴为直线x＝＝1；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∵该抛物线最高点到x轴的距离为4，∴最高点的纵坐标为4或﹣4，当最高点的纵坐标为4时，﹣4a＝4，∴a＝﹣1；当最高点的纵坐标为﹣4时，﹣4a＝﹣4，∴a＝1；∴y＝x2﹣2x﹣3或y＝﹣x2+2x+3．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线解析式；（2）求△ACD的面积．解：（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，则顶点D的坐标为（﹣1，4），对称轴为x＝﹣1，设对称轴x＝﹣1交直线AC与M，如图所示：设直线AC的解析式为y＝kx+m，∵A（﹣3，0）、C（0，3），∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，∴M（﹣1，2），∴DM＝4﹣2＝2，＝×DM•OA＝×2×3＝3，∴S△ACD∴△ACD的面积为3．25．如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x−2）2+h+，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）若h＝，求抛物线AC表达式．（2）在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，求d的取值范围．（3）若h＝1，喷水器喷出的水能否洒到整个汽车？请说明理由．解：（1）把h＝代入y＝a（x−2）2+h+，得：y＝a（x−2）2+2，把（0，）代入y＝a（x﹣2）2+2，解得a＝﹣，∴抛物线AC表达式：y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+x+，当y＝0时，即﹣（x﹣2）2+2＝0，解得：x＝2±2，∴C（2+2，0），∴抛物线AC表达式：y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+x+（0≤x≤2+2）；（2）∵DE＝FG＝OA＝，∴E、F的纵坐标为，∴＝﹣x2+x+，解得：x1＝0，x2＝4，∵点A的纵坐标是，∴抛物线AB是由抛物线AC向左平移4米得到的，∴抛物线AB表达式为：y＝﹣（x+2）2+2，把y＝0代入y＝﹣（x+2）2+2，得：﹣（x+2）2+2＝0，解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴OB＝﹣2+2，【求OB方法二：∵由（1）得C（2+2，0），向左平移4米得到的点B坐标为（﹣2+2，0），∴OB＝﹣2+2】由（1）得把y＝代入y＝﹣（x﹣2）2+2，得x1＝4，x2＝0（舍去），∴OG＝4，OD＝OG﹣DG＝2，∵OB≤d≤OD，∴﹣2+2≤d≤2；（3）能，理由如下：当h＝1时，代入y＝a（x﹣2）2+h+，得：y＝a（x﹣2）2+，此时点A坐标为（0，1），代入y＝a（x﹣2）2+，解得：a＝﹣，∴抛物线AC：y＝﹣（x﹣2）2+＝﹣x2+x+1，把y＝0代入得：﹣x2+x+1＝0，解得：x＝2±（负值舍去），∴C（2+，0），∵把y＝1代入y＝﹣x2+x+1得：x1＝0，x2＝4，∴点A（0，1）在抛物线AC上的对称点坐标是（4，1），抛物线AC向左平移了四个单位长度得到抛物线AB，∴点B是由点C向左平移4个单位长度得到的，即B（﹣2+，0），OB＝，∵DE＝，∴代入抛物线AC解析式得：﹣x2+x+1＝，整理，得：x2﹣4x+2＝0，解得：x1＝2+，x2＝2，∴点G的横坐标最大值是2，此时∵DG＝2，∴OD的最大值＝OG﹣DG＝2+﹣2＝＞﹣2，即OD＞OB，∵把x D＝代入抛物线AC得：y＝（1+）＞，∴喷水器喷出的水能洒到整个汽车．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4）、A（﹣2，0），且对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+x +4．（2）存在，如图1，作FH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，设F （x ，﹣x 2+x +4），∵点B 与点A （﹣2，0）关于直线x ＝1对称，∴B （4，0），AB ＝4+2＝6，设直线BC 的解析式为y ＝kx +4，则4k +4＝0，解得k ＝﹣1，∴y ＝﹣x +4，∴G （x ，﹣x +4），∴FG ＝﹣x 2+x +4﹣（﹣x +4）＝﹣x 2+2x ，∴S △FBC ＝OH •FG +BH •FG ＝×4（﹣x 2+2x ）＝﹣x 2+4x ，∴S 四边形SABFC ＝S △FBC +S △ABC ＝﹣x 2+4x +×6×4＝﹣（x ﹣2）2+16，∴当x ＝2时，S 四边形SABFC 最大＝16，F （2，4），∴点F 的坐标是（2，4），四边形ABFC 的面积的最大值是16．（3）如图2，设P （x ，﹣x +4），则Q （x ，﹣x 2+x +4），∴PQ ＝|﹣x 2+x +4﹣（﹣x +4）|＝|﹣x 2+2x |，抛物线y ＝﹣x 2+x +4，当x ＝1时，y ＝，∴D （1，）；直线y ＝﹣x +4，当x ＝1时，y ＝﹣1+4＝3，∴E （1，3），∴DE ＝﹣3＝，∵PQ ∥DE ，且以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ＝DE ，∴|﹣x2+2x|＝，当﹣x2+2x＝时，解得x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），∴P1（3，1）；当﹣x2+2x＝﹣时，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+），综上所述，点P的坐标是（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+）．（4）存在，设P（1，m），∵A（﹣2，0），C（0，4），∴AC2＝22+42＝20，PA2＝m2+（1+2）2＝m2+9，PC2＝（m﹣4）2+12＝m2﹣8m+17，当PA＝PC时，则m2+9＝m2﹣8m+17，解得m＝1，∴P1（1，1）；当PC＝AC时，则m2﹣8m+17＝20，解得m1＝4﹣，m2＝4+，∴P2（1，4﹣），P3（1，4+）；当PA＝AC时，则m2+9＝20，解得m1＝，m2＝﹣，∴P4（1，），P5（1，﹣），∴综上所述，P点的坐标（1，1）或（1，4﹣）或（1，4+）或（1，）或（1，﹣）．。
二次函数单元测试卷及答案
二次函数单元测试卷及答案第一部分：选择题（共10题，每题2分）1. 若 $f(x)=2x^2+6x+1$，则该函数的抛物线开口向上（）。
A. 对B. 错2. 对于函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，若 $a>0$，则抛物线开口（）。
A. 向上B. 向下3. 已知 $f(x)=x^2+bx+c$，若 $b^2-4c>0$，则该函数（）。
A. 有两个实根B. 无实根C. 有一个实根4. 若 $f(x)=\frac{1}{2}x^2+ax+b$ 的导函数为 $f'(x)=x+1$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。
A. $\frac{1}{2}x^2+x+1$B. $\frac{1}{2}x^2+2x+1$C.$\frac{1}{2}x^2+x+2$5. 设 $f(x)=2x^2-10x+8$，$g(x)=x^2-3x+7$，则 $f(x)-g(x)$ 的值域为（）。
A. $(0,+\infty)$B. $(-\infty,0)$C. $[0,+\infty)$6. 函数 $f(x)=x^2-2mx+1$ 与 $y=0$ 交点的横坐标为 $4$，则 $m$ 的值为（）。
A. $1$B. $2$C. $-1$7. 若 $f(x)=x^2+1$，则 $f(2x+1)$ 的最小值为（）。
A. $2$B. $5$C. $6$8. 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 在 $x=1$ 处有极值 $0$，则 $a+b+c$ 等于（）。
A. $-1$B. $0$C. $1$9. 函数 $f(x)=x^2-2x+5$ 与 $g(x)=2x-1$ 的交点横坐标之和为（）。
A. $0$B. $1$C. $2$10. 若 $f(x)=x^2-2x-15$，则 $f(x)$ 的零点为（）。
A. $-3,5$B. $-5,3$C. $-3,-5$答案：1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A第二部分：填空题（共5题，每题4分）1. 函数 $f(x)=x^2+2x+1$ 的零点是 _____________。