2011高考数学总复习课件3.4 导数的综合应用
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高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
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题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
高考数学(理科)人教版二轮复习课件：专题四 导数及其应用第2讲导数的综合应用
专题四
导数及其应用
第2讲
导数的综合应用
专题四
导数及其应用
2016考向导航 历届高考考什 么？ 1.导数在研究函 数单调性中的 应用 2.导数在证明不 等式中的应用 3.导数在求函数 参数范围中的 应用 4.导数在求函数 最值中的应用 2015 卷Ⅱ，T21(1) 卷Ⅰ，T21(2) 卷Ⅱ，T21(2) 卷Ⅱ，T21(2) 卷Ⅰ，T21(2) 卷Ⅱ，T21 卷Ⅱ，T21(2) 三年真题统计 2014 2013 卷Ⅰ， T21(2)
栏目 导引
专题四
导数及其应用
1．已知函数 f(x)＝ x2＋ a(x＋ ln x)， a∈ R. (1)当 a＝－ 1 时，求 f(x)的单调区间； 1 (2)若 f(x)> (e＋ 1)a，求 a 的取值范围． 2
解： (1)由题意得 x∈ (0，＋∞ )， 当 a＝－1 时， f(x)＝ x2－ x－ ln x， 2 2x － x－ 1 ∴ f′(x)＝ . x 令 f′(x)<0，则 0<x<1； 令 f′(x)≥ 0，则 x≥ 1， ∴ f(x)的单调递减区间是(0， 1)， 单调递增区间是 [1，＋∞ )．
(1) 分离思想：将参数 ( 待定系数 ) 分离出来，研究函数的值 域； (2)数形结合思想：将原函数看作两个函数的“合成”，利用 图形关系求参数范围；
(3)分类讨论思想：根据导函数进行讨论．
栏目 导引
专题四
导数及其应用
e －e 设函数 f(x)＝ ， g(x)＝ x. 2 (1)若 h(x)＝f(x)－ kg(x)在 R 上是增函数， 求实数 k 的取值范围； (2)设 H(x)是 f(x)的导函数， 若 H(3x)－ tH(x)≥ 0， 求证： t≤ 4[f(x)]2 x －x ＋ 1. e －e 解： (1)由题意知 h(x)＝ － kx 得 2 e x＋e －x h′ (x)＝ － k(x∈ R)， 2 ∵ h(x)在 R 上是增函数， e x＋e －x 即 － k≥ 0 在 R 上恒成立． 2 e x＋e －x ∴ k≤ ， 2
导数及其应用
第2讲
导数的综合应用
专题四
导数及其应用
2016考向导航 历届高考考什 么？ 1.导数在研究函 数单调性中的 应用 2.导数在证明不 等式中的应用 3.导数在求函数 参数范围中的 应用 4.导数在求函数 最值中的应用 2015 卷Ⅱ，T21(1) 卷Ⅰ，T21(2) 卷Ⅱ，T21(2) 卷Ⅱ，T21(2) 卷Ⅰ，T21(2) 卷Ⅱ，T21 卷Ⅱ，T21(2) 三年真题统计 2014 2013 卷Ⅰ， T21(2)
栏目 导引
专题四
导数及其应用
1．已知函数 f(x)＝ x2＋ a(x＋ ln x)， a∈ R. (1)当 a＝－ 1 时，求 f(x)的单调区间； 1 (2)若 f(x)> (e＋ 1)a，求 a 的取值范围． 2
解： (1)由题意得 x∈ (0，＋∞ )， 当 a＝－1 时， f(x)＝ x2－ x－ ln x， 2 2x － x－ 1 ∴ f′(x)＝ . x 令 f′(x)<0，则 0<x<1； 令 f′(x)≥ 0，则 x≥ 1， ∴ f(x)的单调递减区间是(0， 1)， 单调递增区间是 [1，＋∞ )．
(1) 分离思想：将参数 ( 待定系数 ) 分离出来，研究函数的值 域； (2)数形结合思想：将原函数看作两个函数的“合成”，利用 图形关系求参数范围；
(3)分类讨论思想：根据导函数进行讨论．
栏目 导引
专题四
导数及其应用
e －e 设函数 f(x)＝ ， g(x)＝ x. 2 (1)若 h(x)＝f(x)－ kg(x)在 R 上是增函数， 求实数 k 的取值范围； (2)设 H(x)是 f(x)的导函数， 若 H(3x)－ tH(x)≥ 0， 求证： t≤ 4[f(x)]2 x －x ＋ 1. e －e 解： (1)由题意知 h(x)＝ － kx 得 2 e x＋e －x h′ (x)＝ － k(x∈ R)， 2 ∵ h(x)在 R 上是增函数， e x＋e －x 即 － k≥ 0 在 R 上恒成立． 2 e x＋e －x ∴ k≤ ， 2
导数综合复习(三)导数在研究函数中的应用 高考数学
高考数学综合复习
导数综合复习(三)
主讲人：某某某老师
某某学校
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
学校：________.班级：________.姓名：________.前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。
【详解】法一：，当时，恒成立，此时在R上单调递增，不可能有两个零点，舍去，当时，令 则在上单调递减，在上单调递增，因为时，，时，，所以要使得有两个零点，则要 ，
，，，即，综上，若函数有两个零点，则；法二：，当时，，0不是函数的零点；当时，有两根，所以有两根，令，则，当时，，所以在上单调递减，且，
中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的
二、函数的极值与最大值
1.极值极小值 极大值 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有(或)，则称是函数的一个极大值(或极小值)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，
导数综合复习(三)
主讲人：某某某老师
某某学校
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
学校：________.班级：________.姓名：________.前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。
【详解】法一：，当时，恒成立，此时在R上单调递增，不可能有两个零点，舍去，当时，令 则在上单调递减，在上单调递增，因为时，，时，，所以要使得有两个零点，则要 ，
，，，即，综上，若函数有两个零点，则；法二：，当时，，0不是函数的零点；当时，有两根，所以有两根，令，则，当时，，所以在上单调递减，且，
中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的
二、函数的极值与最大值
1.极值极小值 极大值 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有(或)，则称是函数的一个极大值(或极小值)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不 可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
导数的综合应PPT课件
又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
图4－3－3
关于导数的应用，课标要求 (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用课件
2
2
0恒成立.
考点二 利用导数研究恒（能）成立问题
例2 已知函数 = ln , = − 2 − − 4 ∈ .
（1）求函数 的极值；
1
3
（2）若对任意 ∈ 0, +∞ ，不等式 > 恒成立，求的取值范围.
解：（1） 的定义域为 0, +∞ ,′ = ln + 1.
（2）证明:由（1）得，
要证 > 2ln
即证2
= −ln = (e−ln + ) + ln = 1 + 2 + ln .
3
+ ，
2
即证1 + + ln > 2ln
2
min
3
+ ，
2
1
2
− − ln > 0恒成立.
1
设 = − − ln > 0 ，
第二问
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推
理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化
与化归、函数与方程、数形结合等数学思想
方法，运算求解、推理论证等关键能力，以
及导数在研究函数性质中的应用及等差数列
等必备知识.
解：（1） 的定义域为，′ = e − .
若 ≤ 0，则′ > 0，此时 无最小值，故 > 0.
当 < −ln 时，′ < 0，则 在 −∞, −ln 上单调递减；当 > −ln 时，
′ > 0，则 在 −ln , +∞ 上单调递增.
综上,当 ≤ 0时， 在上单调递减;当 > 0时， 在 −∞, −ln 上单调递减,在
2
0恒成立.
考点二 利用导数研究恒（能）成立问题
例2 已知函数 = ln , = − 2 − − 4 ∈ .
（1）求函数 的极值；
1
3
（2）若对任意 ∈ 0, +∞ ，不等式 > 恒成立，求的取值范围.
解：（1） 的定义域为 0, +∞ ,′ = ln + 1.
（2）证明:由（1）得，
要证 > 2ln
即证2
= −ln = (e−ln + ) + ln = 1 + 2 + ln .
3
+ ，
2
即证1 + + ln > 2ln
2
min
3
+ ，
2
1
2
− − ln > 0恒成立.
1
设 = − − ln > 0 ，
第二问
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推
理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化
与化归、函数与方程、数形结合等数学思想
方法，运算求解、推理论证等关键能力，以
及导数在研究函数性质中的应用及等差数列
等必备知识.
解：（1） 的定义域为，′ = e − .
若 ≤ 0，则′ > 0，此时 无最小值，故 > 0.
当 < −ln 时，′ < 0，则 在 −∞, −ln 上单调递减；当 > −ln 时，
′ > 0，则 在 −ln , +∞ 上单调递增.
综上,当 ≤ 0时， 在上单调递减;当 > 0时， 在 −∞, −ln 上单调递减,在
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精品课件
基础自测
1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与 曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为 ( A ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析 y 4x3x2,设Q(x0,2x02 x03),则l方程为 y2x02 x03 (4x0 3x02)(xx0). l过点P(0,4), 42x02 x03 (4x0 3x02)(0x0),x03 x02 20, x03 1(x02 1) 0,(x0 1)(x02 2x0 2) 0, x0 1.
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3.函数的极值 求可导函数极值的步骤 求导数f′(x)→求方程_f_′__(_x_)_=_0的根→检验f′(x) 在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则 f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这 个根处取极小值).
4.函数的最值 求可导函数在［a,b］上的最值的步骤 求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比 较f(a)、f(b)的值和极__值___的大小.
由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,t;x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
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(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
11 1 11n.故 C 选 . f(1 ) f(2 ) f(n ) n 1n 1
精品课件
4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间
(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子
中一定成立的关系式是
(B )
A.f(a)<f(b)
B.f(a+1)>f(b-1 ) 2
精品课件
3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列
{ 1 } (n∈N*)的前n项和为
f (n)
(C )
A .n
Β .n 1 C .n
n 1
n
n 1
解析 ∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1
D .n 2 n 1
m 2
a 1 ∴f(x)=x2+x ∴f(n)=n2+n=n(n+1)
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) +
精品课件
题型分类 深度剖析
题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. 思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
2
图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式 f′(x)≤0的解集为[__13_,_1]___[2_,_3)_.
解析 由函数y=f(x)在定义 域 ( 3 ,3) 内的图象可得,函 数y=f2′(x)的大致图象如图
所示.由图象可得不等式 f′(x)≤0的解集为
[1,1][2,3). 3
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①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x); ③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增_函__数___;当f′(x) <0时,f(x)在相应的区间上是减__函__数___. 还可以通过列表,写出函数的单调区间. (2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用 以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若 f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为 增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续, 则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.
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5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问 题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值 的大小,最大(小)者为最大(小)值.
C.f(a+1)>f(b-1)
D.f(a+1)>f(b-3 )
2 解析 因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满
足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,
又 b-a2 ,a 1a21b1, 22
故f(a+1)>f(b- 1 ),故选B. 2
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5.函数y=f(x)在其定义域 ( 3 ,3) 内可导,其图象如
§3.4 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.曲线的切线方程
点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0)) 处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y_-__ f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0_)_(_x_-_x_0)_. 2.函数的单调性 (1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便, 但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:
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2.函数f(x)=xcos x的导函数f′(x)在区间[-π,π]
上的图象大致是
(A )
解析 ∵f(x)=xcos x,∴f′(x)=cos x-xsin x. ∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象 关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而 f′(1)=cos 1-sin 1<0,从而观察图象即可得到答 案为A.
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解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.
①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以2m6 0,
23
所以m=-3.代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
基础自测
1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与 曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为 ( A ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析 y 4x3x2,设Q(x0,2x02 x03),则l方程为 y2x02 x03 (4x0 3x02)(xx0). l过点P(0,4), 42x02 x03 (4x0 3x02)(0x0),x03 x02 20, x03 1(x02 1) 0,(x0 1)(x02 2x0 2) 0, x0 1.
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3.函数的极值 求可导函数极值的步骤 求导数f′(x)→求方程_f_′__(_x_)_=_0的根→检验f′(x) 在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则 f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这 个根处取极小值).
4.函数的最值 求可导函数在［a,b］上的最值的步骤 求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比 较f(a)、f(b)的值和极__值___的大小.
由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,t;x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
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(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
11 1 11n.故 C 选 . f(1 ) f(2 ) f(n ) n 1n 1
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4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间
(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子
中一定成立的关系式是
(B )
A.f(a)<f(b)
B.f(a+1)>f(b-1 ) 2
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3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列
{ 1 } (n∈N*)的前n项和为
f (n)
(C )
A .n
Β .n 1 C .n
n 1
n
n 1
解析 ∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1
D .n 2 n 1
m 2
a 1 ∴f(x)=x2+x ∴f(n)=n2+n=n(n+1)
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) +
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题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. 思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
2
图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式 f′(x)≤0的解集为[__13_,_1]___[2_,_3)_.
解析 由函数y=f(x)在定义 域 ( 3 ,3) 内的图象可得,函 数y=f2′(x)的大致图象如图
所示.由图象可得不等式 f′(x)≤0的解集为
[1,1][2,3). 3
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①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x); ③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增_函__数___;当f′(x) <0时,f(x)在相应的区间上是减__函__数___. 还可以通过列表,写出函数的单调区间. (2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用 以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若 f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为 增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续, 则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.
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5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问 题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值 的大小,最大(小)者为最大(小)值.
C.f(a+1)>f(b-1)
D.f(a+1)>f(b-3 )
2 解析 因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满
足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,
又 b-a2 ,a 1a21b1, 22
故f(a+1)>f(b- 1 ),故选B. 2
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5.函数y=f(x)在其定义域 ( 3 ,3) 内可导,其图象如
§3.4 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.曲线的切线方程
点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0)) 处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y_-__ f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0_)_(_x_-_x_0)_. 2.函数的单调性 (1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便, 但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:
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2.函数f(x)=xcos x的导函数f′(x)在区间[-π,π]
上的图象大致是
(A )
解析 ∵f(x)=xcos x,∴f′(x)=cos x-xsin x. ∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象 关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而 f′(1)=cos 1-sin 1<0,从而观察图象即可得到答 案为A.
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解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.
①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以2m6 0,
23
所以m=-3.代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).