高斯小学奥数五年级上册含答案_比例应用题
高斯小学奥数五年级上册含答案_燕尾模型
第二十五讲燕尾模型你怎么看？喜泉忖和司京庄之闻有J 午三和形的湖73*£司泉£■£田应逆在东移『盅该往西移匡【村昌认为湖水面积发生了变K 分配.ftiteffi 个村怅】叶得面红耳赤. *44^=3 nnk sgjt>离寂忖畜3m 户人泉「司寂庄有“口户人寂*于罡蒂材商定値一座塀坝.把湖 分底两躺分，面积之比为肚4* 然而ri 年怎"因治国湖造田，溯水的⑥积缩小了■丿1 宙盒住 无 - --------------- - 「名 ------------- X s *.口］JJ-*■一亠rrx e- 2 c之前我们学过等高三角形的比例关系, 有比例关系S i : Sa a:b .如下右图所示，在增加了两条线段后， 图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之 间的比例关系如图中所示.由于图中的阴影部分看起来很像燕子的尾巴， 所以这个图形我们形象的把它称为燕尾模给出不同边上的比例关系，我们就可以用 “燕尾模型”解决三角形面积的问题，下面我们先看- 一个给出两个外比的问题.如下左图所示，△ ABC 被线段AD 一分为二，且外比：S i S 3 S i S 3 BD S 2S 4 S 2 S 4 CD内比： S iS a S i S 2 AO S 3S 4S 3 S 4 OD例题1.如图，AD=6, CD=14，三角形ABE 的面积是24,求三角形 BEC 的面积. 「分析」？△空 AD ，据此就可以求出△ BEC 的面积.S ^BCE DC练习1.已知三角形ABC积是56,求三角形BDF 和三角形CDF 的面积.中，三角形ABF 的面积是60,三角形AFC 的面积是20,三角形BFC 的面a bSS 4根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数.例题2.如图，△ ABC 的面积等于28平方厘米.其中 AE EC , BD: DC 3:1 ,求阴影三角形的 面积. 「分析」图中并没有燕尾模型，所以第一步需要把它构造出来•应该连哪条线呢？练习2.在三角形ABC 中，2AE EB , AD CD ，阴影部分占△ ABC 的几分之几？A有时题目给的不是两个外比， 而是一个内比和一个外比， 此时在利用燕尾模型解题的时候，既需要由长度的比推出面积的比，也需要由面积的比推出长度的比.这类问题较简单的一类是已知的内比和外比在同一个燕尾形中.外比：AD:DB=2:1 外比：AF:FC=1:1外比：CD:DB=2:1 外比：AE:EC=1:3外比：CD:DB=3:1 外比：AE:EC=1:3A练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数.例题3.如图，△ ABC 中AE ED , BD: DC 1:3，阴影部分的面积占三角形 ABC 面积的几分之几? 「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第一种类型，按顺序填份数就可以了.练习3在三角形ABC 中，AE 2EC , BF : FE 1:1，阴影部分占△ ABC 的几分之几?练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数.外比：AD:DC=1:2外比：AD:DC=1:1夕卜比:AE:EB=2:1 夕卜比：BE:EC=2:1例题4i如图，△ ABC中，AF FD , AE —AC，求四边形CEFD的面积是三角形ABC的几分之3几.「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第二种类型，按顺序填份数就可以了.练习4.13DF，四边形ADFE的面积是三角形ABC的几分之在三角形ABC中，AE - EC , CF2几？有些图形不能直接使用燕尾模型，我们需要添加辅助线后方可使用燕尾模型.例题5.如图，正方形ABCD的边长是6, E、F分别是DC和AD边的中点，阴影部分的面积是多少？「分析」连结AC ,燕尾模型就出来了.D E C例题6.如图，四边形ABCD中，AB 3BE , AD 3AF ,四边形AEOF的面积是12, BCDE是平行四边形•那么四边形ABCD的面积是多少？「分析」例题5中，我们通过连结正方形对角线构造出了燕尾模型.本题中，我们应该连结哪条线段呢？A含有“燕”字的诗句中国古代的诗句中，有很多都和燕子有关系。
高斯小学奥数五年级上册含答案_比例应用题
第十七讲比例应用题在研究两个量之间的关系时，经常用到和的关系、差的关系以及倍数关系．之前我们学过的和差倍问题就是关于这些关系的．而倍数关系还有一种比较常见的表现形式，就是比的关系．比如，甲有3个苹果，乙有2个苹果，我们可以说甲的苹果是乙的1.5倍，也可以说甲和乙的苹果数之比是3:2，读作3比2．如果甲有6个苹果，乙有4个苹果，甲的苹果仍然是乙的1.5倍，甲和乙的苹果数之比是6:4．我们发现，比的关系和倍数关系可以如下转化：由此可见，比的概念与除法的概念密切相关，我们定义：两个数相除又叫做这两个数的比．在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以比的后项所得的商叫做比值．例如：请你想一想：比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可以是0吗？与除法和分数一样，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．利用这个性质，我们可以像约分一样，将比化简．比如6:4=3:2．像这种表示两个比相等的式子叫做比例（式）．要判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等．两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例．比例有四个项，分别是两个内项和两个外项．在3:4=9:12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项．比例的四个数均不能为0．在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积．即：3:7比的后项比号比的前项比值3377=÷=比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示．比的关系 3:2 6:4倍数关系 1.5倍 1.5倍64 1.5÷=在表示两个量之间的关系时，可以用到和的关系、差的关系、倍数关系和分数倍关系．除了这些之外，比例也可以用来表示两个量之间的倍数关系．知道了两个量之间的比，我们可以方便的按照比例将两个对象的数量分配好，这也是本讲要重点学习的：按比例分配．例题1．（1）水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个．如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4，那么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？（2）阿呆和阿瓜一起去买包子，两人买的包子数之比是13:6．又知道阿呆比阿瓜多买了21个包子，那么两人一共买了多少个包子？「分析」根据比例设份数，比如西瓜和哈密瓜的个数比是5:4，那么可设西瓜有5份，哈密瓜有4份．（1）卡莉娅和萱萱一共买了50块巧克力，卡莉娅的巧克力块数和萱萱的比是7:3，那么卡莉娅比萱萱多多少块巧克力？（2）小山羊和老山羊去吃草，小山羊和老山羊吃的草量比为5:9，并且老山羊比小山羊多吃了200克的草，那么小山羊吃了多少克的草？1. 求比值：2:5 =________；7:3 =________；10:4=________．2. 把比化成最简整数比：6:15 =________；8:12=________；0.2:0.5 =________．3. 如果34a b ，那么a :b =（ ）:（ ）；4. 我国《国旗法》规定，国旗长宽之比为3:2，若国旗宽是128厘米，则长是________厘米．练一 练例题2．红旗小学共有师生1081人．其中老师与学生的人数之比为2:45，男生与女生的人数之比为5:4．请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？「分析」如何通过师生的人数比求出学生的总人数？又如何利用男、女比例，求出男、女生各有多少？把这两个问题搞清楚了，本题也就解决了．512名士兵分成龙、虎两个营，将龙营分成甲、乙两个连，再将乙连分成A 、B 两个排．如果每次都按5:3的人数比来分，那么A 排有多少名士兵？比例除了可以表示两个量之间的倍数关系，还可以表示多个量之间的倍数关系．我们把两个数之间的比称为简单比，多个数的比称为连比．简单比与连比之间可以互相转化．如果甲:乙=2:3，乙:丙=5:4，那么甲:乙:丙是多少？例题3．机器人制造厂一月份与二月份生产机器人的个数比为4:5．后来改进生产技术，三月份生产的机器人的个数与二月份的产量之比为5:3． （1）请写出三个月的产量的连比；（2）如果三月份比一月份多生产了78个机器人．请问，这家工厂第一季度共生产多少个机器人？「分析」题目中给出了两个比，这两个比之间存在什么样的关系呢？你能通过这两个比求出一月份、二月份和三月份这三个月产量的连比吗？育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆．第一批与第二批的人数比是5:4，第二批与第三批的人数比是3:2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人．请问：育才小学甲 乙 丙 2 : 35 : 410 : 15 : 12甲:乙:丙=10:15:12五年级一共有多少人？对于数量发生变化的题，题目中比的每一份的含义往往也是不一样的，不能直接来计算．那么对于这类问题，我们通常要从题中找到不变量，根据它来统一份数．我们来看看下面这道题，题中的量是如何变化的？你能找到其中的不变量吗？例题4．慢羊羊村长开了一间学校，招了好多小羊和小狼，上学期小羊和小狼的数量比为1:3，新学期时又转来了20只小羊，导致开学的时候小羊和小狼的数量比变为3:5，那么开学时一共有多少只小羊？「分析」题目中也给出了两个比，这两个比之间存在什么样的关系？我们能像例1那样，把上学期的小羊和小狼设成1份和3份，这学期的设成3份和5份吗？史蒂文森高中去年男生和女生的人数比为5:3，今年转来了200名男生，使得女生和男生的人数比变为1:2，那么今年史蒂文森高中一共有多少名学生？例题5．如下图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘米．甲木棒在水面上、下的长度之比为3:1，乙木棒在水面上、下的长度之比为4:3，丙木棒在水面上、下的长度之比为2:3．请问：水深是多少厘米？甲乙丙水面水深「分析」题目中的三个比涉及到了甲、乙、丙三根木棒的水上部分和水下部分，它们之间有公共的量吗？例题6．甲、乙两包糖的重量比是5:3，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5．请问：这两包糖重量的总和是多少克？「分析」甲包少了10克，乙包多了10克．什么没有变呢？黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的比例关系
第十八讲直线形计算中的比例关系- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系，下面我们复习一下其中的基本结论．如图所示，对于三角形ABD 与三角形BDC ，它们有共同的高BH ，可知ABD ADBDC DC=三角形的面积三角形的面积．例题1．如图，AE :EB =3:2，CD :DB =7:5，三角形ABC 的面积是60，求三角形AED 的面积． 「分析」图中是否有等高的三角形？练习1．如图，:2:5CE AE =，:7:5CD DB =三角形ABC 面积为120，求三角形AED 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”．把“飞镖”立起来（如图），标好字母，会发现两个三角形：三角形ADE 与三角形ABC ．这两个三角形有一个公共的角A ，并且角A 的两边AD 、AE 分别在AB 、AC 上．对于符合这种情况的三角形ADE 与三角形ABC ，我们称之为“共角三角形”．AB B对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：在“小黎飞镖”中，有ADE AD AEABC AB AC=⨯三角形的面积三角形的面积．（同学们，可以想一想如何来证明这个结论．提示：连结四边形BDEC 的一条对角线）例如：如果在“小黎飞镖”中，D 点是AB 上靠近B 的3等分点，E 点是AC 上靠近A 的3等分点，那么23AD AB =，13AE AC =，那么三角形ADE 的面积就是三角形ABC 面积的212339⨯=． 有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了．请看下面的问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．如图，在三角形ABC 中，AD 的长度是BD 的3倍，AC 的长度是EC 的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC 的面积是多少？「分析」△ADE 占△ABC 的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算？练习2．三角形ABC 中，BD 的长度是AB 的14，AE 的长度是AC 的13．三角形AED 的面积是8，那么三角形ABC 的面积是多少？例题3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，BE =3BD ，CE =CF ．请问：三角形BEC 的面积是多少？「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？CCF练习3．如图，长方形ABCD 的面积是48，BE :CE =3:5，DF :CF =1:2．三角形CFE 的面积是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系．如图，对于一个任意的四边形ABCD ，连结对角线AC 和BD ，将整个四边形分成4个小三角形，由等高三角形的基本结论，我们可以得到如下关系：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成4个部分．三角形BOC 的面积是2平方千米，三角形COD 的面积是3平方千米，三角形AOB 的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？「分析」△BOC 、△COD 和△AOB 的面积都知道了，那么△AOC 的面积是多少呢？练习4．四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于O 点，三角形ABO 的面积为6，三角形AOD 的面积为8，三角形BOC 的面积是15，那么四边形ABCD 的面积是多少？ABCDO S 1S 2 S 3S 414142323S S S S BO DO S S S S +===+ 12124343S S S S AO CO S S S S +===+ 1324S S S S ⨯=⨯A B CD E FA例题5．如图，△ABC 的面积是36，并且13AE AC =，14CD BC =，15BF AB =，试求△DEF 的面积．「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢？例题6．图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，如果△ABD 的面积是30平方厘米，△ABC 的面积是48平方厘米，△BCD 的面积是50平方厘米．请问：△BOC 的面积是多少？ 「分析」题目中给出了3个大三角形的面积，能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？A B CDE F C DAOB三角形中的五心重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心．1. 如图，△ABC 中，BD 的长度是AB 的23，如果△ABC 的面积为15，那么△ADC 的面积是多少？2. 如图，:4:3AE EB =，:3:1CD DB =，三角形ABC 的面积是84，三角形AED 的面积是多少？3. 如图，:1:4AD DB =，:1:5AE EC =，如果△ABC 的面积是120，那么△ADE 的面积是多少？4. 如图所示，在长方形ABCD 中，DE CE =，2CF BF =，如果长方形ABCD 的面积为18，那么阴影部分的面积是多少？5. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于O 点，△ADO的面积为30，△ABO 的面积为6，△DOC 的面积是20，那么四边形ABCD 的面积是多少？C第十八讲 直线形计算中的比例关系例题1. 答案：15详解：因为三角形ACD 与三角形ADB 同高，所以::7:5ACD ADB S S CD DB ∆∆==，所以三角形ADB 面积为25；同理，三角形AED 与三角形BED 等高，所以::3:2AED BED S S AE EB ∆∆==，所以三角形AED 面积为15．例题2. 答案：20详解：AD 是AB 的34，AE 是AC 的23．根据鸟头模型，有△ADE 面积是△ABC 面积的321432⨯=．那么△ABC 的面积是20．例题3. 答案：3详解：连结DF ，根据鸟头模型，可知△BCE 面积是△DEF 面积的313428⨯=．那么△BCE 的面积是1316328⨯⨯=．例题4. 答案：0.6详解：由题意，:::BOC COD BOA DOA S S BO OD S S ∆∆∆∆==，三角形BOC 面积为2平方千米，三角形COD 面积为3平方千米，三角形BOA 面积为1平方千米，则三角形AOD 面积是1.5平方千米，陆地总面积6.9平方千米，则人工湖面积为231 1.5 6.90.6+++-=平方千米．例题5. 答案：15详解：由鸟头模型可得，414836535AEF S ∆=⨯⨯=，132736545BFD S ∆=⨯⨯=，1236643CDE S ∆=⨯⨯=，48273661555DEF S ∆=---=．例题6. 答案：30详解：::3:5ABD BCD AO CO S S ∆∆==，所以5308BOC ABC S S ∆∆=⨯=平方厘米．练习1. 答案：50简答：△ACD 的面积是()12075770÷+⨯=，△AED 的面积是()7025550÷+⨯=．练习2. 答案：32简答：3183243⎛⎫÷⨯=⎪⎝⎭．练习3.答案：10简答：1524810283⨯⨯⨯=．练习4.答案：49简答：△COD的面积是815620⨯÷=，四边形ABCD的面积为68152049+++=．作业1.答案：5简答：由BD的长度是AB的23得:1:3AD AB=，那么三角形ADC的面积为11553⨯=．作业2.答案：12简答：由于:3:1CD DB=，三角形ABC的面积是84，可知三角形ADB的面积为84(31)21÷+=，又由于:4:3AE EB=，可知三角形AED的面积为21(43)412÷+⨯=．作业3.答案：4简答：由已知条件得:1:5,:1:6AD AB AE AC==，利用“共角三角形”得三角形AED的面积是11 120456⨯⨯=．作业4.答案：6简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF为三角形BCD的121233⨯=，那么阴影部分的面积是19163⨯-=（）．作业5.答案：60简答：利用任意四边形的结论得三角形BOC的面积是：620304⨯÷=，所以四边形ABCD 的面积是62030460+++=．。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第20讲：直线型计算三
第20讲 直线形计算三内容概述学习直线形中的各类比例关系，重点是与三角形相关的、与平行线相关的比例关系；学习勾股定理并能简单运用。
典型问题兴趣篇1.如图20-1，在三角形ABC 中，AD 的长度是AB 的34，AE 的长度是AC 的23。
请问：三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？2.如图20-2，AC 的长度是AD 的45，且三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的一半。
请问：AE 是AB 的几分之几？3.如图20-3，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上。
（1）当水箱像图20-4这样倾斜，水箱中水流出15，这时AB 长多少厘米？（2）如图20-5，当水箱这样倾斜到AB 的长度为8厘米后，再把水箱放平，如图20-6，这时水箱中水的深度是多少厘米？图20-1BD CE A图20-2BEDCABA B A～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～图20-6图20-5图20-4图20-34.如图20-7，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC BD 、分成4个部分。
三角形AOB 的面积是2平方千米，三角形BOC 的面积是3平方千米，三角形COD 的面积是1平方千米。
如果公园由大小为6.9万平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？5.如图20-8，在梯形ABCD 中，三角形ABO 的面积是6平方厘米，且BC 的长是AD 的2倍。
请问：梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？6.如图20-9，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，求图中阴影部分的面积。
图20-7ODABC图20-8CDBAO图20-97.图20-10中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，求阴影部分的面积。
8.如图20-11，梯形ABCD 的对角线相互垂直。
三角形AOB 的面积是12，OD 的长是4，求OC 的长。
9.在图20-12中，正方形ABCD 的边长为5厘米，且三角形CEF 的面积比三角形ADF 的面积大5平方厘米，求CE 的长。
高斯小学奥数五年级上册含答案_环形路线
第四讲环形路线为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆．今天我们就来学习一下环形路线问题．顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的．同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程和为一个圆周．而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周．这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度．如右图，AB 两点间的距离就是AB 间粗实线的长度．起点路程和是跑道的周长 相遇时间＝周长 ÷（甲速＋乙速）相向而行起点路程差是跑道的周长追及时间＝周长 ÷（乙速－甲速） A从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒．第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒．由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性．同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性．若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈．如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的．如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了．在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题．如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐．在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程．练习4． 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A 、B 两地出发相向而行，第一次相遇在距离A 点100米处的C 点，第二次相遇在距离B 点200米处的D 点．已知AB 长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快．如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上．请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少．想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候．应该是哪个墙角呢？如图，一个正方形房屋的边长为12米．阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米．问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？B DC A华罗庚爷爷的故事温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。
高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的倍数关系
第六讲直线型计算中的倍数关系迄今为止，同学们已经学会了很多图形计算面积的方法．在计算这些面积的时候，只要知道相应线段的长度，然后利用公式即可以计算．例如计算长方形的面积，只需知道长方形的长和宽即可利用长方形的面积=⨯长宽进行计算．但很多时候，题目中并不给出长和宽，那怎么来求面积呢？我们来看下面这个例题．例题1. 如图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？「分析」如果两个长方形的一条边相等，我们可以比较它们的另一条边来求它们的面积关系，看看下图，能利用左上角的三块面积求出①的面积吗？对于长方形，我们总结出：如果两个长方形的长（宽）相等，那么它们的面积的比等于它们宽（长）之比．例如：如图所示的长方形ABCD 与长方形BEFC 宽BC 相同，那么ABCD BEFC AB BE =长方形的面积:长方形的面积:．如图，有7个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为20，4，6，8，10平方厘米．求阴影长方形的面积是多少平方厘米？从上面的例题可以看出，求一个图形的面积不一定要通过公式，有些时候我们也可以利用图形各部分之间的面积关系进行计算．实际问题中，各图形的形状各异．我们很难直接看出面积间的关系，更容易发现的是长度之间的倍数关系．本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化．过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形，则这两个小三角形面积之比等于84620 10A B CDE481216 20该直线分对边所得的两条线段长度之比,这是由两个小三角形有共同的高决定的．例题2. 下图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍．那么三角形ABE 的面积是多少平方厘米？「分析」你能从图中发现前面讲过的基本图形吗？如何利用其中的比例关系解题呢？如图，三角形ABC 中，D 为AB 的中点，E 为BC 的中点，F 为BE 中点，如果三角形ABC 的面积是120平方厘米，那么三角形DEF 的面积是多少？在实际问题中，给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分．比如知道两条线段的长度关系，却找不到合适的图形引出面积关系．此时，我们可以添加适当的辅助线，使得两个图形之间可以找到一个过渡的量，这个量和两个图形都有比较紧密的联系．例题3. 如图，把三角形DEF 的各边分别向外延长1倍后得到三角形ABC ，已知三角形DEF 的面积为1，那么三角形ABC 的面积是多少？「分析」容易看出，本题也需要通过边长的倍数关系去求三角形面积之间的关系．但是我们所求的是三角形DEF 的面积，而已知的是三角形ABC 的面积，这两个三角形之间一条直接相连的边也没有．那么我们该怎么办呢？ACBF ED::ABD ADC BD DC 三角形的面积三角形的面积ABDE A DEA B CED F如图，把三角形DEF 的各边分别向外延长1倍、2倍、3倍后得到三角形ABC ，已知三角形DEF 的面积为1，那么三角形ABC 的面积是多少？除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外，我们有时候也利用面积的倍数关系反推出长度的倍数关系．例题4. 如图，E 是AB 上靠近A 点的三等分点，梯形ABCD 的面积是三角形AEC 面积的4倍，那么梯形的下底长是上底长的几倍？「分析」本题中我们并不知道图形的具体面积，而只知道面积的倍数关系．需要求的则是长度的倍数关系，所以我们考虑如何利用面积的关系求出长度关系．我们不妨假设三角形AEC 的面积是“1”份，那么梯形ABCD 的面积就是“5”份．接着可以看看“E 是AB 上的三等分点”这个条件能得出什么结论，看看怎么利用求出的面积来比较梯形的上下底？DEFA BCBCDEA如图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且梯形的面积是三角形的5倍，那么三角形底边BE 的长是多少？除了利用长度间的倍数关系外，我们有时候也能从公式入手，寻找图形面积的倍数关系．例题5. 把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米，那么原正方形的面积为多少平方厘米？「分析」由于阴影部分是一个不规则图形，我们需要把它转化为规则形状，可以将它分割成几块．如图所示，我们将阴影部分分割为①、②、③三个长方形．其中，③的长和宽分别为4、2，可以求出它的面积．那么①和②的面积能求出来吗？关键是找出它们面积的关系．例题6. 如图，直角三角形ABC 套住了一个正方形CDEF ，E 点恰好在AB 边上．又已知直角边AC 长20厘米，BC 长12厘米，那么正方形的边长为多少厘米？ 「分析」注意到EF 垂直于AC ，ED 垂直于BC ．我们可以连接CE ，将三角形ABC 分成两个三角形，这两个三角形的底都给出了长度，而它们的高相等．我们的目标就是求这个高．A BCDE2ACBEF D欧拉的故事欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。
高斯小学奥数五年级上册含答案_环形路线
第四讲环形路线为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆．今天我们就来学习一下环形路线问题．顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的．同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程和为一个圆周．而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周．这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度．如右图，AB 两点间的距离就是AB 间粗实线的长度．起点路程和是跑道的周长 相遇时间＝周长 ÷（甲速＋乙速）相向而行起点路程差是跑道的周长追及时间＝周长 ÷（乙速－甲速） A从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒．第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒．由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性．同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性．若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈．如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的．如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了．在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题．如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐．在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程．练习4． 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A 、B 两地出发相向而行，第一次相遇在距离A 点100米处的C 点，第二次相遇在距离B 点200米处的D 点．已知AB 长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快．如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上．请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少．想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候．应该是哪个墙角呢？如图，一个正方形房屋的边长为12米．阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米．问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？B DC A华罗庚爷爷的故事温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第19讲：工程问题
第19讲工程问题内容概述掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本概念和关系；理解“单位1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题。
典型问题兴趣篇1.甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15小时可以运完；如果只用乙车运，10小时可以运完。
请问：（1）如果两车一起运，多少小时可以运完？（2）如果甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？2.一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成。
现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天。
请问：乙休息了多少天？3.如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半。
请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？4.一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。
如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？5.有一批工人做某项工程，原计划4天完成。
如果增加6人，只需要3天就能完成。
现在人数不仅没有增加，反而减少了9人，求完成这项工程需要的天数。
6.甲、乙两队分别在A B、两块地植树，B地需要植树的数量是A地的两倍。
已知甲队单独在A地植树需要12天完成，乙队单独在B地植树需要30天完成。
现在甲、乙两队分别在A B、两地同时开始，当甲队做完后便去B地和乙队共同工作。
请问：两队要用多少天才能种完树？7.一水池装有一个进水管和一个排水管。
如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完。
现在先打开进水管，2小时后打开排水管。
请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？8.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管。
如果想灌满整池水，单开甲管需10小时，单开乙管需12小时，单开丙管需15小时。
上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。
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第十七讲比例应用题在研究两个量之间的关系时， 经常用到和的关系、 差的关系以及倍数关系． 之前我们学 过的和差倍问题就是关于这些关系的． 而倍数关系还有一种比较常见的表现形式， 就是比的 关系．比如，甲有 3个苹果，乙有 2个苹果，我们可以说甲的苹果是乙的 1.5 倍，也可以说甲 和乙的苹果数之比是 3:2，读作 3 比 2．如果甲有 6 个苹果，乙有 4 个苹果，甲的苹果仍然 是乙的 1.5倍，甲和乙的苹果数之比是 6:4．我们发现， 比的关系和倍数关系可以如下转化：比的关系 由此可见， 比的概念与除法的概念密切相关， 我们定义： 两个数相除又叫做这两个数的比．在两个数的比中， 比号前面的数叫做比的 除以比的后项所得的商叫做 比值 ．例如：倍数关系 3 2 1.53:2 1.5倍6:4 6 4 1.51.5倍前项 ，比号后面的数叫做比的 后项 ，比的前项比的前项 比的后项3: 7 3 7 比值 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示．比号请你想一想： 比的前项、 后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？ 以是 0 吗？与除法和分数一样，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（ 变．利用这个性质，我们可以像约分一样，将比化简．比如6:4=3:2 比的后项可0 除外），比值不像这种表示两个比相等的式子叫做比例（式）．要判断两个比是否成比例，就要看它们 的比值是否相等．两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例．比例有四个项， 分别是两个 内项 和两个 外项 ．在 3:4=9:12 中，其中 3 与 12 叫做比例的 外项 ， 4与 9叫做比例的 内项．比例的四个数均不能为 0．在任意一个比例中， 两个外项的积等 于两个内项的积．即：1. 求比值：2:5 = _____ ；7:3 = ____ ；10:4= _____2.把比化成最简整数比：6:15 = _____ ；8:12= ______ ；0.2:0.5 = ____ ．3.如果3a 4b ，那么a:b=（）:（）；4.我国《国旗法》规定，国旗长宽之比为3:2，若国旗宽是128 厘米，则长是_______厘米．在表示两个量之间的关系时，可以用到和的关系、差的关系、倍数关系和分数倍关系．除了这些之外，比例也可以用来表示两个量之间的倍数关系．知道了两个量之间的比，我们可以方便的按照比例将两个对象的数量分配好，这也是本讲要重点学习的：按比例分配．例题1．（1）水果店运来了西瓜和哈密瓜共234 个．如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4，那么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？（2）阿呆和阿瓜一起去买包子，两人买的包子数之比是13:6．又知道阿呆比阿瓜多买了21个包子，那么两人一共买了多少个包子？「分析」根据比例设份数，比如西瓜和哈密瓜的个数比是5:4，那么可设西瓜有5 份，哈密瓜有4 份．（1）卡莉娅和萱萱一共买了50 块巧克力，卡莉娅的巧克力块数和萱萱的比是7:3，那么卡莉娅比萱萱多多少块巧克力？（2）小山羊和老山羊去吃草，小山羊和老山羊吃的草量比为5:9，并且老山羊比小山羊多吃了200 克的草，那么小山羊吃了多少克的草？例题 2．红旗小学共有师生 1081 人．其中老师与学生的人数之比为数之比为 5:4．请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？「分析」 如何通过师生的人数比求出学生的总人数？又如何利用男、各有多少？把这两个问题搞清楚了，本题也就解决了．512 名士兵分成龙、 虎两个营， 将龙营分成甲、 乙两个连， 再将乙连分成 A 、B 两个排． 如 果每次都按 5:3 的人数比来分，那么 A 排有多少名士兵？比例除了可以表示两个量之间的倍数关系， 还可以表示多个量之间的倍数关系． 我们把 两个数之间的比称为 简单比 ，多个数的比称为 连比 ．简单比与连比之间可以互相转化．如果甲 :乙=2:3，乙 :丙=5:4 ，那么甲 :乙:丙是多少？ 甲乙丙2 : 35 : 4甲:乙 :丙=10:15:1210 : 15 : 12 例题 3．机器人制造厂一月份与二月份生产机器人的个数比为 4:5．后来改进生产技术，三 月份生产的机器人的个数与二月份的产量之比为 5:3．（1）请写出三个月的产量的连比；（2）如果三月份比一月份多生产了 78 个机器人． 请问， 这家工厂第一季度共生产多少个机 器人？「分析」 题目中给出了两个比， 这两个比之间存在什么样的关系呢？你能通过这两个比求出 一月份、二月份和三月份这三个月产量的连比吗？育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆．第一批与第二批的人数比是 与第三批的人数比是 3:2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少 55 人．请问： 育才小学2:45，男生与女生的人 女比例，求出男、女生5:4，第二批五年级一共有多少人？对于数量发生变化的题，题目中比的每一份的含义往往也是不一样的，不能直接来计算．那么对于这类问题， 我们通常要从题中找到不变量， 根据它来统一份数．我们来看看下 面这道题，题中的量是如何变化的？你能找到其中的不变量吗？例题 4．慢羊羊村长开了一间学校， 招了好多小羊和小狼， 上学期小羊和小狼的数量比为 1:3， 新学期时又转来了 20只小羊， 导致开学的时候小羊和小狼的数量比变为 3:5，那么开学时一共有多少只小羊？「分析」 题目中也给出了两个比， 这两个比之间存在什么样的关系？我们能像例 1 那样， 把 上学期的小羊和小狼设成 1 份和 3 份，这学期的设成 3 份和 5 份吗？史蒂文森高中去年男生和女生的人数比为 5:3，今年转来了 200 名男生，使得女生和男 生的人数比变为 1:2，那么今年史蒂文森高中一共有多少名学生？例题 5．如下图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是水面上、下的长度之比为 3:1，乙木棒在水面上、下的长度之比为下的长度之比为 2:3．请问：水深是多少厘米？「分析」 题目中的三个比涉及到了甲、 乙、 丙三根木棒的水上部分和水下部分， 它们之间有360 厘米．甲木棒在 4:3，丙木棒在水面上、公共的量吗？例题6．甲、乙两包糖的重量比是5:3 ，如果从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5．请问：这两包糖重量的总和是多少克？「分析」甲包少了10克，乙包多了10 克．什么没有变呢？黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用，在很多地方都可以发现黄金分割的存在。
1、1、2、3、5、8、⋯⋯，这个数列叫做斐波那契数列。
相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比。
黄金分割在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
下图是帕特农神庙，它的设计很多处都用到了黄金分割。
作业1. 王老师班上的男生和女生之比为7:5，如果班上有21 个男生，那么有多少个女生？作业2. 书架上有中文书和英文书，一共有20 本．其中中文书与英文书的数量比是2:3，那么中文书有多少本？作业 3. 青蛙王国共有青蛙900只．其中大青蛙与小青蛙的只数之比为17:28，小青蛙中，绿皮青蛙与其他青蛙的只数之比为3:1 ．那么小青蛙中的绿皮青蛙有多少只？作业 4. 花园里有玫瑰、百合还有兰花，其中玫瑰和百合的朵数之比为1:2，而百合和兰花的朵数之比为4:3，如果玫瑰比兰花少20 朵，那么玫瑰花有多少朵？作业5. 有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7:6．后来又有一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变成11:10．请问：后来报名的女生有多少人？第十七讲比例应用题例题1. 答案：（1）西瓜 130个，哈密瓜 104个．（2）57 详解：（1）234 5 4 26，26 5 130 ，26 4 104 ．（2）21 13 6 3，3 13 6 57 ．例题2. 答案：老师 46人，男生 575人，女生 460人详解：1081 2 45 23 ， 2 23 46 ，45 23 1035 ．1035 5 4 115 ， 5 115 575 ， 4 115 460 ．例题3. （1）12:15:25；（2）312详解：（ 1）将二月份的产量统一为 15 份，那么一月份的产量是 12份，三月份的产量是 25 份，三个月的产量之比是 12:15:25；（2）78 25 12 6， 6 12 15 25 312．例题4. 答案： 45只详解：注意到小狼的数量并没有发生变化，所以统一两次小狼的份数，将狼和羊的数量比化成 5:15 和 9:15．求出 1 份代表20 9 5 5 （只），那么开学时共有 5 9 45 只小羊．例题5. 答案： 45厘米详解：注意到三根木棒在水下的长度是一样的，将水下部分都统一为 3 份．三个比分别转化成 9:3、 4:3 和 2:3，1 份的长度为360 9 3 4 3 2 3 15 厘米，水下部分的长度是15 3 45 厘米．例题6. 答案： 240 详解：注意到甲、乙两包糖的重量之和没有变，统一成 24 份．两个比分别转化成 15:9 和14:10，可求出 1 份的重量为10 15 14 10 克，两包糖的重量总和为10 15 9 240 克．练习1. 答案：（1）20；（2）250 简答：参考例 1 即可．练习2. 答案： 75．简答：参考例 2 即可．练习3. 答案： 385简答：参考例 3 即可．练习4. 答案： 1800简答：注意到女生的人数没有变，统一女生的份数即可．作业1. 答案：15简答：21 7 5 15 ．作业2. 答案：8简答：20 2 3 2 8 ．作业3. 答案：420简答：首先可求出小青蛙有900 17 28 28 560 只．再求出绿皮青蛙有5601 3 3 420 只．作业4. 答案：40简答：首先可求出玫瑰、百合和兰花的朵数比是2:4:3，那么玫瑰与兰花的朵数比是2:3．玫瑰有20 3 2 2 40 朵．作业5. 答案： 12 简答：男生的人数没有变化过，一直都是429 6 7 7 231 人．那么后来男女生一共有231 11 11 10 441人，增加的 12 人就是后来报名的女生．。