隐形圆问题
高三数学隐形圆练习题
高三数学隐形圆练习题隐形圆是高中数学中一个重要的概念，理解隐形圆的性质和应用对于解决相关的几何问题至关重要。
本文将提供一些高三数学隐形圆练习题，帮助学生巩固对该概念的理解和运用能力。
练习题1：已知在平面直角坐标系中，圆心为O(-2, 3)，半径为5。
请回答以下问题：1. 圆的方程是什么？2. 过圆心的直径的方程是什么？3. 过由圆心和横坐标为1的点的直线的方程是什么？解答：1. 圆的方程可以表示为：(x+2)² + (y-3)² = 25。
2. 过圆心的直径的方程可以表示为：x + 2y - 10 = 0。
3. 过由圆心和横坐标为1的点的直线的方程可以表示为：2y - x - 5 = 0。
练习题2：已知在平面直角坐标系中，直线方程为2x + 3y - 6 = 0。
请回答以下问题：1. 该直线与y轴的交点是什么？2. 该直线与x轴的交点是什么？3. 该直线是否与圆心为(1, -2)、半径为4的圆相切？解答：1. 该直线与y轴的交点可以通过令x=0来求解，得到点(0, 2)。
2. 该直线与x轴的交点可以通过令y=0来求解，得到点(3, 0)。
3. 该直线不与圆心为(1, -2)、半径为4的圆相切。
通过将直线方程带入圆的方程进行判别，得到：(1+2)² + (m+2)² = 16。
化简得到m² + 4m + 5 = 0，该二次方程没有实根，因此直线与圆不相切。
练习题3：已知在平面直角坐标系中，直线L₁的方程为3x - 4y - 5 = 0，直线L₂过点A(3, 2)且与直线L₁垂直。
请回答以下问题：1. 直线L₂的方程是什么？2. 直线L₁与直线L₂的交点是什么？3. 直线L₂与圆心为(1, -1)、半径为3的圆是否相切？解答：1. 直线L₁的斜率为3/4，垂直于L₁的直线L₂的斜率为-4/3。
过点A(3, 2)且斜率为-4/3的直线方程可以表示为：y - 2 = (-4/3)(x - 3)，化简可得y = (-4/3)x + 14/3，即直线L₂的方程为y = (-4/3)x + 14/3。
数学隐形圆问题解题技巧
数学隐形圆问题解题技巧1. 嘿，你知道吗？遇到那种动点问题，别慌！比如有个点在一个图形上运动，这时候就要想到隐形圆啦。
就好像一只小老鼠在迷宫里乱跑，咱们得找到它的规律呀！比如在一个直角三角形里，斜边就是那个“隐形成员”，动点到斜边中点的距离始终不变，这不就是个隐形圆嘛。
2. 哇塞，还有一种情况也会有隐形圆哦！当几个固定的点到一个动点的距离相等时，这不就是圆的定义嘛。
就好比一群小朋友围着一个大哥哥，这个大哥哥就是圆心呀！比如四边形的四个顶点到某点距离相等，那隐形圆不就出来啦。
3. 嘿呀，你想想，要是给你一些角度条件呢？当固定的边所对的角是定值的时候，也能发现隐形圆呀！就像一部精彩的电影，有了关键情节就能猜到后面的发展，比如一个三角形，一条边固定，它所对的角一直是 60 度，这不就是隐形圆在向你招手嘛。
4. 还有呢！当有两个动点，它们到同一点的距离比值是定值时，也可能有隐形圆哦。
这就像两个小伙伴比赛跑步，速度有个固定比例，那就能找出其中的秘密啦！比如两个点到另一个点的距离一直是 2 比 1，那隐形圆可能就藏在里面哟。
5. 哎呀呀，再告诉你一个秘密哦。
要是有几条线段长度不变，互相垂直呢？对啦，隐形圆就藏在那里！就像一个神奇的魔法阵，只要发现了就能破解谜题啦。
比如三条线段组成一个直角三角形，那这个直角三角形的外接圆不就是隐形圆嘛。
6. 你可别小瞧这些隐形圆呀！它们就像隐藏在数学世界里的宝藏，等你去发现呢。
比如在一些几何图形中，乍一看没啥特别，但是仔细一分析，哇，隐形圆出现啦！就像突然找到了宝藏的入口一样兴奋。
7. 总之呀，数学隐形圆问题有很多技巧呢，只要多观察多思考，就能找到它们。
不要怕难题，就像爬山一样，一步步往上爬，总会看到美丽的风景呀！记住这些技巧，以后再遇到隐形圆问题，就不会头疼啦，可以轻松搞定它们！我的观点就是，只要用心去钻研，数学隐形圆问题并不难，反而会很有趣呢！。
必须掌握的5种隐形圆
在高中解析几何中圆是非常重要的内容,有这样一类问题,圆的信息在条件中没有直接给出,而是隐藏在题目中,要通过分析和转化发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为'隐形圆'问题.解题时如何发现隐形圆是关键,一般含有隐形圆的问题总会有关于圆的一些蛛丝马迹,本文结合近几年高考试题及模拟题解题实践就如何根据题目条件寻找隐形圆提供一些常见的方法.
初中隐形圆十种类型
初中隐形圆十种类型隐形圆指的是在平面上的一种特殊形状，其特点是每条边都与其他边垂直且相等。
在初中数学中，我们经常会遇到各种类型的隐形圆问题，下面列举了十种常见的类型。
1.隐形圆边长求解：已知隐形圆的面积和周长，求其边长。
首先，根据隐形圆的面积公式，得到方程：面积=隐形圆的边长的平方，然后根据隐形圆的周长公式，得到方程：周长=4乘以隐形圆的边长。
2.隐形圆面积求解：已知隐形圆的边长，求其面积。
根据隐形圆的面积公式，面积=隐形圆的边长的平方。
3.隐形圆周长求解：已知隐形圆的面积，求其周长。
首先，根据隐形圆的面积公式，得到方程：面积=隐形圆的边长的平方，然后根据隐形圆的周长公式，得到方程：周长=4乘以隐形圆的边长。
4.隐形圆与正方形的关系：正方形的四个顶点分别与隐形圆相切，则这个正方形被称为外接正方形。
外接正方形的边长等于隐形圆的直径。
5.隐形圆与正方形的关系：正方形的一个顶点与隐形圆的圆心相切，则这个正方形被称为内接正方形。
内接正方形的边长等于隐形圆的半径的2倍。
6.隐形圆与等边三角形的关系：等边三角形的三个顶点分别与隐形圆相切。
等边三角形的边长等于隐形圆的直径。
7.隐形圆与正六边形的关系：正六边形的六个顶点分别与隐形圆相切。
正六边形的边长等于隐形圆的直径。
8.两个隐形圆的关系：两个相切的隐形圆的圆心与相切点在一条直线上。
这条直线被称为两个隐形圆的公切线。
9.三个隐形圆的关系：三个隐形圆两两相切，则它们的圆心构成一个等边三角形。
10.隐形圆与正方形的关系：正方形的中心与隐形圆的圆心重合，则这个正方形被称为内接正方形。
内接正方形的边长等于隐形圆的半径的2倍。
以上是初中数学中常见的隐形圆类型，掌握了这些类型，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。
2023年高考数学考前冲刺：隐形圆问题
第30讲隐形圆问题【方法总结】隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．【解析】：由平面直角坐标系的性质可得90AOB ，故而可得圆C 的图像经过原点O 。
由图像可得点C 到直线的距离和到点O 的距离相等，故而当OC l 时，半径最小，此时12r d，故而面积的最小值为54 。
【典例2】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值是()A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】如图所示，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C 上的点到点O 距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB ＝90°可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，连接OP ，故|PO|＝12|AB|＝m ，故4≤m≤6.所以m 的最大值是6.则由|PA|＝2|PB|，得x ＋12＋y 2＝2x －12＋y 2，即＋y 2＝169，因此圆＋y2＝169与直线x＋3y＋m＝0有交点，即532m≤43，解得－133≤m≤1.故m的取值范围为－13 3，1.【解析】：如图所示，过点A作渐近线的垂线AB，由6030MAN BAN，又,2AM b AB OA a OB，故而2tan bBOAa，解得22133b ea。
【解析】设P(x，y)，由PA·PB≤20可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，2＋y2＝50，2＋y2＋12x－6y＝20，＝1，＝7＝－5，＝－5.结合图形(图略)可知－52≤x≤1.(2)已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足PA→·PB→－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是________．【解析】如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则PA→·PB→－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足PA →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上．过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点，所以|OM|<2λ≤|OA|，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12.1m n，化简可得1m n mn ，根据基本不等式22m n mn 可得212m n m n，化简可得 2440m n m n，解一元二次不等式可得2m n 或者2m n ，当且仅当m n时取等号。
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。
该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。
以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。
在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。
求这个圆的最大半径。
解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。
根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。
根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。
由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。
代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。
在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。
通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。
重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。
隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。
例析四类“隐形圆”问题
2020年第9期中学数学研究•51•例析四类“隐形圆”问题福建省福安市第一中学(355000)叶珊近年来，随着对圆的方程加大的考查力度，许多“隐形圆”的问题不断呈现.所谓的“隐形圆”，就是在条件中没有直接给出有关圆的信息，而是隐藏在题目的信息中，要通过分析和转化，才能发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来解决问题.下面举例介绍四类常见类型，供参考.一、隐含着圆的定义或圆的方程例1若圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________•解析:设P(%,y。
)为圆上一点，且PO=1,则有%o+To=1,即点P在以原点为圆心，1为半径的圆上，而点P又在圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，依题意，这样的P点有两个，即两圆相交，所以2 -1W y(2a)2+(a+3)2W2+1,解得-务W aW0,即实数a的取值范围是[-务,0].评注:从题设中找到了动点到定点的距离为定长，这就是圆的定义，抓住它建立圆的方程，从而再利用两圆相交的性质列出不等式求出参数范围就变得很容易了.例2已知A,B,C,D四点共面,BC=2,AB2+ AC2=20,CD=3C4,4t I BD\的最大值.解析：以DC所在的直线为％轴，以线段BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，又BC=2,可设B(-1,O),C(1,O).设A(衍，yj,由4於 +AC2=20得[+I)2+j)]+[(«：!-I)2+ji]=20,化简得+y2=9戾).设D(x,y),^CD=3莎得(％-1,y)=3(冋-1,刃)，所以％i=*(%+2)且九=将它们代入X)式得仏+2)2+y2=81,即D点在以(-2,0)为圆心,9为半径的圆上，而I BD\就是圆上的动点D到点B(-1,O)的距离，根据圆的性质可知丨丽I的最大值就是圆心(-2,0)到点-1,0)加上半径，即1+9=10,所以⑷—=10.评注:依据题设中的平方和的条件得到了点A 在一个已知圆上运动，再由给出的向量的线性关系，使问题转化D点在另一个已知圆上运动，如果点B 固定，则就变成一个非常熟悉的问题了.二、含有线段长的比式例3已知圆C：(%-2)2+y2=2,直线l.y= k(x+2)与％轴交于点A,过Z上一点P作圆C的切线，切点为T,若PA=#PT,则实数％的取值范围是解析：由于直线l-.y=k(x+2)与％轴交于点A(_2,0),则刃=g设P(%,y),由PA=匹PT得/(X+2)2+y2=#V(x-2)2+y2-2,化简得仏-6)2+y2=36,即点P在以(6,0)为圆心,6为半径的圆上，又点P在直线Z上，所以直线Z 与圆相交或相切，则d W r,即I§律+「丄w6,化简得7號W9,解得-導導，所以实数％的取值范围是[-昭，昭].点评：这是一个“阿波罗斯尼圆”的问题，解题中抓住了给出的线段长等式，通过设动点，建立方程，然后再化简方程找到了一个隐含圆，这就将问题转化为直线与圆有交点问题了.例4已知点P到两定点M(_1,O)JV(.距离的比为点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.解析:设P的坐标为仏,y),由题意有■^十=Q,即a/(%+1)2+j2=-J1•a/(%-1)2+j2,整理得/+y2_6%+1=0,因为点N到PM的距离为1,I MN\=2,所以厶PMN=30。
隐圆问题的十大类型：高考数学微专题
隐圆问题的十大类型：高考数学微专题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．1124．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB的中点M 的轨迹方程是__________.类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD 中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD =则CD 的最小值为（）B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．214已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.隐圆问题的十大类型（解析版）隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.解析：转化为4)3()2(22=--+-a y a x 与圆122=+y x 有两个交点，求a 的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：)0,56(-∈a .类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0解析：设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-，半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选B.例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．112解析：由动直线方程()30mx ny m n +-+=得()()130m x n y -+-=，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 为直径的圆上，5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最大值为5113+22=.故选：D.4．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．解析：圆()()22:122C x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径为1r 依题意，P 是圆C 上任意一点，直线l 上存在两点,A B ，使得π2APB ∠=恒成立，故以AB 为直径的圆D 始终与圆C 相切，即圆D 的半径2r 的最小值是P 到直线l 距离的最1r ==AB 的最小值是2⨯=.故选：A5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+解析：由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d =，所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.解析：由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+类型4.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(≠=⋅→→λλPB P A .分析：由于||AB 定值，设AB 中点为M ，根据平面向量部分极化恒等式可得：222||41||)0(41AB PM AB PM PB P A +=⇒≠=-=⋅→→→→λλλ，故动点P 是以AB 中点M为圆心，半径为2||41AB +λ的圆.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6解析：由上述分析可知，故动点P 是以EF 中点M 为圆心，半径为2||41EF +λ的圆.故此题中点P 以EF 中点M 为圆心，半径为10的圆，所以，共有4个点满足条件.故选：C类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .解析：由于→→→→⋅-+=+PB P A PB P A PB P A 2)(||||222，设AB 中点为M ，则由向量关系与极化恒等式可知：λ=--=⋅-+→→→→→→→)41(242)(2222AB PM PM PB P A PB P A ，整理可得：→→+=22412AB PM λ，显然动点P 以M 为圆心，→+2412AB λ为半径的圆.类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.解析：由2,AB AC ==，见系代入得22(3)8x y -+=．设圆心为M ，显然当CM x ⊥轴时，ABC 面积最大，此时||CM =．所以()122ABC mx S ∆=⋅⋅=．类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.解析：设点M 的坐标为(,)x y ，点00(,)A x y ，M 为AB 的中点，B 的坐标为(4,3)，004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，点00(,)A x y 满足2200(1)4x y ++=22(241)(23)4x y ∴-++-=，即2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点M 的轨迹是以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以1为半径的圆，点M 的轨迹方程为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD=则CD 的最小值为（）解析：如图，可设x AB =，则x BC x AC 3,2==，则由托勒密不等式可得：BD AC AB CD BC AD ⋅≥⋅+⋅，代值可得：362233≥⇒⋅≥⋅+⋅CD x x CD ，等号成立当且仅当D C B A ,,,四点共圆.B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.解析：依题→→b a ,夹角为43π，而向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，故由四点共圆结论可知，向量→c 的终点C 与B A O ,,四点共圆，则||→c 的最大值即为圆的直径，由于5||||=-=→→b a AB 则由正弦定理：1043sin||||max ==→πAB c .13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．2解析：设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴= ，由2430be b -⋅+= 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b - 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离2321，为1.-选A.14已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2解析：在平面内一点O ，作OA a = ，OB b = ，OC c = ，则0a b OA OB ⋅=⋅=，则OA OB ⊥，因为1a b ==，则1== OA OB ，故AOB为等腰直角三角形，则AB =uu u r取AB 的中点E ，则()()()11112222OE OA AE OA AB OA OB OA OA OB a b =+=+=+-=+=+，所以，()22222a ba b a b +=++⋅=，所以，2122a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()()212c a c b c c a b -⋅-=-⋅+= ，所以，()()()22222142a b a b c c a b c OC OE EC +⎛⎫+-⋅++=-=-== ⎝⎭，则1EC = ，所以，12c a OC OA AC AE EC AE EC -=-==+≤+=+.11当且仅当AE 、EC 同向时，等号成立，故c a -1.故选：B.类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠，因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大.此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ，于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.。
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隐形圆问题
（1）如图1，在三角形ABC中，AB=6三角形ABC的面积为8，若点D是AB边上一点，请画出当CD取得最小是点D的位置，并求出此时CD的最小值
问题探究
（2）如图2在矩形ABCD中AB =6,若在AD上存在一点E，连接BE,使得∠ABE30°，点M,N分别是AB,BE上的动点，连接AN,MN求AN+MN的最小值
问题解决
（3）有一条人工湖它的平面图形如图3的四边形ABCD，其中AB∥CD,AB=50米BC=40米∠C=60°为了美化风景现计划在湖中的F处建造一座假山，设计意图为：在湖岸BC的方向上任意选取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AC于点F,且要求F到湖岸CD的距离最短，请你帮助工人师傅设计图纸，确定出假山F的位置，并求出假山F到湖岸CD的最短距离。
问题提出
（1）如图。
已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形。
问题探究
（2）如图在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC,CD上分别存在点G,H,使得四边形EFGH的周长最小：若不存在，请说明理由。
问题解决
（3）如图有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,，现想从此板材中裁处一个面积尽可能大的四
边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=√5米，∠EHG=45°。
经研究，只有当点E,F,G分别在
边AD,AB,BC上，且AF＜BF,并且满足点H在矩形ABCD的内部或边上时，才有可能裁处符合要求的部件。
试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积，若不能，请说明理由。
隐形圆与旋转的结合
问题探究
（1）如图在正方形ABCD 中，AB=6,点E,F 分别是AB,BC 上的点，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCG,FG=4，则四边形DEBF 的面积为______.
（2）如图已知线段AB=2√3,以AB 为边作△ABC, ∠C=120°。
求△ABC 面积的最大值； 问题解决
（3）王师傅有一块足够大的板材，现要从这块板材中裁处如图所示的四边形ABCD 零件，已知AD=CD,BD=30√2cm,AD ⊥CD, ∠ABC=60°，裁取时要求尽可能的节约，即裁处的四边形ABCD 零件面积最小，是否能裁处这样的四边形ABCD ？，若能求出四边形ABCD 的最小面积，若不能，请说明理由。
如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．
如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．
A B
C
P P
A
B C
如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．
问题探究
（1）如图，⊙O 内接等边三角形ABC ，请在⊙O 上求作一点P ，使得△PBC 是一个含有60°角的直角三角形（作出一个即可）;
（2）如图，已知矩形ABCD ，AB=10,AD=4,在矩形ABCD 边上找出所有使∠AMB=90°的点M ，并求出DM 的长；
问题解决
（3）如图所示有一块形状为四边形ABCD 的铁皮，AD ∥BC,AB=AD=40cm,BC=120cm,AB ⊥BC,点M 在BC 上，且DM 平分四边形ABCD 的面积，现想从这块铁皮中裁处一个面积尽可能大的四边形DPMN 部件（点P 在DM 左侧，点N 在DM 右侧），使∠DPM=60°，∠DNM=45°。
经研究，只有满足P,N 在思安变形内部或边上时，才有可能裁处符合要求的部件，试问能否裁处符合要求且面积尽可能大的四边形DPMN 部件？若能，求出裁得的四边形DPMN 部件的面积；若不能，请说理由
问题提出
如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12,点O 是△ABC 的外接圆的圆心。
则OB 的长为_______ 问题探究
如图，已知矩形ABCD,AB=4 AD=6,点E 为AD 的中点，以BC 为直径作半圆O ，点P 为半圆O 上一动点，求E,P 之间的最大距离；
某地有一块如图的果园，果园是由四边形ABCD 和弦CB 与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D 到弧BC 上的一点P 修建一条笔直的小路DP ，已知AD ∥BC, ∠ADB=45°，BD=120√2米，BC=160米，过弦BC 的中点E 作EF ⊥BC 交弧BC 于点F ，又测得EF=40米，修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
A
B
C
E
F
P
问题发现
(1)如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上．若∠APB ＝45°，则点P与⊙O的位置关系是________________；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是________________.
问题探究
（2）如图2，图3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝22，P是BC边上任意一点．当∠APD＝45°时，求BP的长．
问题解决
（3）在图3中，是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长；若不存在，也请说明理由．
问题探究
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E，F分别为边AB，AC 的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
(2)有一山庄，它的平面图为图2的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳．已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270 m，AE＝400 m，ED＝285 m，CD＝340 m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由．
如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12.
(1)如图1，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为___.
(2)如图2，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值．
(3)如图3，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
问题提出
(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为____________.
问题探究
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝22，BC＝3，在AD，CD 上分别找一点E，F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长．
问题解决
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD 中(包含其边沿)是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大？若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．。