磁场边界问题复习
2024届物理一轮复习讲义专题强化十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题含答案
2024届物理一轮复习讲义专题强化十七带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题学习目标会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
考点一带电粒子在磁场中运动的多解问题造成多解问题的几种情况分析类型分析图例带电粒子电性不确定带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解例1 (多选)(2022·湖北卷) 在如图1所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。
离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。
已知离子比荷为k ，不计重力。
若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )图1A.13kBL ，0° B.12kBL ，0° C.kBL ，60° D.2kBL ，60°答案 BC解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图甲所示，甲根据几何关系，有R ＝L ，q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBLm ＝kBL ，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。
当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，乙因为上下磁感应强度均为B ，则根据对称性有R ＝12L ，根据洛伦兹力提供向心力有q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBL 2m ＝12kBL ，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
(精典)磁场中各种边界问题解析
V 0θθ V 0ABθ V 0 AV 0图1图2 图3 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法一．找圆心、画轨迹、找角度。
数学模型：（1）已知圆的两条切线，作它们垂线，交点为O ，即为圆心。
（2）已知圆的一条切线，和过圆上的另一点B ，作过圆切线的垂线，再作弦的中垂线。
交点即为圆心O 。
（3）偏向角补角的平分线，与另一条半径的交点直线边界磁场例1.找到下面题中粒子的圆心，画出轨迹。
求从左边界或右边界射出时与竖直方向夹角φ以及粒子在磁场中经历的时间。
(第3图作出粒子刚好不从右侧穿出磁场)练1：已知B 、＋q 、m 、θ、d 、a 、V 0。
求从左边界穿出时经历的时间。
（1）刚好不从上边界穿出 （2）刚好不从下边界穿出 （3）能从左边界穿出。
练3.如图所示，在水平直线MN 上方有一匀强磁场，磁感强度为B ，方向垂直向里。
一带电粒子质量为m 、电量为q ，从a 点以与水平线MN 成θ角度射入匀强磁场中，从右侧b 点离开磁场。
问： （1）带电粒子带何种电荷？（2）带电粒子在磁场中运动的时间为多少？A B COV 0V 0φ练习.1.AB、CD、EF为三条平行的边界线，AB、CD、相距L1，CD、EF相距L2，如图所示，AB、CD之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B1，CD、EF之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，磁惹感强度为B2。
现从A点沿A方向垂直磁场射入一带负电的粒子，该粒子质量为m，带电量为-q，重力不计，求：（1）若粒子运动到CD边时速度方向恰好与CD边垂直，则它从A点射入时速度V0为多少？（2）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0），则粒子运动到CD边界时，速度方向与CD边的夹角θ为多少？（3）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0）粒子运动到EF边界时恰好不穿出磁场，则CD、EF之间磁场的磁感强度B2为多少？2.如图所示，M、N、P是三个足够长的互相平行的边界，M、N与N、P间距离分别为L1、L2，其间分别有磁感强度为B1、B2的匀强磁场区Ⅰ与区Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里。
2020年高考物理备考微专题精准突破专题4.8 带电粒子在直线边界磁场中的运动问题(解析版)
2020年高考物理备考微专题精准突破 专题4.8 带电粒子在直线边界磁场中的运动问题【专题诠释】1.直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)图a 中粒子在磁场中运动的时间t ＝T 2＝πmBq图b 中粒子在磁场中运动的时间t ＝(1－θπ)T ＝(1－θπ)2πm Bq ＝2m (π－θ)Bq图c 中粒子在磁场中运动的时间t ＝θπT ＝2θmBq2.平行边界存在临界条件(如图所示)图a 中粒子在磁场中运动的时间t 1＝θm Bq ，t 2＝T 2＝πmBq图b 中粒子在磁场中运动的时间t ＝θmBq图c 中粒子在磁场中运动的时间t ＝(1－θπ)T ＝(1－θπ)2πm Bq ＝2m (π－θ)Bq图d 中粒子在磁场中运动的时间t ＝θπT ＝2θmBq【高考领航】【2019·全国卷Ⅱ】如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外。
ab 边中点有一电子发射源O ，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。
已知电子的比荷为k 。
则从a 、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )A.14kBl ，54kBlB.14kBl ，54kBlC.12kBl ，54kBlD.12kBl ，54kBl 【答案】 B【解析】 若电子从a 点射出，运动轨迹如图线①，有qv a B ＝m v 2aR a ，R a ＝l 4，解得v a ＝qBR a m ＝qBl 4m ＝kBl 4；若电子从d 点射出，运动轨迹如图线②，有qv d B ＝m v 2dR d ，R 2d ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛-l R d ＋l 2，解得R d ＝54l ，v d ＝qBR d m ＝5qBl 4m ＝5kBl4。
B 正确。
【2019·全国卷Ⅲ】如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为12B 和B 、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。
高考物理一轮复习专题73带电粒子在磁场中运动(二)直线磁场边界练习(含解析)
专题73 带电粒子在磁场中运动(二)直线磁场边界1.(多选)如图所示，ab是匀强磁场的边界，质量(11 H)和α粒子(42He)先后从c点射入磁场，初速度方向与ab边界夹角均为45°，并都到达d点．不计空气阻力和粒子间的作用．关于两粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是( )α粒子运动轨迹相同α粒子运动动能相同α粒子运动速率相同α粒子运动时间相同2.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出．下列说法正确的是( )b点速率大于在a点速率C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短3.[2021·贵阳市模拟](多选)如图所示，MN为两个方向相同且垂直于纸面的匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小关系为B1＝2B2，一比荷值为k的带电粒子(不计重力)，以一定速率从O点垂直MN进入磁感应强度大小为B1的磁场，则粒子下一次到达O点经历的时间为( )A.3πkB 1 B ．4πkB 1 C ．2πkB 2 D ．3π2kB 24．如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为12B 和B 、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )A.5πm 6qB B ．7πm 6qB C ．11πm 6qB D ．13πm6qB5.[2021·绵阳市模拟]如图所示，长方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，同一带电粒子，以速率v 1沿ab 射入磁场区域，垂直于dc 边离开磁场区域，运动时间为t 1；以速率v 2沿ab 射入磁场区域，从bc 边离开磁场区域时与bc 边夹角为150°，运动时间为t 2.不计粒子重力．则t 1∶t 2是( )A.2∶3B ．3∶2C．3∶2D．2∶3 6.[2021·石家庄质检](多选)如图所示，等腰直角三角形abc 区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，直角边bc 的长度为L .三个相同的带正电粒子从b 点沿bc 方向分别以速率v 1、v 2、v 3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t 1、t 2、t 3，且t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶2.不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )v 1＝v 2＜v 3v 2＜v 1＜v 3 q m ＝πBt 2 q m ＝3v 32BL7.如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外．ab 边中点有一电子发射源O ，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子．已知电子的比荷为k .则从a 、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )A.14kBl ，54kBl B ．14kBl ，54kBl C.12kBl ，54kBl D ．12kBl ，54kBl 8．[2021·河北卷]如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连．正极板上O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为v 0、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m 、电荷量为q .一足够长的挡板OM 与正极板成37°倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子．C 、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为L 0.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，sin37°＝35.(1)若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压U 0的大小； (2)调整电压的大小，使粒子不能打在挡板OM 上，求电压的最小值U min ；(3)若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H 、S 两点(CH ≤CP <CS ，H 、S 两点未在图中标出)，对于粒子靶在HS 区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n (n ≥2)种能量的粒子，求CH 和CS 的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定).专题73 带电粒子在磁场中运动(二)直线磁场边界1．AB 带电粒子在磁场中的偏转角度都为90°，对应的弦长都为cd ，故质子和α粒子运动轨迹相同，A 正确；带电粒子在磁场中的运动周期T ＝2πm qB ，在磁场中的运动时间t ＝14T ，质子(11 H)和α粒子(42 He)比荷不同，质子和α粒子运动时间不同，D 错误；根据R ＝mvqB＝2mE kqB知，质子和α粒子半径相同，比荷不同，则运动速率不同，又因mq相同，故质子和α粒子运动动能相同，B 项正确，C 错误．2．C 3.BC 4.B5．C 由T ＝2πm qB ，和离子在磁场中运动的时间为t ＝θ2π·T ，可知同一离子在同一磁场中运动周期相同，运行时间与速度偏角成正比，所以t 1∶t 2＝90°∶60°＝3∶2，C 正确．6．BD三个粒子在磁场中的运动轨迹可能如图所示，由图及题意可知时间相等的粒子一定从ab 边射出，另一粒子一定从ac 边射出，由r ＝mv qB可知v 1＜v 3，v 2＜v 3，v 1≠v 2，A 错误，B 正确；粒子1、2的轨迹圆弧所对应的圆心角均为π2，故有t 2＝14·2πm qB ，得q m ＝π2Bt 2，C 错误；粒子3的轨迹圆弧所对应的圆心角为π3，轨迹半径r ′sin π3＝L ，又r ′＝mv 3qB ，得q m ＝3v 32BL ，故D 正确．7．B 本题考查了电子在磁场中运动的问题，有利于综合分析能力、应用数学知识处理物理问题能力的培养，突出了核心素养中的模型建构、科学推理、科学论证要素．从a 点射出的电子运动轨迹的半径R 1＝l4，由Bqv 1＝m v 21 l 4得v 1＝Bql 4m ＝14kBl ；从d 点射出的电子运动轨迹的半径R 2满足关系⎝⎛⎭⎪⎫R 2－l 22＋l 2＝R 22 ，得R 2＝54l ，由Bqv 2＝m v 22 54l得v 2＝5Bql 4m ＝54kBl ，故正确选项为B.8．(1)qB 2L 20 8m －mv 20 2q (2)7mv 218q(3)见解析解析：(1)根据动能定理得qU 0＝12mv 2－12mv 20 ，带电粒子进入磁场，由洛伦兹力提供向心力得qvB ＝m v 2r，又有r ＝L 02，联立解得U 0＝qB 2L 20 8m －mv 22q.(2)使粒子不能打在挡板OM 上，则加速电压最小时，粒子的运动轨迹恰好与挡板OM 相切，如图甲所示，设此时粒子加速后的速度大小为v 1，在上方磁场中运动的轨迹半径为r 1，在下方磁场中运动的轨迹半径为r 2，由几何关系得2r 1＝r 2＋r 2sin37°，解得r 1＝43r 2，由题意知，粒子在下方磁场中运动的速度为v 0，由洛伦兹力提供向心力得qv 1B ＝m v 21r 1，qv 0B ＝mv 20 r 2，由动能定理得qU min ＝12mv 21 －12mv 20 ，解得U min ＝7mv 218q.(3)画出粒子的运动轨迹，由几何关系可知P 点的位置满足k (2r P －2r 2)＋2r P ＝x CP (k ＝1，2，3…).当k ＝1时，轨迹如图乙所示；当k ＝5时，轨迹如图丙所示．由题意可知，每个粒子的整个运动过程中电压恒定，粒子在下面的磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有qv 0B ＝m v 20 r 2，解得r 2＝mv 0qB ，为定值，由第(2)问可知，r P ≥43r 2，所以当k 取1，r P ＝43r 2时，x CP取最小值，即CH ＝x CP min ＝103·mv 0qB，CS →无穷远．。
边界磁场问题(生)
带电体或带电粒子在磁场中运动【基本方法】——关键是确定半径 1．带电粒子在磁场中的匀速圆周运动带电粒子仅受磁场力作用下，初速度的方向与磁场方向垂直时，带电粒子将在磁场中做匀速圆周运动．轨道半径公式：由qBv ＝m v 2R ，得R ＝mvqB . 周期公式：T ＝2πR v ＝2πm qB.2．圆心的确定(1)基本的思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，并且也在圆中一根弦的中垂线上，也一定在初末速度延长线和反向延长线的角平分线上。
(2)两种方法： 方法一：已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心，如图(1)所示，P 为入射点，M 为出射点．方法二：已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心，如图(2)所示，P 为入射点，M 为出射点． 3．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的半径，往往用到以下重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角(φ)等于粒子旋转的圆心角(α)，因为速度总是与半径垂直，所以速度方向改变了多少，半径的旋转也跟着改变了多少．并等于弦AB 与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，如图所示，即φ＝α＝2θ＝ωt.(2)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180° 4．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为t ＝α2πT(或t ＝α360°T)．(一)直线型磁场边界问题结论一：直线形磁场边界，带电粒子射入、射出磁场时，与边界夹角相等，如图所示，∠θ＝∠α.【例1】如图所示，直角三角形ABC 区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子(不计重力)沿AB 方向射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则( ) A ．从P 点射出的粒子速度大 B ．从Q 点射出的粒子速度大 C ．从Q 点射出的粒子在磁场中运动的时间长 D ．两个粒子在磁场中运动的时间一样长【例2】如图，A 、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OCA ＝30°，OA 的长度为L.在△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场.质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，以平行于y 轴的方向从OA 边射入磁场.已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t 0.不计重力. (1)求磁场的磁感应强度的大小；(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC 边相切，且在磁场内运动的时间为035t ，求粒子此次入射速度的大小.(二) 圆形磁场边界问题 结论一：圆形磁场边界，沿径向射入磁场，必然背离圆心射出磁场，如图所示． 结论二：轨迹圆与磁场圆相交，两圆圆心连线将是两个圆的对称轴，是∠AO ′B 的角平分线【例3】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ和Ⅱ中，直径A 2A 4与直径A 1A 3之间的夹角为θ＝60°.一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成β＝30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求：(1)粒子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中运动的轨道半径R 1与R 2的比值； (2)Ⅰ区和Ⅱ区中磁场的磁感应强度B 1和B 2的大小．【例4】在直径为d 的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，比荷分别为2211m q m q 、的带正负电荷的粒子从圆形区域的A 点沿与直径AC 成θ=15º角射入磁场，速度大小分别为v 1、v 2，如图所示，且粒子射出磁场时，速度方向都改变了90º，粒子的重力忽略不计，两粒子在磁场中运动的半径分别用r 1、r 2表示，运动时间分别用t 1、t 2表示，则下列说法正确的是：（ ）d r d r A 46,42.21==221121m q m q v v B ==，则如果.33212211==v v m q m q C 则如果,. 21t t D =恒有不论比荷和速度如何，.【例5】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角．现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B ．2Δt C.13Δt D ．3Δt【拓展训练1】一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O 。
高考物理二轮复习考点第九章磁场专题矩形边界和正多边形边界磁场问题
专题9.9 矩形边界和正多边形边界磁场问题一．选择题1．(2020·山东淄博模拟)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点。
一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是A ．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B ．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0C ．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是032t D ．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是053t 【参考答案】AD【名师解析】根据题述一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则时间t 0为带电粒子在磁场中运动的半个周期。
使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，画出各种可能的运动轨迹，可以看出不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场，选项A 正确。
若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定小于t 0，选项B 错误。
若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间不可能是032t ，可能是t 0，选项C 错误。
若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中运动轨迹为5/6圆弧，经历的时间一定是053t ，选项D 正确。
【技巧点拨】】解答此题，若对各个选项叙述的情景画出轨迹图，有助于正确判断。
2.(2020·陕西宝鸡一模)如图所示，横截面为正方形abcd 的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。
一束电子以大小不同、方向垂直ad 边界的速度飞入该磁场，不计电子重力及相互之间的作用，对于从不同边界射出的电子，下列判断正确的是( )A.从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等B.从c点离开的电子在磁场中运动时间最长C.电子在磁场中运动的速度偏转角最大为πD.从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度【参考答案】ACD3. （2020高考四川理综物理）如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。
高中物理高频考点《边界磁场问题分析与强化训练》(附详细参考答案)
边界磁场问题分析与强化训练（附详细参考答案）一、边界磁场问题分析及例题讲解：1．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
（5）三边形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。
已知边长为2a，D点距A点3a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。
2．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。
3．几点注意（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。
在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。
（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。
4．求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。
），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
（1）两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
磁场 平行边界知识点
磁场是物理学中一个重要的概念，它存在于我们周围的许多物体和现象中。
本文将以“磁场平行边界”为标题，介绍关于磁场平行边界的一些基本知识点。
1. 什么是磁场？磁场是由带电粒子运动产生的一种物理现象。
当电流通过导线时，会产生一个围绕导线的磁场。
磁场由磁力线表示，磁力线是垂直于磁场方向的曲线，用于描述磁场的强度和方向。
2. 磁场的性质磁场具有一些基本性质，其中之一是磁场的大小取决于电流的强弱。
当电流增大时，磁场强度也增大；当电流减小或消失时，磁场也随之减小或消失。
此外，磁场具有方向性。
根据电流的方向，可以确定磁场的方向。
根据右手定则，当右手握住导线，拇指指向电流的方向，其余手指的弯曲方向即为磁场的方向。
3. 磁场的平行边界当两个磁场平行边界相遇时，会发生一些有趣的现象。
在这种情况下，磁场的边界会发生变化，同时磁场的行为也会有所不同。
首先，当两个磁场平行边界重合时，它们会合并成一个更强的磁场。
这是因为两个磁场的磁力线会叠加在一起，形成更强的磁场。
其次，当磁场平行边界发生分离时，它们会互相排斥。
这是由于磁场的性质决定的，相同方向的磁场会互相排斥。
最后，当磁场平行边界发生交叉时，它们会相互吸引。
这是因为交叉边界处的磁力线会引起相互之间的吸引力。
4. 应用磁场平行边界的现象在许多领域都有应用。
例如，在电力工程中，平行边界的磁场可以用来设计电感器和变压器等电子设备。
此外，在计算机科学中，磁场平行边界的知识可以应用于设计磁存储器和磁传感器。
磁场平行边界的研究对于理解物质的磁性和电磁相互作用也非常重要。
通过研究平行边界的磁场现象，我们可以更好地掌握磁力学的基本原理，进一步推动科学技术的发展。
5. 总结磁场是物理学中一个重要的概念，它存在于我们周围的许多物体和现象中。
磁场具有大小和方向性的性质，可以通过电流的强弱和方向来确定。
当磁场的平行边界相遇时，会发生合并、排斥和吸引等现象。
磁场平行边界的研究在电子工程和计算机科学等领域有着广泛的应用。
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mv 2 2 qvB m R R T
2
半径：R=
mv qB
周期：T=
2 m qB
匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速率均无关。
处理带电粒子在磁场中运动问题的基本方法
P U O θ M
关键：圆心的确定 、轨迹的描绘
B. 2R
M
R
O
B
2R
N
C.
M 2R
D.
M 2R O 2R
O
R N
M
O
N
2R
M
2R
O
R
N
变式：如图,真空室内存在匀强磁
场,磁场方向垂直于纸面向里,磁场 内有一块平面感光板ab,板面与磁 场方向平行,在距ab的距L=16cm 处,有一个点状的放射源S,它向各 个方向发射α粒子,α粒子的半径也 为16cm,现只考虑在图纸平面中运 动的α粒子,求ab上被α粒子打中的 区域的长度.
Ⅰ A1 30° O
A4
60°
A3
L v θ d v
⊕ v ⊕
v0
y
B B
Ⅱ
x 荧光屏
O
O
o
• B
B1 v O
B2 x
K
M S1 S2
N
d
d
处理带电粒子在磁场中运动问题的基本方法
难 点 ： 求 半 径
L
法宝：构造三角形（直角）
解三角形或勾股定律
【例题1】 ：如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁
a
O
b
V0
d
c
L r1 (1 sin 30 0 ) 2
L r1 3
qBr1 qBL v1 m 3m
a
O
300
b
600
r2 L
θ
d
V0
c
qBr2 qBL v2 m m qBL qBL v 3m m
Q
v
P B
P
Q
v
Q
v
S
S
S
r1
◆规律总结
【例题3】如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀 强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为 m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直 磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用 的办法是： O2 A．使粒子的速度v<BqL/4m； A B r2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； v C．使粒子的速度v>BqL/m； r2 D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。 O1 +q 单粒子多临界问题
感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电 量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O 射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴影部 分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的?
A
A.
M 2R
O
2R R N 2R 2R N
课堂小结
1、解题基本思路：
找圆心
画轨迹
定半径
定圆旋转法 定点放缩法 单粒子 多粒子 多临界 复合场
2、利用动态圆巧解边界问题
3、解决边界临界问题的方法
单临界 单一场
（1）求电子进入磁场时速度的大小； （2）当感光板ab沿x轴方向移到某一位置时，恰 好没有电子打到板上，求感光板到y轴的距离x1
带点粒子在有界磁场中的临界问题：
解决临界问题的关键是: 找临界点 解决临界问题的方法是：
通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至 少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端(如极大、 极小；最上、最下；最左、最右等)，结合几何关系 分析得出临界条件，列出相应方程求解结果。 极限法
点O处有一电子发生器，朝xOy平面内x≥0区域任意方向发射电子，电子的速
率均为v，已知电子的电荷量为e、质量为m．在0≤x≤d的区域内分布着沿x
轴负方向的匀强电场，场强大小，在x＞d区域内分布着足够大且垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B．ab为一块很大的平面感 光板，在磁场内平行于y轴放置，电子打到板上时会在板上形成一条亮 线．不计电子的重力和电子之间的相互作用．
.
s
a
L
b
L
a
P1
s
0 P P r 2 r cos 30 43.7cm 1 2
N
P2
b
【例题2】 如图所示,一束电子(电量为e)以垂直于左边界的速度V0
垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,若要求电子不从右边界 穿出，则初速度V0有什么要求？
e
B v0
dBBiblioteka 变式1：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初速度有 什么要求？
v
多粒子的多临界问题
变式一：一大群这种带电粒子沿平行于板的方向从各个位
置以速度v从金属板的左端射入板间，为了使这些正电荷 都不从板间穿出，这些带电粒子的速度需满足什么条件?
＋ ＋ ＋ ＋
v v v v
5d d
B
M
N
eBd 3eBd v 2m m
多粒子复合场中多临界问题
变式二：如图所示，是一种电子扩束装置的原理示意图．直角坐标系原
300 60
0
变式2：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速度有什 么要求？
600
300
变式3：如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满 方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场， 在ad边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹 角θ=300 、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、 电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不 计。求：粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。