衡水金卷2018年高考模拟数学(文)试题(二)有答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(五)(衡水金卷调研卷)文数试题-附答案精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}10A x x =+≥，101x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示人集合为A ．{}1x x ≥- B ．{}1x x <- C ．{}11x x -≤≤- D ．﹛1x x <-或1x ≥﹜ 2.已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．4 3.已知函数()f x 的图象关于原点对称，且在区间[]5,2--上单调递减，最小值为5，则()f x 在区间[]2,5上A ．单调递增，最大值为5B ．单调递减，最小值为5-C ．单调递减，最大值为5-D ．单调递减，最小值为54.已知直线231x +=与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，与直线0x y +=交于点C ，若OC OA OB λμ=+（O 为坐标原点），则λ，μ的值分别为 A ．2λ=，1μ=- B ．4λ=，3μ=- C. 2λ=-，3μ= D ．1λ=-，2μ=5.已知122log 3a =，22log 3b =，1232c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32d e =，则A ．d c a b >>>B ．d b c a >>> C.c d a b >>> D ．a c b d >>>6.已知0a >，0b >，则点()1,2P 在直线b y x a =的右下方是双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围为()3,+∞的A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α，则可以推出//αβ的是 A ．①③ B ．②④ C. ①④ D ．②③ 8.已知直线2y =与函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的相邻两个交点间的距离为6，点()1,3P 在函数()f x 的图像上，则函数()()12log g x f x =的单调递减区间为A ．()()6,26k k k Z ππππ-+∈B ．(),63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C. ()11,63k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()()61,26k k k Z -+∈ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n 的值为4，则输入的x 的取值范围为A ．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,13 C.[)9,33 D ．913,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A ．295937144a ππ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．2959144a ππ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C.29593744a ππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．295937144a ππ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A ．18 B ．1136 C.1564D ．14 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()102f =，则不等式()102x f x e -<的解集为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,+∞ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),0-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,2,2,2,x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()()()3ff f -的值为 ．14.已知命题:P x R ∀∈，()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为 ．15.已知()222210x y a b a b +≤>>表示的区域为1D ，不等式组0,0,0,bx cy bc bx cy bc bx cy bc bx cy bc -+≥⎧⎪--≤⎪⎨+-≤⎪⎪++≥⎩表示的区域为2D ，其中()2220a b c c =+>，记1D 与2D 的公共区域为D ，且D 的面积S 为23，圆2234x y +=内切于区域D 的边界，则椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为 ．16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 22n n n a b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表： 特征量1 2 3 4 5 6 7 x98 88 96 91 90 92 96 y9.98.69.59.09.19.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=，2PD a =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，三棱锥P EAD -的体积为183，求a 的值. 20. 已知动圆C 恒过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线12x =-相切.（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数()()322316f x x a x ax =-++，a R ∈.（1）若对于任意的()0,x ∈+∞，()()6ln f x f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，设函数()f x 在区间[]1,2上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，记()()()h a M a m a =-，求()h a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线11,2:322x t l y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=时，有a b c k ++≤成立.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB二、填空题13.2log 3 14.5,24⎛⎤⎥⎝⎦15.12或32 16.4062.5 三、解答题17.解：（1）由134n n a a +=+， 得()1232n n a a ++=+， 即1232n n a a ++=+，且123a +=,所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以12333n n n a -+=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为()*32n n a n N --∈.（2）由（1）知，23n n a +=，所以3log 333n n n n nb ==. 所以1231231233333n n nnT b b b b =++++=++++.① 234111231333333n n n n nT +-=+++++.② ①-②，得234211111333333n n T =+++++13n n += 11111331113223313nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=--⋅-， 所以332323044343443n n n nn n T +=-=-⋅⋅⋅.故数列{}n b 的前n 项和323443n n n T +=-⋅. 18.解：（1）由题得，98889691909296937x ++++++==. 9.98.69.59.09.19.29.89.37y ++++++==.()()()()198939.99.3niii x x y y =--=-⨯-+∑()()()()88938.69.396939.59.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()91939.09.390939.19.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()92939.29.396939.89.39.9-⨯-+-⨯-=()()()()22221989388939693nii x x =-=-+-+-∑()()()()2222919390939293969382+-+-+-+-=.所以()()()1219.90.1282niii nii x x y y b x x ==--==≈-∑∑. 9.30.1293 1.86a =-⨯=-.所以线性回归方程为0.12 1.86y x =-. （2）由于0.120b =>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.当95x =时，0.1295 1.869.5y =⨯-≈.（3）由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有()88,90，()88,91，()88,92，()90,91，()90,92，()91,92，共6种.则这两个人中至少有一个分数在90分以下的情况有()88,90，()88,91，()88,92，共3种. 故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率3162P ==.19.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥. 又四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又PDBD D =，所以AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ， 所以平面EAC ⊥平面PBD .（2）因为//PD 平面EAC ，平面EAC平面PBD OE =.所以//PD OE .又O 为AC 与BD 的交点， 所以O 是BD 的中点，所以E 是PB 的中点. 因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=， 所以取AD 的中点H ，连接BH ，可知BH AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD BH ⊥. 又PDPD D =，所以BH ⊥平面PAD . 由于AB a =，所以32BH a =. 因此E 到平面PAD 的距离11332224d BH a a ==⨯=， 所以3111332183332412P EAD E PAD PAD V V S d a a a a --∆==⨯=⨯⨯⨯⨯==. 解得6a =，故a 的值为6. 20.解：（1）由题意得，点C 与点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离始终等于点C 到直线12x =-的距离.因此由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹为以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，12x =-为准线的抛物线.所以122p =，即1p =. 所以圆心C 的轨迹方程为22y x =. （2）由圆心C 的轨迹方程为22y x =，可设()2112,2A t t ，()2222,2B t t ，()120t t ≠， 则()21323,2PA t t =-，()22223,2PB t t =-，由A ，P ，B 三点花线，可知()()2212232322320t t t t -⋅--⋅=，即()()()()22122231122312123223230230230t t t t t t t t t t t t t t t t --+=⇒-+-=⇒+-=.因为12t t ≠，所以1232t t =-. 又依题得，直线OA 的方程为11y x t =. 令3x =-，得133,M t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 同理可知133,N t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 因此以MN 为直径的圆的方程可设为()()1233330x x y y t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 化简得()22121233930x y y t t t t ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭，即()()212212123930t t x y y t t t t +++++=. 将1232t t =-代入上式，可知()()22123260x y t t y ++-+-=， 在上式中令0y =，可知136x =-+，236x =--，因此以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为12363626x x -=-+++=，为定值. 21.解：（1）因为()()()2616ln f x f x a x x +-=-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以()2ln 1xa x-+≥. 令()2ln x g x x =，0x >，则()'212ln x g x x -=. 令()'0g x =，则x e =.当()0,x e ∈时，()'0g x >，()g x 在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 在区间(),e +∞上单调递减.所以()()max 12g x g e e==， 所以()112a e -+≥，即112a e≤--， 所以实数a 的取值范围为1,12e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦. （2）因为()()322316f x x a x ax =-++， 所以()131f a =-，()24f =.所以()()()()'2661661f x x a x a x x a =-++=--. 令()'0fx =，则1x =或a .①若513a <≤， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0fx >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f ≤，所以()()24M a f -=，()()323m a f a a a ==-+，所以()()()()32324334h a M a m a a a a a =-=--+=-+.因为()()'236320h a a a a a =-=-<，所以()h a 在区间51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以当51,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()h a 的最小值为58327h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若523a <<， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0f x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f >，所以()()131M a f a =--，()()323m a f a a a -=-+.因为()()2'2363310h a a a a =-+=->， 所以()h a 在区间5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以当5,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()58327h a h ⎛⎫>=⎪⎝⎭. ③若2a ≥， 当()1,2x ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,2上单调递减，所以()()131M a f a ==-，()()24m a f -=.所以()()()31435h a M a m a a a =-=--=-，所以()h a 在区间[)2,+∞上的最小值为()21h =.综上所述，()h a 的最小值为827. 22.解：（1）将直线11,2:322x t l y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ， 得3320x y ++-=，故直线l 的普通方程为3320x y ++-=.将曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为()()22124x y -+-=， 即222410x y x y +--+=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=.（2）由（1）可知，圆心()1,2C 到直线:3320l x y ++-=的距离为()23232331d ++-==+. 则222432AB R d =-=-=（R 为圆C 半径）. 所以1123322ABC S AB d ∆=⨯=⨯⨯=. 故所求ABC ∆面积为ABC ∆的面积为3.23.解：（1）由题知，()3,2,21,21,3. 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩所以()2f x ≥，即32,2x -≥⎧⎨<-⎩或212,21x x +≥⎧⎨-≤≤⎩或32,1.x ≥⎧⎨>⎩解得12x ≥. 故原不等式的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为()21213f x x x x x =+--≤+-+=（当且仅当()()210x x +-≥时取等号）， 所以3k =，因此有3a b c ++=. 所以111a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅111333322222a b c a b c +++++++≤++===（当且仅当1a b c ===时取等号）， 故不等式a b c k ++≤得证.。
衡水金卷模拟试题及答案
衡水金卷模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列关于光合作用的说法，错误的是：A. 光合作用是植物特有的生理过程B. 光合作用需要光照C. 光合作用的产物是氧气和葡萄糖D. 光合作用发生在叶绿体中2. 根据达尔文的进化论，生物进化的驱动力是：A. 基因突变B. 自然选择C. 人工选择D. 环境适应性3. 以下哪个化学元素不是生命的基本元素？A. 碳B. 氢C. 氮D. 铅4. 牛顿第二定律描述的是：A. 力是物体运动的原因B. 物体加速度与作用力成正比C. 物体质量与作用力成正比D. 物体加速度与物体质量成反比5. 以下哪个不是生态系统的基本组成部分？A. 生产者B. 消费者C. 分解者D. 非生物环境6. 根据热力学第二定律，以下说法正确的是：A. 能量可以完全转化为机械能B. 能量守恒定律不成立C. 能量转化具有方向性D. 能量转化过程中熵不增加7. 以下哪个是有机化学反应？A. 氢气还原氧化铜B. 铁与盐酸反应C. 乙醇与水的酯化反应D. 碳酸钙受热分解8. 根据相对论，以下说法正确的是：A. 时间是绝对的B. 质量与能量可以相互转化C. 光速在不同惯性系中是不同的D. 物体运动速度越快，质量越小9. 以下哪个不是遗传的基本规律？A. 孟德尔的分离定律B. 孟德尔的独立分配定律C. 染色体的连锁与交换定律D. 达尔文的自然选择定律10. 以下哪个是细胞周期的阶段？A. G1期B. S期C. G2期D. 所有选项都是答案：1. A2. B3. D4. B5. D6. C7. C8. B9. D10. D二、填空题（每空1分，共10分）1. 光合作用中，光能被转化为_________能。
2. 达尔文的进化论认为，生物进化的结果是_________的结果。
3. 牛顿第三定律指出，作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在_________上。
4. 热力学第一定律是_________定律的另一种表述。
2018年河北省衡水金卷高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题(二)(解析版)
【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷全国卷I A模拟试题（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，，故选B.2. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】，，，故选A.3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：若满足回归方程，则以下为真命题的是（）A. 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度B. 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度C. 所有样本点的中心为D. 当时，的预测值为13.5【答案】D【解析】由，得每增一个单位长度，不一定增加，而是大约增加个单位长度，故选项错误；由已知表格中的数据，可知，，回归直线必过样本的中心点，故错误；又，回归方程为，当时，的预测值为，故正确，故选D.4. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的定义可知的周长为，设三角形内切圆半径为，所以的面积，整理得，又，故得椭圆的离心率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据三角形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．5. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（）A. 4B.C.D. 6【答案】C【解析】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，由题意，得四棱锥的体积为，当且仅当，即时，取等号，设的中点分别为，则堑堵的外接球的球心应恰为线段的中点，又，则堑堵的外接球的半径满足，故，故堑堵的外接球的体积为，故选B.7. “”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在区间上是单调递减的，当时，函数在区间上也是单调递减的，所以充分性成立，当时，在区间上也是单调递减的，故必要性不成立，“”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的充分不必要条件，故选A.8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由程序框图的功能可知，输出，此时，判断框内应填，故选A.9. 如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.10. 某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（）A. 114种B. 150种C. 120种D. 118种【答案】A【解析】将种荣誉分给人，共有和两类. ①当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有；②当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有种，综上，不同的分配方法共有种，故选A.11. 如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，而由运动到的中点的过程中，，由相似三角形，可知为定值，设正方体的边长为，当为线段的中点时，，则的面积为，故选D.12. 已知为函数的导函数，当是斜率为的质询案的倾斜角时，若不等式恒成立，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可知，，，，即，令，则，即在区间内单调递增，由，可知不正确，由可得，正确，故选D.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，则其最小正周期为_______.【答案】【解析】因为函数，函数，则其最小正周期为，故答案为.14. 过，两点的光线经轴反射后所在直线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】点关于轴的对称点为，则直线的方程为，即，因为反射后所在直线与圆存在公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，故实数的取值范围是，故答案为.15. 如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______.【答案】【解析】不妨设正方形的边长为，作，垂足为，由，得平面，故，又，得平面，故直线在平面内的射影为，易知，则与平面所成的角为与平面内的直线所成的最小角为，而直线与所成角的最大角为（当与重合时，与所成角为的），所以直线与所成角的取值范闱为，故答案为.16. 已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.【答案】12【解析】设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即，，设，在中，由余弦定理可知，即，，令，则，则，当时，即时，有最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及最值问题，属于难题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.本题(2)求值域时主要应用方法①求解的.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）当时，；当时，，对不成立，从而可得数列的通项公式；（2）当时，，当时，，利用裂项相消法可得，再验证时，是否成立即可.试题解析：（1）当时，；当时，，对不成立，所以数列的通项公式为.（2）当时，，当时，所以又时，符合上式，所以（）.【方法点晴】本题主要考查数列的通项公式与求和，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）连接，因为是的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明与垂直，再以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值.试题解析：(1)连接，因为，底面等边三角形，又因为是的中点，所以又因为，所以平面.（2）因为，由（1）可知，而，所以以为原点，以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，由题得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为所以，即令得所以，所以由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.①求随机变量的分布列；②求随机变量的数学期望.参考数据如下：参考格式：，其中【答案】(1)见解析;(2)①见解析.②见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中数据可完成列联表，利用公式：求得，与邻界值比较，即可得到结论；（2）①选中的人中“使用手机支付”的人数为的可能取值为利用组合知识，根据古典概型概率公式公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；②由①利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）列联表如下：的观测值，所以有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关.（2）①由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列是②.20. 已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设，由题得，则，，由化简即可得动点的轨迹的方程；（2）设点，，根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程可得直线的方程为，从而得点的坐标为，由恒成立得解得，进而可得结果.试题解析：(1)设，由题得又，∴，，由，得，即，∴轨迹的方程为.（2）设点，，由，得，∴，∴直线的方程为令，可得，∴点的坐标为，∴，（*）要使方程（*）对恒成立，则必有解得.即在轴上存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.21. 已知函数.（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值情况；（2）先证明，即在区间内单调递增，根据零点存在性定理， 存在，使得，可得以，要证，只需证，即，记，其中，利用导数可证明单调递增，故当时，，即可得，进而可得结果.试题解析：（1）由题意，得，故，故，.令，得①当时，，或；,所以在处取极大值，在处取极小值.②当时，，恒成立，所以不存在极值；③当时，，或；,所以在处取极大值，在处取极小值.综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.（2），定义域为，，而，故，即在区间内单调递增又，，且在区间内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.所以存在，使得，且当时，；当时，，所以当时，，由得单调递增；当当时，，由得单调递减；若在区间内有两个不等实根（）则.要证，即证又，而在区间内单调递减，故可证，又由，即证，即记，其中记，则，当时，；当时，，故而，故，而，所以，因此，即单调递增，故当时，，即，故，得证.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.（1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）圆的参数方程利用平方法消去参数可得出圆的普通方程，，圆的极坐标方程两边同乘以利用即可得圆的直角坐标方程；（2）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在直线方程为，利用点到直线距离公式及勾股定理求出弦长，由三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）因为圆：（为参数），所以圆的普通方程是因为圆：，所以圆的直角坐标方程是.（2）因为圆：，圆：，两式相减，得，即公共弦所在直线为，所以点到的距离为，所以公共弦长为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）求的最大值.【答案】(1)12;(2).【解析】试题分析：（1）利用柯西不等式可得，结合即可得的最大值；（2）原式，因为，从而可得结果.试题解析：（1），当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12.（2）原式因为，当且仅当，即时，取等号所以原式，故原式的最大值为.。
模拟试卷】衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(二)试题Word版含答案
模拟试卷】衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(二)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合$A=\{x|y=x^2-2x\}$，$B=\{y|x^2+1\}$，则$A\cap B=$（）A。
$[1,+\infty)$B。
$[2,+\infty)$C。
$(-\infty,2]\cup[2,+\infty)$D。
$(-\infty,+\infty)$2.已知$a\in R$，且$a>0$，$i$是虚数单位，$\frac{a+i}{2+i}=2$，则$a=$（）A。
4B。
32C。
19D。
253.已知$\theta$为直线$y=3x-5$的倾斜角，若$A(\cos\theta,\sin\theta)$，$B(2\cos\theta+\sin\theta,5\cos\theta-\sin\theta)$，则直线AB的斜率为（）A。
3B。
-4C。
$\frac{11}{3}$D。
$-\frac{3}{4}$4.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线与抛物线$y=x^2+1$相切，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
$\sqrt{2}$D。
$\sqrt{5}$5.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）A。
$\frac{3}{11}$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{7}{25}$D。
$\frac{9}{25}$6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由XXX所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请XXX算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入$m,n$分别代表钱数和果子个数，则符合输出值$p$的为（）A。
【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(二,压轴卷)数学(文)试题
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分1 50分。
考试用时1 20分钟。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1．已知集合{}{}21,,26A x x n n N B x x ==-∈=-<<，则A B= A ．{1，3，5) B ．{一1，1，3，5) C ．[一1，5] D ．(--2，6) 2．下列各式的运算结果为2i 的是A ．234i i i i +++B ．3i i -C ．(2)1i i +-D ．13i i+3．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如 下图，则不通过计算从图中数据的变化不能反映的数字特征是 A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数4．已知在底面为菱形的直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BD1=42，若∠BAD 60︒=，则异面直线B 1C 与AD 1所成的角为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的 数字之和为20，则称该图形是“和谐图形’’．已知其中四个三角形上的 数字之和为14．现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个 三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形’’的概率为A ．310 B ．15 C ．110 D ．3206.已知函数y =f (x )在区间(-∞，0)内单调递增，且f (-x )=f (x ),若a =3 1.2121(log ),(2),()2f b f c f -==，则a ，b ，c 的大小关系为A. a >c >bB. b >c >aC. b >a >cD. a >b >c 7.执行如图所示的程序框图，则输出的m 值为 A.6 B.7 C. 8 D. 9 8. 关于函数1()2sin()26f x x π=+的图象或性质的说法中，正确的个数为①函数f (x )的图象关于直线83x π=对称， ②将函数f (x )的图象向右平移3π个单位所得图象的函数为 1()2sin()23f x x π=+③函f (x ) 在区间5(,)23ππ-上单调递增 ④若f (x )=a ，则1cos()233ax π-=A.1B. 2C. 3D. 49.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如图所示，则 该几何体外接球的面积为A. 2a πB. 22a πC. 23a πD. 24a π10.已知F 是抛物线C:y 2=16x 的焦点，过F 点作x 轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为P ，过P 点作直线x =-6的垂线，垂足为M ，直线x =-6与x 轴的交点为K ，在四边形KFPM 内作椭圆E.则面积最大的椭圆E 的内接矩形的最大面积为A. 42B. 62C.32D.4011.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且a =1,4S b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为 A. 4π B. 2π C.π D.2π12.已知函数f (x )是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，f (x )为其导函数，当x >0且2x ≠时，'(2)[2()()]x f x xf x -+<0，若曲线y =f (x )在点(2.f (2))处的切线的斜 率为一4，则f (2)的值为A. 4B. 6C. 8D. 10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)文科数学(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得又，所以，选B.2. 若，，则角是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】由，得，又，所以，所以为第四象限角，选D.3. 已知复数，（其中为虚数单位，），若的模等于，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以，所以选C.4. 已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，代入下式，选A.5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，记，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数是定义在上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),所以，而且在区间上单调递增，所以，选A.【点睛】由函数的单调性比较函数值的大小，关键要把所以x值全转化到函数的同一个单调区间，通过比较x的大小，进一步比较出函数值的大小。
6. 《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有则，所以，故选C.【点睛】本题的关键是转化为等差数列型，而对于等差数列，我们常用基本量，用这两个基本量来表示所有量。
7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，双曲线与圆（）在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，根据双曲线定义，有即，故选C. 8. 已知一几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图可知，选项D对的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是D,选D.9. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以=，而，所以= ，所以=，选A.10. 已知函数有两个零点，，且满足，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，画出可行域，如下图，B(1,0),C(-,0).目标函数z=几何意义为可行域内的点到定义P(-2,2)连线的斜率，由图可知，，选A.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，，.（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过点作直线分别交抛物线与直线于点，（如图所示），若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点P作PA垂直于直线于点A，设直线与x轴交于点B,由抛物线的定义，可知|PA|=|PF|,易知所以，设|PF|=t，由，得|QP|=2t,所以，故选C.【点睛】过焦点的直线与准线相交，常通过抛物线上的点向准线作垂线，这样可以用抛物线定义与两直角三角形相似的几何方法解题。
【衡水金卷压轴卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【详解】因为集合，所以，故选：.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2. 下列各式的运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数形式的代数运算化简各选项即可得到答案.【详解】；；.故选：.【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，各抽测件进行测量，其结果如下图，则不通过计算从图中数据的变化不能反映的数字特征是（）A. 极差B. 方差C. 平均数D. 中位数【答案】C【解析】【分析】根据频数分布折线图逐一进行判断即可.【详解】由于极差反映了最大值与最小值差的关系，方差反映数据的波动幅度大小关系，平均数反映所有数据的平均值的关系，中位数反映中间一位或两位平均值的大小关系，因此由图可知，不通过计算不能比较平均数大小关系.故选：.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，方差或标准差越小，则数据分布波动较小，相对比较稳定．4. 已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接交于点，（或其补角)为异面直线与所成的角，转化到三角形中即可求出. 【详解】连接，四边形为菱形，，.又为直角三角形，，得，四边形为正方形.连接交于点，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形，，故异面直线与所成的角为.故选：.【点睛】求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．5. 如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为.现从中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由“和谐图形”得到满足题意的情况共两种，利用古典概型概率公式即可求出.【详解】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从中任取两个数字的所有情况有，，，共种，而其中数字之和为的情况有，共种，所以所求概率.故选：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．6. 已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性把自变量转化到同一单调区间即可比较大小.【详解】，且，.又在区间内单调递增，且为偶函数，在区间内单调递减，，.故选：.【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能，结合已知进而计算得解m的值．【详解】初始值:，第一次运行:；第二次运行：；第三次运行:；第四次运行:，运行终止，因此输出.故选：.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 关于函数的图象或性质的说法中，正确的个数为（）①函数的图象关于直线对称；②将函数的图象向右平移个单位所得图象的函数为；③函数在区间上单调递增；④若，则.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】①令得到对称轴，即可作出判断；②根据平移变换知识可知正误；③求出其单调增区间即可作出判断；④利用配角法即可得到结果.【详解】令，解得，当时，得到，故①正确；将函数的图象向右平移个单位，得，故②错误；令，故③错误；若，则，故④错误.故选：.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.9. 某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得该几何体为同底面不同棱的两个三棱锥构成，补成正方体即可求出该几何体外接球的面积【详解】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示:该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选：.【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．10. 已知是抛物线的焦点，过点作轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴的交点为，在四边形内作椭圆，则面积最大的椭圆的内接矩形的最大面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】明确四边形的边长，在其内作面积最大的椭圆应与各边相切，可知所作的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，利用三角换元知识即可得到最值.【详解】由，得，即，则，当时，，所以，则四边形为边长分别为与的矩形，故在其内作面积最大的椭圆应与各边相切，可知所作的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，又在椭圆内作内接矩形的最大面积记为，易知 (为参数)，因此，故选：.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．11. 在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理与面积公式结合条件可得∠A的值，然后利用正弦定理可得外接圆的直径，进而得到外接圆的面积.【详解】在中，由余弦定理，得，既有，又由面积公式，得，即有，又，所以，所以.因为，所以，又由正弦定理，得，其中为外接圆的半径，由及，得，所以外接圆的面积.故选：.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12. 已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令g （x ）=x 2f （x ），讨论x ＞2，0＜x ＜2时，g （x ）的单调区间和极值点，可得g′（2）=0，即有f （2）+f′（2）=0，由f′（2）=﹣4，即可得出．【详解】当且时，，可得时，；时，，令，，则，可得当时， ；当时，，所以函数在处取得极大值，所以，又，所以.故选：.【点睛】用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13. 已知向量，其中，且与垂直，则的值为__________．【答案】【解析】 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由+与垂直，能求出实数x 的值．【详解】由题可知， ，因为与垂直，所以，即，即.故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14. 过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且该直线与轴的交点为，若(为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围为__________． 【答案】【解析】 【分析】由可得从而得到双曲线的离心率.【详解】不妨设渐近线方程为，右焦点，则点到渐近线的距离为.又在方程中，令，得，所以.由|FP<OQ|，可得，可得，即得，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．15. 已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为，且满足.记的轨迹为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为，且满足.记的轨迹为，按上述规律一直进行下去，…，记，且为数列的前项和，则满足的最小正整数为__________．【答案】5【解析】【分析】由题意可知轨迹分别是半径为的圆，故，求出，解不等式足即可.【详解】由题设可知轨迹分别是半径为的圆.因为，所以，所以.由，得，故最小的正整数为.故答案为：5【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查数列递推公式、两点间距离公式、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16. 某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共个，生产一个遥控小车模型需分钟，生产一个遥控飞机模型需分钟，生产一个遥控火车模型需分钟，已知总生产时间不超过分钟，若生产一个遥控小车模型可获利元，生产一个遥控飞机模型可获利元，生产一个遥控火车模型可获利元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元【答案】【解析】【分析】依题意，每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车,根据题意即可得出每天的利润；先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值．【详解】设每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车模型，依题得，实数满足线性约束条件目标函数为，化简得，作出不等式组表示的可行域(如图所示)：作直线，将直线向右上方平移过点时，直线在y轴上的截距最大，由得所以，此时（元）.故答案为：5000【点睛】本题考查线性规划的实际应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设正项等比数列的前项和为，已知.(1)记，判断:数列是否成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；(2)记，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)设等比数列的首项为，公比为，求出进而得到，结合等差数列定义即可作出判断；(2)由（1）可知，.利用裂项相消法求出，即可求出最小正整数的值.【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，由，得（舍）.当时，，所以.所以，所以，则，所以，因此，且，故数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可知，.则.令，解得，又，所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，在四棱锥中，底面，，，以为圆心，为半径的圆过点.(1)证明:平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）要证平面，转证即可；（2）三棱锥的体积，在中利用解三角形知识求出其面积即可.【详解】（1）由底面，可知.又以为圆心，为半径的圆过点，所以.又因为，所以.在中，有，所以，即.又，所以平面.（2）由（1）可知，，所以.又由已知及（1）可知，，所以.在中,设，则由余弦定理,得，即,即，解得.且，所以.因为底面,所以三棱锥的体积，故三棱锥的体积为.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19. 下表是某学生在4月份开始进人冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；(1)请画出上表数据的散点图；(2)①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=，分数取整数)附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)(2) ①②【解析】【分析】（1）把所给的5对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出的值，得到线性回归方程；根据上一问所求的线性回归方程，把代入线性回归方程 (分)，净提高分为 (分)，即可估计该生4月份后复习提高率．【详解】(1)散点图如图:(2)①由题得,，，,，，所以，，故关于的线性回归方程为.②由上述回归方程可得高考应该是第六次考试,故，则 (分),故净提高分为 (分)，所以该生的复习提高率为.【点睛】求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 已知函数，.(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；(2)证明:方程有且只有一个实数根.【答案】(1) (2) 见解析【解析】【分析】（1）依题意,得恒成立,即在区间内恒成立；（2）方程有且只有一个实数根即证明函数的图象与直线有且只有一个交点.令，研究其图象变化趋势即可.【详解】(1)由题得,函数的定义域为由，得，依题意,得恒成立,所以在区间内恒成立,所以.而,当且仅当,即时，等号成立，故，因此实数的取值范围为.(2)令,即,即，也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点.由，得记,所以令，当时,,在区间内单调递减;当时,,在区间内单调递增，所以当时,有有极小值，故，因此在区间内单调递增，又因为当,且时,,当时,,因此函数的图象与直线有且只有一个交点,故方程有且只有一个实数根.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴恰好是圆的一条直径.(1)求椭圆的方程(2)设分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上不同于的任意点，是否存在直线，使直线交直线于点，且满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由e===，2b=4，联立解出即可得出；（2）由题意知, 设，直线的方程为，则，又点在椭圆上,.从而故存在实数的值.【详解】(1)由题可知,.联立，故椭圆的方程为.(2)由题意知,,设，则直线的方程为.设存在直线满足条件,则当时，，所以.又点在椭圆上,所以，所以，，.因为，所以，即，又由题可知，所以，所以存在满足条件.【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，曲线，(为参数)在以原点为极点轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程(2)设曲线与圆E相交于两点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用sin2α+cos2α=1可得曲线C的普通方程，利用及其ρ2=x2+y2即可得到圆的直角坐标方程；（2）联立曲线与圆E的普通方程可得两点坐标，从而得到的值.【详解】(1)由消去参数，可得.所以曲线的普通方程为.将，，代人中,得，即圆的直角坐标方程为.(2)联立化简,得，解得或(舍).当时，，设直线与轴交于点，数形结合，得，所以，故的值为.【点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，证明:.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）讨论x的取值范围，去掉绝对值，从而得到不等式的解集；（2）利用作差法证明不等式.【详解】（1）当时，恒成立，所以；当时，，所以，综合可知，不等式的解集为. （2）因为，又因为，所以，因此，所以，所以原不等式成立.【点睛】作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.。
河北省衡水金卷压轴卷全国统一考试模拟试题理科数学(二)---精校解析Word版
已知集合,（D.，然后再求出【详解】由题意得．复数满足∵，，，．前三个路口遇到红灯的概率均为第四个路口遇到红灯的概率为则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（【答案】前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为．．已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点为渐近线上一点且在第一象限若,则双曲线的离心率为（C. D.为直角三角形，又得所以故得的倾斜角为，即，由此可得离心率．【详解】设为正三角形，直线的倾斜角为，离心率将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量利用和则B. C. D.【答案】D，进而可得，然后再根据两角和的正弦公式求解即可．∵，又为锐角，故选D．A. B. C. D.第一次：第二次：第三次：第四次：第五次：第六次：第七次：时，的值为（C. D.运用赋值法求解，令，得，．故选C．B.D.故几何体的表面积为,B.【答案】D可得，，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论．∵整理得．，解得，所以，由于，解得，，所以C成立．，所以【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式10.若函数在区间则B.D.【答案】在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间的单调区间为，．函数在区间内没有最值，在区间内单调，，解得．，得时，得；时，得，又，故的取值范围是函数在区间的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化过抛物线上两点若两切线垂直且交于点则直线【答案】B并结合点的坐标求得．再根据两切线垂直可得抛物线的方程为，设出直线方程，联立消元后根据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距，于是可得直线方程．【详解】由，得，则抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，解得又两切线交于点，，故得．∵过两点的切线垂直，，故，故得抛物线的方程为．的斜率存在，可设直线方程为整理得和可得的方程为中，正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为与底面切于点的体积之比为（【答案】B，由题意可得．，．，解得．把面单独拿出来分析，如图．的中心，，．D作于，则，为等边三角形，故选B．【点睛】解答本题时注意：中,与【答案】【解析】与分别用表示，通过求【详解】设，，．，．与的夹角为【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根,组成的区域为作关于直线,和点内的任一点,则的最小值为【答案】，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为表示的区域，如下图阴影部分所示．由题意得三个交点的坐标分别为．结合图形可得区域内的点到直线的距离最小，且最小值为．由题意得的最小值为因此所求的最小值为【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，满足,当,且斜率为的直线与个交点【答案】【解析】为偶函数且图象的对称轴为，由此得到函数的周期为∵，即的周期为时，，结合函数的周期性，画出函数且斜率为的直线方程为．结合图象可得：联立消去整理得，，得(舍去)时，点与点，此时直线与有两个交点，又，相切，将两式联立消去整理得，得(所以当时有三个交点．综上可得的取值范围为．【点睛】已知函数有零点(方程有根中,【答案】【解析】中由题意可得，故得．过点，交的延长线于点，根据平行线，且．然后在中，由正弦定理得【详解】在中，，，．过点作，交的延长线于点，如下图，，．中，由正弦定理得【点睛】本题考查正弦定理在几何中的应用，同时也考查三角变换的应用，解题时要注意平面几何知识的利用，并由此寻求解三角形所需要的条件，然后再根据正弦（余弦）定理求解．在数列已知,求数列或，可得由以上两式消去的公比为，，整理得，解得或）得，当，此时数列为等比数列，，此时数列【点睛】本题考查定比数列的定义及其通项公式的求法，解题时要根据所给出的条件并结合等比数列的有平面平面平面四边形为正方形，,在棱为的中点为平面平面,使得平面平面?使得平面平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形平行四边形，于是，可得平面．又可根据条件得到平面的判定定理可得结论．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解．【详解】(1)∵平面平面平面平面平面.平面，∴四边形为平行四边形，．平面平面平面．，又平面平面平面．平面平面，平面平面）在中，由余弦定理得，，∴为直角三角形，且，平面可得两两垂直.依次为则的一个法向量为，即，解得，．设平面的一个法向量为，，得，平面化简得，，故此方程无解，平面【点睛】立体几何中，对于“是否存在”型问题的解答方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步，期中在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系后与临界值表对照可得结论．；设获得某高校自主招生通过的人数为，则可得的分布列．结合可得通过的人数为因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，∴的分布列为．列联表；②根据公式计算的值；③比较的值可以确定在多大程度上认为“两个分类变量有关系”；的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握越大．已知椭圆的方程为其离心率且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为作轴的垂线,垂足为,点满足,的轨迹为曲线.求曲线）若直线与曲线且交椭圆于,的面积为的面积为，设，，得根据代入法可得曲线的方程为设直线的方程为，由与圆相切可得．将与，从而得到，求得，，.，，得代人椭圆方程得曲线的方程为由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，，即.消整理得又直线与椭圆交于，故得，，.，.，当且仅当，即时，等号成立．的最大值为．【点睛】求解解析几何中的范围（最值）问题时，可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数知函数与在交点的解析式；已知若函数的取值范围(1)。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，集合{}1,0,1,3A =-，集合{}3,2,1,3B =---，则()U C A B ⋃=（ ） A ．{}3,2,1-- B ．{}2,1,1-- C ．{}2 D ．{}1,2,3-2. 已知复数z 满足()20181z i i +=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数()()2ln 214f x x x=++-的定义域为（ ）A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A 33B 33π323π5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线4310x y ++=垂直，且焦点在圆()22126x y +-=上，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=6.执行如图所示的程序框图，若输入的0.05t =，则输出的n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1133,2n n a a S ++==，则5a =（ ） A ．33 B ．43 C ．53 D ．638.已知将函数()()sin 206f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π，则函数()g x 的—个对称中心为（ ） A ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）A ．812π+B ．816π+C ．912π+D ．916π+10.已知实数,x y 满足约束条件0,20,3,x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩当且仅当1x y ==时，目标函数z kx y =+取大值，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．()1,+∞11.已知0a >，命题:p 函数()()2lg 23f x ax x =++的值域为R ，命题:q 函数()ag x x x=+在区间()1,+∞内单调递增.若p q ⌝∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎛⎤⎥⎝⎦12.若函数()ln ,0,0x x f x x x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩与()1g x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．RB ．(],e -∞-C ．[),e +∞D ．∅第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，20BD CD +=u u u r u u u r，若(),AD mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则n = ．14.已知焦点在x 轴上的椭圆222121x y m m +=+的一个焦点在直线220x y -+=上，则椭圆的离心率为 ．15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin cos sin 1cos C A B C =-，且,33A b π==，则c = ．16.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，E 为AB 边上的点，项将ADE ∆沿DE 翻折至A DE '∆，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A D '与平面EBCD 所成角为30︒，则线段AE 的长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15965,3a a a S =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n b a a ++=，且16b a =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点，棱PA 与平面BCE 交于点F .（1）求证://AD EF ；（2）若PAB ∆是正三角形，求三棱锥P BEF -的体积.19.某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000内应抽取多少人？20.已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点. （1）若直线l 的斜率为1，8AB =，求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的准线与x 轴交于点()1,0P -，(:23:1APF BPF S S ∆∆=，求PA PB ⋅u u u r u u u r的值.21.已知函数()2ln ,f x x x ax a R =++∈.（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()1212,x x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，当(),3a ∈-∞-时，求证：()()123ln 24f x f x ->-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2143x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程； （2）判断曲线12,C C 是否相交，若相交，求出相交弦长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-++. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC二、填空题13.1314. 23三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由15965,3a a a S =+=, 得 ()()6535458652d d d ⨯+++=⨯+， 解得2d =.所以()()()*1152123n a a n d n n n N =+-=+-=+∈. （2）由（1）得，1626315b a ==⨯+=. 又因为11n n n b a a ++=，所以当2n ≥时，()()12321n n n b a a n n -==++ 当1n =时，15315b =⨯=，符合上式， 所以()()2321n b n n =++. 所以()()11111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.所以1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L ()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18. 解：（1）因为底面ABCD 是边长为2的正方形， 所以//BC AD .又因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .又因为,,,B C E F 四点共面，且平面BCEF ⋂平面PAD EF =， 所以//BC EF .又因为//BC AD ，所以//AD EF . （2）因为//AD EF ，点E 是PD 的中点， 所以点F 为PA 的中点，112EF AD ==. 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB AD AB =⊥， 所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB . 又因为PAB ∆是正三角形， 所以2PA PB AB ===，所以12PBF PBA S S ∆∆==又1EF =，所以113P BEF B PEF V V --===故三棱锥P BEF -. 19.解：（1）由题知，月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15⨯=.（2）从左数第一组的频率为0.00025000.1⨯=，第二组的频率为0.00045000.2⨯=， 第三组的频率为0.00055000.25⨯=， ∴中位数在第三组， 设中位数为2000x +，则0.00050.50.10.2x ⨯=--，解得400x =， ∴中位数为2400.由12500.117500.222500.2527500.2532500.1537500.052400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 得样本数据的平均数为2400.（3）月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500⨯=（人）， ∵抽取的样本容量为100， ∴抽取的比例为100110000100=，∴月收入在[)2500,3000内应抽取的人数为1250025100⨯=（人）. 20.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2p y x =-. 联立2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ， 则3A B x x p +=.由抛物线的性质，可得4822A B A B p pAB FA FB x x x x p p =+=+++=++==， 解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意，得()1,0F ，抛物线2:4C y x =， 设直线l 的方程为1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.所以12124,4,y y m y y +=⎧⎨=-⎩①因为(:2:1APF BPF S S ∆∆=，所以2AF BF=-u u u r u u u r 因为,,A F B 三点共线，且,AF FB u u u r u u u r方向相同，所以(2AF FB =u u u r u u u r ，所以()(()11221,21,x y x y --=-，所以)122y y =，代入①，得))22214,2 4.y m y⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得212m =， 又因为()1,0P -，所以()()11221,,1,PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r， 所以()()11221,1,PA PB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r()1212121x x x x y y =++++()()()1212111114my my my my =+++++++- ()212122m y y m y y =++2224842m m m =-+==.21.解：（1）当1a =-时，()2ln f x x x x =+-，()121f x x x'=+-， 所以()1ln1110f =+-=，()11212f '=+-=. 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y x =-， 即220x y --=.（2）由题得，()()212120x ax f x x a x x x++'=++=>.因为12,x x 是导函数()f x '的两个零点， 所以12,x x 是方程210ax ax ++=的两根， 故121210,22a x x x x +=->=. 令()221g x x ax =++， 因为(),3a ∈-∞-，所以13022a g +⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()130g a =+<，所以()1210,,1,2x x ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭，且22112221,21ax x ax x =--=--， 所以()()()()()2222111212121222ln ln x x f x f x x x ax ax x x x x -=+-+-=--+， 又因为1212x x =，所以1212x x =，所以()()()()2212121221ln 2,1,4f x f x x x x x -=--∈+∞， 令()2222,t x =∈+∞，()()()121ln 22t h t f x f x t t=-=--. 因为()()22211110222t h t t t t -'=+-=>， 所以()h t 在区间()2,+∞内单调递增， 所以()()32ln 24h t h >=-，即()()123ln 24f x f x ->-. 22.解：（1）由题知，将曲线1C 的参数方程消去参数t ， 可得曲线1C 的普通方程为210x y +-=. 由22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()22cos sin ρρθρθ=+.将222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==代入上式， 得2222x y x y +=+， 即()()22112x y -+-=.故曲线2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）由（1）知，圆2C 的圆心为()1,1，半径2R =， 因为圆心到直线1C 的距离2221125221d +-==<+， 所以曲线12,C C 相交， 所以相交弦长为()2222252302225R d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 23.解：（1）当2x ≤-时，不等式转化为()()2120x x --++>，解得2x ≤-； 当122x -<<时，不等式转化为()()2120x x ---+>，解得123x -<<-； 当12x ≥时，不等式转化为()()2120x x --+>，解得3x >. 综上所述，不等式()0f x >的解集为{13x x <-或}3x >.（2）由（1）得，()3,2,131,2,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出其函数图象如图所示：令y x m =-，若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，即函数()f x 的图象在直线y x m =-的下方或在直线y x m =-上. 当2m ≤-时，30m -+≤，无解； 当122m -<<时，310m --≤，解得1132m -≤<； 当12m ≥时，30m -≤，解得132m ≤≤. 综上可知，当133m -≤≤时满足条件，故实数m 的取值范围是1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。