导数的实际应用_知识讲解
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数作为微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具之一。
在数学领域中，导数的运用非常广泛，它不仅可以用来解决数学问题，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
导数在实际生活中的运用，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的生活带来便利与乐趣。
一、导数在物理学中的应用在物理学中，导数被广泛应用于描述物体运动的规律。
通过对物体位移、速度、加速度等物理量的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
以小车匀速运动为例，假设小车在 t 时刻的位置为 s(t)，则小车的速度可以表示为 s'(t)，而小车的加速度可以表示为 s''(t)。
通过对速度和加速度的分析，可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律，为实际的运动控制提供依据。
在经济学中，导数被广泛应用于描述经济变量的变化规律。
通过对需求函数、供给函数等经济函数的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解价格、产量等经济变量的变化规律。
导数还可以用来解决相关的最优化问题，在经济决策中发挥着重要作用。
通过对经济变量的导数进行分析，可以帮助经济学家更好地理解市场运行的规律，为经济政策的制定提供依据。
在工程领域中，导数被广泛应用于描述各种物理现象和工程问题。
在电路设计中，导数可以帮助我们分析电流、电压等电学量的变化规律，为电路的设计提供依据。
在机械设计中，导数可以帮助我们分析力、速度、加速度等物理量的变化规律，为机械系统的设计提供依据。
通过对工程问题中的导数进行分析，可以帮助工程师更好地理解物理现象和工程问题，为工程设计提供科学依据。
除了在物理学、经济学和工程领域中的应用外，导数还可以在生活中的许多其他领域中找到应用。
通过对人口增长率、疾病传播速率等进行导数分析，可以帮助我们更好地理解社会现象和生活问题。
在生产实践中，导数也可以用来描述生产过程中的效率和变化规律。
导数还可以在艺术创作、音乐编排等方面找到应用，帮助我们更好地理解艺术和音乐作品的规律。
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
应用导数解决实际问题
应用导数解决实际问题导数作为微积分的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
它通过研究函数的变化率和极值等特性，为我们提供了解决各种实际问题的有效工具。
本文将通过几个具体问题的探讨，展示导数在实际应用中的重要性。
一、速度、位移和加速度假设我们有一个物体在直线上运动，我们想要计算它在特定时间点的速度。
这时我们可以借助导数的概念来解决这个问题。
设物体在时刻t的位移为s(t)，则物体的速度可以通过求解s(t)的导数来得到。
具体地，我们可以使用以下公式来求解速度：v(t) = s'(t)其中v(t)表示物体在时刻t的速度，s'(t)表示s(t)的导数。
通过对位移函数求导，我们可以得到物体在不同时间点的瞬时速度，从而更好地了解其运动情况。
进一步地，我们还可以通过对速度函数求导，得到物体的加速度。
加速度是速度的变化率，通过它我们可以判断物体是在加速还是减速。
设速度函数为v(t)，加速度函数为a(t)，则加速度可以通过求解v(t)的导数来得到：a(t) = v'(t)通过对速度函数求导，我们可以得到物体在不同时间点的瞬时加速度，进而分析出运动过程中的加速度变化情况。
二、最优问题在实际问题中，我们常常需要寻找优化的解决方案。
这时，我们可以借助导数的概念来找到最优解。
考虑下面一个例子：假设我们要制作一个体积为V的圆形容器，我们想要找到能够最小化表面积的尺寸。
设圆形容器的半径为r，表面积为A，则我们可以通过求解A关于r的导数来得到最优解。
具体地，我们可以使用以下公式来求解表面积的导数：dA/dr = 0通过对表面积函数求导，并令导数等于0，我们可以解得最优解所对应的半径。
这样，我们就能够找到满足实际情况并且表面积最小的容器尺寸。
类似地，我们还可以通过求解函数的导数来解决其他的最优问题。
无论是求职场上的最大收益，还是寻找最短路径，导数都能够帮助我们找到最优解决方案。
三、误差估计在实际测量和计算中，我们难免会遇到误差。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。
导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。
导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。
掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。
了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。
在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。
导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。
导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。
通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。
在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。
导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。
在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。
通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
导数初步导数的定义计算与应用
导数初步导数的定义计算与应用导数初步导数是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
导数的定义、计算以及应用都是我们学习微积分的基础知识。
本文将初步介绍导数的定义、计算方法以及一些实际应用。
1. 导数的定义在数学中，导数的定义是函数在某一点上的变化率。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来表示。
当x自变量趋于某一点a时，函数f(x)在点a处的导数可以用以下极限式来定义：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)其中lim表示极限，x→a表示x趋向于a，[f(x) - f(a)] / (x - a)表示函数在x处两点间的差值，即斜率。
2. 导数的计算方法导数的计算在微积分中有一套具体的方法，可以帮助我们计算各种类型的函数的导数。
2.1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = C，其中C是一个常数，其导数为零，即f'(x) = 0。
因为常数函数在任何一点上的斜率都为零，表示该函数的变化率为零。
2.2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n（其中n是一个实数）的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，其导数是f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2 * x。
2.3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是导数计算中常见的函数类型。
以下是一些常见的导数计算公式：指数函数f(x) = a^x（其中a是常数）的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
对数函数f(x) = log_a(x)（其中a是常数）的导数为f'(x) = 1 / [x * ln(a)]。
2.4. 三角函数的导数三角函数在导数计算中也常见，以下是一些常见的三角函数导数计算公式：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
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导数的实际应用【要点梳理】要点一：最优化问题现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题． 要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等． 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具．此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值．一般步骤为：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；(2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=；(3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路要点四：最优化问题的常见类型(1)利润最大问题；(2)用料最省、费用最低问题；(3)面积、体积最大或最小问题．【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m) 【思路点拨】本题的关键是建立关于变量x（或y）的函数.【解析】依题意，有1822xxy x+=g，∴8(042)4xy xx=-<<，于是框架用料总长度为231622222xL x y xx⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．231622Lx'=+-，令0L'=，即2316202x+-=，解得1842x=-，2428x=-(舍去)．当0＜x＜8－42时，0L'<；当84242x-<<时，0L'>．∴当x＝842-时，L取得最小值，此时842 2.343mx=-≈，y≈2.828 m．即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．【总结升华】本问题中，由0L'=，得到1842x=-，2428x=-，由于x表示边框的长度，故x＞0，所以舍去2428x=-．解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义．举一反三：【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂位于离岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a 元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【答案】依题意设CD＝x，则AC＝50-x(0≤x≤50)用2240BC x=+∴水管费2223(50)540(150351600)y a x x a x x=-++=-++．∴22353216001600y a ax x⎛⎫⎛⎫'=-+=-+++⎝⎝，令0y '=，得30-=，∴ x ＝30． 当0≤x ＜30时，0y '<；当30＜x ≤50时，0y '>．∴ x ＝30时，y 取得最小值，此时，CD ＝30 km ，故AC ＝50-30＝20(km )，因此供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处时，可使水管费用最省．类型二：利润最大问题例2．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元／辆，出厂价为13万元／辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为25324023y x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，则当x 为何值时，本年度的年利润最大?最大利润是多少？【思路分析】（1）由题设分别求出本年度每辆车的投入成本、每辆车的出厂价及年销售量，列出年利润的表达式；（2）由（1）知，每一辆汽车的利润是(3-0.9x )，结合年销售量，从而计算出本年度的年利润，建立关于变量x 的函数.【解析】 (1)由题意得：上年度的利润为(13-10)×5000＝15000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10×(1+x )；本年度每辆车的出厂价为13×(1+0.7x )；本年度年销售量为5000×(1+0.4x )，因此本年度的利润为y ＝[13×(1+0.7x )-10×(1+x )]×5000×(1+0.4x )＝(3-0.9x )×5000×(1+0.4x )＝-1800x 2+1500x+15000(0＜x ＜1)．由-1800x 2+1500x+15000＞15000，解得0＜x ＜56． 所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加． (2)本年度的年利润为25()(30.9)324023f x x x x ⎛⎫=-⨯⨯-++ ⎪⎝⎭323240(0.9 4.8 4.55)x x x =⨯-++，则2()3240(2.79.6 4.5)972(95)(3)f x x x x x '=⨯-+=--，由()0f x '=，解得59x =或3x =(舍去)， 当509x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当519x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 是减函数． 所以当59x =时，()f x 取极大值5200009f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(万元)， 因为()f x 在(0，1)上只有一个极大值，所以20000是最大值， 所以当59x =时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． 【总结升华】实际问题中的最值问题，首先要根据题意，列出相应的函数关系式，再利用均值不等式法或者求导法得出问题的最值．一般说来，应用求导法确定函数的单调性，再根据单调性求最值的方法更具有普遍性． 举一反三：【变式】已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100+4q (0＜q ＜100)，价格p 与产量q 的函数关系式为1258p q =-．求产量q 为何值时，利润L 最大? 【答案】收入R ＝q ·p ＝211252588q q q q ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 利润2125(1004)8L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 2121100(0100)8q q q =-+-<<，1214L q '=-+， 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点q ＝84． 故产量q 为84时，利润三最大．类型三：面积、体积最大或最小问题例3．做一个无盖的圆柱形桶，要求其体积为定值V ，而用材料要最省，问圆柱的底面半径及高各应为多少？【解析】设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则2V R h π=，2V h R π=． 设圆柱的表面积为S ，则22S R Rh ππ=+22(0)V R R Rπ=+<<+∞ 322222V V S R R R R πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭, 令0S '=，得3VR π=32V V h R ππ== 因为函数在(0，+∞)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点．3Vπ【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值．举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边的比为1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?【答案】设底面较短的边长为x cm ，则相邻一边长为2x cm ，又设箱子高为h ，则2272362h x x ==， 设表面积为S ， 则223642(2)S x x x x =++g 22164(0)x x x=+>， 32221688(27)S x x x x'=-=-． 令0S '=，解得S 在(0，+∞)内的唯一可能的极值点x ＝3．当x ＜3时，S ′＜0．当x ＞3时，S ′＞0．∴ 在x ＝3时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为3 cm ，6 cm ，高为4 cm 时，长方体箱子的表面积最小．。