心理统计学-课程讲义5

【课程讲义】第五章相关系数【教学目标】明确相关是描述两个变量之间关系的量数；掌握相关的种类；掌握各种相关系数的计算、适用条件；掌握相关在教学实践中的运用；掌握对相关系数的解释。

【学习方法】了解、理解与掌握。

【重点难点】各种相关系数的使用条件、计算及应用【讲义内容】前面章节中研究的问题，基本上都是属于单变量的数量变化关系。

而教育和心理现象中的数量关系，并不仅仅是单变量的变化关系，在很多方面体现出的是一个变量与另一个变量或多个变量之间的变化关系。

如：学生学习成绩与学生智商的关系；学生学习成绩与学习动机的关系；家庭环境与学生学业成绩之间的关系等等。

本章主要讨论两个变量或两列数据之间相关的数量关系。

第一节相关概述一、相关的含义事物总是相互联系的，它们之间的关系多种多样。

分析起来，大概有以下几种情况：一种是因果关系，即一种现象是另一种现象的因，而另一种现象则是果。

例如学习的努力程度是学习成绩好坏的因（至少是部分的因）；在一定刺激强度范围内，刺激强度经常是反应强度的因等等。

第二种是共变关系，即表面看来有联系的两种事物都与第三种现象有关，这时两种事物之间的关系，便是共变关系。

例如春天出生的婴儿与春天栽种的小树，就其高度而言，表面上看来都在增长，好像有关，其实，这二者都是受时间因素影响在发生变化，在它们本身之间并没有直接的关系。

第三种是相关关系，即两类现象在发展变化的方向与大小方面存在一定的关系，但不能确定这两类现象之间哪个是因，哪个是果；也有理由认为这两者并不同时受第三因素的影响，即不存在共变关系。

具有相关关系的两种现象之间，关系是较复杂的，甚至可能包含有暂时尚未认识的因果关系及其共变关系在内。

例如，同一组学生的语文成绩与数学成绩的关系，即属于相关关系。

二、相关的种类统计学中所讲的相关是指具有相关关系的不同现象之间的关系程度。

相关的种类可以从不同角度划分，从其变化方向来看，两个变量之间的相关可以分为：1．正相关。

正相关指的是两列变量变动方向相同，即两个变量中，一种变量增大时，另一种变量也随着增大，一个变量减小时，另外一个变量也随着减小。

如身高与体重的关系，一般讲身长越长体重就越重。

智力和学业成绩之间的关系。

2．负相关。

负相关指的是两列变量变动方向相反，即两个变量中，一种变量增大时，另一种变量就随着减小，一个变量减小时，另外一个变量反而随着增大。

如心理压力与工作绩效的关系等。

初学打字时练习次数与出现错误量之间的关系。

3．零相关。

两变量值的变化方向无规律，即一个变量值增大，另一个变量对应值或增大或减小，且增大会减小的机会基本相同，这种情况下，这两个变量之间的相关称为零相关。

如学习成绩优劣与身高之间的关系，人的相貌和智力的关系等。

若从变量的个数来划分，可以将相关分为：1．简单相关：两个变量之间的相关；2．复相关：一个变量与两个或两个以上变量之间的相关；从变量之间相关关系的程度上划分，可以划分为：1．高相关2．中等程度相关3．低相关三、相关散点图相关散点图是用直角坐标系上点的散布形状，来表示两个事物之间的相关性及练习的模式。

在坐标系中，以X轴表示一个变量，Y轴表示一个变量，在坐标中描出相应的坐标点，由这些坐标散点组成的图形就称为相关散点图。

相关散点图的用途：1．判断相关是直线型的；2．判断相关密切程度高低；3．判断相关变化方向。

四、相关系数相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式，或者说是表示相关程度的指标。

作为样本间相互关系程度的统计特征数，常用r表示，作为总体参数，一般用ρ表示，并且是指线性相关而言。

相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间，常用小数形式表示。

它只是一个比率，不代表相关的百分数，更不是相关量的相等单位的度量。

相关系数的正负号，表示相关方向，正值表示正相关，负值表示负相关。

相关系数取值的大小表示相关的程度。

相关系数为0时，称零相关即毫无相关，为1.00时，表示完全正相关，相关系数为-1.00时，为完全负相关。

这二者都是完全相关。

如果相关系数的绝对值在1.00与0之间不同时，则表示关系程度不同。

接近1.00端一般为相关程度密切，接近0值端一般为关系不够密切（注意：若是非线性相关关系，而用直线相关计算r值可能很小，但不能说二变量关系不密切）。

关于这一点如何判定，尚须考虑计算相关系数时样本数目的多少。

如果样本数目较少，受取样偶然因素的影响较大，很有可能本来无关的两类事物，却计算出较大的相关系数来。

例如欲研究身高与学习有无关系，如果只选3、5个人，很可能遇到身材愈高学习愈好这一类偶然现象。

这时虽然计算出的相关系数可能接近1.00，但实际上这两类现象之间并无关系。

究竟如何综合考虑样本数目大小，相关系数取值大小而判定相关是否密切这一问题，一般要经过统计检验后方能确定。

相关系数不是等距的度量值，因此在比较相关程度时，只能说绝对值大者比绝对值小者相关更密切一些，如只能说相关系数r=0.50的两列数值比相关系数r=0.25的两列数值之间的关系程度更密切，而绝不能说前二者的密切程度是后二者密切程度的两倍。

也不能说相关系数从0.25到0.50与从0.50到0.75所提高的程度一样多。

存在相关关系，即相关系数取值较大的两类事物之间，不一定存在因果关系，这一点要从事物的本质方面进行分析，绝不可简单化。

计算相关系数一般要求成对的数据，即若干个体中每个个体要有两种不同的观测值。

例如每个学生（智力相同者）的算术和语文成绩；每个人的视反应时和听反应时；每个学生的智力分数与学习成绩等等。

任意两个个体之间的观测值不能求相关。

计算相关的成对数据的数目，一般以30以上为宜。

小结：相关系数是描述两列或都列数据之间关联程度高低的指标。

可以分为：正相关、负相关和零相关，简单相关和复相关；高相关、中等程度相关和低相关几种类型。

相关散点图是表示两个事物之间的相关性及联系的模式。

可以通过相关散点图的大致了解：1．判断相关是直线型的；2．判断相关密切程度高低；3．判断相关变化方向。

相关程度的大小可用相关系数来描述。

第二节 积差相关系数一、概念及适用条件 （一）概念积差相关，又称积矩相关，是英国统计学家皮尔逊于20世纪初提出的一种计算相关的方法，因而也称皮尔逊相关，是求直线相关的基本方法。

积差相关系数用r 表示yx S NS xyr ∑=(5-1)式中 X X x -=，Y Y y -=，N 为成对数据的数目，x S 为X 变量的标准差，S y 为Y 变量的标准差。

（二）适用条件计算积差相关时，需要变量符合以下几个条件。

首先两列数据都是测量的数据，而且两列变量各自总体的分布都是正态的，即正态双变量。

为了判断计算相关的两列变量其总体是否为正态分布，一般要根据已有的研究资料查询，若无资料可查，研究者应取较大样本分别对两变量作正态性检验。

这里只要求保证双变量总体为正态分布，而对要计算相关系数的两样本的观测数据，并不要求一定为正态分布。

其次，两列变量之间的关系应是直线性的，如果是非直线性的双列变量，不能计算线性相关。

如何判断两列变量之间的相关是否直线式，可作相关散布图进行初步分析，也可查阅已有的研究结果论证。

相关散布图是以二列变量中的一列变量为横坐标，以另一列变量为纵坐标，画散点图。

如果所有散点分布呈椭圆型，则说明二变量之间呈线性关系，如果散点呈弯月状（不论弯曲度大小或方向），说明二变量之间呈非线性关系。

画散点图时，如果分别以二变量的Z 分数为横坐标与纵坐标，则相关趋势的考察更清楚，若散点接近相等地散布在四个象限中，则相关系数接近于零。

若1、3象限的散点明显地多于2、4象限，或2、4象限的散点明显地多于1、3象限，都说明二变量呈线性相关。

相关系数的大小，亦可根据散点呈椭圆形状的狭长情况进行粗略分析。

最后，两变量测量到的数据必须是成对的数据，对于不成对的数据无法计算两个变量之间的相关，及时可以计算，得到的相关也没有意义。

二、计算方法(一) 基本公式计算法（1）计算均值和标准差，y x S Y S X ,,,； （2）计算积差))((Y Y X X i i --； （3）计算积差的和)()(Y Y X Xi i--∑（4）代入相关系数的公式计算：yx S NS xyr ∑=例 1 某校为调查学生学习各科目之间能力的迁移问题，随机抽取10名学生的政治与语文成绩见表5-1，请计算其相关程度。

表 5-1 10名学生政治与语文成绩相关系数计算表按表5-1的资料,计算结果为475.0337.44542.41080.91=⨯⨯=⋅⋅⋅∑=y x S S N y x r即10名学生政治科目和语文科目的相关程度为0.475。

（二）原始数据计算上面（5-1）的公式可以转化成：∑∑∑∑∑∑∑-⋅--=NY Y NX X NY X XY r 2222)()(利用上式可以直接用原始数据计算相关系数。

其计算步骤为： （1）计算X 变量的∑X 、∑2X和2)(∑X ；（2）计算Y 变量的∑Y 、∑2Y和2)(∑Y ；（3）计算XY ，∑XY ；（4）将有关数据代入公式（5-2），求得r 。

例2：请用表5-1中的原始数据，计算两科目成绩的相关系数。

计算结果见表5-2。

表5-2 10名学生政治与语文成绩相关系数计算表解：将表中计算结果代入公式（5-2）中，475.010)837(7024510)756(57352108377566336922=-•-⨯-=r即表5-2中10名学生政治与语文成绩相关系数为0.475。

小结 ：积差相关是描述两列连续变量之间线性相关程度高低的最重要的统计指标，计算积差相关数据资料应满足：（1）两列数据都是测量的数据，而且两列变量各自总体的分布都是正态的，即正态双变量。

（2）两列变量之间的关系应是直线性的；（3）最后，两变量测量到的数据必须是成对的数据。

积差相关系数定义为：yx S NS xyr ∑=，用原始数据计算积差相关系数的公式为：∑∑∑∑∑∑∑-⋅--=NY YNX XN YX XY r 2222)()(。

第三节 其他相关系数一、斯皮尔曼等级相关 1．概念及适用条件 （1）概念两变量是等级测量数据，且总体不一定呈正态分布，样本容量也不一定大于30，计算这样两变量的相关，称为等级相关。

因为等级相关是英国统计学家斯皮尔曼提出来的，所以叫斯皮尔曼等级相关。

（2）适用条件① 两变量的资料为等级测量数据，且具有线性关系；②连续变量的测量数据，按其大小排成等级，也可以用等级相关法计算； ③不要求总体呈正态分布。

2．计算方法等级相关系数的符号以R r 表示，计算公式为：)1(6122--=∑N N D r R （5.3）式中D 为各对等级之差，∑2D是各D 平方之各，N 为等级数目。

计算步骤为：（1）计算两变量等级之差D ； （2）计算2D ； （3）计算2D 之和，即∑2D；（4）将有关数据代入公式（5.3）求得等级相关系数。