第1章 信息光学数学基础

sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2 sin2(px) (px)2
sinc (x) sinc2(x) 1 0
-1
1
x
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
sinc2(0)=1，S = 1 与sinc(x)相比，曲线形状不同, 但曲线下面积相同，为什么?
§1-1 常用函数
§1-1 常用函数—变型（例）
f(x)
例: f(x)={ x, 0
0<x<1 其它
0
1x
求 f(-2x+4)
解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移
先折叠
f(-x)
再压缩
f(-2x)
最后平移
f[-2(x-2)] x
-1 0
x
-1/2 0
0
3/2
x
§1-1 常用函数—变型（练习）
二维函数的卷积:

g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
- -

f (x , )h( x - x , y - )dx d
§1-3 卷积
三、计算方法--借助几何作图
g ( x ) f ( x ) h( x )
-
f(t) 1/3 0 f(t) 4 6
六、高斯函数
Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数，即 各阶导数均连续。
二维情形:
Gaus(x)
x
0
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
§1-1 常用函数
七、圆域函数
1, 2 2 定义: circ(r) = circ( x y ) 0,
comb(x)
间隔为t 的脉冲系列：

0
x
n -
d ( x - nt ) t d (t - n) t comb(t )
n -
1

x
1
x
三、 d 函数的阵列--梳状函数 comb(x)
梳状函数与普通函数的乘积：
f ( x) comb( ) f ( x) d ( x - nt ) 1 x
f(x)={ cos(x), |x|p/2 0 其它 求 f (-x/2+p/4)
-p/2 f(x) x
0
p/2
解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移 先折叠， 偶函数折叠后不变 再扩展，最后平移

f(-x) x
-p/2
0
p/2
注意：曲线下面积: S - f ( x)dx
一、定义 (续)
定义3: 设任意函数 f (x)在x = 0点连续, 则
d ( x) 0, x 0 d ( x) ( x)dx (0) -
f(x)称为检验函数
d -函数的图示：
1 0
d (x)
x
d (x,y)
0
1
y
x
§1-2 脉冲函数 （d 函数）
二、性质
第一章 信息光学数学基础
第一章 信息光学数学基础
§1-1 常用函数 —变型
f(x)
x
f (x- x0)
f(x/a)
f(-x) x x
bf(x) -f(x) x x
x0 x
平移
比例缩放
a<1, 在x方向压缩a倍
折叠
镜像对称
取反
与f(x)关于x轴 镜像对称
倍乘
y方向幅度变 化
(原点移至x0) a>1, 在x方向展宽a倍 与f(x)关于y轴
rect(x)*rect(x) = tri(x)
卷积
a
概念的引入：
回到前面的例题
f (x )
x
1/f0
x
探测器输出的光功率分布:
x g ( x) f (x )dx f (x )rect( )dx f ( x) rect( ) a a a -
-1 0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
又写成：L(x)
要关注它和矩形函数的关系
§1-1 常用函数
五、sinc函数
sin( px) 原型 : sinc ( x) , px
sinc(x) 1 -1 1
x - x0 标准型 : sinc ( ) a
可描述: n 单位质量质点的密度； fn(x)可以是Nrect(Nx)、 单位电量点电荷的电荷密度； Nsinc(Nx)、NGaus(Nx)、 单位光通量点光源的发光度； 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等。 物理系统已无法分辨 等等。 更窄的函数
§1-2 脉冲函数 （d 函数）

§1-2 d 函数（脉冲函数）
t
t
n -
n -
f (nt )d ( x - nt )
利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样： f(x) 0 x comb(x)
.
0
x =
0
x y
二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)
x
§1-3 卷积
一、卷积概念的引入
1. 筛选性质 (由定义3直接可证) 设f(x)在x0点连续，则 ( x)d ( x - x0 )dx ( x0 )
-
通过此积分，可从 f (x)中筛选出单一的f(x0)值。
1 2. 缩放性质 d (ax) d ( x) a 证明思路：二者对检验函数 在积分中的作用相同。(练 推论: d (x)是偶函数 习) 与普通函数缩放性质的区别： 普通函数：因子a不影响函数的高度，但影响其宽度 d-函数：因子a不影响函数的宽度，但影响其高度
2

x -x f (x )rect dx a -

§1-3 卷积
一、卷积概念的引入
物体分布 成像系统 像平面分布
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x) x x1 0
成像
f(x 1)h(x-x 1)
f(0)h(x)
f(x 2)h(x-x 2) x
x2
例题
用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2 p f0 x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出 光强分布。
a
例题
f (x )
x
1/f0
x
探测器输出的光功率分布
xa 2
卷积运算
x -x g ( x) f (x )dx f (x )rect ( ) dx a x -a -
四、三角形函数
x - x0 1 - x , x 1 x - x0 , 1 原型 : tri( x) ，标准型: tri( ) a a 其它 0, 0,
tri(x) 1 1 x
x - x0 1 a 其它
tri (
x - x0 ) a 1
-a+x0 x0 x a+x0
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果。 需用卷积运算来描述。
§1-3 卷积
一、卷积概念的引入
物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x) x f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
成像
f(x 2)h(x-x 2)
x1 0
x2
x
x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果。 需用卷积运算来描述：
1
a+x0 x
0
x
特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
x0 -a+x0
曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2
§1-1 常用函数
五、sinc函数
Sinc函数的重要性:
• 数学上，sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换 • 物理上，单一矩形脉冲 rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花样 是sinc函数。
§1-2 脉冲函数（d 函数）
一、定义
定义1.
x) 0, x 0 d ( d ( x)dx 1 -
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满足 : : lim f ( x) 0, x 0 n n f ( x)dx 1 - n 则 lim f n ( x) d ( x)
4. (3x+5) d (x+3)
a x x0 2L
a x
-L
0
L
a x
f (x )
-L
0 -a
L
-L
0
L
三、 d 函数的阵列--梳状函数 comb(x)
定义:
§1-2 d 函数（脉冲函数）
comb( x)
n -
d ( x - n)

n为整数
表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列。 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅。
h(t)
f (x )h( x - x )dx
步骤:
1.用哑元t 画出函数f(t)和h(t)；
2.将h(t)折叠成h(-t)； 3.将h(-t)移位至给定的x， h[-(t -x)]= h(x -t)； 4.二者相乘； 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x)。
t
1/5 0
t
5 9 h(-t)