高中物理圆锥摆模型全透视

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第六章专题圆锥摆及其临界问题课件高一下学期物理人教版(1)

(3)小球m在轻杆牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
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学习新知一: 圆锥摆
小试锋芒
1．如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，则下列说法正确的是（）
谢谢聆听！！
4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
C
AC
BC
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学习新知二:圆周运动中的圆锥摆临界问题
A. a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零。
D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的芒1,5,112.记得周日收一次改错本
(2)画出小球在最高点时绳上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即图
(3)小球m在轻绳牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型
(1)小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的受力特点和相应速度大小？
(2)画出小球在最高点时杆上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即图
专题：圆锥摆及其临界问题
第六章圆周运动
学习目标：1、理解分析圆锥摆模型。（重点）2、理解分析圆周运动中的圆锥摆临界问题。（重难点）3、学会应用圆周运动解决生活相似问题，体会科学知识的应用价值。
复习竖直平面内圆周运动绳、杆（不计重力）模型

圆锥摆模型全透视

精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。

2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。

两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。

二、常规讨论：1．向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。

n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2．，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。

4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。

若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。

θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。

若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。

点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。

点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。

圆锥摆正稿

圆周运动模型——圆锥摆模型1.特点：对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平，圆心在水平面内。

2.基本模型：圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图所示，拉力和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R例1：（基本模型）量为m 的小球，一端固定于O 点。

让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。

当摆线L 与竖直方向的夹角是时，求：(1) 线的拉力F ；(2) 小球运动的角速度；例2：(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．例3：（火车弯道）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h.(1)根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300例4：（双线圆锥摆）如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是( )A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mgC ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大例5：（双线圆锥摆）如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。

高中物理圆锥摆模型结论

高中物理圆锥摆模型结论
哇塞！高中物理的圆锥摆模型？这可真是个让人又爱又恨的家伙！
咱们先来说说这个圆锥摆模型到底是啥样儿的。

想象一下，有个小球被一根绳子拴着，然后在水平面上转圈圈，就像个快乐的小舞者，这小球运动的轨迹不就形成了一个圆锥的样子嘛！
那这个模型能得出啥结论呢？首先呀，小球受到的向心力可不简单！绳子的拉力在水平方向的分力就提供了这个向心力，难道这还不神奇吗？
比如说，绳子越长，小球转得就越慢，这就好像放风筝，线长了，风筝反而飞得没那么快，难道不是吗？还有啊，小球的质量越大，转起来就越费劲，这跟胖的人跑步更累不是一个道理吗？
再想想，如果绳子的拉力突然变大或者变小，那小球的运动状态不就得乱套啦？这就好比正在跳舞的人，突然被人用力拉了一下或者推了一下，舞步能不乱吗？
而且，这个圆锥摆模型在实际生活中也有好多应用呢！像游乐场里的旋转飞椅，不就是圆锥摆模型的放大版吗？还有那些杂技演员表演的空中飞人，他们在空中旋转的轨迹，不也能跟圆锥摆模型联系起来吗？
总之，高中物理的圆锥摆模型虽然有点复杂，但是仔细想想，还真是充满了趣味和奥秘。

它不仅能让我们更深入地理解物理知识，还能让我们发现生活中好多有趣的现象都能用它来解释。

所以呀，我们可不能小瞧了这个圆锥摆模型，它可真是个隐藏在物理世界里的小宝藏呢！。

人教高中物理必修二第五章4.圆周运动的三种模型

圆周运动的三种模型一、圆锥摆模型：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得F合=。

用力的合成法得F合=。

半径r=，圆周运动F向==，由F合=F向可得V=，ω=圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。

分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。

共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。

（小球的半径远小于R）2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。

求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？二．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 =2. 小球能通过最高点的条件： v v 临界（此时，绳子对球产生力）3. 不能通过最高点的条件： v v 临界（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）练习：质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg三．轻杆模型：(一)轻杆模型的特点：1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为力）2. 当 =R v m 2临界（轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界3 当（即0<v< v 临界）时，有 =Rv m 2（轻杆对小球的作用力N 为力）4 当（即v>v 临界）时，有 =R v m 2（轻杆对小球的作用力N 为力）练习：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（）A. 外轨道受到24N 的压力B. 外轨道受到6N 的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N 的压力一．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：2. 小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力）3. 不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型当小球经过最高点的临界速度为v ，则当小球以2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则因为所以根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选c.1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （N为支持力）2. 当时，有（N为支持力）3 当时，有（N=0 ）4 当时，有（N 为拉力）例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（）A. 外轨道受到24N的压力B. 外轨道受到6N的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到6N的压力分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有则， =>2m/s所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有代入数值得：N=6N根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选D三．圆锥摆模型：圆锥摆模型在圆周运动中的应用：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆线与竖直方向成θ角，则分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。

圆锥摆教材解读

圆锥摆教材解读新教材必修二第六章讲述圆周运动知识，圆周运动是高中非常重要的运动，高考对圆锥摆运动考察较多，本章内容涉及圆锥摆知识就有八处之多，那么什么是圆锥摆呢？如图所示：小球在轻质不可伸长的细绳拉力、重力作用下，在水平面上做匀速圆周就是圆锥摆模型，其中小球受的拉力，重力的合力水平指向圆心，提供向心力。

n tan F F mg θ==合=ma合外力产生加速度，做匀速圆周运动的物体加速度又与角速度，线速度、周期、半径等物理量有关系，所以合外力间接决定了描述圆周运动的物理量，那么圆锥摆问题的解题思路是：列合外力与运动量之间的关系方程，进而讨论运动量的大小关系。

22=tan v F mg ma m mr rθω===合圆锥摆可推广到以下运动：凡是在斜向上的力和重力共同作用下，在水平面内做的匀速圆周，都可归为圆锥摆。

这样归类后，学生对圆锥摆的认识就更广泛了，老师的这种归类总结有利于培养学生建模能力，有利于培养学生的知识迁移能力。

认清圆锥摆后，我们来总结一下圆锥摆的规律：（1）同一根绳拉着物体在不同的水平面做匀速圆周运动，θ角越大，运动的半径越大，运动的线速度越大，角速度越大，周期越短，向心加速度越大。

（2）不同的轻绳拉着物体在同一水平面运动，绳与竖直方向的夹角为如图所示：悬点和圆心距离相等，由公式得：2tan tan mg m h θωθ=，1、2两球运动过程中角速度、周期相同；由公式v=wr 得：线速度v 1>v 2；由公式mg tan θ=ma 得：向心加速度a 1>a 2下面是几个典型的圆锥摆试题，分享给大家。

1．2022年北京冬奥会上，有一项技术动作叫双人螺旋线，如图（a ）所示，以男选手成为轴心，女选手围绕男选手旋转。

将这一情景做如图（b ）所示的抽象：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。

高中物理必修二第二章专题强化4 圆周运动的动力学问题圆锥摆模型

在最低点时受到的摩擦力为
A.μmg
√C.μm(g＋vR2)
μmv2 B. R D.μm(g－vR2)
在最低点由牛顿第二定律得：FN－mg＝mvR2，得 FN＝mg＋mvR2，又由滑动摩擦力公式有 f＝μFN＝μ(mg＋mvR2)＝μm(g＋vR2)，C 选项正确.
针对训练1
(多选)(2021·黑河市高一期中)如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是 A.A、B两球受到的向心力之比为2∶1
3.动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系
如图所示，设小球的质量为m，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则
小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ，重力加速度为g.由牛顿第二定律得 mgtan θ＝m v2 或mgtan θ＝mω2r.
r 所以 v＝ grtan θ＝ glsin θ·tan θ.
ω＝
(5)解方程求出待求物理量. 注意：向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的物体受力情况时，切不可在物体的相互作用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力.
例1 一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所
示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它
例3 如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相
等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动.以下关于A、B
两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系正确的是
√A.vA>vB

《5.6 圆锥摆问题》PPT

2

2
l m2n l
2
4、周期、频率和角速度的计算根据向心加速度公式，有： 2 a向 g tan（静力学） l sin （动力学）
g g l cos h l cos h T 2 2 g g
θ
h
l
1 f 2
g 1 l cos 2
g h
v gh
可见，h增大，线速度增大，角速度减小，周期增大。
应用
飞走壁
漏斗摆
1、向心加速度的计算： θ角一定，故an恒定。
Fn g an m tan
2、周期T、角速度ω、线速度v的计算（设匀速圆周运动的平面离漏斗尖端距离为h） 2 m g 2 m v 2 2 由： F m ( ) h tan m h tan n tan T h tan h g 得： T 2 tan 2 g h tan
圆锥摆问题
圆锥摆受力分析
竖直方向：F cosθ＝mg
F
O
l
θ
水平方向： F合=Fsinθ F合=mω2l sinθ
θ
m
F合
O'
ω
mg
特点： 1、圆锥摆模型的受力
只受两个力：竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力，二力的合力就是摆球做圆周运动的向心力，如图。 2、向心力和向心加速度的计算设摆球的质量为m，摆长为L，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度、角速度、周期和频率依次为v、ω、T、和f，如图，r=l*sinθ 向心力可表示为： 2 2
二、漏斗摆(倒圆锥摆）：物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做匀速圆周运动。漏斗摆的力学特点：物体只受两个力，竖直向下的重力，垂直于漏斗壁的弹力，两个力的合力水平指向转轴，其向心力表达式为：

圆锥摆模型解析版

圆锥摆模型一、模型建构1、圆锥摆问题：小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， “圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。

2、两类问题第一类：有绳圆锥摆小球受到重力G 和悬线上拉力T水平面内做匀速圆周运动，轨道圆心O ，半径r ＝l sin α 沿半径和垂直半径方向建立坐标系垂直半径方向：T cos α=mg沿半径方向：T sin α=mg tan α=mv 2/r ＝m ω2r解得：ω＝αcos l g讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，当小球角速度ω的增大时，悬线与竖直方向的夹角α增大。

悬绳拉力T =mg/ cos α增大一、解题思路：1、确定研究对象进行受力分析2、找圆心，定半径3、沿半径和垂直半径建立坐标系4、沿两轴方向列方程求解二、解题方法：牛顿运动定律三、解题关键点： 1、向心力来源2、各物理量与夹角的关心四、解题易错点 1、各物理量变化关系半径r＝l sinα增大线速度v=ωr增大②若悬线的长度l和夹角α均不相同，l cosα=h，则ω＝√gh⁄，角速度ω相同，小球到悬点在竖直方向上的距离h就相同。

第二类：无绳圆锥摆小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。

小球在重力G和圆锥面对它的支持力N（相当于圆锥摆中悬线的拉力T）水平面内做匀速圆周运动，轨道圆心O，半径r＝htanθ沿半径和垂直半径方向建立坐标系垂直半径方向：N sinθ=mg沿半径方向：N cosθ=mg /tanα=mv2/r＝mω2r解得：v=√gℎω=tanθ√g h⁄当v增大时，小球所处的高度h就增大半径r＝htanθ增大角速度ω=1tanθ√g h⁄减小弹力N=mg/sinθ不变可得：轨道越高，线速度v越大，角速度ω越小。

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圆锥摆模型全透视
一. 圆锥摆模型
1. 结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。

2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F T 。

两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力
F n ，如图1所示。

二. 常规讨论
1. 向心力和向心加速度
设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。

F ma mg m
v l n n ===tan sin θθ
2
===m l m T
l m f l ωθπ
θπθ2222sin ()sin ()sin a g v l l n ==
=tan sin sin θθ
ωθ2
2 ==(
)sin ()sin 222
2πθπθT
l f l 2. 摆线的拉力
图1
有两种基本思路：当θ角已知时
F mg
T =
cos θ
；当θ角未知时
F F m l T n =
=sin θω2==()()2222π
πT
l m f l 3. 周期的计算
设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有
T l g h
g
==22π
θπcos ，由此可知高度相同的圆锥摆周期相同与m
l 、、θ无关。

4. 动态分析
根据m g ml t a n s i n θωθ
=2
有cos θω=2g
l
，当角速度ω增大时，向心力增
大，回旋半径增大，周期变小。

三. 典型实例
【例1】将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度ω做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化
【解析】本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉
力，球面半径类比于绳长。

m g mR t a n s i n θωθ=2
，故cos θω=
g
R
2
，
圆周平面距碗底的高度为h R R R g
=-=-
cos θω
2。

若角速度ω增
大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。

图2
【点评】本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质却为圆锥摆模型。

【例2】一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度ω做匀速转动，在圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化
解析：小球受两个力mg 、F N 作用，向心力m g m r
c o t θω=2，角速度增大时，由于角度θ不变，故向心力不变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。

点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变，本题动态分析的结论和例1相反。

例3. 一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60 ，如图4所示，一条长为L 的轻绳，一端固定在锥顶O 点，另一端拴一质量为m 的小球，小球以速率v 绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当v gL =1
6
时，绳上的拉力多大（2）当v gL =
3
2
时，绳上的拉力多大图3
图4
解析：当小球刚好对圆锥没有压力时
mg m v L tan sin 3030
2
= 求得小球的线速度
v gL 036
=
（1）当v gL v =
<1
6
0，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图5
所示，用正交分解法解题，在竖直方向
F F mg T N cos sin 3030 +=
在水平方向
F F m
v L T N sin cos sin 3030302
-= 解得F m g T =1033. （2）当v gL v =
3>2
0，小球做圆锥摆运动，且θ>3
0 ，设此时绳与竖直方向的夹角为ϕ，则有
mg m
v L tan sin ϕϕ
=2
解得ϕ=60 因此F
mg
mg T
=
=cos602
图5
点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。

判断时，先根据临界条件，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为
v 0。

当v v
>
时，小球做圆锥摆运动，v v
<
时，小球不做圆锥摆运动。