圆锥曲线综合训练一

圆锥曲线综合训练一Revised on November 25, 2020圆锥曲线综合训练一一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1. 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8 2. 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是A ．[1-+B ．[1C ．[11-+， D ．[1- 3. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A ． 4B ． 6C ． 8D ．124.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF PF =（A ）（B ）8（C ） （D ）165.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为C12D126.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k =A ． 1B ．C ．． 27.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为A12B 1C 2D 48.已知双曲线E的中心为原点，(30)F，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(1215)N--，，则E的方程为A22136x y-=B22145x y-= C22163x y-= D22154x y-=9.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线22xa－22yb＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，OP a，则该双曲线的渐近线方程为A x=0 x±y=0C x y=0D x±y=010.若点O和点(20)F-，分别为双曲线2221(0)xy aa-=>的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP FP⋅的取值范围为 ( )A．[3)-+∞B．[3)++∞ C．7[)4-+∞，D．7[) 4+∞，二．填空题（本小题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若双曲线24x-22yb=1（0b>）的渐近线方程为12y x=±，则ｂ等于．12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线221412x y-=上一点M的横坐标为3，则点M到双曲线的右焦点的距离为．13. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C 于点D，且2=，则C的离心率为．14. 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线1:-=xyl被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为．15. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k ，b 分别应满足的条件是________．三．解答题（本题共6小题，12+12+12+12+13+14=75分）16.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1，0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（I ）求曲线C 的方程；（II ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有?0<⋅FB FA 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．17.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB =，求BDK △的内切圆M 的方程．18. 已知定点(10)(20)A F -，，，，定直线12l :x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B C 、两点，直线AB AC 、分别交l 于点M N 、（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．19. 一条双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为A 1，A 2，点11()P x y ，，11()Q x y -，是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；（2）若过点H (0，h )（1h >）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥．求h 的值．20.已知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，相交于B D ，两点，且FD 的中点为(13)M ，． （I ）求C 的离心率；（II ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，||||17DF BF =，过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．21. 已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率e =的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A B ，，已知点A 的坐标为（a -，0），点0(0)Q y ， 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值．参考答案一,选择题二填空题11. 1 ; 12. 4; 13.3; 14. 22(3)4x y -+=; 15. 011k b =-<<， ; 三，解答题16. 解：（I ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，那么点P （x ，y ）满足： 化简得24(0)y x x =>．（II ）设过点M （m ，0）)0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为1122()()A x y B x y ，，，设l 的方程为22244016()04x ty mx ty m y ty m t m y x =+⎧=+--=∆=+>⎨=⎩由，得，， 于是⎩⎨⎧-==+m y y t y y 442121①又1122(1)(1)FA x y FB x y =-=-，，，．01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x②又24y x =，于是不等式②等价于01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y③由①式，不等式③等价于22416t m m <+-④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于261033m m m -+<-<<+即，．由此可知，存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0<⋅，且m的取值范围是(3-+． 17. 解：设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠． （Ⅰ）将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，从而124y y m +=，124y y =． ① 直线BD 的方程为 212221()y y y y x x x x +-=--， 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭．令0y =，得1214y y x ==． 所以点(10)F ，在直线BD 上． （Ⅱ）由①知，1212(1)(1)1x x my my =--=．因为),1(),,1(2211y x y x -=-= ，故 28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为3430x y ++=，3430x y -+=又由①知21y y -==故直线BD的斜率214y y =±-， 因而直线BD的方程为330x +-=，330x -=．因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)(11)M t t -<<，，(0)M t ，到l 及BD 的距离分别为313154t t +-，． 由313154t t +-=得 19t =，或9t =（舍去）， 故圆M 的半径31253t r +==． 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=．18.解：（Ⅰ）设()P x y ，，则122x =-， 化简得（Ⅱ）①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为).0)(2(≠-=k x k y与双曲线方程2213y x -=联立消去y 得 因为12 1.x x ≠-，所以直线AB 的方程为11(1)1y y x x =++，因此M 点的坐标为1131()22(1)y x +，， 1233()22(1)y FM x =-+，．同理可得2233()22(1)y FN x =-+，．因此33()()22FM FN =-⨯-+)1)(1(492121++x x y y②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为2(23)(23)x B C =-，则，，，，AB 的方程为1y x =+，因此M 点的坐标为1333()()2222FM =-，，，． 同理可得33()22FN =--， ．因此3333()()()02222FM FN ⋅=-⨯-+-⨯=，综上，0.FM FN FM FN ⋅=⊥即， 故以线段MN 为直径的圆过点F ．19. 解：（1）由题设知1||x >12(A A ，则有 直线1A P的方程为y x =， …………………①直线2A Q的方程为y x =．……………………②解法一：联立①②解得交点坐标为12x x =，11y x =，即12x x =，1y x =，……③则0x ≠，||x <．而点11()P x y ，在双曲线2212x y -=上．∴221112x y -=． 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为2212x y +=，0x ≠且x ≠ 解法二：设点()M x y ，是1A P 与2A Q 的交点，①×②得222121(2)2y y x x -=--．………………③又点11()P x y ，在双曲线上，因此，221112x y -=，即221112x y =-．代入③式整理得 2212x y +=． 因为点P Q ，是双曲线上的不同两点，所以它们与点12A A ，均不重合．故点1A 和2A 均不在轨迹E 上．过点（0，1）及2A 的直线l的方程为0x +-=．解方程组2212x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得0x y ==．所以直线l 与双曲线只有唯一交点2A ．故轨迹E 不经过点（0，1），同理轨迹E 也不经过点（0，-1）． 综上分析，轨迹E 的方程为2212x y +=，0x ≠且x ≠ （2）设过点(0)H h ，的直线为(1)y kx h h =+>，联立2212x y +=得222(12)4220k x khx h +++-=．令2222164(12)(22)0k h k h ∆=-+-=得22120h k --=，解得1k =2k =． 由于12l l ⊥，则212112h k k -=-=-，故h = 过点12A A ，分别引直线12l l ，通过y 轴上的点(0)H h ，，且使12l l ⊥，因此经12A H A H ⊥1⎛=- ⎝，得h = 12l l ，的方程分别为y x =+与y x =-．它们与轨迹E分别仅有一个交点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，与33⎛ ⎝⎭，．所以，符合条件的h．20. 解:（I ）由题设知， l 的方程为: 2.y x =+代入C 的方程，并化简，得2222222()440.b a x a x a a b ----=设11()B x y ，、22()D x y ，，则22221212222244.a a a b x x x x b a b a ++=⋅=---， ① 由(13)M ，为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=-，即223b a =， ②故2c a ==，所以C 的离心率 2.ce a==（II ）由①、②知C 的方程为:22233.x y a -=2121243(0)(20)202a A a F a x x x x ++=⋅=-<，，，，，．故不妨设12x a x a -≤，≥．1||2BF a x ===-， =2121242()x x a x x a -++- =2548.a a ++又||||17,BF DF ⋅=故2548a a ++=17，解得1a =，或95a =-（舍去）．故12|||BD x x =-6=．连结MA ，则由(10)(13)A M ，，，知||3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 21. 解:（I ）由题设知， l 的方程为: 2.y x =+代入C 的方程，并化简，得2222222()440.b a x a x a a b ----=设11()B x y ，、22()D x y ，，则22221212222244.a a a b x x x x b a b a ++=⋅=---， ① 由(13)M ，为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=-，即223b a =， ②故2c a ==，所以C 的离心率 2.c e a == （II ）由①、②知C 的方程为:22233.x y a -=2121243(0)(20)202a A a F a x x x x ++=⋅=-<，，，，，． 故不妨设12x a x a -≤，≥．1||2BF a x ===-， =2121242()x x a x x a -++-=2548.a a ++又||||17,BF DF ⋅= 故2548a a ++=17，解得1a =，或95a =-（舍去）． 故12|||BD x x =-6=． 连结MA ，则由(10)(13)A M ，，，知||3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．42224(16151)4(14)k k k +-=+=， 整理得272k =，故7k =±．所以0=5y ±． 综上00==5y y ±±．。