杨辉三角与二项式定理教学设计
高中数学_“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计姓名 班级 . 【学习目标】 1掌握二项式系数的性质 2利用二项式定理求有关系数的和 【学习重点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 【学习难点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学法指导】自主学习与合作学习相结合。
【导学学过程】一 教材导读探究任务一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？()1b a +()2b a +()3b a +()4b a +()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是探究任务二 二项式系数的性质问题2：设函数()r n C r f =，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）新知2：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2n r =. 练习1① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.练习：n b a )(+的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21二、典型例题题型一、单调性的应用【例1】求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式1：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.题型二 、二项式系数和的问题【例2】．求证 在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和变式2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++；三、．当堂检测1.=+⋅⋅⋅+++77372717C C C C . 78583818C C C C +++= .2 在()991x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项， 二项式系数最小的项是第 项；3. 若()929012912x a a x a x a x -=++++，则 129a a a +++＝ ； 4. ⑴ 求1233⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的中间一项； ⑵ 求()15xy y x -展开式5.n 3)x 1x (+的展开式的各项系数和为32，求这个展开式的常数项.6.已知(1+x2)n 展开式中含x -2的项的系数为12，求n .7.若(a+a )n 的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项..8求(x -1)-(x -1)2+(x -1)3-(x -1)4+(x -1)5的展开式中，x 2的系数【课堂小节】本节我所学到核心知识有 ，基本题型有 ；作业 p 35 练习本课研究的重点是二项式系数的性质．如何研究这个这个问题，这是首先面临的选择，其一利用传统方法借助于杨辉三角从数的角度和改变数据的呈现方式的形式的数据中观察规律获得新知；其二利用联系的观点，二项式系数组成的一列数作为数列是一种特殊的函数，考虑函数的方法进行研究.研究函数问题重要方法之一就是“图像法”.教师首先要从研究问题的策略方法上引导学生.本节内容联系的观点还体现从数据表格到杨辉三角图形这一过程中，可以联系必修三统计内容的“从样本估计总体”，对于获得样本数据直接观察，规律是不明显，但通过改变数据的呈现方式如画频率分布直方图、茎叶图等就可以很方便的获得数据的规律性的信息，教师在教学中恰当的“联系”一下相关内容，便会加强学生今后用联系的观点想问题，解决问题，从而发展思维，真正达到教师给学生的不仅是“鱼”，更应是“渔”．《课程标准》对此部分要求是 1.掌握二项式系数的一些性质，体会数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.2．通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.4．注意培养学生合作交流、实践操作，培养学生勇于实践的科学探索精神.在发现、解决数学问题的过程中，掌握数学研究的方法，促进数学思维的发展.《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教材分析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》．研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位．本节内容以前面学习的二项式定理为基础，通过“杨辉三角”初步直观的探究二项式系数的性质，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能．由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，可以利用组卡西欧图形计算器画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，有利于帮助学生发现规律，形成证明思路，有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识．根据以上教材分析，本节的教学重点设定为：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质．本节课利用函数的方法研究二项式系数的性质最突出的矛盾就是当n的值较大时，纸笔计算作图都非常困难，若n的取值较少，由个别图像去把握整体性质，信服力稍显不足，而图形计算器的参与恰好可以自由的画出大量的函数图像，改变了数据不足的矛盾.同时让学生在亲自动手操作、实验的过程中，进行感悟和理解．它能使学生真正动起来，参与到课堂中来，提高了学习兴趣．学生在教师创设的问题情景中，通过观察、分析、思考、探究、概括、归纳得出性质，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
高中数学《杨辉三角》教学设计
《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。
本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。
杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。
（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。
通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。
二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。
同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。
2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。
班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。
三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。
2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。
教学设计5：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及二项式系数的性质，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学方法: 引导探究教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（如图）3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表Array▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1三、讲解新课：1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0C n ，1C n ，2C n ，…，C n n ．C rn 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C C m n m n n -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1C C !k k n n n n n n k n k k k----+-+==⋅， ∴C k n 相对于1C k n -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12C n n -，12Cn n+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1C C n r rn n n x x x x +=+++++，令1x =，则0122C C C C C n r nn n n n n =++++++四、讲解范例： 问题导学一、与杨辉三角有关的问题 活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 二、二项式系数的性质 活动与探究2(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 迁移与应用1．⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得． 三、二项式系数、展开式系数的求和 活动与探究31．设1132(3)nx x +的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________． 迁移与应用1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．22．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．课前·预习导学活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．【解析】由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19．∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164． 【答案】C迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2 思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2确定k 的值． 解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8．∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4．设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6．∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6． 迁移与应用1．【解析】由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410·x 6·⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4·⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610·x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项． 【答案】D2．【解析】由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210． 【答案】C活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．1.【解析】由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，∴h ＋t ＝4n ＋2n ＝272，解得n ＝4． ∴(3x 13＋x 12)n ＝(3 x 13＋x 12)4．则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(3x 13)4－r ·(x 12)r ＝34－r C r 4x 43＋r6， 令43＋r6＝2，则r ＝4． ∴含x 2项的系数为1． 【答案】12．思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出． 【解析】f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4， 令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81， 又m ＞0，∴m ＝2．令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1． 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41． 【答案】41迁移与应用 1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4．∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝[(3＋2)(3－2)]4＝1． 【答案】12．【解析】由已知2n －1＝32，∴n ＝6．∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6． 而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729． 【答案】729当堂检测1．111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项 【解析】由n ＝11为奇数，则展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 【答案】D2．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 5C r ·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)225C ·a 3＝80，∴a ＝2．∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1． 【答案】B3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意可知，2C mm a =，21C mm b +=，又∵13a ＝7b ，∴(2)!(21)137!!!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+， 即132171m m +=+．解得m ＝6． 【答案】B4．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．【解析】由已知2n －1＝16，n ＝5，∴521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为T r ＋1＝5C r ·(x 2)5－r ·1rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5C r·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为35C 10=．【答案】105．在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：T r ＋1＝8822C ()rr rx x -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝(－1)r ·8C r ·2r ·542rx -． (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则11881188C 2C 2C 2C 2.r r r r r r r r ++--⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，∴12,8121.9r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝48C·24·2042x-＝1 120x －6．(3)求系数最大的项．解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝68C ·26·x －11＝1 792x－11．(4)求系数最小的项． 解：系数最小的项为T 6＝(－1)558C·25172x-＝－1 792172x-．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课堂练习1．()()4511x x +-展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为2．多项式12233()C (1)C (1)C (1)C (1)nn n n n n f x x x x x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（N n *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111C C C C 1C 11111n nnn n n n n a a a a a a a a aa+------+-++------7．求()102x +的展开式中系数最大的项【答案】1. 45, 0 2. 0．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. 33115360T x +=小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 板书设计（略） 教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2 +4ab 3+b 4.对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nn n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n n b a b a a b a a a a +++-- 110现在的问题就是要找r n a 的表达形式,为此 我们要采用抽象分析法来化简计算.。
高中数学_杨辉三角“与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质授课人：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学任务分析】(1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.(2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.【教学目标】（1）知识和技能：掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.(2) 过程和方法：通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养.(3) 情感态度和价值观：通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.【教学重点、难点】重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.【教法、学法】教法：问题引导、合作探究．学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想,①从课上交流展示中感知规律；②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质；③在探究证明性质中理解知识.【教学流程】例题及练习【教学过程】环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项”【师生活动】教师提出问题，学生复习回答.【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备 环节2: 创设情境 引入新课“计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角.【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质 之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自 豪感和探索新知识的欲望.环节3：合作探究 发现规律【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。
杨辉三角与二项式定理教学设计
1．3．2“杨辉三角”与二项式定理昌邑一中吴福顺一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1），（2） .2 ．二项展开式的通项公式：3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：（首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉）1 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵，∴相对于的增减情况由决定，，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数）三、讲解范例：例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，即，∴，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．（搜索赋值法，了解什么是赋值法）说明：由性质（3）及例1知 .例2．已知，求：（1）；（2）；（3） .解：（1）当时，，展开式右边为∴，当时，，∴，（2）令，①令，②①②得：，∴ .（3）由展开式知：均为负，均为正，∴由（2）中①+②得：，∴，∴例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数解：=，∴原式中实为这分子中的，则所求系数为四、拓展延伸：在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数解：∵∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为∴展开式中含x的项为，∴此展开式中x的系数为240课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质课堂练习：已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项作业：课后A组2、3。
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思一、教学实践在教学中，为了帮助学生更好地理解和应用二项式定理，我选择将杨辉三角和二项式定理进行融合教学。
下面是我在教学过程中的一些实践。
1.引入杨辉三角为了引起学生的兴趣，我首先给学生展示了杨辉三角的特点和规律。
通过给学生一个具体的杨辉三角，让学生观察并找出其中的规律，然后引导学生自己写出杨辉三角。
2.杨辉三角与二项式系数在学生理解了杨辉三角的生成规律之后，我通过让学生观察杨辉三角中的数值与二项式系数之间的联系，引导学生发现杨辉三角和二项式系数之间的关系。
然后，我给学生一个任务，让他们根据杨辉三角中的数值，写出对应的二项式系数。
3.证明杨辉三角与二项式定理的联系为了让学生更加深入地理解杨辉三角和二项式定理之间的联系，我设计了一道证明题目。
在学生掌握杨辉三角和二项式定理的基本概念之后，我让他们利用杨辉三角和二项式定理的定义进行证明。
通过这样的练习，学生不仅能够加深对杨辉三角和二项式定理的理解，还可以培养他们的逻辑思维能力和证明能力。
4.应用二项式定理解决实际问题在学生掌握了杨辉三角和二项式定理的基本知识之后，我设计了一些实际问题，让学生应用二项式定理解决问题。
通过解决实际问题，学生能够更好地理解和应用二项式定理，同时也增强了他们解决实际问题的能力。
二、反思通过以上的实践，我发现杨辉三角与二项式定理的融合教学对学生的学习效果有一定的提升。
学生通过观察和探索杨辉三角的规律，能够更好地理解和记忆二项式系数的计算方法，并且能够更好地应用二项式定理解决实际问题。
也存在一些问题需要改进。
在引入杨辉三角和二项式定理的时候，我没有给学生提供足够的背景知识和应用情境，导致有些学生对杨辉三角和二项式定理的意义和实际应用不够理解。
在应用二项式定理解决实际问题的练习中，我没有给学生足够的引导和提示，导致有些学生在解题过程中出现了困惑和迷茫。
杨辉三角融入二项式定理的教学实践在某种程度上提高了学生的学习效果。
杨辉三角和二项式系数教案
1.3.2 杨辉三角和二项式系数性质（新授课教案）一、教学目标：1进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用；2.展开式中的第1+r 项的二项式系数rn C 与第1+r 项的系数是不同的概念3.通过讲述杨辉三角的来历进一步观察杨辉三角，得出其中的规律，使同学们对杨辉三角和二项式系数的性质有一个整体的把握，体会其中的函数思想 二、教学重点与难点重难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用三、教学过程：（一）复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrn rr n nn n n n a b C a C a b C ab C b n N -*+=+++++∈ ，（2）1(1)1nr rnn n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1rn rr r n T C ab -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性（二）讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1） 对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mn mn nC C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++（三）讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++- ， 即02130()()n n n n C C C C =++-++ ， ∴0213n n n n C C C C ++=++ ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++= .例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++ 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415= ∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240（四）课堂练习：1、()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；2、1)n x的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．3、0n C +12n C +24n C ++ 2n n n C 729=，则123nnn n n C C C C ++++= （ ） A ．63 B.64 C.31 D .324、已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++ ，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++ 的值答案：（1）202，203，11；（2） 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴ 10n =， 3734101()T C x== （3）A ．（五）课时小结 ：1．性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法（六）布置作业：。
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思杨辉三角是中国古代数学家杨辉发现的一种数学规律，它具有许多有趣的性质，在数学教学中有着重要的作用。
而二项式定理是初等代数中的一条重要定理，它描述了(a+b)的n次方展开后各项系数的规律。
将杨辉三角与二项式定理进行融合教学，可以帮助学生更好地理解和掌握这两个概念的关联。
本文将针对这一教学实践进行分析和反思。
一、教学实践1. 教学目标在教学实践中，我们的主要教学目标是让学生能够掌握杨辉三角的形成规律和二项式定理的应用方法，并能够理解二者之间的关联。
通过学习和实践，学生能够发现杨辉三角和二项式定理之间的内在联系，从而更加深入地理解数学的本质。
2. 教学内容和方法二、教学反思在进行教学实践的过程中，我们也发现了一些问题和不足。
对于一些学生来说，二项式定理的概念较为抽象，他们很难直接理解和掌握。
因此在教学中，我们需要更加注重引导学生通过具体的例子和实践来理解和掌握二项式定理的应用方法，从而培养学生的数学思维和解决问题的能力。
对于一些学生来说，杨辉三角的构造规律也较为复杂，他们很难直接理解和发现其中的规律。
因此在教学中，我们需要更加注重引导学生通过填充数字和观察规律来逐步发现和掌握杨辉三角的构造规律，从而培养学生的观察和归纳能力。
将杨辉三角融入二项式定理的教学实践对于学生的数学学习是有益的，它可以帮助学生更好地理解和掌握这两个概念，并能够培养学生的数学思维和创新能力。
在实际教学中，我们需要更加注重引导学生通过具体的例子和实践来理解和应用所学知识，从而使他们能够在实践中得到更深入的体会和领悟。
同时我们也需要更加注重引导学生通过观察、发现和归纳来理解和掌握新知识，从而培养他们的观察和归纳能力。
只有这样，我们才能更好地引导学生掌握数学知识、培养数学能力，使他们在今后的学习和生活中能够更加自信和成功。
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1．3．2“杨辉三角”与二项式定理
昌邑一中吴福顺
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2） .
2 ．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：
（首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉）
1 二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数）
三、讲解范例：
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，
即，
∴，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
（搜索赋值法，了解什么是赋值法）
说明：由性质（3）及例1知 .
例2．已知，求：
（1）；（2）；（3） .
解：（1）当时，，展开式右边为
∴，
当时，，∴，
（2）令，①
令，②
①②得：，∴ .
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+②得：，
∴，
∴
例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
=，
∴原式中实为这分子中的，则所求系数为
四、拓展延伸：
在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为，
∴此展开式中x的系数为240
课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质
课堂练习：已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项作业：课后A组2、3。