导数的实际应用

答：当 OO1 为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为 16 3 m3.
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[一点通]
解决面积，容积的最值问题，要正确引入
变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的 定义域，利用导数求解函数的最值．
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1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最 大，则其高应为 20 3 A. cm 3 C．20 cm B．100 cm 20 D. cm 3 ( )
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2．(2011· 江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四 个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B， C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱
形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角
三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 返回
[ 思 路 点 拨 ]
计算从甲地到乙地的时间
→ 将运输成本表示为速度v的函数 → 确定函数的定义域 → 求f′x → 对使f′x＝0的点与c进行讨论
→ 求fx最小值
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[精解详析]
(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所
s 用的时间为v，全程运输成本为 s a 2 s y＝a·＋bv ·＝s(v＋bv)， v v ∴所求函数及其定义域为 a y＝s(v＋bv)，v∈(0，c]． (2)由题意 s、a、b、v 均为正数．
[思路点拨]
收益＝销售额－投入，据此列函数表达
式，然后求最大值对应的自变量．
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[精解详析]
(1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收
益为 f(t)(百万元)，则有 f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t ＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当 t＝2 时，f(t)取得最大值 4， 即投入 2 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益 最大．
最大时h的值．
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1．最优化问题
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2．求实际问题的最值的主要步骤
(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间
的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出 极值点 ； (3)比较函数在区间端点和在 极值点 的取值大小，确定 其最大(小)者为最大(小)值．
第 三 章
导 数 及 其 应 用
理解教材新知 3.3 3.3. 3 考点一
把握热点考向 导数 的实 际应 用
应用创新演练
考点二
考点三
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3．3.3
导数的实际应用
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某城市准备在半径为R的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，
已知各点亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平
方成反比，当高杆灯距离地面一定高度时，绕在街心花园周 围的道路的亮度最大． 问题：为使亮度最大，怎样设计高杆灯离地面的高度？ 提示：建立亮度y随高度h变化的函数关系式，用导数求y
2 2
54π ∴S′＝2πr－ 2 ，令 S′＝0 得 r＝3. r 当 0<r<3 时 S′<0，当 r>3 时 S′>0. 故用料最省时圆柱的底面半径为 3.
答案：3
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4．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单元：万元)与隔热层厚度 x(单 k 位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热 3x＋5 层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费 用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时， 总费用 f(x)达到最小， 并求最小值．
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[例3]
某集团为了获得更大的利益，每年要投入
一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t
(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内， 则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益 最大？
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(2)现该公司准备共投入 3 百万元， 分别用于广告促销 和技术改造．经预测，每投入技术改造费 x(百万元)，可 1 3 增加的销售额约为－ x ＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资 3 金分配方案， 使该公司由此获得的收益最大(注： 收益＝销 售额－投入)．
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解：(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用 k 40 为 C(x)＝ ， 再由 C(0)＝8， k＝40， 得 因此 C(x)＝ . 3x＋5 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 f(x) ＝ 20C(x) ＋ C1(x) ＝ 20× ＋ 6x ＝ ＋ 3x＋5 3x＋5 6x(0≤x≤10)．
出底面边长，表示出帐篷的体积．
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[精解详析]
设 OO1 为 x m，则 1＜x＜4.
由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m) 32－x－12＝ 8＋2x－x2. 于是底面正六边形的面积为(单位：m2) 3 3 3 2 2 6· · 8＋2x－x ) ＝ ( (8＋2x－x2)． 4 2 帐篷的体积为(单位：m3) 3 3 2 1 V(x)＝ (8＋2x－x )[ (x－1)＋1]． 2 3
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(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取 何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
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解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)．由已知得 60－2x a＝ 2x，h＝ ＝ 2(30－x)，0＜x＜30. 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值． (2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0 得 x＝0(舍)或 x＝20. 当 x∈(0,20)时，V′＞0；当 x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． h 1 1 此时 a ＝ .即包装盒的高与底面边长的比值为 . 2 2
解：设每月生产 x 吨时的利润为 f(x)元，则 1 2 f(x)＝(24 200－ x )x－(50 000＋200x) 5 1 3 ＝－ x ＋24 000x－50 000(x≥0)． 5
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3 2 由 f′(x)＝－ x ＋24 000＝0， 5 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因为当 0≤x<200 时，f′(x)>0， 当 x>200 时，f′(x)<0， 所以 x＝200 是函数的最大值点， 且最大值为 f(200)＝3 150 000(元)， 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润 315 万元．
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3 ＝ (16＋12x－x3)． 2 3 求导数，得 V′(x)＝ (12－3x2)． 2 令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2. 当 1＜x＜2 时，V′(x)＞0，V(x)为增函数； 当 2＜x＜4 时，V′(x)＜0，V(x)为减函数． 所以，当 x＝2 时，V(x)最大．
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2 400 2 400 (2)f′(x)＝6－ 2.令 f′(x)＝0，即 2＝6， 3x＋5 3x＋5 25 解得 x＝5 或 x＝－ (舍去)． 3 当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0. 故 x＝5 是 f(x)的最小值点， 800 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.
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解决生活中的优化问题的思路： (1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论． (2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型． (3)解模：把数学问题转化为函数最值问题并求解．
(4)检验．
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[例1]
请您设计一个帐篷，它下部的形
状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱
长为3 m的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷 的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ [思路点拨] 设出顶点O到底面中心O1的距离x后，求
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a 由 y′＝s(b－ 2)＝0 得 v＝ v 但 v∈(0，c]， ①若 若 a b≤c，则当 v＝ a b>c，则 v∈(0，c]，
a . b
a b时，全程运输成本 y 最小，②
此时 y′<0，即 y 在(0，c]上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小． 当 当 a ≤c 时，行驶速度 v＝ b a >c 时，行驶速度 v＝c. b a ； b
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解析：设圆锥高为 h cm，体积为 V cm3，则底面半径为 r ＝ 202－h2. 1 2 1 ∴V＝ πr · h＝ π×(400－h2)· h 3 3 1 ＝ π(－h3＋400h)，0<h<20， 3 400 20 3 V′＝－πh ＋ π.令 V′＝0，得 h＝ . 3 3
2
20 3 因为在区间(0，＋∞)内只有一个极大值点 h＝ . 3 20 3 故当 h＝ 时，V 最大． 3 答案：A
返回[一点通]利源自问题相关的变量比较多，如：成本、固定投入、生产投入、产品价格、销售量、利润等，正确 寻找这些变量间的关系，准确写出函数解析式是解决问题 的关键．
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5． 已知某生产厂家的年利润 y(单位： 万元)与年产量 x(单位： 1 3 万件)的函数关系式为 y＝－ x ＋81x－234，则使该生产 3 厂家获得最大年利润的年产量为 A．13 万件 C．9 万件 B．11 万件 D．7 万件 ( )