高中数学第3章函数的概念与性质章末综合提升课件人教A版必修一
＝f(1·x)＝f11＋＋xfx＝1f＋xx(x≠0，x≠－1)，∴f(x)＝0(x≠0，x≠－1)．
综上，f(x)＝0(x∈R)，∴函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是偶函 数．
故选C.]
－2P＋50，14≤P≤20， Q＝－32P＋40，20<P≤26， 代入①式得
－2P＋50·P－14×100－5 600，14≤P≤20， L＝－32P＋40·P－14×100－5 600，20<P≤26. (1)当14≤P≤20时，L最大值＝450元，这时P＝19.5元， 当20<P≤26时，L最大值≈417元，此时P≈20元． 故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．
(2)已知f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，则f(x)的解析式为________．
1＋ x，x>0 (1)f(x)＝0，x＝0
－ －x－1，x<0 (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－ x>0，∴f(－x)＝ －x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝ －x＋1，∴f(x)＝－ －x－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
168，0≤x≤500， fB(x)＝130x＋18，x>500.
(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝
3 10
(n＋1)＋18－
3 10
n－18＝0.3，
(n>500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)<fB(x)． 当x>500时，fA(x)>fB(x)．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的 关键．
[跟进训练] 3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将 经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚 有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的 利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐 步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：
①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售 价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费 的余额最大？求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解] 设该店月利润余额为L，则由题设得 L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，① 由销售图易得：
2．本题的表述比较抽象，要求考生读懂条件中抽象函数y＝f(x)的图
m
象关于点(0,1)对称，进而利用对称性求出 (xi＋yi)，对考生抽象数学符
i＝1
号语言的能力提出了较高的要求．同时，用具体函数y＝
x＋1 x
“暗示”了
分析、理解这些抽象表述的方向——关注抽象函数y＝f(x)图象的对称性，
这也进一步考查了考生是否可以从纷繁的信息中识别出对解决问题最有
(变条件)把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析 式．
[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即－1a＋x＋x2b＝a1x＋＋xb2，∴a＝0， 又 f12＝25，∴b＝21，∴f(x)＝2＋12x2.
巧用奇偶性及单调性解不等式 1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 fx1<fx2或fx1>fx2的形式. 2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间 上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
当60<x≤500时，168＝130x＋80，解得x＝8380.
当60<x<8380时，fB(x)>fA(x)；当8380≤x≤500时，fA(x)>fB(x)． 即当通话时间在8380，＋∞时，方案B才会比方案A优惠．
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用 待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再 转化成具体问题，作出解答．
[思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合 图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
[解] 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)， fB(x)，
98，0≤x≤60， 则fA(x)＝130x＋80，x>60，
(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－2ba＝－1即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且4ac4－a b2＝0， 即b2＝4ac，由上可求得a＝14，b＝12，c＝14， 所以f(x)＝14x2＋12x＋41.
函数的性质及应用
【例3】
已知函数f(x)＝
x2－9≠0， x≠±3，
故函数的定义域是{x|1≤x≤5 且 x≠3}．
(2)设矩形的一边长为 x，则另一边长为21(a－2x)，
所以 y＝x·12(a－2x)＝－x2＋21ax，定义域为x0<x<12a
.
1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变 量的取值集合．
2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考 虑使实际问题有意义．
求函数解析式的题型与相应的解法
1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.
2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数
法.
3含fx与f－x或fx与f
1 x
，使用解方程组法.,4已知一个区间的
解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
[跟进训练] 2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当 x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的 最小值为0.求函数f(x)的解析式． (1)21x＋12 [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x) ＝－2x－1，两式联立得f(x)＝12x＋21.]
(2)设可在n年内脱贫， 依题意有 12n×450－50 000－58 000≥0. 解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫．
培优 层素 养升 华
【例】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝
x＋1 x
与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则
ax＋b 1＋x2
是定义在(－1,1)上的奇函数，且
f12＝25. (1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
[思路点拨] (1)用f(0)＝0及f12＝25求a，b的值； (2)用单调性的定义求解．
f0＝0， a＝1， [解] (1)由题意，得f12＝25， ∴b＝0， 故f(x)＝1＋x x2.
m
i＝1
(xi＋yi)＝( ) A．0 C．2m
B．m D．4m
B [由f(－x)＝2－f(x)可得fx＋2f－x＝1.
则函数y＝f(x)图象上的点A(x，f(x))关于点M(0,1)的对称点
A′(－x，f(－x))也在y＝f(x)的图象上．
又由y＝
x＋1 x
＝1＋
1 x
可知，函数y＝
x＋1 x
的图象也关于点M对
1＋ x，x>0， ∴f(x)＝0，x＝0，
－ －x－1，x<0.
(2)令t＝1＋x x＝1x＋1，则t≠1.把x＝t－1 1代入f1＋x x＝1＋x2x2＋1x， 得f(t)＝1＋t－1t－11212＋t－11 1
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
又f(x2)＝f((－x)2)＝
f－x＋f－x －x＋－x
＝－
f－x x
，∴
fx x
＝－
f－x x
，即
f(－x)＝－f(x)，其中x≠0.又f(0)＝f(0×1)＝f00＋＋1f1，∴f(1)＝0，f(－1)
＝－f(1)＝0.又f(0)＝f(0×(－1))＝
f0＋f－1 0－1
＝－f(0)，∴f(0)＝0.∵f(x)
第三章 函数的概念与性质
章末综合提升
巩固 层知 识整 合
提升 层题 型探 究
求函数 5－x＋ x－1－x2－1 9的定义域． (2)将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的解析 式，并写出此函数的定义域．
5－x≥0， x≤5，
[解] (1)解不等式组x－1≥0， 得x≥1，
函数的应用
【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B 两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间 的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[跟进训练]
1．函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(
)
A.－∞，13 C.－13，13
B．13，1 D．－∞，13∪13，1
D [由13－x－x>1≠0，0， 得 x<1 且 x≠13，故选 D.]
求函数的解析式
【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝ x ＋1， 则f(x)的解析式为______．
(2)任取－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝1＋x1x21－1＋x2x22＝x11－＋xx22111－＋xx122x2. ∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋x21>0,1＋x22>0. 又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)
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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数 定原义―点―域对→关称于 求a的值 图y―轴象―对关→称于 求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示 课件 课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 课件
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新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
人教高中数学必修一A版《幂函数》函数的概念与性质教学说课复习课件
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所以250.5>130.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－23<－35，所以－23－1>－35－1.
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比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若 底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是 “0”或“1”.
的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2
底数为自变量；3系数为 1.
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1．(1)在函数y＝x1 ，y＝2x ，y＝x ＋x，y＝1中，幂函数的个数为 2
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2
2
() A．0
B．1
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探 课件
究
提素养
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幂函数的概念
【例 1】 值．
已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3 是幂函数，求 m，n 的
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高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
人教A版高中数学必修第一册第三章章末重构拓展课件
A
√B
C
D
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B [对于A，函数在x＝5处有意义，不满足定义域为{x|－3≤x≤8， x≠5}，A错误； 对于B，函数的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2， y≠0}，满足题意，B正确； 对于C，函数在x＝5处有意义 ，不满足定义域为 {x|－3≤x≤8， x≠5}，C错误； 对 于 D ， 函 数 在 x ＝ 5 处 有 意 义 ， 不 满 足 定 义 域 为 {x| － 3≤x≤8 ， x≠5}，D错误．故选B．]
[解] (1)函数f(x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2的图象如图所示：
由图象可知：m(x)的单调递增区间为 (－∞，－2)和(－1，＋∞)； m(x)的单调递减区间为(－2，－1)；
类型3 函数的性质及应用 1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质， 其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点 考查内容，解不等式时经常结合图象，并要注意考虑定义域的影 响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和 直观想象素养．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
√
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
√
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件
在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是( ) 解析：选 D.函数 y＝x－21的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
若 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n＝________．
解析：因为 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数， 所以 m＝1，2n－4＝0，即 m＝1，n＝2，所以 m＋n＝3. 答案：3
已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称，且在 x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1) －m3＜ (3a－2) －m3的实数 a 的取值范围．
解：若幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，则为偶函 数，即 m 为奇数，又在 x∈(0，＋∞)上为减函数，因而 3m－9 ＜0，即 m＜3.又 m∈N*，从而 m＝1.故不等式(a＋1) －m3＜(3a －2) －m3可化为(a＋1) －31＜(3a－2) －13. 函数 y＝x－31的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)与(0， ＋∞)上均为减函数，因而 a＋1＞3a－2＞0，或 0＞a＋1＞3a－2， 或 a＋1＜0＜3a－2，解得 a 的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.
B．1
1 C.2
D．0
解析：选 A.因为 f(x)＝ax2a＋1－b＋1 是幂函数，所以 a＝1，－b
＋1＝0，
即 a＝1，b＝1，所以 a＋b＝2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的 图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【解】 因为 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14， 所以 f(2)＝14，即 2α＝14， 得 α＝－2，即 f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
人教高中数学A版必修一课件 第3章 第1课时 函数的单调性
第三章 函数的概念与性质
求函数的单调区间 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单调 区间． 【解】 y＝－x2＋2|x|＋3＝－ －（ （xx－ ＋11） ）22＋ ＋44， ，xx≥ <00. ，函数图象 如图所示．
第三章 函数的概念与性质
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1， ＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0， 1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：选 D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
第三章 函数的概念与性质
2．设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调增区间，且 x1∈(a，b)，x2
∈(c，d)，x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( )
函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1，x2 的三个特征 ①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代 替一般； ②有大小：一般令 x1<x2； ③同区间：x1 和 x2 属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数．
高中数学 第三章 函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学
第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。
第三章 函数的概念和性质(章末复习)高一数学(人教A版2019必修第一册)
练习
方法技巧：
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化
为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何
直观求解相关问题.
练习
变5.已知二次函数() = − 2 + + 2， ∈ .
D． − 2
).
练习
方法技巧：
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，
即＝1，＝1，＝所分区域.根据＜0，0＜＜1，＝1，＞1的取值确定位
置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较.
1
(4)方程思想：已知关于()与( )或(−)等的表达式，可根据已知条件再构造
出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出().
练习
变1.(1)已知()是一次函数，且满足2( + 3) − ( − 2) = 2 + 21，求()的解
析式；
(2)已知函数()满足2() + (−) = 3 + 2，求()的解析式；
(1)若()为偶函数，求的值．
(2)若()在[−1,2]上最大值为4，求．
答案：(1)0；(2) = −3或 = 2 2.
练习
题型六：幂函数
例6.若幂函数() = (2 − − 5) 在(0, +∞)单调递减，则 = (
A．3
答案：.
B．3 ， − 2
C． − 3 ，2
为最大值
为最小值
知识梳理
7.函数的奇偶性：