【全国百强校word】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷(五) 高三文数试题
【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学(三)
绝密★启用前【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A信息卷 高三文科数学（三）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,52．已知i 为虚数单位，则2018i i 1=-（ ） A. 1 B.2C. D.123．函数()23sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2π C. π D.2π 4．求“方程23log log 0x x +=的解”有如下解题思路：设函数()23log log f x x x =+，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f =，所以原方程有唯一解1x =.类比上述解题思路，方程()51134x x -+-=的解集为（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}1,2 D. {}35．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于20里（ ）…装…………○…………订…………○…………线…不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…装…………○…………订…………○…………线…6．已知圆锥O的底面半径为2，高为4，若区域M表示圆锥O及其内部，区域N表示圆锥O内到底面的距离小于等于1的点组成的集合，若向区域M中随机投一点，则所投的点落入区域N中的概率为（）A.12B.716C.2764D.37647．函数sinsin122xxy=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（）A. B. 5 C. D. 69．在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若s i n1s i n2BC=，()2213cos2a b B BA BC-=⋅，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组20,24,{ 0,x y x y y x y m-≥+≤≥+≤表示的平面区域为M ，若m 是整数，且平面区域M 内的整点(),x y 恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ） A. [)64ln3,++∞ B. [)5ln5,++∞ C. [)66ln6,++∞ D. [)4ln2,++∞………订…………○………※※线※※内※※答※※题※※………订…………○………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知向量()1,2a=-在向量()3,b m=，则m=__________．14．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的a值为__________．15．已知正四棱锥P ABCD-内接于半径为94的球O中（且球心O在该棱锥内部），底面ABCD的边长为2，则点A到平面PBC的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x ya ba b-=>>上存在一点P满足以OP为边长的正三角形的内切圆的面积等于236cπ（其中O为坐标原点，c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是__________．三、解答题17．已知{}n a是等差数列，{}n b是等比数列，且21a=-，29b=，13a b=，3325a b+=.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）记n n nc a b=，求数列{}n c的前n项和.18．如图，在三棱锥P ADE-中，4AD=，AP=AP⊥底面ADE，以AD为直径的圆经过点E.………订…………○线…………○___________考号：___________………订…………○线…………○（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.19．“日行一万步，健康你一生”的养生观念已经深入人心，由于研究性学习的需要，某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级n 名成员一天行走的步数，然后采用分层抽样的方法按照[)20,30， [)30,40， [)40,50， [)50,60分层抽取了20名成员的步数，并绘制了如下尚不完整的茎叶图（单位：千步）：已知甲、乙两班行走步数的平均值都是44千步. （1）求,x y 的值；（2）（ⅰ）若100n =，求甲、乙两个班级100名成员中行走步数在[)20,30， [)30,40，[)40,50， [)50,60各层的人数；（ⅱ）若估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[)40,50千步的人数少12人，求n 的值.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆C 上的动点，当1260F PF ∠=︒时， 12PF F ∆ （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点()2,0H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，求1ABF ∆面积的最大值. 21．已知函数()()2ln R 1mf x x m m x =+-∈+. （1）试讨论函数()f x 的极值点情况； （2）当m 为何值时，不等式()()21ln 101x x m x x+--<-（0x >且1x ≠）恒成立？在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,{x cost y sint==（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 3sin 60ρθρθ-+=.（1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）设M 是曲线C 上的一动点，求M 到直线l 的距离的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲已知实数,,a b c 满足()4a b c +=，证明： （1）()2228a b c +≥； （2）22228a b c ++≥.参考答案1．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A.2．B 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】由题意20182i i i 1i 12===--，故选B. 3．C【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 因为()21cos233sin cos sin222x f x x x x x -=+=+3sin2226x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以其最小正周期为222T w πππ===，故选C. 4．D【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 设()()511f x x x =-+-，则()f x 在R 为单调递增函数，又()532234f =+=，所以原方程()51134x x -+-=的解集为{}3，故选D.5．C 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 由题意，记每天走的路程为{}n a 是公比为12的等比数列， 又由616112378112a S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，解得1192a =，所以111922n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 则34451119224,1921222a a ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即从第5天开始，走的路程少于20里，故选C. 6．D 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 因为圆锥O 的底面半径为2r =，高为4h =， 所以圆锥O 的体积为22111624333V r h πππ==⨯⨯=， 因为区域N 表示圆锥O 内到底面的距离小于等于1的点组成的集合，所以区域N 表示圆锥O '的底面半径为r '，高为h '，则1413h h =-=-='， 所以r h r h '='，即324r '=，解得32r '=， 所以圆锥O '的体积为22113933324V r h πππ⎛⎫==⨯⨯⎪⎝'= ⎭'，则169373412O O V V V πππ'=-=-=圆台圆锥圆锥， 根据体积比的几何概型，得所投的点落入区域N 中的概率为37371216643O OV P V V ππ'====圆锥圆台圆锥，故选D. 7．D 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 因为()()()()sin sin sin sin 112222x x xx f x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122x xy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin 2sin 2115222222f πππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，排除C ， 综上，函数sin sin 122x x y =+大致的图象应为D 项，故选D.8．C 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD -，如图所示， 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===，则5,PA PC PB ======,C.9．B 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 因为sin 1sin 2B C =，所以由正弦定理，得12b c =，即2c b =， 由()2213cos 2a b B BA BC -=⋅，得()2213cos cos 2a b B ac B -=，显然2B π≠，所以cos 0B ≠，等式两边同时除以cos B ，得()22132a b ac -=， 将2c b =代入得223a b ab -=，由余弦定理得()()()222222222222231cos 222323a b b a b ca b C ab a b a b+-+--====--， 又因为()0,C π∈，所以3C π=，故选B.10．D【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 由抛物线的定义，得PF d =， 因为23OM d =，所以23OM PF =， 又因为点O 关于准线l 的对称点为B ，所以//OM PF ，所以23BM OBBPBF ==， 即32BP BM =，所以32a =，故选D. 11．B【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 根据题意可知0m >，又m 是整数，所以当1m =时，平面区域M 为20,24,{ 0,1x y x y y x y -≥+≤≥+≤，此时平面区域内M 内只有整点()()0,0,1,0，共2个，不符合题意；当2m =时，平面区域M 为20,24,{ 0,2x y x y y x y -≥+≤≥+≤，此时平面区域内M 内只有整点()()()0,0,1,0,2,0，共3个，符合题意； 当3m =时，平面区域M 为20,24,{ 0,3x y x y y x y -≥+≤≥+≤，此时平面区域内M 内只有整点()()()0,0,1,0,2,0， ()()2,1,3,0，共5个，不符合题意；依次类推，当3m >时，平面区域M 内的整点一定大于3个，否不符合题意， 综上，整数m 的值为2，故选B. 点睛：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域的整点问题，其中解答中涉及到二元一次不等式组所表示的平面区域，以及简单的归纳推理的应用，对于线性规划问题通常有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用. 12．C 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 由()32123f x x ax bx =-++，则()22f x x ax b =-+'， 又由()()24f x f x +='-'，可得()f x '的对称轴为3x =，可知2332aa -=⇒=-，所以()321323f x x x bx =+++，由()6ln 2f x x x ≥+，可得321326ln 23x x bx x x +++≥+，可得32136ln 3bx x x x x ≥++，即2136ln 3b x x x ≥++，设()2136ln 3g x x x x =++，则()()()()2229182361892333x x x x x xg x xxx----+-+-=='=，可知函数()g x 在区间()0,6内单调递增，在区间()6,+∞内单调递减，可知()()max 666ln6g x g ==+，故实数b 的取值范围为[)66ln6,++∞，故选C. 点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题 13．1 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 由题意可得1,23,109m a b b -⋅⋅===，解得1m =或2713m =（舍去）所以1m =. 14．1 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环： 1,12a k =-=；第二次循环： 2,2a k =-=； 第三次循环： 1,3a k ==；第四次循环： 1,32a k =-=；依次类推， a 的取值以3为周期变化，故第2017次循环： 1,20172a k =-=； 第2018次循环： 2,2018a k =-=；第2019次循环： 1,2019a k ==， 此时不满足判断掉件，输出1a =. 15【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 如图所示，连接AC 与BD 交于点O '，显然球心O 在正四棱锥P ABCD -的高PO '上，因为球O 的半径为94，所以94OD OP ==， 又因为底面ABCD 的边长为2，所以BD == 12O D BD ='=, 在OO D ∆'中，由勾股定理得，所以74OO ===', 所以97444O P OP OO ='+'=+=， 在PO B ∆'中，由勾股定理得PB PC ====，设点A 到平面PBC 的距离为h ，则由A PBC P ABC V V --= ，得111122243232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h =点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及四棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）找到球心，利用球的性质，借助勾股定理求解球的相关基本量，作出计算.16．)+∞【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】 由题意以OP 为边长的正三角形内切圆的半径为011tan30223r OP OP ==⨯=， 所以内切圆的面积为2212S r OP ππ==，又P 为双曲线上一点，从而OP a ≥，所以221212S OP a ππ=≥，又以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π，所以223612c a ππ≥，得ca≥e ≥)+∞. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的取值范围，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．17．(1)见解析;(2) 1329344n n n S +-=⋅-. 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题设条件，列出方程，求得公差d 和公比q ，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知， ()13nn n n c a b n ==-⋅，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的前n 项和为n S . 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为等比数列的各项都不为0， 130a b =， 所以10a =.则公差21101d a a =-=--=-.所以等差数列{}n a 的通项公式为()110n a a n d =+-=+ ()()111n n -⋅-=-. 所以3132a =-=-.因为3325a b +=，所以3225b -+=， 解得327b =. 则公比322739b q b ===. 故等比数列{}n b 的通项公式为222933n n n n b b q--==⋅=. （2）由（1）知， ()13nn n n c a b n ==-⋅，设数列{}n c 的前n 项和为n S ， 则()()23031323n S =⋅+-⋅+-⋅+()()12313n n n n -+-⋅+-⋅，①()()2343031323n S =⋅+-⋅+-⋅+()()12313nn n n ++-⋅+-⋅，②由②—①，得()231233313n n n S n +=++++-⋅()()2113131313n n n -+-=+-⋅-()1139132n n n ++-=+-⋅139322n n +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，故1329344n n n S +-=⋅-.18．(1)见解析;(2)【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三） 【解析】试题分析：（1）由题意得AE DE ⊥，再根据因为AP ⊥底面ADE ，求得AP DE ⊥，即可利用线面垂直的判定定理，证得DE ⊥平面PAE .（2）根据题意得AF 是PAE ∠的角平分线，得到截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分，即可求解两部分的体积比. 试题解析：（1）因为以AD 为直径的圆经过点E ， 所以AE DE ⊥.因为AP ⊥底面ADE ， DE ⊂平面ADE ， 所以AP DE ⊥.又因为AE AP A ⋂=， 所以DE ⊥平面PAE .（2）若60DAE ∠=︒，则1cos60422AE AD =︒=⨯=. 因为45FAE ∠=︒，又PA AE ⊥， 所以45PAF ∠=︒，即AF 是PAE ∠的角平分线.所以2PF AP EF AE === 所以截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分，即三棱锥P ADF -与三棱锥E ADF -的体积之比等于PFEF= 19．(1)见解析;(2) （ⅰ）见解析; （ⅱ）80n =. 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】试题分析：（1）根据平均数的计算公式，列出方程，即可求解,x y 的值； （2）（ⅰ）由题意得抽样比为2011005=，即可分层抽样得到甲乙两个班100名成员在各层抽取的人数；（ⅱ）根据题意求得该团队中一天行走步数少于40千步的人数与处于[)40,50千步的人数的频率之差，即可该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[)40,50千步的人数少人数，即可求得n 的值. 试题解析：（1）因为甲班的平均值为44，所以()1263242404546485052534410x x =⨯++++++++++=甲， 解得6x =.同理，因为乙班平均值为44， 所以()1263430414246505257584410x y =⨯++++++++++=乙， 解得4y =.（2）（ⅰ）因为抽样比为2011005=，且抽取的20名成员中行走步数在[)20,30， [)30,40， [)40,50， [)50,60各层的人数依次为2，3，8，7，所以甲、乙两个班级100名成员中行走步数在[)20,30， [)30,40， [)40,50， [)50,60各层的人数依次为10，15，40，35.（ⅱ）该团队中一天行走步数少于40千步的频率为231204+=， 处于[)40,50千步的频率为82205=， 则估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数与处于[)40,50千步的人数的频率之差为2135420-=. 又因为该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[)40,50千步的人数少12人， 所以31220n ⨯=，解得80n =.20．(1) 2212x y +=;(2) 4.【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】试题分析：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，根据离心率和在12PF F ∆中余弦定理，列出方程，求得,,a b c ，即可得到椭圆的方程；（2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，联立方程组，求得则1212,x x x x +，利用弦长公式求得AB ，在由点到直线的距离公式，求得点1F 到直线AB 的距离为d ，即可得到三角形面积的表达，再利用基本不等式，即可求解面积的最大值. 试题解析：（1）设椭圆C 的半焦距为c ， 因为椭圆C，所以2c a =.① 在12PF F ∆中， 1260F PF ∠=︒，由余弦定理， 得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==， 得222121212PF PF F F PF PF +-=，得()221212123PF PF F F PF PF +-=，即()()2212223ac PF PF -=，所以21243PF PF b =. 因为12PF F ∆的面积212121sin 2S PF PF F PF =∠==， 所以21b =，即1b =.② 又222a b c =+，③由①②③，解得a =1b =， 1c =.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）设直线AB 的方程为()2y k x =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，联立()222,{ 1,2y k x x y =++=得()2222128820k x k x k +++-=，由28160k ∆=->，得212k <. 则2122812k x x k +=-+， 21228212k x x k -=+.由弦长公式，得12AB x =-==又点1F到直线AB 的距离为d =所以11122ABF S AB d ∆=⋅=== 令()2611,4t k =+∈，则216t k-=. 所以11ABF S ∆==≤=，当且仅当4t t=，即2t =， k =.所以1ABF ∆面积的最大值为4. 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21．(1)见解析;(2) (],2-∞.【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】试题分析：（1）由题得，求得()()()222111x m x f x x x +-++'=，设()()2211g x x m x =+-+，由()42m m ∆=-，分0m ≤、02m <≤、2m >三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况. （2）不等式()()21ln 101x x m x x +--<-可化为()101f x x >-，再由（1）函数的性质，即可得到实数m 的取值范围. 试题解析：（1）由题得， ()f x 的定义域为()0,+∞，()()2121mf x x x =+'-= ()()()22211R 1x m x m x x +-+∈+. 设()()2211g x x m x =+-+， ()()241442m m m ∆=--=-.①当0m ≤时，对称轴10x m =-<， 故()g x 在区间()0,+∞上单调递增， 则()()01g x g >=，所以()0f x '>在区间()0,+∞上恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增， ()f x 无极值；②当02m <≤时， 0∆≤， ()()22110g x x m x =+-+≥恒成立，故()0f x '≥在区间()0,+∞上恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增， ()f x 无极值；③当2m >时，令()0g x =，得11x m =- 21x m =-， 令()0f x '>，得10x x <<或2x x >， 令()0f x '<，得12x x x <<，所以()f x 在区间()10,x 上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，故()f x 的极大值点为1x m =-1x m =-综上所述，当2m ≤时， ()f x 无极值点；当2m >时，()f x 的极大值点为1x m =-，极小值点为1x m =-（2）不等式()()21ln 101x x m x x +--<-（0x >且1x ≠）可化为()101f x x >-（*）. 由（1）知：①当2m ≤时， ()f x 在区间()0,+∞上为增函数， 当()0,1x ∈时， ()()10f x f <=， 所以()101f x x >-； 当()1,x ∈+∞时， ()()10f x f >=，所以()101f x x >-. 所以当2m ≤时，（*）式成立.②当2m >时， ()f x 在区间()1m -上为减函数， ()()10f x f >=， 所以()101f x x <-，（*）不成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞.点睛：本题主要考查利用导数求解函数的极值（点）和不等式的恒成立问题求解，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题.22．(1)见解析;(2).【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】试题分析：（1）消去参数，即可到曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设()2cos ,sin M t t ，利用点到直线的距离公式，即可表示出点M 到直线l 的距离d ，即求解距离的最值.试题解析：（1）由2,{x cost y sint ==得2214x y +=， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由cos 3sin 0ρθρθ-=，及cos x ρθ=， sin y ρθ=， 得360x y -+=.故直线l 的直角坐标方程为360x y -+=. （2）设()2cos ,sin M t t ，则点M 到直线:360l x y -+=的距离d ==.所以当()cos 1t ϕ+=-时，min d ==，即M 到直线l的距离的最小值为10.23．(1)见解析;(2)见解析. 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（三）【解析】试题分析：（1）由()4a b c +=，化简得222162b bc c a ++=，再由()222222b bc c b c ++≤+，即可作出证明；（2）因为()4a b c +=，所以4ab ac +=，利用基本不等式，得222242a b c ++≤，进而证的结论. 试题解析：（1）由()4a b c +=，得()2216a b c +=， 所以()222216a b bc c ++=， 即222162b bc c a ++=. 因为()222222b bc c b c ++≤+，当且仅当b c =时，取等号，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
衡水金卷2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷五 高三数学理试题 含答案 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （ ） A ．)2,0( B ．)2,1( C ．)1,0( D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21 B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25C. 45 D ．356.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552 B ．55C. 54 D ．517.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ） A ．]4,3[- B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[ 8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-π D ．)43,3(-π 9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．150015 10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425π B ．1625π C. 41125π D ．161125π11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．123512.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ）A ．)3,1(B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若→→→+=AC AD AQ μλ，则=+μλ ．14.命题p ：若0>x ，则a x >；命题q ：若2-≤a m ，则)(sin R x x m ∈<恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是 ．15.已知函数x x a x f ln )(-+=，若)(x f 与)(x f '（)(x f '为)(x f 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 16.已知函数)0)(3cos(sin )(>+=ωπωωx x x f 在区间)18,0(π内单调，且在区间)2,(ππ内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列}{n a 满足)2(02,2111≥=-+=--n a a a a a n n n n . （1）求证：}11{na -是等比数列，且1)121121(21+---<+n nn a ； （2）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，若*N m ∈，且1100+<<m S m ，求m 的值.18. 四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥1AA 平面M ABCD ,为棱1DD 的中点，N 为棱AD 的中点，Q 为棱1BB 的中点. （1）证明：平面//MNQ 平面BD C 1；（2）若AB AA 21=，棱11B A 上有一点P ，且))1,0((111∈=→→λλB A P A，使得二面角Q MN P --的余弦值为632113，求λ的值.19. 从2017年1月份，某市街头出现共享单车，到6月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占%60，骑行过共享单车的人数中，有%35是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500万计算，大学生人数约120万人.（1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2）随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量x 与乱停乱放单车数量y 之间的关系图表：①计算y 关于x 的线性回归方程（其中b ˆ精确到a ˆ,0001.0值保留三位有效数字），并预测当250000=x 时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量，X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求X 的分布列和数学期望)(X E .参考公式和数据：回归直线方程a x b yˆˆˆ+=中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.ˆˆ,)())(()(ˆ1211221x b y ax x y yx x x n xyx n yx bni ini iini ini ii-=---=--=∑∑∑∑====851251101398,2117000000⨯==∑∑==i i i i i x y x . 20. 已知圆1)1(:221=++y x C ，圆25)1(:222=+-y x C ，圆M 与圆21C C 、都相内切. （1）求圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若点Q 是轨迹E 上的一点，求证：21C QC ∆中，21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切. 21. 已知函数xe x x xf -++=)12()(2，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数)(x f 的单调区间； （2）求证：0>x 时，ex x x x xf e x 1)ln 33()](3[≥++-⋅-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为θρ2cos 232-=，参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ,0,0>>b a 为参数）.（1）求a 与b 的值；（2）求椭圆C 上的点M 到点)0,1(A 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知+∈R c b a ,,.（1）求证：acbc ab c b a c a b c a b ++++≥++2222333)(； （2）求函数ca b c a b x c b a x ac bc ab x f 3332222)(2)()(+++++-++=的零点个数.试卷答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CACCD 11、12：BD 二、填空题 13.32 14. )1,0[ 15. )215ln 51,(++--∞ 16. ]23,2431()1213,2425(⋃ 三、解答题17.解：（1）由12)2(021111+=⇒≥=-+----n n n n n n n a a a n a a a a ，211121111111111=-+-=--∴----n n n n n a a a a a ，}11{n a -∴是以21111=-a 为首项，21为公比的等比数列，由122)21(11-=⇒=-nnn n n a a ， 要证1)121121(21221+---<-+n n n n 成立，只需证1211221-<-+n n ，即122211-<--+n n ，即12>成立，12> 显然成立，∴原不等式成立.（2）由（1）知，1)121121(2211+---<a ， 1)121121(2322+---<a ， 1)121121(2,,1)121121(2101100100433+---<+---<a a ，累加得102100)1211(2101100<+--<S ，而101,101)1211211211(100,121112210032100=∴>-++-+-++=-+=-=m S a n nn n . 18.解：（1）Q M 、 分别为棱11BB DD 、中点，BQ MD =∴//，∴四边形MQBD 为平行四边形，BD MQ //∴，又⊂BD 平面BD C 1，//MQ ∴平面BD C 1. N 为棱AD 的中点，1//AD MN ∴，又11//BC AD ，1//BC MN ∴， ⊂1BC 平面BD C 1，//MN ∴平面BD C 1.又M MQ MN =⋂，//MQN ∴平面BD C 1.（2）由题意知1DD DC DA 、、两两垂直，以D 为原点，→→→1,,DD DC DA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，设1=AB ，则)2,1,1(),2,0,1(),1,1,1(),1,0,0(),0,0,21(),0,0,1(11B A Q M N A ， 设),,(z y x P ，则由→→=111B A P A λ，得)2,,1(,02,,01λλP z y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==-， 设平面PMN 的一个法向量为),,(111c b a m =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→,0,021*******c b a c a MP m MN m λ取11=c ， 则)1,3,2(λ-=→m ，设平面MNQ 的一个法向量为),,(222c b a n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→,0,021002222b a c a MQ m MN m 取12=c ， 则)1,2,2(-=→n ，由题知01532526463|2113|3194|164|63|2113|||||||22=+-⇒=⨯++++⇒=⋅→→→→λλλλn m n m ， 解得43=λ或1651（与10<<λ矛盾，舍去）， 故43=λ. 19.解：（1）骑行单车的大学生人数为105%35%60500=⨯⨯万， 故任选一大学生骑行单车的概率为87120105=. （2）①求得：∑===⨯=51822400,160000,101398i i y x x ， 2721600000167.02400ˆ,0167.010256510139810165102117ˆ8866-=⨯-=≈⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=∴a b ， 故所求回归方程为2720167.0ˆ-=x y. 250000=∴x 时，39032722500000167.0ˆ=-⨯=y，即单车投放累计250000辆时，乱停乱放的单车数量为3903.②X 的取值为101)0(,2,1,03533===C C X P ，53)1(351223===C C C X P ， 103)2(352213===C C C X P ， 分布列如下：510251100)(=⨯+⨯+⨯=X E .20.解：（1）设圆M 的半径为r ，则r MC r MC -=-=5||,1||21，||4||||2121C C MC MC >=+∴，故圆心M 的轨迹是以)0,1(),0,1(21C C -为焦点，长半轴为4的椭圆，故轨迹E 的方程为13422=+y x ， （2）如图，延长Q C 1到P ，使||||2QC QP =，则42||1==a P C ，设),(),,(Q Q P P y x Q y x P =，则)4(2143312)1(||22221+=-+++=++=Q Q Q Q Q Q x x x x y x Q C .→→→⋅+=⋅=∴Q C x Q C Q C P C P C Q 1111148||||，Q Q Q Q Q QP C Q Q P Q Q Px y x x x y k x y y x x x ⋅=+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+3444748,48,4)1(812，21QC C ∠∴外角平分线方程为)(43Q QQ Q x x y x y y --=-，即QQQ QQQ QQ y x y x y y x x y x y 3434444322+-=++-=， 代入椭圆方程，得12)343(4322=+-+QQQ y x y x x ， 整理得0918922222=+-Q Q Q Q Q y x x y x x y ，0994)18(22222=⋅⋅-=∆QQ Q Q Q y x y y x . 故21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切.21.解：（1）x x e x x e x x x x f --+--=---+=')2)(1()1332()(2， 故在区间)2,(--∞内，0)(<'x f ； 在区间)1,2(-内，0)(>'x f ； 在区间),1(+∞内，0)(<'x f ，故)(x f 的增区间为)1,2(-，减区间为),1(),2,(+∞--∞. （2）原式化为e x x x x x f e1)ln 33()](6[2≥++-⋅-，令)(6)(x f ex g -=， 由（1）可知)(x g 在区间)1,0(内单调递减，在区间),1(+∞内单调递增，ee e g x g 156)1()(=-=≥.（*）令x x x x x h ln 33)(2++-=，则x x x h ln 22)(+-='， 设)()(x h x s '=，则012)(>+='xx s ， 故0)(='x h 仅有一解为1=x ， 在区间)1,0(内，0)(<'x h ， 在区间),1(+∞内，0)(>'x h ， 故1)1()(=≥h x h .（**） 由（*）（**）式相乘得ex h x g 1)()(≥，即ex x x x xf e x e x x x x x f e 1)ln 33()](6[1)ln 33()](6[2≥++-⋅-⇒≥++-⋅-， 当1=x 时，取等号. 22.解：（1）133)cos sin 3(2cos 23222222=+⇒=+⇒-=y x θθρθρ， 而由⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ,0,0>>b a 为参数）12222=+⇒b y a x ， 故知1,3==b a .（2）设),(y x M ，则]3,3[,22323112)1(||222222-∈+-=-++-=+-=x x x x x x y x MA ， 故当23=x 时，2||MA 取最小值为21， ||MA ∴最小值为22. 23.解：（1）由柯西不等式得2333333)())((ac ca bcbc ab a b ac bc ab c a b c a b ⋅+⋅+⋅≥++++ ac bc ab c b a c a b c a b a b c ++++≥++⇒++=22223332222)()(， 当且仅当222222ca b c a b ==，即c b a ==时，取等号. （2）对于二次函数))((4)(4),(3332222c a b c a b ac bc ab c b a x f ++++-++=∆， 由（1）知，c b a ==时，0=∆，此时)(x f 仅有一个零点；当c b a 、、不全相等时，0<∆，此时)(x f 零点个数为0.。
【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学(一)(full permission)
-1+ 3i2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（一）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {-1, 0, 2, 4} ， B = {x ∈ N | -x 2+ 2x ≥ 0}，则（ ）A ． AB = {2}C ． A B = {-1, 0, 2, 4}B ． A B = {2, 4} D ． A B = {-1, 0,1, 2, 4}2. 已知复数 z =4（其中i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第三象限C ．直线 y = - 3x 上D ．直线 y = 3x 上3. A 地的天气预报显示， A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30% ，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生 0—9 之间整数值的随机数，并用 0,1,2,3,4,5,6 表示没有强浓雾，用 7,8,9 表示有强浓雾，再以每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数：则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ） 1 271 A.B ．C ．D ．4 5 105 4. 已知直线 2x - y -1 = 0 的倾斜角为α，则sin 2α- 2 cos 2α= （） 26 412A ．B ． -C ． -D ． -5 5555.已知函数 f (x ) = x 2- (2a -1)x -1 （其中 a > 0 ，且 a ≠ 1）在区间( 1 , +∞) 上单调递增，则函数2g (x )1）A ． (-∞, a )B ． (0, a )C ． (0, a ]D ． (a , +∞)6. 已知抛物线C ：y2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为l ，过抛物线C 上的点 A (4, y ) 作 AA ⊥ l 于点 A ，1log a x -12622若∠A AF=2π，则p =（）1 3A．6 B．12 C．24 D．48 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+ 2 + 4 B．4 + 2淘宝：一鸣教辅+C．8 + 2 + 4 D．4+ 2 + 28.执行如图所示的程序框图，若输入的a = 240 ，b =176 ，则输出的a 值为（）A．3 B．16 C．48 D．649.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为an ，则a3+a4+a5+a6+a7-a1-a9=（）A．46 B．69 C．92 D．13810.国庆期间，小张、小王、小李、小赵四人中恰有一人到香港旅游．小张说：“小王、小李、小赵三人中5256⎪⎩⎨ n ⎬ 3有一人去了香港旅游”；小王说：“小李去了香港旅游”；小李说：“去香港旅游的是小张和小王中的一个人”；小赵说：“小王说的是对的”．若这四人中恰有两人说的是对的，则去香港旅游的是（ ）A ．小张B ．小王C ．小李D ．小赵11. ∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知(a2+ b 2 - c 2 ) ⋅ (a cos B + b cos A ) = abc ，c = 2 ，则∆ABC 周长的取值范围为（ ） A ． (0, 6]B ． (4, 6)C ． (4, 6]D ． (4,18]12. 已知函数 f (x ) =| x - m | -mln x (m > 0) ，若 f (x ) 恰有两个零点 x ， x （ x < x ），则有（ ）2 A ．1 < x < x < mB. m < x < x 1< m 22 1 212 1 2C ．1 < x < m 2< xD ．1 < x < m < x < m21212第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在∆ABC 中， AB = (2, -4) ， BC = (1,λ) ，则∆ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形的充要条件是λ= ．⎧x - y ≤ 1, 14. 已知变量 x ， y 满足约束条件⎨x + y ≥ 4, 若t ≥ 5x + 2 y 恒成立，则实数t 的最小值为．⎪ y ≤ 2, x 2 - y 2=> >15. 已知双曲线C ：a 2b 21(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 M 在双曲线C 上，点 I 为∆MF 1F 2的内心，且 S∆IMF 1 + S ∆IMF 2= 3S 2∆IF 1F 2 ，| M F 1 |= 2 | MF 2| ，则双曲线C 的离心率为 ．16. 在正三棱锥 A - BCD 中，M ，N 分别是 AB ，BC 上的点，且 MN / / AC ，AM = 5MB ，MD ⊥ MN ，若侧棱 AB = 1，则正三棱锥 A - BCD 的外接球的表面积为．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{a n } 的前n 项和为 S n ，对任意的正整数 n ，都有 2S n = 3a n + n - 2 成立．（1） 求证：数列⎧a - 1⎫ 为等比数列； 2 ⎩ ⎭n -1（2） 记b n = ，求数列{b n } 的前 n 项和T n ．a n a n +1x3 18. 如图所示，已知四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 为矩形，PA ⊥ 底面 ABCD ，且 PA = AB = λAD = 2（λ∈ R ）， M ， N 分别是 AB ， PC 的中点．（1） 当λ为何值时，平面CMN ⊥ 平面 PCD ？并证明你的结论；（2） 当异面直线 PD 与 BC 所成角的正切值为 2 时，求三棱锥 D - MCN 的体积．19.2017 年 10 月，举世瞩目的中国共产党第十九次全国代表大会在北京顺利召开．某高中为此组织全校 2000 名学生进行了一次“十九大知识知多少”的问卷测试（满分：100 分），并从中抽取了 40 名学生的测试成绩， 得到了如图所示的频率分布直方图．（1） 求图中实数 a 的值及样本中 40 名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）（i ）利用分层抽样的方法从成绩低于 70 分的三组学生中抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人分析成绩不理想的原因，求前 2 组中至少有 1 人被抽到的概率；（2） 以频率估计概率，试估计该校这次测试成绩不低于 80 分的学生人数．20. 已知椭圆C ：y a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的一条切线方程为 y = 2x + 2 b 2 ，且离心率为 ．2（1） 求椭圆C 的标准方程；2 22 cos2 α+3 1 1（2） 若直线l ： y = kx + m 与椭圆C 交于 A ， B 两个不同的点，与 y 轴交于点 M ，且 AM = 3MB ，求实数m 的取值范围．21. 已知函数 f (x ) = mx + 2 - e x（ m ∈ R ），其中e 为自然对数的底数．（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 已知 m = 1， k 为整数，若对任意 x ∈(0, +∞) ，都有(k - x ) f '(x ) > -x -1 恒成立，求 k 的最大值．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线l 过点 P (1, 0) ，且倾斜角为α，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ= 4 cos θ．（1） 求圆C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2） 设直线l 与圆C 的两个交点分别为 A ， B ，求证：+ = ． | PA | | PB | 323. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) =| x + 2 | -2 | x - 4 | ．（1） 解不等式 f (x ) ≤ x ；（2） 若不等式 f (x )+ | x + 2 |≤ k2- | k | 对任意的 x ∈ R 恒成立，求实数 k 的取值范围．淘宝：一鸣教辅淘宝：一鸣教辅淘宝：一鸣教辅淘宝：一鸣教辅。
【100所名校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学(二)(解析版)
1 2 5 12 2 + 13 = 2 3 3
− log2 3
=2
log 2
1 3
=
1 3
20 − 11 − 4 = 0.25 20
1 3 1 b = a = = =1 3 3 1 c = lna = ln 0 3
−
−
1
0
故c a b 故选 A 8．B 【解析】执行程序框图可得：
a = 1，i = 6，a = 1 成立，
故输出 i = 6 ，结束算法 故选 B 9．A 【解析】由题意可得： f 故
OO = PO − PO = 3 − R
2 2 2 在 Rt OOD 中，由勾股定理可得： OO + OD = OD
即 ( 3 − R ) + 12 = R 2 ，解得 R =
卷
取一名工人，若抽得黄金段位的概率是 0.2，则抽得铂金段位的概率是（ A. 0.20 B. 0.22 C. 0.25 D. 0.42 ）
）
9． 已知函数 f ( x ) = 2sin x ( 0 3) 的图象关于直线 x = 移
4
对称， 将 f ( x ) 的图象向右平
姓名
4．下列函数既是偶函数又在区间 ( 0, + ) 上单调递增的是 （ A. y = x
2
4
= k +
2
(k Z )
【衡水金卷】 2018 年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三（二）
A. -3
B. -5
C.
19 5
D. 5 ）
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
数学（文）
【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学(二)
绝密★启用前【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A信息卷 高三文科数学（二）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}()(){}2,1,0,1,|130A B x x x =--=+-<，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}0 D. {}2,1--2．若i 为虚数单位， ()()13i a i i +-=+，则实数a =（ ）A. 2B. -2C. 3D. -33．游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”.某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位.从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.2，则抽得铂金段位的概率是（ ）A. 0.20B. 0.22C. 0.25D. 0.424．下列函数既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是 （ ） A. 3y x = B. 14y x = C. y x = D. tan y x =5．已知变量,x y 满足不等式组10{35250 430x x y x y -≥+-≤-+≤，则目标函数23z x y =--的最大值是 （ ） A. -3 B. -5 C.195D. 5 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）…………○…………订…线…………○……要※※在※※装※※订※※线※※内…………○…………订…线…………○……A.53π B.73π C.76π D.23π7．设实数,,a b c满足21log332,,lna b a c a--===，则,,a b c的大小关系为（）A. c a b<< B. c b a<< C. a c b<< D. b c a<<8．数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的i为（）A. 5B. 6C. 7D. 89．已知函数()()2sin03f x xωω=<<的图象关于直线4xπ=对称，将()f x的图象向右平移3π个单位，再向上平移1个单位可以得到函数()g x的图象，则()g x在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（）A. 1⎡⎤-⎣⎦ B. 1⎡⎤⎣⎦ C. ,12⎤⎥⎣⎦D. 0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦10．已知正四棱锥P ABCD-的各顶点都在同一球面上，，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（）A.1243πB.62581πC.50081πD.2569π11．已知定义在R上的函数()f x满足()()f x f x>-'，则关于m的不等式()()132120m f m f m e -+-->的解集是（ ）A. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ 12．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的离心率e =C 与y 轴正半轴的交点F 是抛物线()2:20D x py p =>的焦点，过点F 的直线l 交抛物线D 于,A B 两点，过点,A B 分别作抛物线D 的切线1l 和2l ，直线1l 和2l 相交于点M ，则·F MA B =（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不确定…○………※※…○………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．如图，在ABC∆中，D是AB边上的点，且满足3AD BD=，设,C A aCD b==，则向量CB用,a b表示为__________．14．若()f n为()2*1n n N+∈的各位数字之和，如：2111122,1225+=++=，则()115f=.记()()()()()()()()()()()*121321,,,,,k kf n f n f n f f n f n f f n f n f f n k N+====∈，则()20175f=__________．15．已知点()2,0P到双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>，则双曲线离心率的取值范围是__________．16．已知数列{}n a满足1221,2,2nna a a+==是()()22,2nn a n nλ++的等差中项，若()*212n na a n N+>∈，则实数λ的取值范围为__________．三、解答题17．在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知sin cosa C A=.（1）求角A的大小；（2）若2b=，且43Bππ≤≤，求边c的取值范围.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，2,,BC AB AC M N===分别是111,A B B C的中点.（1）求证：//MN平面11ACC A；（2）若三棱柱111ABC A B C-的体积为4，求异面直线1AC与BN夹角的余弦值.…………○………………○……19．“双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间x （小时）和销售量y （件）的关系作了统计，得到了如下数据并研究.（1）求表中销售量y 的平均数和中位数；（2）① 作出散点图，并判断变量y 与x 是否线性相关？若研究的方案是先根据前5组数据求线性回归方程，再利用第6组数据进行检验，求线性回归方程ˆˆˆybx a =+； ②若根据①中线性回归方程得到商品上架12小时的销售量的预测值与检测值不超过3件，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问：①中的线性回归方程是否理想.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中， 1221,ˆˆˆni i i n i i x y nxy b ay bx x nx ==-==--∑∑. 20．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且y 轴和直线20x +=均与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线y x m =+与圆C 相交于,M N 两点，点()0,1P ，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围. 21．已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若(]()0,,0x e f x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，把圆O 上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，且倾斜角为α，经过点(Q 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）当4πα=时，求曲线C 的普通方程与直线l 的参数方程；（2）求点Q 到,A B 两点的距离之积的最小值. 23．设函数()321f x x x =+--.（2）若存在[]1,3x ∈，使不等式()1ax f x +>成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二） 【解析】()(){}{}|130|13B x x x x x =+-<=-<<{}2101A =--，，， {}01A B ∴⋂=，故选B 2．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】()()()1113i a i a a i i +-=++-=+，13{11a a +=∴-=解得2a = 故选A 3．C 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】由题意可得，黄金段位的人数为0.2204⨯= 则抽得铂金段位的概率为201140.2520--=故选C 4．C 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】对于A ，为奇函数，不符合题意 对于B ，非奇非偶函数，不符合题意对于D ，是偶函数，但在区间()0+∞，上不单调递增故选C 5．B 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】作出不等式所表示的平面区域，由图可以看出，当直线233zy x =--经过可行域上的点B 时， z 取得最大值 由1{430x x y =-+=得点B 的坐标为()11，∴函数23z x y =--的最大值为21315-⨯-⨯=-故选B6．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】由三视图可知，该几何体是半圆柱和半球的组合体 故其体积23125121233V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯= 故选A7．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二） 【解析】221331223log log a -=== 1013311133b a --⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭103c lna ln ==<故c a b << 故选A8．B 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】执行程序框图可得： 511a i a ===，，不成立， a 是奇数，不成立 1621a i a ===，，不成立， a 是奇数，不成立 831a i a ===，，不成立， a 是奇数，不成立441a i a ===，，不成立， a 是奇数，成立 251a i a ===，，不成立， a 是奇数，成立 161a i a ===，，成立， 故输出6i =，结束算法 故选B9．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】由题意可得： 2sin 244f ππω⎛⎫==± ⎪⎝⎭故()42k k Z πωππ=+∈()42k k Z ω∴=+∈又03ω<<， 2ω∴=()22f x sin x ∴=故()22sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭32x ππ-≤≤， 422333x πππ∴-≤-≤21sin 232x π⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()11g x -≤≤即函数()g x 在区间32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为1⎡⎤-⎣⎦ 故选A10．C 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCD V PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+=' 即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯=⎪⎝⎭球 故选C11．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】设()()xg x f x e =， ()()()xg x f x f x e ⎡⎤=+⎣⎦''()()f x f x >-'()0g x ∴'>，则()g x 是增函数 ()()132120m f m f m e -+--> ()()212212m m f m e f m e +-∴+⨯>-即()()212g m g m +>-212m m ∴+>-，解得13m >故选A点睛：本题考查了运用导数解不等式，在本题中构造新函数是关键，也是本题的难点所在，在处理类似的题目时的方法是结合条件和问题在一起，是构造含有x e 的乘法运算还是除法运算，然后利用导数求导后解不等式 12．A 【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三文科数学（二）【解析】由题知， ce a==，解得c =1b = ∴椭圆的方程为2214x y +=()01F ，， 12p∴=，解得2p = ∴抛物线的方程为24x y =直线l 和抛物线有两个交点， ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+， ()11A x y ，， ()22B x y ，， ()12x x ≠ 联立方程21{4y kx x y=+=，消去y ，得2440x kx --=12124{4x x kx x +=∴=-抛物线D 的方程为24x y =， 2xy ∴'=过抛物线D 上A B ，两点的切线方程分别为()1112x y y x x -=-， ()2222x y y x x -=- 即21124xx x y =-， 22224xx x y =- 联立直线方程21122224{ 24xx x y xx xy =-=-，解得12122{ 4x xx x x y +== 即点M 的坐标为121224x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭， ()()2222122121212112202244x x x x FM AB x x y y x x ⎛⎫+⎛⎫∴=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故选A点睛：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，求交点坐标计算定值问题，在解答此类问题是常用设而不求方法，设出点坐标和直线方程，联立方程组，由根与系数之间的关系进行计算，求出结果，要有一定的计算能力。
2018年衡水金卷信息卷 全国卷 I A 理科数学模拟(一)试题(解析版)
2018年衡水金卷信息卷全国卷 I A模拟试题（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得∴，故选：D2. 已知复数满足(其中为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由得到，故其共轭复数为，其对应的点位于第一象限，故选：A3. 已知等差数列中，，则（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】，∴∴故选：B4. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框中可以填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该程序框图的功能是计算的值.要使输出的S的值为0，则，即故①中应填故选：C点睛：：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】双曲线的渐进线方程为，故双曲线的渐近线方程为.设双曲线的方程为.当时，双曲线的方程为，则，解得：；当时，双曲线的方程为，则，解得：；故选：C6. 已知函数在上可导，且，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】由题意得,故，，得到所以所以.故选：C7. 《九章算术》勾股章有一问题:今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其意思是:现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽.现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题设条件，作示意图如图所示，设绳索长为x尺，则木柱AB=x-3.由勾股定理，得，解得，故所求的概率为：P=.故选：A8. 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得.由已知可得，故的最小正周期.由，知这两个值恰好一个为最小值-3，另一个为最大值1，故，当k=1时，.故选：B9. 已知函数则当时，的展开式中系数绝对值最大的项是（）A. 第2项B. 第3项C. 第4项D. 第5项【答案】D【解析】当时，，则T r+1=••••设展开式中系数最大的项为T r+1，则得：，由阶乘公式，得，解得：，由r，得：，故系数绝对值最大的项是第5项.故选：D10. 从一个几何体中挖去一部分后所得组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图，可知该组合体为一个底面半径为1，高为3的圆柱挖去两个底面半径均为1,高均为1.5的圆锥所得到的几何体，故其体积.故选：A11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在的内部，且满足，及，若恒有成立，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知点I是的内心.设的内切圆半径为r，则由，得，即.又，故可得，，由，得，即，得到，所以椭圆C的离心率的取值范围为故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 定义在上的函数若满足：，且，则称函数为“指向的完美对称函数”.已知是“1指向2的完美对称函数”，且当时，.若函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由是“1指向2的完美对称函数”，所以,用1+x代替上式中的x值，，所以，又因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，其中，故，，，故当时，，所以，即时，，当时，.由得对称中心为，周期为4，可得的对称中心为，即与均关于点对称，结合的图象关于点对称及关于直线对称，可画出在区间上的图象，如图所示：因为，直线过点，故若函数在区间上恰有5个零点，则只需与在区间上有两个交点，设直线与曲线的切点为，则,故切线方程为：.因为点在切线上，所以，解得或（舍去），此时,又当直线过点时，k=1.故由图，可知实数k 的取值范围为故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知中，，且，则__________．【答案】【解析】由，得，所以为菱形，所以⊥，故解得故答案为：14. 已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当p为真时，.记集合A，.若是的必要不充分条件，则①当，即时，；②当时，等价于，解得.综上所述，实数m的取值范围为故答案为：15. 已知在关于的不等式组，（其中）所表示的平面区域内，存在点，满足，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由条件可得可行域，如图所示，由,得.因为直线与直线垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即，解得，当时恒存在点满足题意，故实数的取值范围故答案为：16. 数列中，（2，且），且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】由，变形为：a n+1=，a1+1=2．∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴a n+1=，可得a n=，∴S n=n=n，则，，∴当n为偶数时，恒成立，而，∴ 1当n为奇数时，恒成立，而，∴综上所述，，即的最大值为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的取值范围.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.（2）根据题意，得.由余弦定理，得，即，整理得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为4.又，所以，所以.所以的周长的取值范围为.18. 如图，在三棱柱中，平面平面,,分别为棱的中点.（1）求证:；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...试题解析：（1）连接.∵，∴是等边三角形.又为棱的中点，∴.∵平面平面,平面平面，平面.∴平面.∵平面，∴.∵，∴是菱形.∴.又分别为的中点，∴，∴.又，∴平面.又平面，∴.（2）连接，∵，∴为正三角形.∵为的中点，∴.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∵两两垂直，∴分别以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设.设平面的一个法向量为，由，令，得.即.由（1)，知平面，∴平面的一个法向量为.设平面与平面所成的锐二面角大小为，则，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19. 2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次.（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望；②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1)(2) ①见解析②该顾客选择第一种抽奖方案更合算【解析】试题分析：（1）由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为，设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，则，结合乘法概率公式得到这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；（2）①方案一：可能的取值为60，100，140，180，方案二：，故；②由①知，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.试题解析：（1）选择方案一，若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域，由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为.设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，则，所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为.（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为，每一次转盘指向20元对应区域的概率为.设获得现金奖励金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；；；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为，最终获得现金奖励金额为元，则，故，所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.②由①知，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）设点，直线分别交准线于点，问：在轴的正半轴上是否存在定点，使，若存在，求出定点的坐标，若不存在，试说明理由.【答案】(1) (2) 在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为【解析】试题分析：（1）设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），联立，消去，得.巧用韦达定理表示，从而得到抛物线的方程；（2）假设在轴上存在定点，使，设，由（1），知.明确，由，得，从而得到出定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），联立，消去，得.设，则.所以，解得.所以抛物线的标准方程为.（2）假设在轴上存在定点，使，设，由（1），知.又，设直线的斜率分别为，则，，则直线的方程为，令，得，同理，得.故.由，得，即，故，解得或(负值舍去），即在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为.点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)【解析】试题分析：（1）函数的定义域为..对a分类讨论，明确函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，即求的最小值大于等于零即可.试题解析：（1）函数的定义域为..①时，，故在区间上单调递增；②当时，令，得，令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）当时，由（1)，知函数在区间上单调递增，所以，所以恒成立，即符合题意.法一:当时，令，解得：，令，解得.①当时，，所以结合（1），知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.令，恒成立，又，所以在区间上单调递增，所以存在，使得，即存在，使得，即当时，不符合题意.②当时，，即在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，所以，显然不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.法二：当时，令，，所以，取，故在上，，不合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）求直线的直角坐标方程与圆的普通方程；（2）点为直线上的一动点，过点作直线与圆相切于点，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) . (2) 四边形的面积的最小值为1【解析】试题分析：（1）根据，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根据平方关系，把圆的参数方程转化为普通方程；（2），而.即求的最小值即可.试题解析：（1）由，得，所以直线的直角坐标方程为.由（为参数）得，所以圆的普通方程为.（2）.由切线性质，可知.当时，取最小值，所以，所以，即四边形的面积的最小值为1.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（1）求集合；（2）证明：对于任意的，恒成立•【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）利用分析法证明不等式. 试题解析：（1）不等式，即，当时，得，所以；当时，得，所以；当时，得，所以.综上，不等式的解集.（2）若证，即证，即证成立，即证，即证.∵，∴，或.∵，∴，∴，∴成立，即原命题得证.。
2018年衡水金卷信息卷 全国卷 I A模拟试题(一)理科数学(附答案)
2018年衡水金卷信息卷 全国卷 I A 模拟试题（一）理科数学（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}10,143x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则（ ）A ．AB ⋂=∅ B ．{}1,2,3A B ⋂=C ．{}14A B x x ⋃=-≤< D ．{}13A B x x ⋃=-≤≤2．已知复数z 满足()1z i i⋅-=(其中i 为虚数单位），则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知等差数列{}n a 中，1210132019a a a a π+++=，则()6cos a -=（ ）A ．B ．C ．D ．04.执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框中可以填入的条件是（ ）A ．99?n ≥B ．99?n ≤C ．99?n <D ．99?n >5.已知双曲线221:143x y C -=的一条渐近线与双曲线2C 的—条渐近线垂直，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．或D ．74或736.已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f ''=-+，则()1f x dx =⎰（ ）A ．1B ．1-C ．394D ．394-7.《九章算术》勾股章有一问题:今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其意思是:现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽.现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为（ ） A ．5573 B ．1873 C ．38 D ．588.已知函数()222cos 1f x x x -+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()()123g x g x ⋅=-，则12x x -的值可能为（ ）A ．2πB ．34πC ．πD ．3π9.已知函数()()1021,0,2,0,x x f x x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩则当0x <时，()()f f x 的展开式中系数绝对值最大的项是（ ） A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项10.从一个几何体中挖去一部分后所得组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A ．114πB ．238πC ．4πD ．2π11.已知椭圆()22220:1x y C a a b b =>>+的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上，点I 在12MF F ∆的内部，且满足121121112120MF MF F M F F IM IF F M MF MF F F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及121212IMF IMF IF F S S S ∆∆∆-=，若恒有122MF MF >成立，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．40,9⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,19⎛⎫⎪⎝⎭ 12.定义在R 上的函数()f x 若满足：()(),0Ax R f a x f a x ∈++-=，且()()2f x f b x =-，则称函数()f x 为“a 指向b 的完美对称函数”.已知()y f x =是“1指向2的完美对称函数”，且当(]1,2x ∈时，()245f x xx =-+.若函数()()5y k xf x =--在区间()3,7上恰有5个零点，则实数k的取值范围为（ ）A ．(2,1⎤⎦B ．()2,1C ．()2,+∞D ．()0,2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知ABCD 中，AC BC BD AB -=+，且()()1,,2,4AC k BD ==，则k = ．14. 已知:p 函数()4xy a =-在R 上单调递减，:12q m a m +≤≤，若p 是q 的必要不充分条件， 则实数m 的取值范围为 ．15.已知在关于,x y 的不等式组0010x y a x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，（其中0a >）所表示的平面区域内，存在点()00,P x y ，满足()()220331x y -+-=，则实数a 的取值范围是 ．16.数列{}n a 中，11322n n a a -=--（n ≥2，且*n N ∈），且11a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()34n S n λ⋅+≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为，求ABC ∆周长的取值范围.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ,11111111160,B A A C A A AA AC A B ∠=∠=︒==,,P Q分别为棱1,AA AC 的中点.（1）求证:11AC B Q ⊥；（2）求平面1PQB 与平面111A B C 所成的锐二面角的余弦值.19.2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次.（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望； ②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，过焦点F 作斜率为k 的直线交抛物线C 于,A B 两点，且3OA OB ⋅=-，其中O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程； （2）设点()1,2D ，直线,AD BD 分别交准线l 于点,G H ，问：在x 轴的正半轴上是否存在定点M ，使GM HM ⊥，若存在，求出定点M 的坐标，若不存在，试说明理由.21.已知函数()()()2ln 1f x x a x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程与圆C 的普通方程；（2）点P 为直线l 上的一动点，过点P 作直线,PA PB 与圆C 相切于点,A B ，求四边形PACB 的面积的最小值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-，不等式()24f x x +≤的解集为A .（1）求集合A ；（2）证明：对于任意的,R x y C A ∈，1xy x y+>+恒成立•试卷答案 一、选择题1-5: DABCC 6-10: CABDA 11、12：BB 二、填空题13.12-14.(),1-∞ 15.)6⎡+∞⎣ 16.23三、解答题17.解：（1）由//m n ，得)620c cosA acosB -+=（. 由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=， 即) 2sin (CcosA sin A B sinC=+=.在ABC ∆中，由0sinC >， 得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理， 得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以 24b c <+≤， 所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.18.解：（1）连接11,AB AC .∵11111,60A B AA B A A =∠=︒， ∴11A B A ∆是等边三角形.又P 为棱1AA 的中点，∴11B P AA ⊥.∵平面11ACC A ⊥平面1ABB A ,平面11ACC A ⋂平面111ABB A AA =，1B P ⊂平面11ABB A . ∴1B P ⊥平面11AA C C .∵1AC ⊂平面11AA C C ，∴11B P AC ⊥.∵111AA AC=， ∴11ACC A 是菱形.∴11AC AC ⊥.又,P Q 分别为1,AA AC 的中点， ∴1//PQ A C ，∴1AC PQ ⊥.又1PQ PB P ⋂=，∴1AC ⊥平面1B PQ . 又1B Q ⊂平面1B PQ ，∴11AC B Q ⊥. （2）连接1PC ，∵11111,60AA ACC A A =∠=︒， ∴11AC A ∆为正三角形.∵P 为1AA 的中点，∴11PC AA ⊥. 又∵平面11ACC A ⊥平面11ABB A ， 且平面11ACC A ⋂平面111ABB A AA =， 1PC ⊂平面11ACC A ，∴1PC ⊥平面11ABB A .∵111,,PC PB PA 两两垂直，∴分别以111,,PB PA PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz -.设()()(111110,1,3,3,1,0,0,AC A B A C==-=-.设平面111A B C 的一个法向量为(),,n x y z =，由1111030n AC yn A B x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令1z =，得1y x ==.即()1,3,1n =.由（1)，知1AC ⊥平面1PQB ， ∴平面1PQB 的一个法向量为(1AC =.设平面1PQB 与平面111A B C 所成的锐二面角大小为θ，则111cos AC n AC nθ⨯⋅==，即平面1PQB 与平面111A B C 所成的锐二面角的余弦值为.19.解：（1）选择方案一，若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域， 由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为41123p==.设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件A ， 则()33311327P A C ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为()()1112727729P P A P A =⋅=⨯=.（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为13，每一次转盘指向20元对应区域的概率为23.设获得现金奖励金额为X 元，则X 可能的取值为60，100，140，180. 则()3032860327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭； ()1213124100339P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()223122140339P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33311180327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭.所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为()842160100140180100279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为Y ，最终获得现金奖励金额为Z 元，则13,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()1313E Y =⨯=，所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为()()4040E Z E Y ==（元）.②由①知()()E X E Z >，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 20.解：（1）由题意知0k ≠， 设抛物线C 的标准方程为()220y px p >=，直线AB 的方程为2p x my =+（1m k =，且0m ≠），联立222y pxp x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x ，得2220y pmy p --=.设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则212122,y y pm y y p +==-. 所以2222121221344y y OA OB y y p p p ⋅=+=-=-，解得2p =.所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）假设在x 轴上存在定点(),0M a ，使GM HM ⊥， 设()()1,,1,G H G y H y --，由（1），知12124,4y y m y y +==-.又()1,2D ，设直线,AD BD 的斜率分别为12,k k ， 则1121124214y k y y -==+-，2222224214y k y y -==+-，则直线AD 的方程为()14212y x y -=-+，令1x =-，得()111228222G y y y y -=-=++， 同理，得()222228222H y y y y -=-=++.故()()1212222222G H y y y y y y --=⋅++()()()12121212424442444244244y y y y m y y y y m -++⎡⎤--⨯+⎣⎦===-+++-+⨯+. 由GM HM ⊥，得0MG MH ⋅=，即()()()21,1,10G H G H a y a y a y y --⋅--=++=，故2(14)0a +-=，解得1a =或3a =-(负值舍去），即在x 轴的正半轴上存在定点M ，使GM HM ⊥，且定点M 的坐标为()1,0.21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()21122ax f x ax x x -'=-=.①0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在区间()0,+∞上单调递增；②当 0a >时，令()0f x '>，得 0x <<，令()0f x '<，得x >所以函数()f x在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增；当 0a >时，函数()f x在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）当0a ≤时，由（1)，知函数()y f x =在区间[)1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以()0f x ≥恒成立，即0a ≤符合题意. 法一:当 0a >时，令()120f x ax x '=-=，解得：x令1，解得12a =. ①当01 2a <<时，11a >，所以结合（1），知函数()f x在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，且2111ln 1f a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1ln a a a =--+.令()1ln h a a a a =--+， ()22211110a a h a a a a -+'=-++=>恒成立， 又102a <<， 所以()h a 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以存在10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1113ln 2ln 202222h a h ⎛⎫<=--+=-< ⎪⎝⎭， 即存在10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 即当102a <<时，不符合题意. ②当12a ≥1≤， 即()0f x '≤在区间[)1,+∞上恒成立，所以函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，所以()()10f x f ≤=， 显然12a ≥不符合题意.综上所述，实数《的取值范围为U|a<0}. (12分) 法二：当0a >时，令()()ln 1,1g x x x x =-->， ()()()11010g x g x g x '=-<⇒<=，所以ln 1x x <-，取1max 1,1b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故在(),b +∞上，()()()()()()22ln 111111f x x a x x a x x a x =--<---=--+⎡⎤⎣⎦()111110x a a ⎡⎤⎛⎫<---+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为{}0a a ≤.22．解：（1）由sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得sin cos 1ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. 由1cos sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）得()2211x y ++=，所以圆C 的普通方程为()2211x y ++=.（2）2PAC PACB S S CA PA PA ∆==⋅=四边形. 由切线性质，可知PA =.当PC l ⊥时，PC 取最小值，所以min PC ==，所以min 1PA ==，即四边形PACB 的面积的最小值为1.23.解：（1）不等式()24f x x +≤， 即124x x -+≤，当1x ≥时，得51243x x x -+≤⇒≤，所以513x ≤≤；当01x <<时，得1243x x x -+≤⇒≤， 所以01x <<；当0x ≤时，得1241x x x --≤⇒≥-， 所以10x -≤≤. 综上，不等式的解集513A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）若证1xy x y +>+， 即证221xy x y +>+，即证2222212x y xy x xy y ++>++成立， 即证222210x x y y --+>， 即证()()22110x y -->. ∵513A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭， ∴{1U C A x x =<-，或53x ⎫>⎬⎭. ∵,R x y C A ∈，∴1,1x y >>，∴221,1x y >>， ∴()()22110x y -->成立，即原命题得证.。
精品解析：2018年普通高校招生全国卷 一(A) 【衡水金卷】高三信息卷 (五)文科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：,图中阴影部分表示集合，其中，则，表示为集合形式即：.本题选择A选项.2. 已知复数满足（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（）A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，为纯虚数，则：，据此可得：.本题选择B选项.3. 已知命题：，，命题：，.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，命题为真命题；，命题为假命题，考查所给的选项：是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，本题选择C选项.4. 已知函数，，则下列结论中不正确是（）A.的值域为B.的单调递减区间为C.为偶函数D. 的最小正周期为【答案】C【解析】，函数的值域为，A选项正确；，函数的单调递减区间满足：，求解不等式组可得单调递减区间为：，B选项正确；，则函数是奇函数，C选项错误；的最小正周期，D选项正确；本题选择C选项.5. 若实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示可行域内的点与点之间连线斜率的倍，观察可得，目标函数在点处取得最大值：在点处取得最小值：，故目标函数的取值范围是.本题选择C选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．6. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 25B. 26C. 24D. 23【答案】A【解析】很明显的值为奇数，且由题意可知：当时，，此时满足，当时，，此时不满足，故输出.本题选择A选项.8. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则直线P A的方程为，直线PB的方程为，点均在两直线上，故，直线AB的方程为3x+4y=4.点到直线AB的距离，则.本题选择D选项.9. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，设，则数列的前11项和为（）A. 1062B. 2124C. 1101D. 1100【答案】C【解析】设数列的公差为d，则：，解得：，数列的通项公式为，当时，，即从第二项起为等比数列，，数列的通项公式为：，分组求和可得数列的前11项和为.本题选择C选项.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体的直观图如图所示，其左侧部分是一个棱柱去掉一个棱柱组成的，右侧部分是圆柱组成的，该几何体的体积：.本题选择A选项.点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11. 已知动点满足，设点的轨迹为曲线，，为曲线上两动点，为的中点，点到轴的距离为2，则弦的最大值为（）A. 6B. 4C. 5D.【答案】A【解析】由抛物线的定义可得：轨迹E的方程为.焦点，准线l的方程为x=-1.作，垂足分别为.则，即：.综上可得：弦的最大值为6.本题选择A选项.12. 如图所示的四棱锥中，底面与侧面垂直，且四边形为正方形，，点为边的中点，点在边上，且，过，，三点的截面与平面的交线为，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为边的中点，连接与DA的延长线交于点H，则A为DH的中点，所以有AD=AH.连接FE与P A的延长线交于点G，则直线GH即为过C，E，F三点的截面与平面P AD的交线.取PB的中点O，连接OE，AO.因为，所以.所以F为的中点，所以FE//OA,即FG//OA.又易知OE//P A.即OE∥AG.所以四边形OEGA为平行四边形，从而.过点D作DM∥GH交P A于点M.则，从而得到.即M为P A的中点.又DA=DP.因此DM⊥P A.又底面ABCD与侧面P AD垂直，四边形ABCD为正方形，所以AB⊥平面P AD.从而AB⊥DM.因此DM⊥平面P AB.又DM//GH.即DM∥l.所以l⊥平面P AB.故l⊥PB，所以异面直线PB与l所成的角为.本题选择D选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 在中，中线，交于点，若，则__________．【答案】【解析】由题意可得：，，.14. 在区间上随机取两个数，，则事件“”发生的概率为__________．【答案】学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...15. 已知双曲线的渐近线方程为，，为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于，的任意一点，且，，与交于点，若点在双曲线上，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为.则：，设，则，由题意，得直线MC的方程为，直线BN的方程为.G点坐标为.将其代入双曲线方程，得.双曲线的方程为，故双曲线的离心率为.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．16. 已知函数，任取两个不相等的正数，，总有，对于任意的，总有，若有两个不同的零点，则正实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可得，f(x)在定义域内单调递增.据此可知为常数，令f(x）-lnx=t.则f(x)=lnx+t.又，，则，当0<x<l时，，当x>1时，.即函数g（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间内单调递增，则：，求解关于m的不等式可得：m>2或m<-1（舍）.综上可得：正实数的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将所给的三角恒等式整理变形可得，结合△ABC为锐角三角形可得，.（2）设的外接圆半径为，由正弦定理可得.则，利用△ABC 为锐角三角形可求得，则，周长的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴，∴，整理，得，∴或，∵，∴，即.（2）设的外接圆半径为，则，∴.∴，由题意，∴，∴，∴，∴，∴周长的取值范围是.18. 在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接交于点，则为的中点，连接.由三角形中位线的性质可得，结合线面平行的判断定理可得平面.（2）取的中点，连接，，.由几何关系可证得平面.且，则.在中，由余弦定理可得.由勾股定理可得，则等腰的面积为，设点到平面的距离为，利用体积相等列方程可得点到平面的距离为.试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接.在中，，∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点，连接，，.∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴平面.∵，，，∴，，，∴，∴.在中，，，，由余弦定理，得.∴，∴的面积为，设点到平面的距离为.∵，∴，∴.即点到平面的距离为.19. 全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队.（1）应从大三抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的分数如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.（i）从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？（ii）从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率.【答案】(1)6个(2)（i）选乙队理由：，且乙队中不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大（ii）【解析】试题分析：（1）由题意可知大三团队个数占总团队数的，则应从大三中抽取个团队.（2）（i）分别计算甲乙两组数据的平均值和方差，，，，，由于，可知选择甲组有利，成绩波动小；由于，可知选择乙组有利，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大.（ii）不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，144分的团队有2个，据此可得任取两个的情况有10个，其中两个团队都是140分的情况有3个，由对立事件概率公式可得至少有一个团队为144分的概率为.试题解析：（1）由题知，大三团队个数占总团队数的，则用分层抽样的方法，应从大三中抽取个团队.（2）（i）甲组数据的平均数，乙组数据的平均数，甲组数据的方差，乙组数据的方差，选甲队理由：甲、乙两队平均数相差不大，且，甲组成绩波动小.选乙队理由：，且乙队中不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大.（ii ）不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，分别为，，，144分的团队有2个，分别为，，则任取两个的情况有，，，，，，，，，，共10个，其中两个团队都是140分的情况有，，，共3个.故所求概率.20. 已知椭圆的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点，的距离之和为4. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，，在椭圆上，且，两点关于直线对称，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 的值为【解析】试题分析：（1）由题意可得，.则椭圆的标准方程为.试题解析：（1）由题意，，，∴，.∴椭圆的标准方程为.（2）∵，关于直线对称，设直线的方程为，联立，消去，得，，解得，设，两点的坐标分别为，，则，，设的中点为，∴，∴，又点也在直线上，则，∴，∵，∴.则.同理.∵，∴，∴，∴，∴存在实数使，此时的值为.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：时，.【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为， (2)见解析【解析】试题分析：（1）求导可得，利用导函数研究原函数的单调性可得的单调递增区间为，单调递减区间为，.（2）令，由（1）可知.令，二次求导讨论可得.由式相乘，可得（当时，取等号）.试题解析：（1），∴在区间内，；在区间内，；在区间内，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，.（2）令，由（1）可知在区间内单调递减，在区间内单调递增，.令，则，设，则，故仅有一解为，在区间内，，在区间内，，∴.由式相乘，得，即（当时，取等号）.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角，且），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）若直线经过圆的圆心，求直线的倾斜角；（2）若直线与圆交于，两点，且，点，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由题知，直线经过定点，且直线过圆心，由斜率公式可得直线的斜率为，则倾斜角为.（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得，设，两点对应的参数分别为，，由韦达定理结合直线参数方程的几何意义可得，结合角的范围和三角函数的性质可得的取值范围为.试题解析：（1）由题知，直线经过定点，圆的直角坐标方程为，圆心为，∴直线的斜率为，故直线的倾斜角为.（2）将（为参数）代入，得，当时，，设，两点对应的参数分别为，，则，，∴，∵，∴，∴，故的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的图象的对称轴为.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1)由函数的对称性可得，零点分段求解不等式可得不等式的解集(2)由绝对值不等式的性质可得，则，结合均值不等式的结论：，当且仅当，时取等号.题中的不等式得证.试题解析：（1）∵函数的对称轴为，∴，∴，由，得或或.解得或，故不等式的解集为. （2）由绝对值不等式的性质，可知，∴，∴，∴（当且仅当，时取等号）.即.。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 为实数集R ，集合{|ln(32)}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[3,)+∞D ．3,[3,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2.已知复数z 满足3(1)(34)(2)z ai i ai =++-++（i 为虚数单位），若zi为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．45 B ．2 C ．54- D ．12- 3.已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：0x R ∃∈，002sin 2cos 3x x +=.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ． ()p q ⌝∧4.已知函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21()1g x x =+，则下列结论中不正确是（ ） A ．()g x 的值域为(]0,1 B ．()f x 的单调递减区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()()f x g x ⋅为偶函数D ．()f x 的最小正周期为π5.若实数x ，y 满足113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21y z x -=的取值范围是（ ）A ．2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．25B ．26C ．24D ．238.过点(3,4)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB =（ ）A ．53-B ．52-C ．2215 D ．42159.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n b b b b +=++n b +⋅⋅⋅+，121b b ==，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（ ）A ．1062B ．2124C ．1101D ．1100 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．104π+B ．68π+C ．108π+D ．64π+11.已知动点(,)M x y 满足22(1)21x y x -+=+-，设点M 的轨迹为曲线E ，A ，B 为曲线E 上两动点，N 为AB 的中点，点N 到y 轴的距离为2，则弦AB 的最大值为（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．5412.如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形，AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.在ABC ∆中，中线AM ，BN 交于点O ，若OM AB AN λμ=+，则λμ+= ． 14.在区间[]1,1-上随机取两个数x ，y ，则事件“21y x ≥-”发生的概率为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y bx =±，A ，B 为双曲线的左，右顶点，M 为双曲线上异于A ，B 的任意一点，且0MC AB ⋅=，0BN AM ⋅=，MC 与BN 交于点G ，若点G 在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．16.已知函数()f x ，任取两个不相等的正数1x ，2x ，总有1212[()()]()0f x f x x x -->，对于任意的0x >，总有[()ln ]1f f x x -=，若2()'()()g x f x f x m m =+-+有两个不同的零点，则正实数m 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若3a =，求ABC ∆周长的取值范围.18.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，22BC AB ==，BD BA ⊥，2PA PB PD ===，M 为PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AMC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.19.全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队. （1）应从大三抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的分数如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.（i ）从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？（ii ）从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线AB ：y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使2AB CD =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 21.已知函数2()(31)xf x x x e -=++，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：0x >时，261()(33ln )f x x x x x e e⎡⎤-⋅-++≥⎢⎥⎣⎦. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角，且2πα≠），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的倾斜角； （2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且3546ππα≤≤，点(0,2)P ，求PA PB +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =. （1）求不等式()2F x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥.文数（五）一、选择题1-5: ABCCC 6-10: DADCA 11、12：AD二、填空题13.12 14. 48π- 15. 2 16. (2,)+∞ 三、解答题17.解：（1）∵25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， ∴1cos()5cos 224B C A -+-=-，∴21cos 52cos 124A A +--=-， 整理，得28cos 2cos 10A A --=，∴1cos 4A =-或1cos 2A =， ∵02A π<<，∴1cos 2A =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r ， 则322sin 32a r A===，∴1r =. ∴2(sin sin )b c r B C +=+22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62B ππ<<，∴2363B πππ<+<， ∴3sin ,162B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(3,23b c ⎤+∈⎦，∴ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.18.解：（1）连接BD 交AC 于点O ， 则O 为BD 的中点，连接MO .在PBD ∆中，//MO PB ，∵PB ⊄平面AMC ，MO ⊂平面AMC ， ∴//PB 平面AMC .（2）取AD 的中点N ，连接PN ，BN ，NC . ∵PA PD =，∴PN AD ⊥， 又∵AB BD ⊥，∴BN AN =， ∴PAN PBN ∆≅∆， ∴90PNB PNA ∠=∠=， ∴PN NB ⊥，∴PN ⊥平面ABD . ∵2BC =，1AB =，AB BD ⊥，∴2AD =，1BN =，3BD =，∴3PN =，∴13P ABC ABC V S PN -∆=⋅11311233222=⨯⨯⨯⨯⨯=. 在NDC ∆中，1ND =，1CD =，120NDC ∠=， 由余弦定理，得222cos120NC ND DC ND DC =+-⋅⋅3=.∴226PC PN NC =+=，∴PBC ∆的面积为22161562222⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， 设点A 到平面PBC 的距离为h .∵12P ABC A PBC V V --==， ∴1151322h ⨯⨯=，∴155h =. 即点A 到平面PBC 的距离为155. 19.解：（1）由题知，大三团队个数占总团队数的3003100010=， 则用分层抽样的方法，应从大三中抽取320610⨯=个. （2）（i ）甲组数据的平均数130x =甲，乙组数据的平均数131x =乙，甲组数据的方差2104.2s =甲，乙组数据的方差2128.8s =乙，选甲队理由：甲、乙两队平均数相差不大，且22s s <甲乙，甲组成绩波动小. 选乙队理由：x x <甲乙，且乙队中不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大. （ii ）不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，分别为a ，b ，c ，144分的团队有2个，分别为E ，F ，则任取两个的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a E ，(,)a F ，(,)b c ，(,)b E ，(,)b F ，(,)c E ，(,)c F ，(,)E F ，共10个，其中两个团队都是140分的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3个. 故所求概率3711010P =-=. 20.解：（1）由题意，24a =，226a b +=， ∴2a =，1b =.∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）∵C ，D 关于直线AB 对称， 设直线CD 的方程为y x t =-+，联立2214y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2258440x tx t -+-=，226445(44)0t t ∆=-⨯⨯->，解得25t <，设C ，D 两点的坐标分别为11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1285t x x +=，212445t x x -=，设CD 的中点为00(,)M x y ，∴1200042515x x t x y x t t +⎧==⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩， ∴4,55t t M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又点M 也在直线y x m =+上，则455t t m =+，∴53t m =-， ∵25t <，∴295m <.则12112CD x x =+-=⋅21212()4x x x x +-2801625t -=⋅.同理2801625m AB -=⋅.∵2AB CD =，∴222AB CD =，∴2225t m -=，∴2459415m =<， ∴存在实数m 使2AB CD =，此时m 的值为320541±. 21.解：（1）2'()(2331)xf x x x x e -=+---(1)(2)x x x e -=--+，∴在区间(,2)-∞-内，'()0f x <； 在区间(2,1)-内，'()0f x >；在区间(1,)+∞内，'()0f x <，故()f x 的单调递增区间为(2,1)-，单调递减区间为(,2)-∞-，(1,)+∞.（2）令6()()g x f x e =-，由（1）可知()g x 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，651()g(1)g x e e e ≥=-=.(*)令2()33ln h x x x x x =-++，则'()22ln h x x x =-+，设()'()s x h x =，则1'()20s x x =+>，故'()0h x =仅有一解为1x =，在区间(0,1)内，'()0h x <，在区间(1,)+∞内，'()0h x >，∴()(1)1h x h ≥=.(**)由(*)(**)式相乘，得1()()g x h x e ⋅≥， 即26()(33ln )f x x x x x e ⎡⎤-⋅-++⎢⎥⎣⎦1e ≥（当1x =时，取等号）.22.解：（1）由题知，直线l 经过定点(0,2)，圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，∴直线l 的斜率为1k =-，故直线l 的倾斜角为34π.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入22(2)4x y -+=，得24(sin cos )40t t αα+-+=，当3546ππα≤≤时，216(sin cos )160αα∆=-->，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 则124(sin cos )t t αα+=--，124t t ⋅=， ∴1212()PA PB t t t t +=+=-+4(sin cos )42sin 4πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵72412πππα≤-≤， ∴62sin 144πα+⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴23242PA PB +≤+≤， 故PA PB +的取值范围为[232,42]+.23.解：（1）∵函数()f x 的对称轴为1x =， ∴0m =， ∴()2f x x x =+-22,02,0222,2x x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，由()2f x x ≥+，得0222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或0222x x <<⎧⎨≥+⎩或2222x x x ≥⎧⎨-≥+⎩.解得0x ≤或4x ≥，故不等式()2F x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞+∞.（2）由绝对值不等式的性质， 可知2(2)2x x x x -+≥--=，∴min ()2f x M ==，∴2a b +=， ∴1214222a b a b +=+114(22)422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12814422b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭19(54)44≥⨯+=（当且仅当23a =，43b=时取等号）.即129 24a b+≥.。